VARIACIÓN CONJUNTA

In document Ajuste lineal de datos (página 121-124)

Si las cantidades x, y y z están relacionadas por la ecuación

donde k es una constante diferente de cero, decimos que zvaría conjuntamente conx y y o zes conjuntamente proporcional a x y y.

z kxy

En ciencias, las relaciones entre tres o más variables son comunes, y es posible cualquier combinación de los tipos diferentes de proporcionalidad que hemos estudiado. Por ejemplo, si

z k

x y

Decimos que zes proporcional a x e inversamente proporcional a y.

E J E M P L O 3

Ley de Newton de la Gravitación

La Ley de Newton de la Gravitación dice que dos cuerpos con masas m1 y m2 se atraen

entre sí, con una fuerza F que es conjuntamente proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r entre los cuerpos. Exprese la Ley de Newton de la Gravitación como ecuación.

S O L U C I Ó N Usando las defi niciones de variación conjunta e inversa y la tradicional notación G para la constante de proporcionalidad gravitacional, tenemos

F G

m1m2 r2

AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 21 Y 41 �

Si m1 y m2 son masas fi jas, entonces la fuerza gravitacional entre ellas es F ϭ C/r2 (donde CϭGm1m2 es una constante). La Figura 4 muestra la gráfi ca de esta ecuación para rϾ0

con Cϭ1. Observe cómo decrece la atracción gravitacional con una distancia creciente. 1.5

0 5

F I G U R A 4 Gráfi ca de F 1 r2

CONCEPTOS

1. Si las cantidades x y y están relacionadas por la ecuación yϭ3x,

entonces decimos que y es _______ _______ a x y la constante

de _________ es 3.

2. Si las cantidades x y y están relacionadas por la ecuación y 3

x,

entonces decimos que y es _______ _______ a x y la constante

de _________ es 3.

3. Si las cantidades x,y y z están relacionadas por la ecuación

z 3

x

y, entonces decimos que z es _______ _______ a x

e _________ a y.

4. Si z es conjuntamente proporcional a x y a y y si z es 10 cuando x

es 4 y y es 5, entonces x, y y z están relacionadas por la ecuación

zϭ_______.

HABILIDADES

5-16 � Escriba una ecuación que exprese el enunciado.

5. T varía directamente con x.

6. P es directamente proporcional a w.

7. v es inversamente proporcional a z.

8. w es conjuntamente proporcional a m y n.

9. y es proporcional a s e inversamente proporcional a t.

10. P varía inversamente con T.

11. z es proporcional a la raíz cuadrada de y.

12. A es proporcional al cuadrado de t e inversamente proporcional

al cubo de x.

13. V es conjuntamente proporcional a l, w y h.

14. S es conjuntamente proporcional a los cuadrados de r y θ.

15. R es proporcional a i e inversamente proporcional a P y t.

16. A es conjuntamente proporcional a las raíces cuadradas de x y y.

17-28 � Exprese el enunciado como una ecuación. Use la informa-

ción dada para hallar la constante de proporcionalidad.

17. y es directamente proporcional a x. Si xϭ6, entonces yϭ42.

18. z varía inversamente con t. Si tϭ3, entonces zϭ5.

19. R es inversamente proporcional a s. Si sϭ4, entonces Rϭ3.

20. P es directamente proporcional a T. Si Tϭ300, entonces Pϭ20.

21. M varía directamente con x e inversamente con y. Si xϭ2 y

yϭ6, entonces Mϭ5.

22. S varía conjuntamente con p y q. Si pϭ4 y qϭ5, entonces

Sϭ180.

23. W es inversamente proporcional al cuadrado de r. Si rϭ6, en-

tonces Wϭ10.

24. t es conjuntamente proporcional a x y y, e inversamente propor-

cional a t. Si xϭ2, yϭ3 y rϭ12, entonces tϭ25.

25. C es conjuntamente proporcional a l, w y h. Si lϭwϭhϭ2,

entonces Cϭ128.

26. H es conjuntamente proporcional a los cuadrados de l y w. Si

lϭ2 y 1

3, entonces Hϭ36.

27. s es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de t. Si sϭ

100, entonces tϭ25.

28. M es conjuntamente proporcional a a, b y c e inversamente pro-

porcional a d. Si a y d tienen el mismo valor y si b y c son am-

bas 2, entonces Mϭ128.

APLICACIONES

29. Ley de Hooke La Ley de Hooke dice que la fuerza necesa-

ria para mantener un resorte estirado x unidades más que su lon-

gitud natural es directamente proporcional a x. Aquí la cons-

tante de proporcionalidad se denomina constante de resorte.

