Al término de la exposición de la demostración del teorema 1 del movimiento de proyectiles, Salviati recibe dos objeciones de sus compañeros relacionadas a asunciones que fueron utilizadas en la demostración. La primera es apuntada por Sagredo y cuestiona cómo es posible que ambos componentes sean de hecho independientes entre sí:
“[…] suponiendo que el movimiento transversal se mantenga siempre uniforme, que el movimiento descendiente se mantenga, igualmente, en la proporción que le corresponde, o sea, acelerándose siempre en proporción al cuadrado de los tiempos, y que tales movimientos y sus velocidades respectivas, al mezclarse, no se alteren y perturben mutuamente, de modo que la trayectoria que recorre el proyectil al continuar su movimiento acabe por degenerar en algo diferente; esto me parece, sin embargo, imposible” [273 – Discorsi]
Sagredo argumenta que dado que el eje de la parábola apunta hacia el centro de la Tierra, y dado que la curva al hacer la parabólica siempre se aleja de este eje, el proyectil jamás alcanzaría el centro de la Tierra.
En seguida Simplicio presenta dos objeciones. La primera cuestiona la conservación del movimiento uniforme. Según él, el movimiento uniforme no puede ser perpetuo porque un cuerpo que se mueve sobre una horizontal necesariamente debe acercarse o alejarse del centro de la Tierra. Su argumento puede ser representado esquemáticamente en el diagrama de la figura 7.
A B C
G
Figura 7: suponga el punto G como el centro de la Tierra, y los puntos A, B y C como
posiciones adquiridas por un cuerpo en movimiento horizontal.
A partir del diagrama de la figura 5, Simplicio sugiere que la horizontal es siempre una línea tangente a la superficie de la Tierra, y, de este modo, un cuerpo dotado de movimiento uniforme necesariamente se debe acercar o alejar del centro de la Tierra, de modo que el movimiento debe ser siempre acelerado. En ese caso, el movimiento de “A” a “B” debe ser acelerado, como si el cuerpo descendiera por un plano inclinado, mientras que el movimiento desde B hasta C debería ser como si el cuerpo se moviese hacia arriba en un plano inclinado. Este mismo argumento es presentado en De Motu como sigue:
“[…] un plano no puede ser paralelo a la horizontal, desde que la superficie de la tierra es esférica, y un plano no puede ser paralelo a tal superficie. Por lo tanto, desde que un plano toca la esfera solamente en un punto, si nosotros nos alejamos de éste punto, nosotros tendríamos que movernos hacia arriba”3
La idea implícita en la objeción puede ser derivada del propio análisis realizado para el movimiento acelerado en la tercera jornada de los Discorsi. Utilizando lenguaje moderno, Galileo describe solamente movimientos acelerados cuya aceleración es derivada de la acción del campo gravitacional terrestre. De este modo, la aceleración solamente puede actuar sobre el movimiento de un cuerpo si este posee una variación en la distancia de las paralelas a la horizontal. El diagrama de la figura 8 procura ilustrar este concepto.
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A g g A d1 B d1 B d2 d2 (a) (b)
Figura 8: representación de movimientos bajo acción de la aceleración gravitacional en
teoremas de la tercera jornada de los Discorsi. En ambos diagramas, a lo largo de su movimiento, el cuerpo “g” presenta diferentes distancias a la horizontal (puntos A y B), por lo
tanto el movimiento es acelerado.
En la segunda objeción, Simplicio alega que es imposible obtener un movimiento uniforme experimentalmente, no sólo debido al hecho de que la horizontal sea tangente a la superficie de la Tierra, sino que también es imposible evitar la resistencia del medio, “la cual ha de destruir la uniformidad del movimiento horizontal, así como la ley de aceleración de los cuerpos que caen” [274 – Discorsi].
Ambas objeciones convergen hacia dificultades experimentales de probar la conservación del movimiento uniforme, y, en efecto, ambas objeciones son respondidas por medio de aproximaciones de la teoría con la realidad.
