Topología del transductor

Según se ha repetido en múltiples ocasiones, el transductor utilizado en el presente trabajo es de tipo electromagnético, cuyo principio de funcionamiento se ha descrito en profundidad en el apartado de “Desarrollo teórico”. No obstante, esto no determina la arquitectura a usar en el transductor, más allá de la necesidad de tener al menos un imán permanente y una bobina.

Las arquitecturas de posicionamiento de los imanes y la bobina no deberían ser arbitrarias, pues tienen un fuerte impacto en el acoplo electromagnético entre ambos elementos, lo que influye directamente en la señal generada. En (45) se ofrece un estudio completo de las características de la señal obtenida (para una carga óptima) en función de la topología utilizada. El resultado es que la estructura que maximiza la potencia de la señal generada es aquella en la que la bobina se mueve dentro de una estructura formada por cuatro imanes permanentes enfrentados. La inclusión de unos soportes de material ferromagnético (obtenidos de un transformador roto) en la cara de los imanes que no da a las bobinas permite confinar el flujo magnético a la zona de interés, de forma que el flujo que atraviesa la bobina sea máximo. Un esquema de dicho transductor se muestra en la Figura 58.

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Figura 58: Esquema del transductor

El que sea la bobina o los imanes permanentes los que se mueven realmente resulta indiferente, siempre que exista un desplazamiento relativo entre ambos elementos. Esto implica que a efectos de la señal generada, no importa que sean los imanes o la bobina los que estén colocados en la punta del cantiléver. No obstante, dado que es en bornes de la bobina donde aparece la señal eléctrica generada, dejar la bobina fija a la base es mucho menos problemático: en caso contrario habría que llevar unos hilos desde la punta del cantiléver donde está vibrando la bobina, hasta la electrónica de acondicionamiento. Al igual que ocurre con los hilos del acelerómetro (que sí que son indispensables), éstos introducirían distorsiones en la señal obtenida, por lo que es deseable evitar tener que colocarlos, lo cual en este caso es sencillo simplemente haciendo que sean los imanes los que se colocan en la punta del cantiléver.

El hecho de que la topología utilizada sea la que se ha mostrado influye directamente en la forma de la señal eléctrica que aparece en bornes de la bobina. Si en lugar de la estructura de cuatro imanes, se utilizara un transductor más simple formado sólo por dos, se tendría la topología mostrada en la Figura 59:

Figura 59: Estructura de un transductor simple de dos imanes

Puede aproximarse la forma de la señal que se va a obtener para dicho transductor de dos imanes con sólo saber cómo va a ser la evolución de la posición de los imanes con respecto a la bobina, y cómo es el flujo aproximado que atraviesa la bobina en cada posición.

La dependencia del flujo que atraviesa la bobina con respecto a la posición puede aproximarse por un período de un coseno, siendo máximo y positivo en la posición igual a 0 y

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con período espacial aproximado dos veces la longitud de los imanes (~2 cm). Así pues, 𝛷 = 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠(2𝜋

0.02𝑥) con 𝑥 ∈ [−0.01, 0.01]

Por otro lado, dado que el movimiento es vibratorio armónico simple, se sabe que la ecuación que determina el valor de su posición con respecto al tiempo es 𝑥 = 𝐵 · 𝑠𝑖𝑛(2𝜋

𝑇 𝑡), suponiendo sin pérdida de generalidad que en el instante inicial la posición es cero. Además, B se refiere a la máxima amplitud, que se aproximará por 1 cm. Entonces, la dependencia del flujo magnético que atraviesa la bobina con respecto al tiempo es directamente:

𝛷 = 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠 ( 2𝜋

0.02· 0.01 · 𝑠𝑖𝑛 ( 2𝜋

𝑇 𝑡))

No obstante, lo que determina la amplitud de la señal de salida no es el valor del flujo sino su velocidad de variación temporal. Consecuentemente, si se deriva la ecuación anterior se obtiene: 𝑑𝛷 𝑑𝑡 = −𝐴 · 2𝜋 0.02· 0.01 · 2𝜋 𝑇 · 𝑠𝑖𝑛 ( 2𝜋 0.02· 0.01 · 𝑠𝑖𝑛 ( 2𝜋 𝑇 𝑡)) · 𝑐𝑜𝑠 ( 2𝜋 𝑇 𝑡)

