Aquí, usarás la notación de funciones para graficar funciones.
¿Alguna vez has pensado en cómo representar una función con una gráfica? Piensa en este problema sobre plantas de plátanos.
Supongamos que compras un árbol de plátanos de 8 pulgadas de altura. Crece 4 pulgadas por día. Su altura (en pulgadas) h es una función del tiempo (en días) d .
Podemos escribir esa ecuación lineal como h = 4d + 8 . ¿Puedes graficar esta función?
Aprenderás a usar la notación de funciones para graficar funciones como esta.
Piensa sobre esto; notarás que es completamente lógico. La función de y depende del resto de la ecuación. Entonces podemos usar la notación de funciones para representar esta situación.
f(x) = 4x + 1
Aquí ya sabemos que la función de x es dependiente 4 veces en dicho valor, x más uno
Una vez que comprendes la conexión entre las variables independientes y las variables dependientes, podemos continuar con la gráfica de estas ecuaciones lineales.
Como con cualquier otra ecuación lineal, las funciones pueden ser graficadas usando una tabla o usando la forma pendiente-intercepto. Es importante poner la variable independiente en el eje x y la variable dependiente en el eje y o los resultados pueden ser malinterpretados. Veamos cómo hacerlo.
Un grupo de estudiantes mide el largo de los brazos y las piernas de sus compañeros de clase. Recopilaron los siguientes datos.
T
ABLE1.35:
Brazo (pulgadas) Piernas (pulgadas)
25 30
27 33.2
26 31.6
Usa la tabla para determinar los pares ordenados. Luego puedes encontrar la pendiente. Encuentra la pendiente usando la fórmula de la pendiente para x1= 25, y1= 30, x2= 27, y2= 33.2 .
m#38; =y2− y1 x2− x1 m#38; =33.2 − 30 27 − 25 m#38; =3.2 2 m#38; = 1.6 m#38; =8 5 Ahora incluye los valores conocidos de m, x1, y y1.
m#38; =y− y1 x− x1 8 5#38; = y− 30 x− 25 5(y − 30)#38; = 8(x − 25) 5y − 150#38; = 8x − 200 5#38; = 8x − 50 y#38; =8 5x− 10 Ahora podemos graficar los datos.
f(x) = 3x + 2
Solución: Pendiente = 3, intercepto de y = 2
Ejemplo B
f(x) = −2x − 9
Solución: Pendiente = -2, intercepto de y = -9
Ejemplo C
f(x) = −x + 3
Solución: Pendiente = -1, intercepto de y = 3
Ahora volvamos al problema del comienzo de esta sección.
Aquí tenemos una ecuación que vamos a graficar. Esta ecuación describe el problema de la planta de plátanos. h= 4d + 8
Usemos la forma pendiente-intercepto para mostrar su gráfica. m= 4, b = 8
Nota que solo necesitamos el primer cuadrante del plano coordenado porque los valores negativos no nos sirven.
Vocabulario
Variable independiente
Valor que no depende de otro. Es el valor de x en una tabla.
Variable dependiente
Valor que depende de la ecuación. Es el valor de y en una tabla.
Notación de funciones
Ecuación donde el valor de x depende de la ecuación que usa x .
Práctica guiada
Aquí tienes un ejemplo para practicar.
Compras un naranjo de 12 pulgadas de altura. Crece 3 pulgadas por día. Su altura (en pulgadas) h es una función del tiempo (en días) d .
h= 3d + 12
Usemos la forma pendiente-intercepto para mostrar su gráfica. Sabemos que la pendiente es 3 y que el intercepto de yes 12. Esto nos da información suficiente para graficar esta recta.
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Linear Función Graphs
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Práctica
Instrucciones: Grafica cada función.
1. f (x) = 3x + 1 2. f (x) = 2x + 2 3. f (x) = 5x − 1 4. f (x) = x − 3 5. f (x) = −2x + 1 6. f (x) = −2x − 5 7. f (x) = −4x + 9 8. f (x) = 4x + 8
9. f (x) = x − 10 10. f (x) = 2x + 6
Instrucciones: Usa lo que has aprendido para resolver cada problema.
11. Una mariposa monarca en migración viaja 1100 millas. Si viaja 30 millas por día, la distancia d que falta por recorrer es una función de los días t que ha viajado. Escribe una regla de función para este problema.
