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PdM5 CST ‒ CHAPITRE 3 Savoirs 3.4 © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autoriséeCHAÎNE DE VALEUR MINIMALE
Dans un graphe valué, il est possible de déterminer la chaîne de valeur minimale, c’est-à-dire la chaîne de plus petite valeur qui relie deux sommets, de la façon suivante.
Démarche
Exemple : Dans le graphe suivant, chaque sommet correspond à une halte et la valeur associée à une arête indique la longueur (en km) d’un sentier de randonnée pédestre.
Quelle est la distance minimale à parcourir pour rallier les haltes A et C ?
1. Évaluer, pour chacun des sommets adjacents au sommet initial, la chaîne de valeur minimale qui le relie au sommet initial.
Ici, les sommets B et E sont adjacents au sommet initial A.
La chaîne de valeur minimale ralliant les sommets A et B est A-B et sa valeur est 3 et celle ralliant les sommets A et E est A-E et sa valeur est 5.
2. Évaluer, pour chacun des autres sommets, la chaîne de valeur minimale qui le relie au sommet initial.
Il existe deux chaînes ralliant le sommet D au sommet initial : 1) A-B-D, dont la valeur est 3 + 7 = 10 ;
2) A-E-D, dont la valeur est 5 + 4 = 9.
La chaîne de valeur minimale ralliant les sommets A et D est donc A-E-D et sa valeur est 9.
3. Répéter l’étape 2 pour les autres sommets jusqu’à atteindre le sommet souhaité.
Note: Pour chaque sommet du graphe, on consigne généralement seulement la chaîne de valeur minimale le ralliant au sommet initial.
Il existe trois chaînes ralliant le sommet C au sommet initial : 1) A-B-D-C, dont la valeur est 3 + 7 + 3 = 13 ;
2) A-E-D-C, dont la valeur est 5 + 4 + 3 = 12 ; 3) A-B-C, dont la valeur est 3 + 11 = 14.
La chaîne de valeur minimale ralliant les sommets A et C est donc A-E-D-C et sa valeur est 12.
Ainsi, la distance minimale à parcourir pour rallier les haltes A et C est de 12 km en empruntant le trajet associé à la chaîne A-E-D-C.
3.4 Valeur minimale et maximale
et nombre chromatique
© 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée PdM5 CST ‒ CHAPITRE 3 Savoirs 3.4
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ARBRE DE VALEURS MINIMALES OU MAXIMALES
L’arbre de valeurs minimales (ou maximales) d’un graphe est un arbre composé des arêtes de plus petites (ou de plus grandes) valeurs du graphe. Il est possible de représenter l’arbre de valeurs minimales (ou maximales) d’un graphe de la façon suivante.
Démarche Exemple : On veut tracer l’arbre de valeurs maximales du
graphe ci-contre.
1. Sélectionner l’arête de plus grande valeur.
L’arête A-E a la plus grande valeur, soit 37.
2. Parmi les arêtes restantes, sélectionner celle qui a la plus grande valeur.
Parmi les arêtes restantes, C-D a la plus grande valeur, soit 31.
3. Répéter l’étape précédente jusqu’à l’obtention d’un arbre, c’est-à-dire d’un graphe connexe sans cycle simple.
NOMBRE CHROMATIQUE
• Le nombre chromatique est le nombre minimal de couleurs nécessaires pour colorier tous les sommets d’un graphe dans lequel deux sommets adjacents ne sont pas de la même couleur.
Exemple : Le nombre chromatique du graphe ci-contre est 3.
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PdM5 CST ‒ CHAPITRE 3 Savoirs 3.4 © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée• Il est possible de déterminer le nombre chromatique d’un graphe de la façon suivante.
Démarche
Exemple : On veut déterminer le nombre
chromatique du graphe ci-contre.
1. Colorier le sommet de plus haut degré et colorier les sommets adjacents au sommet de plus haut degré à l’aide d’une autre couleur en évitant que deux sommets adjacents soient de la même couleur.
Le sommet de plus haut degré est F : degré 5.
2. Colorier les autres sommets à l’aide des couleurs déjà utilisées, si possible, sinon utiliser d’autres couleurs.
Le nombre chromatique de ce graphe est 4.
© 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée PdM5 CST ‒ CHAPITRE 3 Renforcement 3.4
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Dans le graphe illustré, quelle est la valeur minimale de la chaîne reliant : a) le sommet A au sommet F ;
b) le sommet C au sommet E ;
c) le sommet B au sommet D.
À l’aide du graphe, tracez l’arbre de valeurs :
a) minimales ;
b) maximales.
Déterminez le nombre chromatique de chacun des graphes.
a) b)
3.4 Valeur minimale et maximale et nombre chromatique 1
2
3
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PdM5 CST ‒ CHAPITRE 3 Renforcement 3.4 © 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autoriséePendant la Première Guerre mondiale, les soldats combattaient souvent à partir de tranchées reliant plusieurs postes de commandement. Les communications étaient acheminées par des coureurs qui relayaient des messages d’un poste à un autre. Le tableau présente les distances et les temps requis pour rallier des postes de commandement reliés par des tranchées.
Communication entre les postes de commandement
Tranchée A-B A-D A-E A-H B-C C-D D-E E-F F-G F-H G-H
Temps (min) 2,8 3,4 4,7 3 2,3 3,5 3 2,5 2,7 4,8 3,2
Distance (m) 20 46 36 28 40 30 26 18 35 42 49
Représentez la situation à l’aide d’un graphe sachant qu’on veut rallier : a) directement ou non, tous les postes de commandement, tout en :
1)
parcourant la plus courte distance possible ;
2)
prenant le moins de temps possible.
b) tous les postes de commandement et revenir au poste de départ tout en :
1)parcourant la plus courte distance
possible ;
2)
prenant le moins de temps possible.
La réglementation sur le transport des matières dangereuses fait en sorte que certains produits ne peuvent pas être transportés dans un même camion de livraison. Le tableau résume cette situation.
Quel est le nombre minimal de camions nécessaires à la livraison de tous ces produits ?
Transport de produits dangereux
Produit « … ne peut être transporté dans le même camion que… »
A B, F et G
B A, C et G
C B D G
E F et G
F A, E et G
G A, B, D, E et F Réponse :
4
5
© 2016, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée PdM5 CST ‒ CHAPITRE 3 Enrichissement 3.4
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Une municipalité veut construire un réseau cyclable reliant plusieurs sites d’intérêt historique sur son territoire. Voici des renseignements sur cette situation.
Réseau cyclable
Tronçon A-B A-H A-I B-C B-J C-D C-J D-E
Longueur (km) 3,8 7,13 5,48 2,92 5,7 2,23 4,91 4,04
Tronçon E-F E-I E-J F-G F-I G-H H-I I-J
Longueur (km) 6,38 6,43 1,64 3,71 2,53 2,58 5,39 5,12
On compte construire ce réseau en deux étapes et sur deux ans. Une première étape doit faire en sorte que tous les sites soient accessibles directement ou non entre eux. La deuxième étape consistera à compléter le réseau en construisant les tronçons manquants.
Sachant qu’un kilomètre de piste cyclable coûte 5000 $ à construire la première année et 5500 $ la deuxième année, quel est le coût minimal pour réaliser l’ensemble du projet ?
Réponse :
