Las im ´agenes astron ´omicas son registros digitales obtenidas mediante un detector CCD que se coloca en el plano focal de un dado sistema ´optico. El sistema en cuesti ´on posee particularidades caracterizables matem ´aticamente de forma general, y es posible as´ı comparar im ´agenes entre instrumentos diferentes.
Para este desarrollo de la formaci ´on de im ´agenes por un instrumento astron ´omico segui- remos lo descripto en el mencionado trabajo especial de licenciatura del autor (S ´anchez et al. 2014.).
El instrumental astron ´omico que ser ´a analizado durante esta tesis esta principalmente referido a los telescopios. Desde que Galileo apunt ´o al cielo con un telescopio mucho ha cambiado, y podemos decir que en los detalles la observaci ´on astron ´omica es muy distinta a lo que ´el efectu ´o. Sin embargo en esencia, el telescopio se mantiene pr ´acticamente id´entico, las observaciones sin embargo las hacemos con telescopios reflectores, pero esencialmente es el mismo principio el que se aplica. Los par ´ametros instrumentales m ´as relevantes son:
Di ´ametro del objetivo, D tambi´en denominado apertura, coincide con el di ´ametro del espejo principal.
Longitud focal f, es distancia desde el espejo primario hasta el plano focal del instru- mento, donde se forma la imagen.
N ´umero f / o focal ratio, es el cociente entre la longitud focal y el di ´ametro D. Esto caracteriza la magnificaci ´on y el campo visual del instrumento. Adem ´as el valor def /es directamente proporcional a la capacidad del instrumento de ver objetos d´ebiles.
Poder resolvente o resoluci ´onθ, es el valor que determina la m´ınima distancia angular que el instrumento es capaz de diferenciar. Se la aproxima porθ'1,2λ/D
El factor de transmisi ´onT(λ), cuantifica la p´erdida de energ´ıa en funci ´on de la longitud de onda, desde que ingresa al instrumento a trav´es del objetivo, hasta el plano focal.
2.2.1. La formaci ´on de im ´agenes
Un sistema ´optico como un telescopio forma im ´agenes del cielo en su plano focal. La radia- ci ´on incidente puede ser modelizada como un frente de onda plano, que atraviesa un sistema ´optico en conjunto, que representa el instrumento. La relaci ´on entre esta onda plana inci- dente y la distribuci ´on de energ´ıa receptada en el plano focal puede modelizarse como una funci ´on de transferencia, la cual opera sobre esta onda plana mediante una convoluci ´on.
Para poder analizar este t ´opico es necesario introducir herramientas matem ´aticas propias del an ´alisis de se ˜nales, las cuales probar ´an su utilidad a lo largo de toda la tesis.
2.2. Una breve introducci ´on al an ´alisis de im ´agenes
Las matem´aticas de Fourier
Las herramientas del an ´alisis de se ˜nales desarrolladas por Fourier y perfeccionadas a lo largo del tiempo son extremadamente ´utiles, por su conveniencia matem ´atica, y adem ´as significado f´ısico. Las m ´as importantes definiciones que deberemos dar ser ´an las de las trans- formadas de Fourier, junto con su inversa, y adem ´as, el teorema de convoluci ´on, un elemento esencial en la teor´ıa de la ´optica astron ´omica.
La convoluci ´on es una operaci ´on matem ´atica entre dos funciones, definida como la Eq. 2.1. (f∗g)(z) =
Z
f(x)g(z−x)dx (2.1)
Esta operaci ´on consta de la integral del producto de las funciones complejas de m ´odulo cua- drado integrable f y g, y de un necesario cambio de variables. La nueva funci ´on resultante, denominadaf∗ges dependiente del valor dez, una variable denominadadelay,lagodesfasa- je. Esta variable controla el corrimiento relativo entre las funcionesg yf, el cual se mantiene constante a lo largo de toda la integral, que se realiza sobre la variablex.
