La tangente de una curva es una recta que intersecta la curva en un solo punto. Es conocido por nosotros a través del cálculo que mediante la diferenciación de una función se obtiene el punto tangencial para la curva de esa función. Un concepto similar es aplicable al cálculo vectorial, junto con una excepción.
Para una función con un vector de la forma, (x), un vector de la forma es llamado vector tangente en el caso de que esta función sea real y su magnitud no sea igual a cero. En esta situación, la tangente de la función dada (x) en un punto arbitrario es paralela al vector tangente, en ese punto. Aquí, con el fin de tener un vector tangente, 0 es un pre-requisito esencial. Esto es debido a que un vector de magnitud cero no puede tener dirección.
De manera similar, un vector tangencial unitario es definido como,
, ,
Aquí s es la longitud total del arco dado, (t) es el vector posición de la función dada y t es la variable de parametrización.
En la figura anterior, X es un punto estático, mientras que P es un punto en movimiento. El punto P se mueve lentamente en la dirección del punto X, mientras el punto P se acerca al punto X, el vector desde el punto X hasta el punto P se acerca al vector tangente en el punto X. La recta que contiene el vector tangente se conoce como recta tangencial.
TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM Página 35 Un vector normal es algo similar a un vector unitario, suponga que para una función (x), (t) es el vector posición, entonces el vector normal para la función
dada es definida como,
Como se describió en la figura anterior, un vector normal es un vector que está perpendicular a un plano o superficie dada. Un vector normal para una superficie dada en un punto arbitrario, sea (x, y), está dado por una matriz como la siguiente,
Aquí fx y fy son diferenciales parciales de la función dada con respecto a x e y. De la misma forma, el vector normal a un plano es representado por una matriz como,
Donde la ecuación del plano es, f(x, y, z) = ax + by + cz + d = 0
Un vector binormal es un producto cruz o producto vectorial del vector normal y del vector unitario normal. Suponga que para una función (x), (t) es el vector posición, entonces el vector binormal para la función dada se define como,
Como sabemos que tanto un vector unitario como un vector normal son vectores unitarios y que se encuentran perpendiculares a la superficie dada, un vector binormal es también un vector unitario que se encuentra normal a un plano o superficie dada. Este vector es normal a ambos, el vector unitario y el vector normal.
Derivemos ahora el vector tangente, el vector unitario y el vector normal para una función determinada.
(t) = <cos (t), sin (t), t> (t) = ←sin (t), cos (t), 1>
= =
TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM Página 36 = ←sin (t)/ , cos (t)/ , 1/ >
(t) = ←cos (t)/ , -sin (t)/ , 0> (t)= 1/ (t) = ←cos (t), -sin (t), 0>
= ←sin (t)/ , cos (t)/ , 1/ > X ←cos (t), -sin (t), 0> = <sin (t)/ , -cos (t)/ , 1/ >
3.7 Curvatura
La medida en la cual se desvía un determinado objeto geométrico se conoce como curvatura. Existen básicamente dos tipos principales de curvatura: curvatura intrínseca y extrínseca. Para los objetos que se encuentran en un espacio diferente, en este tipo de enfoque que se relaciona con la curvatura del radio del círculo que traza el objeto correspondiente, se define una curvatura extrínseca. El círculo puede ser el ejemplo más sencillo de una curvatura extrínseca dado que encada punto de la circunferencia; la curvatura es igual al recíproco del radio. La curvatura intrínseca en la naturaleza es descrita por la variedad de Riemann en cada punto.
Una curvatura en un plano pertenece a una cantidad escalar, mientras que en 2D o 3D, la identidad de la curvatura es definida como un vector en el cual tanto la nitidez como la dirección de inclinación es considerada.
Curvatura de una Recta: Un círculo de radio l/ k es formado por la recta en caso que tenga la misma curvatura en todos sus puntos. En cada uno de los puntos la curvatura puede ser calculada como
Consideremos algunos de los casos de la siguiente fórmula:
TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM Página 37 En lugar de s (P, Q) en el denominador, también se puede colocar d (P, Q). Esta fórmula mantiene su importancia en cualquiera de las dimensiones. Una singularidad en el punto P también puede incluirse dentro de esta definición en el caso de que el límite se considere en ambos lados de forma independiente.
En lugar de s (P, Q) en el denominador, también se puede colocar d (P, Q). Esta fórmula mantiene su importancia en cualquiera de las dimensiones. Una singularidad en el punto P también puede incluirse dentro de esta definición en el caso de que el límite se considere en ambos lados de forma independiente.
En lugar de s (P, Q) en el denominador, también se puede colocar d (P, Q). Esta fórmula mantiene su importancia en cualquiera de las dimensiones. Una singularidad en el punto P también puede incluirse dentro de esta definición en el caso de que el límite se considere en ambos lados de forma independiente.
En lugar de s (P, Q) en el denominador, también se puede colocar d (P, Q). Esta fórmula mantiene su importancia en cualquiera de las dimensiones. Una singularidad en el punto P también puede incluirse dentro de esta definición en el caso de que el límite se considere en ambos lados de forma independiente.
TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM Página 38 En lugar de s (P, Q) en el denominador, también se puede colocar d (P, Q). Esta fórmula mantiene su importancia en cualquiera de las dimensiones. Una singularidad en el punto P también puede incluirse dentro de esta definición en el caso de que el límite se considere en ambos lados de forma independiente.
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Unidad 4
TRINIDAD HERNANDEZ ABRAHAM Página 40 Analizar de manera formal campos escalares vectoriales. Calcular derivadas parciales y direccionales determinando gradientes, planos tangentes y valores de
una función.