(a) Escriba la Ley de Hooke como una ecuación.

(b) Si un resorte tiene una longitud natural de 10 cm y se re- quiere una fuerza de 40 N para mantener estirado el resorte a una longitud de 15 cm, encuentre la constante de resorte.

(c) ¿Qué fuerza es necesaria para mantener estirado el resorte a una longitud de 14 cm?

5 cm

30. Ley del Péndulo El período de un péndulo (tiempo trans- currido durante una oscilación completa del péndulo) varía di- rectamente con la raíz cuadrada de la longitud del péndulo.

(a) Exprese esta relación escribiendo una ecuación.

(b) Para duplicar el período, ¿cómo tendríamos que cambiar la longitud l?

l

31. Costos de impresión El costo C de imprimir una revista

es conjuntamente proporcional al número de páginas p de la re-

vista y el número m de revistas impresas.

(a) Escriba una ecuación que exprese esta variación conjunta.

(b) Encuentre la constante de proporcionalidad si el costo de impresión es $60,000 para 4000 ejemplares de una revista de 120 páginas.

(c) ¿Cuál sería el costo de impresión de 5000 ejemplares de una revista de 92 páginas?

32. Ley de Boyle La presión P de una muestra de gas es direc-

tamente proporcional a la temperatura T e inversamente propor-

cional al volumen V.

(a) Escriba una ecuación que exprese la variación.

(b) Encentre la constante de proporcionalidad si 100 L de gas ejercen una presión de 33.2 kPa a una temperatura de 400 K (temperatura absoluta medida en la escala Kelvin).

(c) Si la temperatura se aumenta a 500 K y el volumen se dis- minuye a 80 L, ¿cuál es la presión del gas?

33. Potencia de un molino de viento La potencia P que se puede obtener de un molino de viento es directamente propor-

cional con el cubo de la velocidad del viento s.

(a) Escriba una ecuación que exprese la variación.

(b) Encuentre la constante de proporcionalidad para un molino de viento que produce 96 watts de potencia cuando el

viento está soplando a 10 mi/h.

(c) ¿Cuánta potencia producirá el molino de viento si la veloci-

dad del viento aumenta a 30 mi/h?

34. Potencia necesaria para impulsar un bote La poten-

cia P (medida en caballos de fuerza, hp) necesaria para impulsar

un bote es directamente proporcional al cubo de la velocidad s. Es

necesario un motor de 80 hp para impulsar cierto bote a 10 nudos. Encuentre la potencia necesaria para mover el bote a 15 nudos.

S E CC I Ó N 1 . 1 1

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Modelos con el uso de variaciones 123 35. Intensidad del sonido La intensidad L de un sonido (me-

dida en decibeles, dB) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d desde la fuente del sonido. Una persona que se encuentre a 10 pies de una podadora de césped capta un nivel de sonido de 70 dB. ¿Cuál es la intensidad del sonido de la poda- dora cuando la persona esté a 100 pies de distancia?

36. Distancia de parada La distancia de frenado D de un auto después de habérsele aplicado los frenos varía directamente con el cuadrado de su velocidad s. Cierto auto que corre a 50 mi/h puede detenerse en 240 pies. ¿Cuál es la velocidad máxima a la que puede correr si necesita detenerse en 160 pies?

37. Un chorro de agua La potencia P de un chorro de agua es conjuntamente proporcional al área de sección transversal A del chorro y el cubo de la velocidad v. Si v se duplica y el área de sección transversal se reduce a la mitad, ¿en qué factor aumenta la potencia?

38. Fuerza ascensional aerodinámica La fuerza ascensio- nal L del ala de un avión en el despegue varía conjuntamente con el cuadrado de la velocidad s del avión y el área A de sus alas. Un avión con un área de alas de 500 pies2 que corre a 50 mi/h experimenta una fuerza ascensional de 1700 lb. ¿Cuánta fuerza ascensional experimentará un avión con área de alas de 600 pies2 que corre a 40 mi/h?

Elevación

39. Fuerza de resistencia al avance de un bote La fuerza F de resistencia al avance en un bote es conjuntamente proporcional al área A de superfi cie húmeda en el casco y el cuadrado de la velocidad s del bote. Un bote experimenta una fuerza de resistencia al avance de 220 lb cuando navega a 5 mi/h con un área de superfi cie húmeda de 40 pies2. ¿Con qué rapidez debe estar navegando un bote si tiene 28 pies2 de área de super-

fi cie húmeda y está experimentando una fuerza de resistencia al avance de 175 lb?

40. Patinar en una curva Un auto se desplaza en una curva que forma un arco circular. La fuerza F necesaria para evitar que el auto patine es conjuntamente proporcional al peso w del auto y el cuadrado de la velocidad s, y es inversamente propor- cional al radio r de la curva.