La transformada de Fourier de f (el operador F[f], o tambi´en fb) en n dimensiones est ´a definida como: b f(~k) =F[f](~k) = 1 √ 2π n Z∞ −∞ f(~x)e−i2π~k·~xd~x (2.2)
donde la variable original de f es el vector ~x ∈ Rn, y el vector ~k es el denominado vector
de onda. La transformada de Fourier de la funci ´on f poseer ´a como argumento este nuevo vector, el cual representa valores de frecuencia, ya sea espaciales o temporales (sus unidades corresponden al inverso de las unidades de~x).
La transformada inversa de Fourier se definir ´a entonces como:
f(~x) =F−1[fb](~x) = 1 √ 2π n Z∞ −∞ ˆ f(~k)e+i2π~k·~xd~k (2.3)
donde ahora la variable de integraci ´on es el vector de onda.
El teorema de la convoluci ´on establece que la transformada de Fourier de la convoluci ´on degyf es el producto de las transformadas individualesfbybg:
F(f∗g) =F(f)× F(g) (2.4)
(tambi´en usualmente con la notaci ´onf[∗g=fb×bg).
Este teorema es de especial utilidad, ya que al realizar una transformada de Fourier de una imagen, entonces las convoluciones se traducen en simples multiplicaciones de funcio- nes, lo cual adem ´as simplifica los c ´alculos, tanto te ´oricos y computacionalmente. El m ´odulo cuadrado de la transformada de Fourier de una funci ´onf es:
|fb|2=fbfb (2.5)
Una consideraci ´on importante, es que el rec´ıproco en espacio frecuencia de la variable de desfasaje de la convoluci ´on de funciones es el vector de onda del desfasaje.
En el caso del an ´alisis de im ´agenes digitales podemos aplicar lo anterior a una imagen
I tal como si fuese una funci ´on del espacio. Para esto debemos saber que cualquier imagen digitalizada es diferente a una funci ´on complejaf. La funci ´on posee su dominio en los reales, mientras que la imagen posee s ´olo los valores en ubicaciones de una grilla dos dimensional regular (o sea, solo sabemos el valor de intensidad en una grilla de p´ıxeles discretos). La imagen por dise ˜no poseer ´a soporte compacto, y los valores de los p´ıxeles son acotados, por lo que es de m ´odulo cuadrado integrable haciendo v ´alidas las herramientas introducidas.
En t´erminos pr ´acticos, se utiliza la transformada discreta de Fourier, para trabajar con im ´agenes digitales. Esto es simplemente tomar la integral como una suma de elementos fini- tos, y en una grilla regular discreta.
Un filtrado lineal consiste en correlacionar una se ˜nal (en este caso una imagen) con alg ´un perfilhde nuestro inter´es:
(g ? h)(z) =
+∞
Z
−∞
g(z+x)h(x)dx, (2.6)
la correlaci ´on no es id´entica a una convoluci ´on, ya que el signo del desfasaje es positivo. Esto se interpreta como una convoluci ´on con un perfil invertido h(−x), y posee propiedades similares a los enunciados en el teorema de la convoluci ´on.
F(g ? h) =F(g)× F(h) (2.7)
En la Eq. 2.7 vemos el an ´alogo del teorema de la convoluci ´on, para la operaci ´on de correlaci ´on, la cual posee la misma forma pero utilizando el complejo conjugado de F(h). En el caso de (f ? f)se denomina autocorrelaci ´on, y su transformada de Fourier corresponde a|fb|2=|fb||fb|, denominadoespectro de potencias def (o bienPower spectrum).
Los filtrados lineales constituyen una herramienta b ´asica del an ´alisis de se ˜nales, debido a que utilizan la convoluci ´on para suprimir o destacar ciertas propiedades de la imagen a tratar. Existen filtros para distintos prop ´ositos, sin embargo los m ´as utilizados en el procesado de im ´agenes astron ´omicas constituyen los filtros tipo matched filter. Esto es, utilizar un perfil
plantilla (o template) el cual es conocido, para detectar en la se ˜nal de inter´es la presencia de ´este perfil. En otras palabras, un filtrado matched filter sirve para encontrar perfiles ya conocidos en cualquier se ˜nal. Esto en astronom´ıa es de inter´es, ya que para detectar fuentes luminosas en las im ´agenes digitales es posible realizar un filtrado con la funci ´on dispersi ´on de punto (o bienPSF por sus siglas en ingl´es) de la imagen. Los m ´aximos locales de esta imagen filtrada indicar´ıan las posiciones de ´estas fuentes astron ´omicas.
