2.4 CONCEPTOS BÁSICOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL
2.4.3 FORMAS DE VIBRAR
2.4.3.2 VALORES PROPIOS
La ecuación (2.9), representa el problema de valores y vectores propios, donde es el valor propio y 𝜙 es el vector propio. Una vez calculado se obtiene de la ecuación (2.10) el valor de ƒ (t).
La ecuación (2.9) tiene soluciones distintas de cero, solamente si el determinante de la matriz de coeficientes es nulo.
𝐷𝑒𝑡 |𝐾 − 𝜆𝑀|𝜙 = 0………. (2.11)
Al resolver la ecuación (2.11) se obtiene un polinomio característico, si se tiene un matriz de rigidez K de n x n, este polinomio será de orden n.
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De la solución de este polinomio se encuentran n raíces de . Si las matrices K y M son reales, simétricas y definidas positivas; los valores de son reales y positivos.
2.4.3.3 PROPIEDADES DINÁMICAS.
Una vez que se ha resuelto el problema de valores propios, y se ha obtenido las raíces del polinomio característico. Se pasa a calcular las frecuencias de vibración
ω
ni usando la ecuación(2.12) El subíndice i representa el modo i.
𝜔𝑛𝑖 = √𝜆𝑖………. (2.12)
𝑇𝑖 = 2𝜋
𝜔𝑛𝑖………….. (2.13)
2.4.3.4 MODOS DE VIBRACION.
Cada uno de los valores propios, está asociado a un modo de vibración. Estos modos de vibración nos indican la forma como va a responder la estructura y son adimensionales.
Obtenemos los modos de vibración, reemplazando los valores propios obtenidos en la ecuación (2.9).
[𝐾 − 𝜆𝑀] 𝜙 = 0̅………. (2.14)
Al existir un infinito número de vectores propios, se habla de vectores propios normalizados. La forma más común de normalizar los modos es:
𝜙
(𝑖)𝑡𝑀 𝜙
(𝑖)𝑡= 𝐶
………. (2.15)Donde C es una constante de normalización que puede tener cualquier valor. Algunos consideran el valor del promedio de las masas, otros lo normalizan de tal forma que C sea la unidad.
Por didáctica se va a llamar X el vector propio sin normalizar, como los que se han obtenido y
𝜙
al vector propio normalizado. Para el modo de vibración i, se tendrá:𝜙(𝑖) = 𝛼(𝑖) 𝑋(𝑖)………. (2.16)
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𝛼(𝑖) = √ 𝐶
𝑋(𝑖)𝑡 𝑀 𝑋𝑖………. (2.17)
2.4.3.5 ALGORITMO DE M1/2.
En el apartado anterior se presentó el cálculo de las propiedades dinámicas y de los modos de vibración de una estructura desde un punto de vista conceptual. Ahora bien en la práctica se calculan los valores y vectores propios de una matriz utilizando algún método, uno de los más utilizados es el de Jacobi que encuentra todos los valores y vectores propios de una matriz simétrica.
Se tiene que definir por lo tanto esa matriz, a partir de las matrices de rigidez K y de masas M. Para el efecto una alternativa es utilizar el algoritmo que en este apartado se indica. La ecuación (2.9) puede escribirse de la siguiente manera:
𝐾 𝜙 = 𝜆 𝑀 𝜙̅̅̅̅̅̅̅̅………. (2.18) Sea 𝜙 = 𝑀−12 𝜙0………. (2.19) Al reemplazar (2.19) en (2.18) se tiene: 𝐾 𝑀−12 𝜙0 = 𝜆 𝑀 𝑀− 1 2 𝜙0 Por otro lado se tiene que:
𝑀 = 𝑀2 1 𝑀 1 2 Al reemplazar en la última ecuación se encuentra:
𝐾 𝑀−12 𝜙0 = 𝜆 𝑀 𝑀− 1 2 𝜙0 Multiplicando por la izquierda, por M-1/2 se obtiene:
𝑀−12 𝐾 𝑀− 1 2 𝜙0 = 𝜆 𝜙0………. (2.20) Se denomina 𝐾0 = 𝑀− 1 2 𝐾 𝑀− 1 2 ……….. (2.21)
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De donde, la ecuación (2.21) se transforma en:
𝐾0 𝜙0 = 𝜆 𝜙0 ………. (2.22)
De tal forma que el procedimiento de cálculo para encontrar los valores y vectores propios de una estructura aplicando el algoritmo de M1/2 es el siguiente:
1. Se encuentra la matriz M1/2. Normalmente la matriz de masas es diagonal de tal manera que M1/2 se encuentra sacando la raíz cuadrada de los elementos de la diagonal.
