= " " <# # œ <# È# œ < Completando el triángulo
De aquí se tiene que:
cos 45 º cos = y sen 45º sen =
2 2 œ œ % % " " 1 1 È È Resumiendo
Completaremos la siguiente tabla con las seis funciones trigonométricas para los ángulos de º,$! '! º y%& º.
Ejercicios
Sin usar calculadora, demuestre las siguientes igualdades +Ñ % =/8 # -9= -9= œ #
' %
1 1
1
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,Ñ # $ =/8# % =/8 # =/8 œ $
$ ' $
È 1 1 1
¿Pero podemos usar esta información para determinar otros ángulos ?
Sí, pero para ésto es necesario conocer otro concepto, que es el de ángulo de referencia y el cual definiremos a continuación.
Angulos de referencia
Para encontrar las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera, se usa un ángulo de referencia del primer cuadrante, agudo y positivo, el cuál considera el lado inicial
con el semieje positivo de las X y el lado terminal queda en el primer cuadranre. Este ángulo se asocia a un triángulo de referencia que es rectángulo.
Este ángulo es de referencia para los siguientes ángulos:
Ejemplo 1
Use un ángulo de referencia para encontrar las seis funciones trigonométricas para"$&º.
Respuesta
El ángulo de 135 º es un ángulo del segundo cuadrante, por lo tanto el ángulo de referencia a utilizar es el de 45 º, ya que
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Por lo tanto determinaremos las seis funciones trigonométricas para el ángulo de 45 º , pero recuerde , el ángulo 135 º está en el segundo cuadrante, y ésto incide en el signo de la función.
45º = =/8 œ " Ê =/8 "$&9 " È2 È2 45 º = -9= œ " Ê -9= "$&9 " È2 È2 45 = 1 135 = 1 >+1 o Ê >+1 o -9>1 %&9 œ " Ê -9>+1135 o= 1 cosec 45 = 2 o È Êcosec 135 = 2o È 45 = 2 135 = 2 =/- o È Ê =/- o È Ejemplo 2
Use un ángulo de referencia para encontrar las seis funciones trigonométricas para 930 º :
Respuesta
Se observa que el ángulo de 930 º es mayor que 360 º, luego se le debe restar a éste cualquier entero múltiplo de 360 º , sin alterar el valor de las funciones trigonometricas.
930 º 2 . 360 º œ 210 º
El ángulo de 210 º se encuentra en el III cuadrante
El ángulo de referencia es el de 30 º ya que 210 º 180 º œ $! luego las seis funciones trigonométricas son para este ángulo son =/8 $! œ! "ß -9= $!! œ ß >+81 $! œ! # # $ $ $ È È -9=/- $! œ #ß =/- $!! ! œ # $ß -9>+1 $! œ! $ $ È È
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Pero como el cuadrante en el cual trabajamos es el tercero entonces cambiamos los signos Cel ángulo original =/8 #"! œ ! "ß -9= #"!! œ ß >+81 #"! œ! # # $ $ $ È È -9=/- #"! œ #ß! =/- #"!! œ # $ß -9>+1 #"! œ! $ $ È È Ejercicios
"Ñ En los siguientes ejercicios, encuentre el ángulo de referencia y determine las seis funciones!
trigonométricas . +Ñ $!!º= = ,Ñ $"&o = -Ñ #%!9 ==.Ñ "#!9 = /Ñ $!!9 = 0 Ñ $"&9
#Ñ Hallar el valor exacto de estas expresioes, usando ángulos de referencia
+Ñ =/8& -9=$ =/8( % % % 1 1 1 ,Ñ -9=&$1 >+1%$1 >+1('1 -Ñ $ -9= =/8 # -9= # $ =/8 ' ' % $ È 1 1 È 1 È 1 Respuesta Angulo de referencia : +Ñ '!9 =/8 $!! œ ! $ß -9= $!!! œ ß >+81 $!! œ ! $ # #" È È -9=/- $!! œ ! È#$ß =/- $!!! œ # ß -9>+1 $!! œ ! È"$ Angulo de referencia ,Ñ %&9
=/8 %&!œ #ß -9= %&! œ # ß >+81 %& !œ "
# #
È È
-9=/- %& œ! # ß =/- %&! œ # ß -9>+1 %& œ "!
# #
È È
#Ñ +Ñ # ,Ñ$ % $ -Ñ #
# '
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS
FUNCION SENO
FUNCION COSENO
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Recuerde que para hacer la gráfica de una función cualquiera, se construye primero una tabla de valores de los pares ordenados asociados ( B ß C ), después se marcan los puntos correspondientes y por último se unen los puntos con una curva suave.