Dado que lo que interesa es la forma de la señal, los factores de escala pueden obviarse para representar la señal 𝑑𝛷̃ 𝑑𝑡 = −𝑠𝑖𝑛 ( 2𝜋 0.02· 0.01 · 𝑠𝑖𝑛 ( 2𝜋 𝑇 𝑡)) · 𝑐𝑜𝑠 ( 2𝜋 𝑇 𝑡)

Si dicha función se representa normalizada y en el mismo gráfico que la magnitud velocidad de la punta, se obtiene la siguiente forma de onda:

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Por el contrario, para el caso que se ha implementado, formado por 4 imanes, la variación espacial del flujo tiene ahora una forma aproximadamente senoidal en el área de interés, no cosenoidal: dado que los imanes colocados uno al lado del otro tienen orientaciones opuestas, el flujo que atraviesa la bobina se hace cero en la posición central x=0.

Por lo demás, el desarrollo es el mismo sólo que ahora el período espacial es de 4 cm (hay dos imanes idénticos colocados uno al lado del otro). Si se presupone que la bobina tiene un movimiento vertical de amplitud igual a la dimensión vertical de los imanes, se tiene:

𝛷 = 𝐴 · 𝑠𝑖𝑛 ( 2𝜋 0.04· 0.02 · 𝑠𝑖𝑛 ( 2𝜋 𝑇 𝑡)) 𝑑𝛷 𝑑𝑡 = 𝐴 · 2𝜋 0.04· 0.02 · 2𝜋 𝑇 · 𝑐𝑜𝑠 ( 2𝜋 0.04· 0.02 · 𝑠𝑖𝑛 ( 2𝜋 𝑇 𝑡)) · 𝑐𝑜𝑠 ( 2𝜋 𝑇 𝑡)

Que si se representa normalizado, y en el mismo gráfico que la velocidad normalizada, resulta (Figura 61)

Figura 61: Variación del flujo y velocidad de la punta del cantiléver normalizadas para un transductor de cuatro imanes y amplitud de movimiento de la bobina superior a la dimensión vertical de los imanes

Sin embargo, si se restringe la amplitud de movimiento de la bobina por ejemplo a ½ de la dimensión vertical de los imanes, la expresión de la variación del flujo es:

𝑑𝛷 𝑑𝑡 = 𝐴 · 2𝜋 0.04· 0.01 · 2𝜋 𝑇 · 𝑐𝑜𝑠 ( 2𝜋 0.04· 0.01 · 𝑠𝑖𝑛 ( 2𝜋 𝑇 𝑡)) · 𝑐𝑜𝑠 ( 2𝜋 𝑇 𝑡) Y su forma normalizada resulta:

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Figura 62: Variación del flujo y velocidad de la punta del cantiléver normalizadas para un transductor de cuatro imanes y amplitud de movimiento de la bobina aproximadamente igual a la mitad de la dimensión vertical de los imanes

En el caso más extremo en que la amplitud de la bobina sea muy reducida (por ejemplo de un 20% de la longitud vertical de los imanes), la forma esperada para la variación del flujo será (Figura 63)

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Figura 63: Variación del flujo y velocidad de la punta del cantiléver normalizadas para un transductor de cuatro imanes y amplitud de movimiento de la bobina aproximadamente igual a un 20% de la dimensión vertical de los imanes

Es decir, se tiene una señal muy similar a una sinusoide, aunque con un carácter algo más triangular.

La importancia de la relación entre la magnitud velocidad y la variación del flujo se pone de manifiesto más adelante cuando se habla de las implementaciones de algoritmos de sintonización. Es importante recalcar que la forma de la señal de salida de la bobina será una versión escalada de la forma de variación del flujo. Asimismo, conviene recordar que la asunción de que la variación espacial del flujo que atraviesa la bobina sigue una sinusoide es una aproximación, no obstante aunque la forma real de la señal de salida sea ligeramente distinta, las conclusiones relativas a la frecuencia de la misma son válidas. Analizar exactamente la distribución espacial del flujo magnético en el espacio atravesado por la bobina es significativamente complejo y requiere análisis numéricos que escapan del alcance del presente trabajo.