2. Se determina M1/2. Para el caso de las matrices diagonales no es más que la inversa de los elementos de la diagonal.
3. Se determina Ko.
4. Se aplica cualquier Método de cálculo de valores y vectores propios en Ko. 5. Finalmente se hallan los vectores propios M1/20𝜙 = 𝑀−
1 2 𝜙0
2.5 MATERIALES DE CONSTRUCCIÓN.
En la rama de la construcción se emplean una amplia gama de materiales. En el análisis y diseño estructural los más utilizados son: el acero, el concreto, la mampostería y la madera. Aunque en años recientes éste último material a caído en desuso debido a las políticas ambientales que pretenden conservar los bosques y a su capacidad como comburente lo cual pone en peligro las estructuras construidas con este material.
Para los ingenieros estructurales es de vital importancia conocer las características de cada uno de los materiales de construcción, determinar los esfuerzos máximos así como su comportamiento ante diferentes niveles de carga, estas características se pueden determinar por medio de la gráficas de esfuerzo - deformación, para finalmente determinar si los materiales con los cuales están construidos los elementos estructurales son capaces de resistir los esfuerzos a los que estarán sometidos.
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2.5.1 CONCRETO SIMPLE.El concreto es un material pétreo, artificial, obtenido de la mezcla, en proporciones determinadas, de cemento, agregados y agua. El agua y el cemento forman una pasta que rodea a los agregados, constituyendo un material heterogéneo. También se pueden añadir aditivos que mejoran o modifican las propiedades del concreto.
El valor del peso volumétrico es una característica que debe tomarse en cuenta. Su valor oscila entre 1.9 y 2.5 ton/m³, en el Reglamento Nacional de Edificación el peso volumétrico es de 2.4 ton/m³.
El concreto simple, sin refuerzo, es resistente a la compresión, pero es débil a tracción, lo que limita su aplicabilidad como material estructural. Para resistir tensiones se emplea refuerzo de acero. (Óscar M, 2005)
2.5.1.1 CURVA ESFUERZO-DEFORMACIÓN.
Las curvas esfuerzo-deformación se obtienen del ensayo de prismas sujetos a carga axial repartida uniformemente en la sección transversal mediante una placa rígida. Los valores del esfuerzo resultan de dividir la carga total aplicada, P, entre el área de la sección transversal del prisma, A, y representan valores promedio obtenidos bajo la hipótesis de que la distribución de deformaciones es uniforme y de que las características esfuerzo-deformación del concreto son constantes en toda la masa. El valor de la deformación unitaria, está en %, es la relación entre el acortamiento total, a, y la longitud de medición, l.
Figura 2. 12: Curva esfuerzo – deformación para un espécimen sujeto a carga de corta duración. Fuente: (Óscar M, 2005).
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2.5.2 ACERO DE REFUERZO.El concreto es un material débil a tracción, por lo tanto se usa junto con el acero de refuerzo capaz de resistir los esfuerzos de tracción. El acero de refuerzo se distribuye normalmente en barras o varillas de sección básicamente circular, con resaltes o corrugaciones en la superficie para mejorar la adherencia con el concreto. En la (fig. 2.13) se muestran los principales tipos de corrugación de los aceros de refuerzo. El acero que se utiliza en nuestro medio tiene resaltes similares a los de la tercera columna.
Figura 2. 13: Tipos de corrugaciones. Fuente: (Ottazzi Pasino, 2004).