Galileo empieza respondiendo la primera objeción de Simplicio recurriendo a aproximaciones utilizadas por Arquímedes:
“La autoridad de Arquímedes puede tranquilizar a cualquiera; éste en su Mecánica y en el primer libro de la Cuadratura de su parábola, toma como principio cierto que el brazo de una balanza o de una romana es una línea recta, siendo todos los puntos de la misma equidistantes del centro común de los cuerpos, y que las cuerdas de las que penden los pesos son paralelas entre sí.” [275 – Discorsi]
Galileo complementa que las distancias con que operamos son tan pequeñas en comparación con la distancia que nos separa del centro de la Tierra que “podemos tomar tranquilamente un minuto de un grado del círculo máximo como su fuese una línea recta, y dos perpendiculares que cuelgan de sus extremos como si fuesen paralelas”.
Evidentemente Galileo responde a la primera objeción de Simplicio por medio de una aproximación. Si hablamos rigurosamente, la trayectoria de cualquier movimiento sobre la superficie de la Tierra debe ser un arco de circunferencia, pero dado que dicha circunferencia posee un radio infinitamente superior a trayectorias observables, podemos considerar, con buena aproximación, que el movimiento sobre la superficie de la Tierra sucede en línea recta, y no en arco4. De este mismo modo, Galileo responde en parte la objeción de Sagredo, alegando que un tiro de un proyectil de artillería describe
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En referencia a esa misma suposición presentada por Galileo en De Motu, Drabkin comenta: “[…] pesos suspensos en los extremos de los brazos de una balanza en equilibrio son asumidos para colgar perpendicularmente al brazo [y de este modo las cuerdas que sostienen los pesos deben ser asumidas como líneas paralelas]. Benedetti, apenas pocos años antes, había criticado la misma asunción en Jordanus y Tartaglia. Ubaldi [Guidobaldo dal Monte] también había discutido el mismo asunto en su Mechanics (1577)” [nota de Drabkin en la traducción de De Motu, p67]. Drabkin complementa que este asunto fue duramente debatido en el siglo siguiente.
parábolas cuyas dimensiones son insignificantes si son comparadas a la dimensión de la distancia que nos separa del centro de la Tierra.
En la segunda objeción de Simplicio, acerca de la imposibilidad de evitar la resistencia del medio, Galileo comenta:
“Por lo que se refiere a perturbaciones procedentes de la resistencia del medio, es esta una dificultad más considerable y difícil, dada su multiplicidad de variedades, de someterlas a reglas fijas y a una descripción rigurosa.” [275 – Discorsi]
Galileo explica que la resistencia del medio perjudica la comprobación experimental de teoremas tanto del movimiento uniforme como acelerado, y cita ejemplos que demuestran la afinidad de Galileo con el uso de recursos experimentales, por ejemplo, él explica como es que el aire interfiere sobre el movimiento y qué se debe hacer para minimizar dicha resistencia: “Por lo que atañe la velocidad, a medida que ésta sea mayor, mayor también será la resistencia ofrecida por el aire” [275 – Discorsi]. Galileo orienta que la elección de los tipos de materiales, así como la forma geométrica de los cuerpos pueden ayudar a minimizar los efectos del medio sobre el movimiento,: “La ventaja de esta manera de proceder no será pequeña, puesto que el material y la forma que se elijan habrán de ser los menos sujetos a los inconvenientes del medio, como ocurre con los cuerpos muy pesados y redondos” [276 – Discorsi].
Existe un antecedente de la respuesta de Galileo a la objeción de Simplicio en De Motu (1590). Al finalizar la demostración de un teorema que determina la razón entre diferentes intensidades del movimiento adquiridos por cuerpos en planos de distintas inclinaciones, Galileo integra el siguiente comentario:
“Pero esta prueba debe ser entendida en la asunción de que no existen resistencias accidentales (ocasionadas por la aspereza del cuerpo moviente o del plano inclinado, o por la forma del cuerpo). Nosotros debemos asumir que el plano es, así para decir, incorpóreo, o, por lo menos, cuidadosamente alisado y perfectamente duro, […] Y el cuerpo moviente debe ser perfectamente liso, de una forma que no resista al movimiento, es decir, una forma perfectamente esférica, y de un material duro o fluido como el agua”. [298-9 – De Motu]
Galileo concluye que si el sistema físico está dispuesto según esas recomendaciones (según ese camino), entonces cualquier cuerpo en un plano paralelo a la horizontal podrá ser movido por una fuerza muy pequeña, “por una fuerza menor que cualquier fuerza dada” [299 – De Motu], es decir, siguiendo determinadas precauciones, el movimiento uniforme podría ser verificado experimentalmente.