Tratamiento Bayesiano : Generalidades

En el contexto de la estad´ıstica Bayesiana, las evidencias u observaciones se utilizan para actualizar o inferir la probabilidad de que una dada hip´otesis sea cierta, y es por ello que suele interpretarse a la probabilidad Bayesiana como subjetiva, o como una medida de credibilidad sobre la veracidad de cierta hip´otesis.

P(H) = medida de la credibilidad que la hip´otesis H es verdadera

El empleo de probabilidades subjetivas est´a directamente relacionado con el teo- rema de Bayes y es la base de la estad´ıstica Bayesiana. El enunciado de que cierta medida dar´a un cierto resultado una fracci´on dada de veces puede ser visto como una hip´otesis, y entonces el concepto de probabilidad subjetiva abarca tambi´en la interpretaci´on de la probabilidad como una frecuencia relativa (tratamiento frecuen- tista).

Si se considera que la hip´otesis H representa una cierta teor´ıa, seg´un el teorema de Bayes se tiene:

P(teor´ıa_|datos) = P(datos|teor´ıa)·P(teor´ıa)

P(datos) (2.8)

Aqu´ı, P(teor´ıa) representa la probabilidad a priori que la teor´ıa sea verdadera, mientras que P(datos_|teor´ıa), o el likelihood(_L), es la probabilidad de observar los datos finalmente encontrados bajo la hip´otesis de esta teor´ıa. La probabilidad a

priori para los datos est´a dada por P(datos) e implica una suma sobre todas las

hip´otesis posibles. La probabilidad a posteriori de que la teor´ıa sea correcta luego de ver el resultado del experimento est´a dada porP(teor´ıa_|datos).

Una teor´ıa o modelo f´ısico estar´a en general descripta por un conjunto de par´a- metros~λ. Sin embargo, las predicciones de un modelo no pueden ser directamente comparadas con los datos a menos que los efectos experimentales se introduzcan en el tratamiento. El modelado de las condiciones experimentales suele introducirse mediante la adici´on de par´ametros extras ~θ, llamados par´ametros nuisance. Estos par´ametros carecen de inter´es f´ısico y son completamente independientes (no corre- lacionados) respecto de los par´ametros f´ısicos del modelo. Volviendo a la notaci´on

de arriba, se puede escribir:

~λ ~θ

P(teor´ıa) _−→ P(~λ, H) _−→ P(~λ, ~θ, H) = P(~λ, H)_·P(~θ) par´ametros par´ametros

f´ısicos nuisance

donde en el ´ultimo paso se observa la factorizaci´on de la probabilidad respecto de los par´ametros f´ısicos del modelo y los par´ametros nuisance dado que unos y otros no est´an correlacionados entre s´ı.

Si se representa el conjunto observado de datos comoD~, y se reemplazaP(datos_| teor´ıa) por la funci´on likelihood, la Ecuaci´on 2.8 puede ser escrita como:

P(~λ, ~θ, H _|D~) = L(D~ |~λ, ~θ, H)·P(~λ, H)·P(~θ)

P(D~) (2.9)

En el caso en el que se desea estimar el valor o intervalo de cierto par´ametro, el modelo f´ısico H se mantiene fijo y la Ecuaci´on 2.9 se reescribe como:

P(~λ, ~θ_|D, H~ ) = _R L(D~ |~λ, ~θ, H)·P(~λ|H)·P(~θ)

L(D_|~λ, ~θ, H)_·P(~λ_|H)_·P(~θ)d~λ d~θ (2.10)

donde se ha introducido en el denominador el correcto factor de normalizaci´on que viene de integrar el likelihood sobre todos los valores posibles de ~λ y ~θ. N´otese que la funci´on densidad de probabilidad (pdf) a posteriori contiene toda la informaci´on que se desea obtener, y el problema se reduce a definir las cantidades de inter´es. Por otro lado, las pdf a priori para cada uno de los par´ametros deben ser definidas por el analista y deber´an incluir cualquier preconcepto respecto del posible valor de los par´ametros. Distribuciones uniformes son, por razones computacionales, de preferencia en el caso que no se desee incluir informaci´on relevante previa sobre el modelo. La elecci´on de la pdfa priori para un problema dado es un tema complejo en s´ı mismo y de continua discusi´on en la comunidad. Para una mayor comprensi´on del tema se recomienda la lectura de [43].