12. ¿Cuál es la pendiente del problema?
13. Un escritor gana un monto $3000 por un libro más $1.50 por cada copia que se venda de dicho libro. Crea una regla de función para este problema.
14. ¿Cuál es la pendiente del problema?
2x + 3 = 11
Aquí hay una ecuación lineal. Cuando tienes una ecuación lineal simplemente puedes resolver x . También puedes tener una ecuación con dos variables presentes.
2x + y = 10
Esta es una ecuación lineal en forma estándar.
¿Qué hay de los sistemas lineales de ecuaciones? ¿Sabes cómo identificar uno? ¿Sabes cómo resolverlo?
Esta sección te mostrará cómo trabajar con sistemas lineales. Sabrás cómo responder estas preguntas para el final esta sección.
Orientación
Las funciones lineales son útiles por sí mismas e incluso hay otras aplicaciones para ellas. En un sistema de ecuaciones lineales verás cómo las ecuaciones lineales pueden trabajar juntas en un sistema para resolver problemas aún más complejos. De hecho, hay varias formas de encontrar soluciones a estos problemas o encontrar que no hay solución alguna.
Si sumas dos números obtienes 13. ¿Puedes pensar en algún par ordenado que calce con esta descripción? (1, 12), (3, 10), (-4, 17), (4.5, 8.5)
Estarás de acuerdo con que hay una cantidad infinita de pares de números cuya suma es 13. Puedes decir también que hay infinitos pares de números cuya resta es 7.
(9, 2), (11, 4), (37, 30), (95.8, 88.8), (-3, -10)
Sin embargo, ¿Cuál par ordenado es correcto para ambos casos al mismo tiempo? ¿Qué par suma 13 y como resta da 7?
Si haces una lista de pares ordenados, puedes revisarlos para ver cuál hace que las ecuaciones sean verdaderas. Este es un sistema de ecuaciones —dos o más ecuaciones al mismo tiempo.
En la situación anterior la solución es (10, 3) ya que la suma de los dos números es 13 y la resta es 7. El par (10, 3) hace que las dos ecuaciones sean verdaderas.
Una solución para un sistema de ecuación es un par ordenado que haga que las dos ecuaciones sean verdaderas. ¿Siempre hay una solución? ¿Puede haber más de una solución? Investiguémoslo.
Dos números suman 17. Si sumas dos números, el resultado es 15. Como sabes, hay infinidad de pares ordenados cuya suma es 17. También hay infinidad de pares ordenados cuya suma es 15. Pero, ¿Puede un solo par ordenado tener una suma de 17 y 15 al mismo tiempo?
Primero, escribamos las dos ecuaciones para ayudarnos a organizar la información de este sistema de ecua- ciones. Hay dos ecuaciones y ambas tienen una suma distinta.
x+ y#38; = 17 x+ y#38; = 15
Si pensamos en estas dos ecuaciones veremos que no hay valores que sirvan para ambas. Por lo tanto, este sistema no tiene soluciones.
Aquí hay otro ejemplo.
Dos números dan la suma de -8. Dos veces el primer número más dos veces el segundo número da 16.
Primero escribamos las dos ecuaciones descritas anteriormente. Luego podemos investigar las posibles solu- ciones.
x+ y#38; = −8 2x + 2y#38; = −16
¿Este sistema tiene solución? Piensa una solución para la primera ecuación. ¿Qué tal los pares (-3, -5)? ¿Funciona para la segunda ecuación? Sí. Piensa en otra solución como (9, -1). También es correcta para ambas ecuaciones.
Esta ecuación tiene un número infinito de soluciones.
Algunos sistemas de ecuaciones tienen soluciones infinitas porque todos los pares ordenados que hacen que una ecuación sea verdadera también harán que la otra sea verdadera.
Responde cada pregunta con verdadero o falso.
Ejemplo A
Un sistema lineal son dos ecuaciones donde el valor de x es la solución del sistema. Solución: Falso.
Ejemplo B
La solución para un sistema lineal se escribe como un par ordenado. Solución: Verdadero
Ejemplo C
Algunos sistemas lineales no tienen solución Solución: Verdadero
Ahora volvamos al problema del comienzo de esta sección.
Identificar un sistema lineal significa que verás dos ecuaciones donde hay valores desconocidos tanto para x como para y .
