Variantes de la técnica básica

Existen muchas formas de implementar la división multinivel. El método básico descripto en la Subsección 2.5.1 es sólo un ejemplo que se presta bien para propósitos introductorios y para probar la ausencia de sesgo del estimador. Un vistazo general muy bien organizado de varias implementaciones alternativas se presenta en[LLGLT09, Sec. 3.2.2], del cual se transcribe a continuación un resumen revisado.

Como elegir el número de copias Ni en cada etapa es una decisión central. Algunas estrategias típicas son:

2.5.2 Variantes de la técnica básica 43

• División fija. En la i-ésima etapa, cada camino de simulación exitoso que alcance al umbral superior generates the same number of offsprings Ki ∈N. The total number of simulation pathsNi+1 =RiKi in the next stage is thus a random variable. This is sensitive to both the {Ki}n−i=11 and the {Ri}n−i=01.

If Ri = 0 the technique suffers from starvation since no offsprings will be produced. If Ki Ni+1/Ri then too many offsprings will be produced y la

técnica sufre de sobrecarga computacional.

• Esfuerzo fijo. Un número preteterminadoNi ∈N de copias is started during the i-th stage. If Ri−1 < Ni then these offsprings can be assigned to the available Ri−1 starting states randomly or deterministically. This rules out

the possibility of overhead, but can suffer from starvation siNi es demasiado chico para asegurar que Ri >0.

• Éxito fijo. El número Ri > 0 de simulaciones exitosas in the i-th stage is predetermined. Thus Ni is a random variable for the i-th stage, since sufficient simulations need to be launched to reach the desired Ri. This can cause computational overhead but no puede sufrir de inanición por definición.

Estas tres estrategias tienen different performance implications. Fixed splitting can be considered lightweight w.r.t. memory consumption, since it allows adepth- first search (DFS) implementation [LLGLT09, p. 45]. Namely, during the first stage each original path is simulated until m´ın(T, T1). If T1 takes place it yields K1 offsprings from that path; then each of these offsprings is simulated until

m´ın(T, T2), and so on, antes de pasar a manejar el siguiente camino original.

Este método DFS approach can not be applied to the other two alternatives, which need to attend one importance level at a time and keep in memory all resulting estados de entrada en cada nivel.

En el método básico introducido, all simulation paths have the same weight at any importance level. In a fixed splitting scenario, consider a more general setting where trajectories can be assigned different weights. Each of the N0 original

trajectories in the bottom importance level will have weight 1. During the next stage in the first importance level, each offspring will have peso relativo 1_/K

1,

dado que proviene de una trayectoria original con peso 1 que fue dividida K1

veces.

Esto significa que los caminos exitosos in the uppermost level will have relative weight (Qn−1

i=1 Ki)−1. Then the estimator ˆγ is the sum of relative weights of these trayectorias exitosis finales, dividido por N0.

Esta estrategia generalizada, which takes the relative weights of the simulation paths into account, is of special use when the rare event can appear in low importance levels. Más sobre esto en la Sección 2.6.

El estimador ˆγ de la ecuación (11) es eficiente, because its variance is smaller than the standard Monte Carlo estimator of γ [Gar00, Sec. 2.4.3]. A smaller variance means less samples are needed to converge. Nevertheless, when practical

applications are considered, the computation time of each sample has a impacto directa en el tiempo de pared de convergencia.

Por ejemplo en esfuerzo fijo y éxito fijo, paths are simulated until the upper threshold or final timeT are met. In transient analysis the average computational time to reach T may increase significantly with the importance level i donde el camino comenzó [LLGLT09, p. 46].

Simétricamente, el paralelismo computacional máximo can act as bottleneck in fixed splitting. Since new paths are injected each time an upper threshold is reached, there is a risk of having an exponential explosion in the resulting número de trayectorias concurrentes.

Para mantener controlada la sobrecarga computacional derived from poten- tially long simulation paths, early path termination (aka truncado de caminos) is a typical strategy. The essence of path truncation is to select and kill ideally unpromising trajectories, before its “natural cause of death” (e.g. alcanzar T) tiene lugar, Se han estudiado diversas estrategias:

• Truncado determinista. Para alguna profundidad de muerte β ∈_N, matar cualquier trayectoria que se submerges more than β levels from its creation level. That is, if some path originated from an entrance state into Ei, it will be truncated as soon as it visits a state in level i−1−β or lower. This requires a proper weighing of paths to avoid introducir un sesgo en la estimación.

• Truncado probabilístico. Para la profundidad de muerteβ, los caminos de i-ésimo nivel juegan a la ruleta rusa each time they down-cross a level deeper than i−β. More precisely, numbers {ri,j}jn−=β1 ∈R>0 are chosen for

paths originated in the i-th importance level. These are truncated with probability 1−1_/r

i,j as they cross level i−1−j downwards for j >β. On

survival their weight is multiplied by ri,j. To reduce the variance introduced by weighing, a simulated trajectory of weight w is cloned w−1 times as it reaches the uppermost level; luego cada uno de estos caminos nuevos independientes tiene peso 1.