(a) Escriba una ecuación que exprese esta variación.

(b) Un auto que pesa 1600 lb se desplaza en una curva a 60 mi/h. El siguiente auto en transitar por esta curva pesa 2500 lb y requiere la misma fuerza que el primer auto para evitar que patine. ¿Cuál es la velocidad a la que circula?

41. Resistencia eléctrica La resistencia R de un alambre va- ría directamente con su longitud L e inversamente con el cua- drado de su diámetro d.

(a) Escriba una ecuación que exprese esta variación conjunta.

(b) Encuentre la constante de proporcionalidad si un alambre de 1.2 m de largo y 0.005 m de diámetro tiene una resisten- cia de 140 ohms.

(c) Encuentre la resistencia de un alambre hecho del mismo material que mide 3 m de largo y tiene un diámetro de 0.008 m.

42. Tercera Ley de Kepler La Tercera Ley de Kepler de mo- vimiento planetario dice que el cuadrado del período T de un planeta (el tiempo que tarda en hacer una revolución completa alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de su promedio de distancia d desde el Sol.

(a) Exprese la Tercera Ley de Kepler como ecuación.

(b) Encuentre la constante de proporcionalidad usando el hecho que, para nuestro planeta, el período es alrededor de 365 días y la distancia promedio es de unos 93 millones de millas. (c) El planeta Neptuno está a unos 2.79ϫ109 millas del Sol.

Encuentre el período de Neptuno.

43. Energía de radiación El total de energía de radiación E

emitida por una superfi cie calentada, por unidad de área, varía con la cuarta potencia de su temperatura absoluta T. La tempe- ratura es 6000 K en la superfi cie del Sol y 300 K en la superfi - cie de la Tierra.

(a) ¿Cuántas veces más energía de radiación por unidad de área es producida por el Sol que por la Tierra?

(b) El radio de la Tierra es de 3960 millas y el radio del Sol es de 435,000 millas. ¿Cuántas veces más de radiación total emite el Sol que la Tierra?

44. Valor de un lote El valor de un lote para construcción en la isla de Galiano es conjuntamente proporcional a su área y a la cantidad de agua producida por un pozo que está en la propie- dad. Un lote de 200 pies por 300 pies tiene un pozo que pro- duce 10 galones de agua por minuto, y está valuado en 48,000 dólares. ¿Cuál es el valor de un lote de 400 pies por 400 pies si el pozo del lote produce 4 galones de agua por minuto?

45. Producción de coles En una corta temporada de produc- ción del territorio ártico canadiense de Nunavut, algunos jardi- neros encuentran posible producir coles gigantes en el sol de medianoche. Suponga que el tamaño fi nal de una col es pro-

porcional a la cantidad de nutriente que recibe e inversamente proporcional al número de otras coles que la rodean. Una col que recibe 20 onzas de nutrientes y tenía otras 12 coles a su alrededor creció a un peso de 30 libras. ¿De qué tamaño crece- ría si recibe 10 onzas de nutrientes y tiene sólo 5 coles “veci- nas”?

46. Calor de una fogata El calor que percibe un excursionista por una fogata es proporcional a la cantidad de madera en la fo- gata e inversamente proporcional al cubo de su distancia desde la misma. Si el excursionista está a 20 pies de la fogata y al- guien duplica la cantidad de madera que está ardiendo, ¿a qué distancia de la fogata tendría que estar para captar el mismo ca- lor que antes?

47. Frecuencia de vibración La frecuencia f de vibraciones de una cuerda de violín es inversamente proporcional a su lon-

gitud L. La constante de proporcionalidad k es positiva y de-

pende de la tensión y densidad de la cuerda.

(a) Escriba una ecuación que represente esta variación.

(b) ¿Qué efecto tendrá duplicar la longitud de la cuerda en la frecuencia de su vibración?

48. Propagación de una enfermedad La rapidez r con la

que se propaga una enfermedad en una población de tamaño P

es conjuntamente proporcional al número x de personas infecta-

das y del número P2x que no estén infectadas. Una infección

brota en una pequeña ciudad que tiene una población Pϭ5000.

(a) Escriba una ecuación que exprese r como función de x.

(b) Compare la rapidez de propagación de esta infección cuando 1000 personas están infectadas. ¿Cuál rapidez es más grande? ¿En qué factor?

(c) Calcule la rapidez de dispersión cuando toda la población

está infectada. ¿Por qué tiene sentido intuitivo esta respuesta?

DESCUBRIMIENTO

DISCUSIÓN

REDACCIÓN

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