Resolver un sistema lineal requiere que encuentres dos valores que sirvan como valores para x e y en ambas ecuaciones.
Práctica guiada
Aquí tienes un ejemplo para practicar.
¿Qué par ordenado hace que ambas ecuaciones sean verdaderas? 1. x+ y#38; = 8 4x − y#38; = −3 a. (2, 6) b. (3, 15) c. (4, 4) d. (1, 7)
Probemos cada par y veamos qué par funciona: a. x+ y#38; = 8 2 + 6#38; = 8? 8#38; = 8 4x − y#38; = −3 4 · 2 − 6#38; = −3? 8 − 6#38; = −3? 2#38; 6= −3 Solución
Los pares ordenados (2, 6) hacen que la primera ecuación sea verdadera, pero no lo hacen con la segunda. Debido a que no es verdadero para ambas ecuaciones, no es una solución para el sistema.
b.
x+ y#38; = 8 3 + 15#38; = 8?
18#38; 6= 8
c. x+ y#38; = 8 4 + 4#38; = 8? 8#38; = 8 4x − y#38; = −3 4 · 4 − 4#38; = −3? 16 − 4#38; = −3 12#38; 6= −3
El par ordenado (4, 4) hace que la primera ecuación sea verdadera, pero la segunda no. Debido a que no es verdadero para ambas ecuaciones, no es una solución para el sistema.
d. x+ y#38; = 8 1 + 7#38; = 8? 8#38; = 8 4x − y#38; = −3 4 · 1 − 7#38; = −3? 4 − 7#38; = −3? −3#38; = −3
El par ordenado (1, 7) hace que las dos ecuaciones sean verdaderas. Es una solución para el sistema.
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Práctica
Instrucciones: Averigua qué par es una solución para cada sistema dado.
1. ¿Qué par ordenado es una solución para el siguiente sistema?
x− 3y#38; = 9 3x + y#38; = 7
5x − 3y#38; = 13
(a) 3,23 (b) (2, −1) (c) (4, 7) (d) (5, 8)
Instrucciones: Determina si cada sistema tiene soluciones infinitas o no tiene soluciones.
3. . x+ y#38; = 10 y#38; = −x + 10 4. . 3x − 6y#38; = −24 x− 2y#38; = −8 5. . 3 4x#38; = 2 3y− 1 9x#38; = 8y − 12 6. . y#38; =1 2x+ 3 y#38; =1 2x− 2 #38; = 3x − 5 y#38; = 3x − 2
7. .
y#38; =1 2x+ 3 y#38; =1
2x− 2
Instrucciones: Responde cada pregunta con verdadero o falso.
8. Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
9. Un sistema lineal de ecuaciones no puede ser graficado en el plan coordenado. 10. Las rectas paralelas tienen soluciones infinitas.
11. Las rectas perpendiculares tienen una solución.
12. Las rectas con un número infinito de soluciones no son paralelas. 13. Algunos sistemas lineales no tienen solución
14. Para resolver un sistema lineal tienes que tener un valor para x e y. 15. Un par ordenado nunca es una solución para un sistema lineal.
Dos trenes dejan la estación en una misma dirección. Un tren sale dos horas antes que el otro. La velocidad promedio del primer tren es de 65 mph, mientras que la del segundo tren es de 90 mph. ¿Cuánto tardará el segundo tren en alcanzar el primero?
Los dos trenes pueden representar un sistema lineal. Puedes resolver este sistema lineal mediante gráficas. Aprenderás como resolverlo en esta sección.
Orientación
Cuando tenemos un sistema de ecuaciones podemos graficar las ecuaciones y resolver el sistema con las gráficas. Cuando graficas dos ecuaciones lineales se forman dos líneas. Estas dos líneas se intersectarán. El punto en donde las líneas se intersectan es la solución del sistema.
Mira.
Resuelve el siguiente sistema con gráficas.
y#38; = 2x − 4 y#38; = −2x + 8
Para trabajar en este sistema graficaremos ambas rectas y veremos buscaremos el punto de intersección. El punto de intersección será la solución al sistema.
El punto de intersección es (3, 2).
Esta es la solución al sistema de ecuaciones.