¿Qué pasa con las funciones trigonométricas?
¿y será necesario graficar toda la curva para así determinar su forma?
No, ya que estas curvas son continuas uniforme , es decir, periódicas y cada periodo recibe el nombre de un ciclo y basta con saber las caracteristicas de este ciclo.
FUNCION SENO
¿Cuál es un ciclo de la función seno ?
Si usted mira cuidadosamente, puede observar que un ciclo corresponde a un tramo entre los puntos ( !ß ! Ñ y (# ß ! Ñ1 y el punto medio de él es el punto Ð ß ! ÑÞ1
Ahora, resumiremos las propiedades de la función seno a través de un ciclo de la función. 1) La función seno es periódica, con periodo #1
2) Para cualquier valor dado a x, la solución se encuentra entre [ "ß "Ó Þ $Ñ El seno de x es igual a cero cuando x œ ! 9 x œ 1
%Ñ El seno es una función impar, por lo tanto, su gráfica es simétrica con respecto al origen.
sen (x ) = sen x
&Ñ la función seno decrece entre y 1 2 231 6) La función crece entre 0 y1 1 2
2 C $2 1 Toda función real de la forma
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con a , b , c y d
0 Ð B Ñ œ + =/8 Ð,B - Ñ . − ‘
se llama función SINUSOIDAL O SINUSOIDE
¿Cambia el gráfico según sea el valor de "a", "b", "c" o "d" ? Si, y veremos cada uno de los casos
1 º CASO
Si - œ . œ !, entonces , la función toma la forma 0 Ð B Ñ œ + =/8 , B
Como y = sen x es periódica, de periodo 2 y su gráfico tiene la mayor ordenada que es 1,1
cuando
, entonces, la función , suponiendo que a y b
B œ 1 „ # 5 0 ÐBÑ œ + =/8 ,B ! !
# 1
es también periódica repitiéndose cada vez que ,Bbvaría en una longitud 2 , es decir, cuando x varía1
en una longitud . Su periódo es entonces 2 2
b1 b1
ww ww+ es la mayor ordenada o máximo de la función y se llama amplitud de la función Si + !, el ciclo comienza sobre el eje \
Si + !ß el ciclo comienza abajo del eje \ Ejemplo 1
Sea la función C œ $ =/8 B1 . Graficar #
Respuesta
Amplitud : + œ $ß + !
Periodo : 2 , en este ejercicio luego el periodo es 4
b1 , œ 1#
ìConviene graficar en el eje positivo de las x ìLos extremos son (!ß !Ñ y (%ß !Ñde un periódo ìEl punto medio es ( # ß !Ñ de un periódo
ìEl valor máximo lo toma en el punto medio entre ( 0ß !Ñ y (#ß !Ñ ßes decirÐ "ß ! Ñ ì La gráfica pasa por le punto ("ß $ Ñ
¡¡ OJO !!
Como la función seno es impar , se tiene que:
, entonces el gráfico de C œ + =/8 Ð , B Ñ œ + =/8 Ð ,B Ñ
es el simétrico del de
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Observe los gráficos siguientes
¿Qué puede decir de ellos?. ¿En qué se diferencian0 ÐBÑ y 1ÐBÑ? 2 º CASO
Si . œ !, entonces , la función toma la forma 0 Ð B Ñ œ + =/8 Ð, B - Ñ El gráfico de esta función es similar al de 0 ÐB Ñ œ + =/8 ,B
0 ÐBÑ œ ! cuando
,B - œ !ß despejamos x
B œ -,
Este valor recibe el nombre de FASE y representa el número de unidades que se debe trasladar el gráfico de C œ + =/8 ( , B + c ) a lo largo del eje x, para obtener el gráfico de l a función. Esta traslación también se llama desplazamiento horizontal.
Si - , la traslación es hacia la izquierda
, !
si - , la traslación es hacia la derecha , !