Usualmente no toda la funci´on densidad de probabilidada posteriori P(~λ, ~θ, H _|

D) es de inter´es sino s´olo la probabilidad para uno o algunos par´ametros. Estas distribuciones se obtienen v´ıa la marginalizaci´on, i.e. si el par´ametro de inter´es es

λk se tiene:

P(λk|D, H) = Z

2.2.1.1 Bayesian Analysis Toolkit

El paquete de an´alisis Bayesian Analysis Toolkit (BAT) fue utilizado para la obtenci´on de los resultados. BAT es unsoftware basado en C++, y est´a integrado a ROOT. Las pdf a posteriori son calculadas utilizandoMarkov Chain Monte Carlo. Para m´as detalles, ver [44].

3

El Detector ATLAS en el LHC

El dispositivo experimental utilizado para la realizaci´on de esta Tesis constituye uno de los proyectos m´as ambiciosos en la historia de la ciencia. A partir de las colisones entre protones provistas por el Gran Colisionador de Hadrones a energ´ıas nunca antes alcanzadas en el laboratorio, y la detecci´on de las part´ıculas resultantes de la interacci´on por parte del detector ATLAS, es que se realiz´o el trabajo de Tesis aqu´ı presentado.

La primer parte de este cap´ıtulo, Secci´on 3.1, comienza con una descripci´on breve del acelerador e incluye un resumen de su funcionamiento durante el a˜no 2011. Luego, en la Secci´on 3.2, se describe el detector ATLAS junto con todos los subcomponentes m´as relevantes para la detecci´on e identificaci´on de part´ıculas, con especial hincapi´e en los fotones. Se describe tambi´en el sistema de Trigger, crucial para la selecci´on eficiente de los datos de inter´es. La parte final de esta secci´on presenta un resumen del funcionamiento de ATLAS en la toma de datos durante el a˜no 2011, donde se colectaron datos correspondientes a una luminosidad de 5.2 fb−1_{, con una eficiencia mayor al 93 %.}

3.1

El Gran Colisionador de Hadrones

El Gran Colisionador de Hadrones (LHC, Large Hadron Collider) [1] es un ace- lerador de part´ıculas ubicado a 100 m de profundidad sobre el laboratorio CERN

(Centre Europ´eenne pour la Recherche Nucl´eaire) en las cercan´ıas de la ciudad de

Ginebra (Suiza). Se encuentra instalado dentro del t´unel construido previamente para el acelerador electr´on-positr´on (LEP), y sobre sus 26.7 kil´ometros de extensi´on se ubican 4 detectores principales: dos detectores multiprop´osito, ATLAS [2] y

CMS [45], y dos detectores m´as espec´ıficos, ALICE [46] y LHCb [47]. La disposici´on de los detectores dentro del acelerador se muestra en la Figura 3.1.

Figura 3.1 Esquema de la ubicaci´on del LHC y sus experimentos.

Los par´ametros principales que definen el potencial f´ısico de un acelerador son la energ´ıa del centro de masa (√s) y la luminosidad instant´anea. El primero mide la cantidad total de energ´ıa del sistema prot´on-prot´on en el punto de interacci´on desde el sistema de laboratorio. El segundo afecta el n´umero de interacciones por unidad de tiempo, y para el caso de colisiones prot´on-prot´on se define como:

L₌ frevnbN1N2

A (3.1)

donde frev es la frecuencia de revoluci´on del haz, nb es el n´umero de paquetes de

protones (bunches) en el haz, y Ni es el n´umero de protones en cada paquete. El

par´ametro A mide el ´area transversa del haz en el punto de la colisi´on, y depende del esparcimiento longitudinal y lateral del paquete de protones. Se define como:

A = 4πǫnβ

∗ γrF

(3.2) con ǫn la emitancia transversa normalizada, β∗ la funci´on beta en el punto de in-

teracci´on, γr el factor gamma de Lorentz y F un factor que tiene en cuenta que los

haces no chocan de frente sino con un cierto ´angulo.

EL LHC est´a dise˜nado para funcionar como colisionador prot´on-prot´on con una energ´ıa del centro de masa de 14 TeV y una luminosidad de hasta 1034_cm−2_s−1_{. El}

mismo puede tambi´en operar como colisionador de iones pesados (plomo) a energ´ıas de 5.5 TeV por par de nucleones, con una luminosidad pico de hasta 1027_cm−2_s−1_.