C.1 Introducción
En la teoría de mezclas serie/paralelo (SP) los materiales simples que representan la fibra se orientan según los ángulos de Euler , , en una secuencia de rotación 3-1-3, la Figura C-1 muestra la secuencia de los giros sucesivos, donde un sistema local estará definido por los ejes x’’’, y’’’, z’’’.
q
q
x
x´
x´´
y
y´
y´´
y´´´
z z´
z´´ z´´´
Así, cada material compuesto puede estar definido por varias capas, donde cada capa se conforma por matriz y fibra, generalmente la matriz es isótropa, y la fibra tiene una dirección de comportamiento definido por su eje longitudinal el cual se orienta por los ángulos de Euler asignados al material simple.
En estructuras reticuladas en las cuales el refuerzo es ortogonal y co-lineal a los ejes globales, la orientación de la fibra no cambia con la posición del elemento finito, ya que el sistema de coordenadas de cada elemento es paralelo al sistema de coordenadas globales. Para el caso de estructuras con geometría cilíndrica, troncocónica, o en forma de hiperboloide el refuerzo cambia su orientación global dependiendo de la posición del elemento finito que se esté analizando, en este caso el sistema de coordenadas de cada elemento no es paralelo al sistema global.
El análisis de estructuras o elementos estructurales con geometrías no regulares hechas en material compuesto requiere del desarrollo de un algoritmo que permita determinar la orientación global del refuerzo (fibra) de cada elemento finito, lo cual se logra al definir la orientación del sistema de coordenadas local de cada elemento finito. Este algoritmo tiene como fundamento la teoría de cambio de base en función de los ángulos de Euler. Una columna circular es un ejemplo de elemento estructural con estas características particulares; en las columnas circulares los cercos de confinamiento cambian su orientación global en cada elemento finito, sin embargo en una sección transversal establecida, la orientación de la fibra respecto al sistema local del elemento es idéntica para todos los elementos contenidos en ella. Esto permite concluir que para todos los elementos finitos mallados con el mismo material compuesto las propiedades mecánicas representadas en su sistema local de referencia tendrán la misma expresión.
Sin embargo, para la solución de un problema de elementos finitos es necesario conocer las propiedades mecánicas de cada elemento en el sistema global de referencia. Es evidente que se necesita establecer orientar del sistema local de cada elemento respecto al sistema global. Por otro lado la geometría de los problemas de ingeniería que se analizan por el método de los elementos finitos es cada vez más compleja, esto hace necesario que se utilicen sistemas de coordenadas auxiliares con centro en coordenadas diferentes al origen del sistema global.
C.2 Cálculo de la orientación del sistema de referencia local de
cada elemento finito
Se presenta un algoritmo que permite definir el sistema local de coordenadas de cada elemento finito según su ubicación global en la estructura. Inicialmente es necesario definir un sistema auxiliar para la estructura o la parte de ella que requiera de la orientación global de las fibras, el cual estará definido en el preproceso por la vinculación de una generatriz con el respectivo grupo de elementos. En la Figura C-2 se muestra el sistema auxiliar local, el sistema local del elemento y el sistema global de coordenadas para un elemento finito.
Teniendo en cuenta que los elementos geométricos objeto de esta aplicación tienen un eje generatriz, se propone adoptar esa generatriz como el eje z local (z’’’), lo cual conlleva dos ventajas: 1) el eje generatriz se puede definir inequívocamente por los dos primeros ángulos de Euler y ; 2) el cambio del sistema de coordenadas de cada elemento, será independiente del eje z’’’ , con lo cual solo es necesario calcular el tercer ángulo de Euler por la posición del centro geométrico de cada elemento en un plano normal al eje z’’’. xloc yloc xe ye xe ye ze xe ye ze xloc yloc zloc zglo yglo xglo
Figura C-2. Malla de una estructura troncocónica. Tres vistas del sistema global y sistema local de coordenadas para un elemento finito.
Así, todos los elementos asociados a una generatriz específica tienen iguales los ángulos y , y diferente el ángulo .
El algoritmo propuesto para calcular los ángulos de Euler de cada elemento finito se describe a continuación en sus diferentes etapas
C.2.1 Datos de entrada
Los datos de entrada son las coordenadas globales de dos puntos p1 y p2 que definen la generatriz; el punto inicial (p1) será el origen del nuevo sistema de coordenadas. Una vez definida la generatriz, en el preproceso se debe asignar las entidades de geometría (volúmenes, o superficies) o de malla (elementos) asociados a esta generatriz.
C.2.2 Definición de un sistema local de coordenadas (a nivel de estructura)
La generatriz será el eje z’’’ de un sistema local de coordenadas, para el cual es necesario determinar su orientación y se necesita:
Calcular el vector unitario ''' 3
e
a partir de las coordenadas globales de los dos puntos que definen la generatriz
''' 1 2 1 2 1 2 3 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 , , ; 1, 2, 3 p p p p p p p p i i e x x x x x x i x x (C- 1)donde
x
ip1 yx
ip2 son la i-écima coordenada de los puntos 1 y 2 respectivamente. es el vector direccional del eje que se muestra en la''' 3
e
locz
Figura C-2. Calcular el ángulo a partir del producto punto entre los vectores unitarios de los ejes z y z’’’.
''' 3 3
cos( ) e e (C- 2)
Los ejes z y z’’’ forman el ángulo en un plano que los contiene y que es normal al eje x’, esto se puede ver en la Figura C-1. También se puede ver que el eje x’ y el eje x forman el ángulo en el plano horizontal x-y.
Calcular el ángulo a partir del producto punto entre los vectores unitarios de los ejes x y x’
' 1 1
cos( ) e e (C- 3)
Conocido el punto 1 (p1), y los ángulos y se tiene definido un plano x’’’-y’’’ que es independiente del valor del ángulo , esto permite establecer por definición el valor del ángulo ; con lo cual queda totalmente definido el sistema local de 0 coordenadas donde estará referida la malla de elementos finitos a la cual será necesario calcular la orientación de las fibras.
Así el sistema local queda definido por los vectores unitarios e1''' e2''' e3''' donde
; ; y como ya se ha dicho queda definido según la ecuación C-1.
''' ' 1 1
e e e2''' e3''' e1'''
e
3'''C.3 Definición de un sistema local de coordenadas (a nivel de
elemento)
Los elementos finitos que estén asociados al sistema local de la estructura tendrán en común los dos primeros ángulos de Euler y , y se requiere calcular para cada elemento finito el tercer ángulo de Euler , a través del siguiente procedimiento:
Calcular la matriz de transformación de sistema de coordenadas T con los ángulos de Euler del sistema de coordenadas de la estructura , , 0
cos cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin cos
sin sin cos sin cos
T (C- 4)
Trasladar las coordenadas nodales del origen del sistema global xglo al origen del sistema auxiliar (local) *
glo
x ; teniendo en cuenta que la generación de geometría y malla en los modelos numéricos están referenciados al sistema global de coordenadas, y el proceso de cálculo de los ángulos de Euler requiere definir un sistema auxiliar (local) de coordenadas, es necesario hacer una traslación de las coordenadas del origen del sistema global hasta el origen del sistema auxiliar (p1). Para esto se requiere restarle a las coordenadas nodales las coordenadas del punto uno (p1).
Rotar las nuevas coordenadas nodales * glo
x (obtenidas en el paso anterior) al sistema auxiliar, mediante la matriz de transformación T de la ecuación C-4.
*
loc glo