Ejemplo 2
Graficar C œ # =/8 Ð #B 1Ñ Respuesta
Amplitud + œ #
Periodo : 2 , en este ejercicio 2 luego el periodo es
b1 , œ 1
Fase:
#B 1 œ ! #B œ 1
como este valor es positivo, la traslación es hacia la derecha B œ 1
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En el gráfico , la línea continua muestra el periódo que se repite a lo largo de todo el eje. Ejemplo
Grafique =/8 Ð B 1Ñ
Respuesta Amplitud : + œ "
Periodo : 2 , en este ejercicio luego el periodo es
b1 , œ " #1
Fase B 1 œ ! B œ 1
Gráfico
3 º CASO
Si la función toma la forma 0 Ð B Ñ œ + =/8 Ð,B - Ñ . con a , b , c y d − ‘
El valor de "d" traslada el gráfico en forma vertical Si . ! , el gráfico se desplaza hacia arriba d unidades Si . ! ßel gráfico se desplaza hacia abajo d unidades
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Ejemplo
Graficar C œ # =/8 Ð # B 1Ñ $
Respuesta Amplitud : + œ #
Periodo : 2 , en este ejercicio luego el periodo es
b1 , œ # 1
Como + ! , el gráfico igual al anterior , pero es simétrico a él.
Ejemplo
Grafique C œ " =/8 B
Respuesta Amplitud : + œ "
Periodo : 2 , en este ejercicio luego el periodo es
b1 , œ " #1
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Ejercicios
Grafique las siguientes funciones a)C œ # =/8 $B ,Ñ C œ $ =/8 Ð#B Ñ # 1 -Ñ C œ $ =/8 # B .Ñ C œ2 sen "B #
/ÑEn la figura se muestra el encefalograma de un cerebro humano durante un sueño profundo. Las ondas [que se registran corresponde a la función [ œ + =/8 Ð,B -ÑÞ
¿Cuál es el valor de ,
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e) , œ #1
Otras formas de ecuaciones son...
Función sinusoidal de la forma 0 ÐBÑ œ + =/8 B , -9= B Para resolver las gráficas es conveniente estudiar el siguiente teorema
: Teorema
Para valores cualquiera de a , b y c existen números A y tales que!
7 =/8 - B 8 -9= - B œ E =/8 Ð - B !Ñ
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/ E œ È+ ,# # À E# " œ E+## E,##
por lo tanto el punto de coordenadas P , pertenece a la
" œ ˆ ‰+ ˆ ‰, ß ˆ+ ,‰
E E E E
#
#
circunferencia unitaria , luego:
=/8! œ E, -9=! œE+
La gráfica entonces corresponde a la función C œ E =/8 Ð- B !Ñ
Ejemplo Graficar 0 Ð B Ñ œ # =/8 B & -9= B Respuesta + œ # , œ & - œ "
luego E œ È# &# # œ È#* ¸ &ß &*
=/8! œ & ß ! œ ')
#*
È º
en radianes los 68 º se tranforman a "Þ "* La fase es "Þ"*
Periodo #1
La gráfica es:
Ejemplo./aplicación
Dos generadores de corriente alterna producen corrientes que vienen dadas, en función del tiempo por las ecuaciones
3 œ" È$ =/8 "#! B1 3 œ -9= "#! B# 1
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Si la corriente del segundo se añade a la del primero, determine las corrientes máximas, cuándo ocurre y la fase producida.
Respuesta
El total de corriente está dado por la ecuación 3 œ 3 3" # œ È$ =/8 "#! B -9= "#! B1 1 + œ È$
, œ " - œ "#!1
E œ É ÈÐ $ Ñ Ð " Ñ# # œ È% œ # El punto P tiene coordenadas P ŠÈ23 , "#‹ÞAsí
=/8! œ " C -9=! œ
#
È3 2
por cualquiera de las dos formas trigonométricas es posible determinar el valor del ángulo. Como está!
en el IV cuadrante !œ 1 Þ '
Por lo tanto el total de corriente puede representarse por la ecuación. A =/8 Ð -B !Ñ
# =/8 "#! B ˆ 1 1'‰
Se deduce que la corriente máxima es 2 y que la fase es:ÞÞÞÞ "#! B 1 1' œ ! "#! B œ1 1' B œ "#! Þ Þ '11 B œ " (#! unidades de tiempo. " (#!
El valor máximo de i ocurre cuando x = 1 + k , 180 360 5 −™ Gráfico:
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Ej rcicios/
Construya la gráfica de: "Ñ C œ =/8 B # -9= B #Ñ C œ =/8 B -9= B 3Ñ C œ =/8 B # -9= B Respuesta "Ñ + œ " , œ # - œ " E œ È& ¸ #ß #$ =/8! œ , œ # œ '$ E È& º
luego la función queda E =/8 Ð-B !Ñ º ) È& =/8 Ð B '$ Amplitud œ È& Fase : B '$º œ ! º B œ '$ Desplazamiento a la izquierda
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$Ñ
RELACIONES BASICAS E IDENTIDADES
Anteriormente habíamos visto algunas relaciones llamadas Recíprocas, ahora vamos a ver otras más y que nos servirán para el posterior desarrollo del curso.