Puede que algunas veces dos ecuaciones no se intersecten. Si pasa esto, entonces sabrás que el sistema no tiene soluciones. Las rectas paralelas son un posible sistema que no tienen solución. Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, por lo que puedes reconocer un sistema sin soluciones.
Responde cada pregunta con verdadero o falso.
Ejemplo A
Si dos rectas se intersectan en un punto, entonces las coordinadas de ese punto son la solución para el sistema lineal. Solución: Verdadero
Ejemplo B
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Solución: Verdadero
Ejemplo C
Las rectas perpendiculares también tienen la misma pendiente. Solución: Falso.
Ahora volvamos al problema del comienzo de la sección.
Primero, pensemos sobre las funciones de este problema. La distancia del segundo tren d es una función del tiempo t . Puede encontrarse con la ecuación d = 90t .
A partir de la gráfica puedes ver que los trenes se encontrarán poco después de 5 horas.
Vocabulario
Sistema de ecuaciones
Dos o más ecuaciones al mismo tiempo. La solución será el par ordenado que funcione para ambas ecuaciones.
Práctica guiada
Aquí tienes un ejemplo para trabajar por ti mismo.
y#38; = −3x + 5 y#38; = 3x − 5
Solución
Este gráfico no muestra una solución para el siguiente sistema. La solución (2,1) sirve para la segunda ecuación, pero no para la primera.
Un par ordenado debe ser una solución para ambas ecuaciones de un sistema.
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Solving Linear Systems by Graphing
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Práctica
Instrucciones: Grafica los siguientes sistemas de ecuaciones. Identifica la solución, escribe que no hay solución o que hay infinitas soluciones según sea el caso.
1. . y#38; = 2x − 3 y#38; = x − 1 2. . 2x + 2y#38; = 1 y#38; = −x +1 2 3. .
y 2#38; = x − 5 2 5. . y#38; = 3x + 5 y#38; = −3x + 8 6. . y#38; = 2x + 1 y#38; = 3x + 3 7. . y#38; =1 2x− 2 y#38; = −2x 8. . y#38; = −2x + 1 y#38; = −2x − 2 9. . y#38; = 4x − 1 y#38; = 2x + 2
10. . y#38; = 5x − 3 y#38; = −5x + 1 11. . y#38; = 2x y#38; = 3x − 5 12. . y#38; = −x − 1 y#38; = −x + 6
Instrucciones: Responde cada pregunta con verdadero o falso.
13. Algunos sistemas lineales no tienen solución 14. Las rectas perpendiculares tienen una solución.
A Kelly le gustó tanto la presentación del omni-teatro sobre las selvas que decidió ir a verla otra vez. Le preguntó a Tyler si quería ir con ella la tarde del sábado.
"¿Quieres ir conmigo?", preguntó Kelly
"Seguro, pero tengo clases de karate primero, así que te veré allí. ¿A qué hora es la función?" Preguntó Tyler. "La función comienza a las 2:30 pm. Voy a salir a la una en punto para pasear un rato", dijo Kelly.
"Bueno, yo no termino mis clases hasta esa hora, por lo que probablemente no salga hasta las 2:00 pm", dijo Tyler. El sábado, los dos cumplieron con sus rutinas y se fueron al museo. La madre de Kelly tiende a conducir despacio y con cuidado, así que iba por las calles a 45 mph. La clase de karate de Tyler es en el centro, así que podía tomar la carretera para llegar al omni-teatro. Su padre condujo a un promedio de 55 mph. ¿Se alcanzarán los dos autos? Este problema es sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Tendrás que resolver un sistema de ecuaciones para encontrar la solución. Para hacerlo, necesitas encontrar una solución que sirva para ambas ecuaciones. Aprenderás todo lo anterior en esta sección.
Orientación
Recordemos que en un sistema de ecuaciones buscamos los mismos valores para x e y que hagan que la ecuación sea verdadera. Por lo tanto, la solución al sistema
3y#38; = x − 2 y− x#38; = 4
Es el par ordenado (x, y) que hace que la primera y la segunda ecuación sean verdaderas. En otras palabras, la x en la primera ecuación iguala la x de la segunda ecuación y la y en la primera ecuación iguala la y de la segunda ecuación. Ahora, mira la segunda ecuación, y − x = 4 .Es simple encontrar el valor de y suma x a ambos lados. Entonces, y= x + 4 . Bueno, si y es igual en ambas ecuaciones y y = x + 4 ,entonces podemos sustituir y por x + 4 en la primera ecuación. Es por esto que se método de sustitución .