• Truncado periódico. Como en la versión probabilística, números {ri,j}n−j=β1 ∈ R>0 son escogidos para las trayectorias del i-ésimo nivel and global β ∈N.

To reduce the variability of the Russian roulette approach numbersDi,j are uniformly chosen once among {1, . . . , ri,j}. Then for i-th level trajectories, every (ri,jDi,j)-th path to go down level i−1−j for j >β is retained and its weight is multiplied by ri,j; todos los otros caminos del i-ésimo nivel que hagan esto son truncados.

• Truncado etiquetado. Cada camino dei-ésimo nivel es etiquetado al nivel de importancia (i−1−j) con alguna probabilidad que aumenta con j para j _>β. Las trayectorias son truncadas sii visitan sus niveles etiquetados.

2.5.2 Variantes de la técnica básica 45

Implementaciones populares

Algunas elecciones de los criterios mencionados más arriba han sido muy estudiadas y exitosamente aplicadas a varios casos de estudio, volviéndose criterios convencionales en la comunidad de RES. A continuación describimos tres de ellos.

• RESTART es un método desarrollado por los hermanos Villén-Altamirano que estudiaremos en mayor detalle en la próxima sección. Sigue una im- plementación DFS que usa división fija cada vez que un camino simulado atraviesa un umbral hacia arriba. Cuando esto ocurre una única copia es etiquetada como la trayectoria original del nuevo nivel. El truncado es determinista con β = 0, i.e. toda copia que cruce hacia abajo su umbral de creación es terminada. Para evitar la inanición (i.e. quedarnos sin copias que simular) la copia original de cada nivel no es truncada al bajar de ese umbral, asemejándose en parte al truncado etiquetado. Hay un único camino original de simulación por cada ejecución RESTART, con peso 1, y el esquema de pesos relativos es empleado con N0 = 1.

• Esfuerzo Fijoes un término utilizado por Marnix Garvels en su tesis doctoral para referirse a un método de división de naturaleza BFS (breadth-first search) bastante similar a la técnica básica descripta en la Subsección 2.5.1. También ha sido llamado división a secas en una comparación contra RESTART [VAVA06]. El método de Esfuerzo Fijo consiste en iteraciones que comienzan en el nivel de importancia de base, donde se truncan los caminos simulados ni bien alcanzan el tiempo de parada T (fracasan) o el siguiente nivel de importancia (tienen éxito). Los estados de entrada al siguiente nivel, señalados por las simulaciones exitosas de esta primera etapa, son salvados y usados como puntos de partida para las simulaciones de la siguiente etapa. Así se va cubriendo un nivel de importancia por etapa, hasta que finalmente se alcanza el nivel del evento raro. Al llegar a ese punto todos los estimadores pbi para las probabilidades condicionales de la Definición 10 han sido computados. Sólo resta multiplicarlos para estimar el evento raro siguiente la ecuación (11).

Este método usa esfuerzo fijo con elección determinista como mecanismo de generación de copias, y truncado determinista. Nótese que los caminos simulados que descienden niveles de importancia no son truncados, como sí ocurriría en RESTART. Además, no es necesario un mecanismo de pesos relativos dado que no se permite a los caminos simulados el cruce de los umbrales; en ese sentido lo único que hacen los caminos es señalar los estados de entrada del próximo nivel, a partir de los cuales se generarán las simulaciones de la nueva etapa.

• División Multinivel Adaptativa[CG07]yMonte Carlo Secuencial[CDMFG12] son métodos más difíciles de ubicar en el escenario descripto, dado que saltean la pre-selección de los umbrales {Li}ni=1. En su lugar, estos mé-

todos descubren los umbrales dinámicamente mientras simulan caminos de ejecución que van siendo guiadas hacia el evento raro. El usuario sólo

debe indicar la probabilidad pi de subir de nivel a priori, lo que vuelve al número n de umbrales la nueva variable aleatoria. Para mayor claridad digamos que p=pi para todo i∈ {0, . . . , n}, donden es desconocido. En la i-ésima etapa, m caminos son simulados independientemente a partir de estados predefinidos hasta que alcanzan algún criterio de parada, e.g. llegar al tiempo T. Cada camino simulado visitó varios estados con sus respectivos valores de importancia. Sea vi

j el máximo valor de importancia observado por el j-ésimo camino simulado, entonces lai-ésima etapa genera el conjunto de datosVi = {vji}mj=1. Para k =dp me, seaνki el k-ésimo cuantil de Vi. Es decir, si ordenamos a Vi en orden creciente, seaνki el valor en la k-ésima posición. Entonces ν_ki es el candidato a “umbral superior” de la i-ésima etapa, debido a cómo se lo seleccionó. Además, todos los estados visitados con importancia νi

k sirven como potenciales puntos de entrada para las simulaciones de la próxima etapa.

Eventualmente el evento raro es alcanzado y el número de etapas n es determinado, lo que deriva en el estimador para el evento raro ˆγ =. pn_. Estas implementaciones del método de división por importancia son ideales cuando se cuenta con un espacio de estados continuo, mientras que puede presentar problemas prácticos si se aplica a modelos discretos.