Las wavelets proporcionan una herramienta matemática flexible para problemas prácticos en cienc ia e ingeniería. En la última década se han aplicado con éxito al análisis de señales en disciplinas tan diversas como la medicina, la ingeniería eléctrica, teledetección y muchas otras. Una de las principales virtudes de las wavelets es que permiten modelar mejor procesos que dependen fuertemente del tiempo y cuyo comportamiento no tiene por qué ser suave. La transformada wavelet resulta especialmente eficiente para extraer información de señales no periódicas o de vida finita. Otra de las ventajas de dicha transformada , frente a otros métodos, es el de poder disponer de una amplia familia de wavelets, lo cual permite tratar señales de diversa índole. La elección de la wavelet dependerá del tipo de señal que se analice. Algunos de los principales problemas que afectan al tratamiento de señales e imágenes digitales, y en los que las wavelets constituyen una potente herramienta para afrontarlos, son la reducción del ruido (en señales de audio y en imágenes), la compresión de señales (de vital importancia tanto en la transmisión de grandes cantidades de datos como en su almacenamiento) o la detección de determinados objetos en imágenes o irregularidades locales en ciertos tipos de señales (electrocardiogramas, vibraciones de motores, etc.) [1]. Esta moderna teor ía ha experimentado un gran desarrollo en las dos últimas décadas mostrándose muy eficiente donde otras técnicas, como por ejemplo, la transformada rápida de Fourier, no resultaban satisfactorias. En esta última se maneja una base de funciones bien localizada en frecuencia pero no en tiempo, mientras que la mayoría de las wavelets presentan una buena localización en tiempo y en frecuencia, disponiendo incluso de bases de wavelets con soporte compacto.
que permite tener un mejor panorama de dicha señal, y facilita su cálculo rápido cuando la familia de wavelets es ortogona l.
Aún entendiendo la definición de la ortogonalidad para las señales discretas como continuas que indica un desfasamiento en 90º. Se puede agregar lo siguiente:
Se dice que un conjunto de funciones fn(t) es ortogonal en un intervalo de 0-T cuando su producto interno integral de dos miembros diferentes de la familia es cero, mientras que su cuadrado es integrable y diferente a cero, esto es:
( ) ( )
∫
= ≠ T k j t tdt si j k 0 0 ϕ ϕ (3.1)En donde φj yφk son las funciones madres generadoras de la wavelet.
Esta característic a en particular permite obtener los coeficientes Wavelet para cada descomposición.
La transformada wavelet discreta es una transformación de la señal que la divide en dos tipos de sub-señales, de aproximaciones y detalles [2]. Las aproximaciones son una copia de la señal a menor resolución y los detalles almacenan información referida a los cambios locales en la señal original. Las aproximaciones y detalles más significativos permiten una compresión de la señal a cambio de descartar información irrelevante y de la eliminación del ruido producido por los aparatos y las condiciones de medida. Según el tipo de medición realizada, el ruido correspondiente se comporta matemáticamente siguiendo distribuciones de probabilidad gaussianas uniformes. El estudio de los detalles permite detectar anomalías o disfunciones en el comportamiento esperado de la señal inicial. También permite la comparación con patrones para detectar formas en una imagen o una señal unidimensional de forma automática. El nuevo formato de JPEG2000 [6] basa la compresión de imágenes en la transformada wavelet. La mayor parte de las familias de wavelets que se utilizan son ortogonales, la cual permite una transformada inversa de fácil obtención, y tan rápida como la transformada directa. No existe una transformada wavelet única, ni que resuelva todos los problemas, a partir del modelado del proceso y de un análisis a priori del tipo de señal tratada y del objetivo que se pretenda (compresión, eliminación del ruido, segmentación de la imagen, etc. ) se busca la familia de wavelets [4] (Haar, Daubechies, etc.), figura 3.1 a) y b), que mejor coincida con las características de la señal a estudiar.
1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
Descomposicion Filtro Pasa Bajas
1 1.5 2 -1 -0.5 0 0.5 1
Descomposicion Filtro Pasa Altas
1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
Reconstruccion Filtro Pasa Bajas
1 1.5 2 -1 -0.5 0 0.5 1
Descomposición Filtro Pasa Altas
Filtros utilizados en la descomposicion Haar
0 2 4 6 8 -0.5
0 0.5 1
Descomposicion Filtro Pasa Bajas
0 2 4 6 8 -1 -0.5 0 0.5 1
Descomposicion Filtro Pasa Altas
0 2 4 6 8 -0.5
0 0.5 1
Reconstruccion Filtro Pasa Bajas
0 2 4 6 8 -1 -0.5 0 0.5 1
Descomposición Filtro Pasa Altas
Filtros utilizados en la descomposicion Daub4
Figura 3.1.- a) Respuesta al impulso de la wavelet Haar.
b) Respuestas al impulso de la Daubechie s daub4.
El tratamiento con wavelets discretas permite su aplicación directa a procesos computacionales. Las wavelets continuas presentan, por una parte, la dificultad de su manejo al tener que evaluar un gran número de integrales y tener en consecuencia una redundancia de información, esto por consecuencia aumenta el costo en tiempo de procesamiento de señales, sobre todo si dichas señales ocupan mucho espacio de almacenamiento. Concretamente, en el tratamiento de imágenes digitales se precisa resaltar detalles y detectar texturas analizando la imagen desde distintos ángulos, lo cual es posible con la descomposición wavelet.
Las wavelets proveen un método poderoso y una diversidad de herramientas para resolver problemas en el ámbito del procesamiento de señales. Por ejemplo, los problemas más comúnmente resueltos por las wavelets son [4]:
• Eliminación de ruido en archivos de audio y archivos de imagen. • Compresión de señales.
• Reconocimiento de patrones.
El estudio en tiempo-frecuencia se puede entender de dos maneras: física y matemáticamente, siendo la última la que nos permite ver cómo las propiedades espectrales de la señal cambian con el tiempo [6], [7]. Las wavelets es una herramienta que posibilita observar dicha señal en el dominio de la frecuencia.
Las wavelets son funciones expresadas en la siguiente manera:
( )
x aj(
ajx kb)
k
j = ϕ −
ϕ /2
, (3.2)
donde f ? L2 (R),a>0, b ? R, y j, k son enteros. Esto es, las wavelets son generadas por una función kernel o madre para este caso [7]. El estándar propone que a=2 y b=1.
Los coeficientes de las wavelet de f ? L2 (R) son definidos como:
( )
j k f( ) ( )
x x dx F , =∫
ϕj,k(3.3)
Cuando j, k (establecen los límites de ventana de muestreo) cambian sus valores, la señal madre se dilata, es decir; puede expandirse o contraerse. Aunque se presenten la expansión o contracción, la función puede seguir cubriendo el espectro de la señal a procesar y la calidad de la imagen se conserva.