Ahora que hemos sustituido, podemos resolver la ecuación porque tiene solo una variable.
3(x + 4)#38; = x − 2 3x + 12#38; = x − 2 2x + 12#38; = −2
2x#38; = −14 x#38; = −7
Si x = −7 , sustituye otra vez para encontrar y :
y#38; = x + 4 y#38; = −7 + 4 y#38; = −3
Nuestra solución es (-7, -3).
Resuelve cada sistema usando la sustitución.
Ejemplo A 2y#38; = x + 4 y#38; = 3x Solución: x = 45, y = 225 Ejemplo B 3y#38; = x − 22 y#38; = 4x Solución: x = −2, y = −8
Por lo tanto, la distancia es una función de la velocidad y el tiempo. d= 55t
Kelly salió una hora antes que Tyler. Viaja a 45 millas por hora. Por lo tanto, la velocidad multiplicada por el tiempo de Tyler más una hora iguala al tiempo de Kelly.
d= 45(t + 1)
Ahora veamos si hay una solución que sirva para ambas ecuaciones. Podemos intentar resolverla usando la sustitución. 55t#38; = 45(t + 1) 55t#38; = 45t + 1 55t − 45t#38; = 1 10t#38; = 1 t#38; = 1 10
Ahora vamos a Tyler.
d#38; = 55 1 10
d#38; = 5.5
La solución podrían ser los siguientes valores para d y t . Sin embargo, cuando sustituyes dichos valores en ambas ecuaciones, la solución no sirve. Por lo tanto, no hay solución para este sistema. Kelly y Tyler no se encontrarán mientras viajan.
Vocabulario
Sistema de ecuaciones
Dos o más ecuaciones al mismo tiempo. La solución será el par ordenado que funcione para ambas ecuaciones.
Práctica guiada
Aquí tienes un ejemplo para trabajar por ti mismo.
La madre de Angélica salió a visitar a su abuela porque es su cumpleaños. Su abuela vive a 450 millas de distancia y su madre conduce a un promedio de 60 mph. Tres horas más tarde, el padrastro de Angelica nota que su madre
olvidó el regalo de la abuela, así que decide intentar alcanzarla. Si conduce a un promedio de 50 mph, ¿Podrá alcanzarla antes de que llegue a la casa de su abuela?
Escribe un sistema de ecuaciones para modelar la situación y resuelve usando el método de sustitución. Solución
Primero tenemos que saber cuánto le tomará a la madre de Angelica llegar a la casa de su abuela considerando la distancia.
d= rt
Viaja a 50 mph y su abuela se encuentra a 450 millas.
480#38; = 60t 8#38; = t
Le tomará ocho horas.
Ahora, escribamos y resolvamos un sistema de ecuaciones para ver si su padrastro podrá alcanzarla antes de que llegue a su destino.
d= 60t es la ecuación de la madre conduciendo. d= 50t + 3 es la ecuación del padrastro conduciendo. 60t = 50t + 3
Ahora resolvemos la ecuación para t, el tiempo.
60t − 50t#38; = 3 10t#38; = 3
t#38; = 3 10 Ahora sustituimos este valor en el tiempo de la madre.
60 ×103 18
Le tomará al padrastro 18 horas alcanzarla. No llegará antes que la madre de Angélica.
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Solving Linear Systems by Substitution
2. . x#38; = 6 2y + 2x#38; = 2 3. . 2x#38; = 8 2y + x#38; = 10 4. . 3y#38; = 9 y+ 2x#38; = 11 5. . y− 8#38; = 8 2y + x#38; = 20 6. . 4y#38; = 8 y− 2x#38; = 8 7. .
x− 2#38; = 4 4x + y#38; = 12 8. . y#38; = x + 8 y+ 2x#38; = 11 9. . 2y + 8#38; = 12 y+ 2x#38; = 20 10. . y− 3#38; = 6 3y + 3x#38; = 9 11. . 4y − 1#38; = 11 y− 4x#38; = 5 12. . 2y − 8#38; = 8 2y + 2x#38; = 2 13. . 4x + y#38; = −2 −2x − 3y#38; = 1 14. .