La funci ´on de dispersi ´on de punto (oPSF)
Un instrumento ´optico sobre el que incide una onda plana puede pensarse como un obst ´aculo que obstruye la radiaci ´on excepto en una zona determinada. Si el obst ´aculo fuese
2.2. Una breve introducci ´on al an ´alisis de im ´agenes
inexistente, es decir por ejemplo un telescopio de di ´ametro infinito, el frente de onda plana no se modifica, y observar´ıamos un punto luminoso matem ´atico en el centro del plano focal. En cambio, al poseer un instrumento no ideal, tendremos unafunci ´on de dispersi ´on de puntoex- tensa. Este es el nombre que recibe la imagen en el plano focal de un frente de onda plana que atraviesa el sistema, y es com ´unmente nombradaPSF del ingl´es, porPoint Spread Function.
Este perfil denominado PSF es quien caracteriza las propiedades ´opticas de un sistema, y puede medirse directamente al observar un campo de estrellas. Las estrellas son lo m ´as aproximado que poseemos a un frente de onda plano, y la imagen de las mismas en el plano focal nos muestra como se distribuye espacialmente la energ´ıa luminosa receptada. Conocer la distribuci ´on espacial de la luz en el plano focal es de gran valor para poder determinar con precisi ´on la forma y el brillo real de los objetos. La determinaci ´on de la PSF en el plano focal es una tem ´atica en la que se dedica mucho esfuerzo, ya que cada instrumento posee caracter´ısticas ´unicas, que modifican su PSF, y realizar una medici ´on efectiva de la misma equivale a caracterizar completamente el comportamiento de la radiaci ´on colectada en el plano focal.
Los telescopios en Tierra, en condiciones normales de observaci ´on, deben enfrentarse con varios factores que contribuyen a la forma de la PSF. El m ´as relevante de todos corresponde a la turbulencia atmosf´erica, la cual posee efectos de magnitud mayor (salvo casos realmente excepcionales) que el resto de los factores que intervienen, y su efecto neto es ensanchar el perfil de PSF. Este perfil dominado por turbulencia atmosf´erica es bien modelable por un perfil Gaussiano (Eq. 2.8)
G(x, y, σx, σy) = 1 2πσxσy exp − (x −x0)2 2σ2 x +(y−y0) 2 2σ2 y (2.8) donde(x0, y0)es la ubicaci ´on del m ´aximo del perfil, y(σx, σy)las dispersiones en las direccio-
nes dexey. Este perfil tiene la posibilidad de ser asim´etrico ya que a prioriσx6=σy, aunque
en la mayor´ıa de los casos es posible asumir que son iguales, obteniendo un perfil de isofotas circulares.
Usualmente para caracterizar la PSF de un telescopio se utiliza el t´ermino de seeing, el cual se refiere al ancho de este perfil Gaussiano, dominado por turbulencia atmosf´erica. El ancho del perfil se mide en segundos de arco, y se denomina seeing a secas, o Full Width at Half Maximum tambi´en notado como FWHM, y corresponde a FWHM ' 2,35σ, con σ el valor de dispersi ´on del perfil Gaussiano. ElFWHM es una de las caracter´ısticas medibles m ´as ´utiles para comparar la calidad de im ´agenes astron ´omicas, y tambi´en sitios astron ´omicos (se utiliza el seeing medio a lo largo del a ˜no, medido en diferentes momentos de la noche (Renzi et al. 2009)).
Otros efectos instrumentales pueden tener importancia en la PSF, y esto aparta su for- ma de la mencionada Gaussiana en dos dimensiones. En ese caso la funci ´on PSF puede tener diferentes modelos, como ser expansiones en polinomios deChebyshev(introducidos en Tchebychev (1853)), u otra forma funcional.