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Nom :

Groupe : Date :

2.3

Manuel de l’élève, volume 1, p. 94

FACTORISATION

Factoriserune expression algébrique consiste à l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs.

Il existe diverses méthodes pour factoriser une expression algébrique.

Mise en évidence double

Factoriser une expression algébrique par cette méthode consiste à :

1. regrouper les termes ayant un facteur commun ;

2. mettre le facteur commun en évidence dans chacun des groupes ; 3. mettre le facteur commun aux deux

termes en évidence.

Le résultat peut être validé

en développant la forme factorisée à l’aide de la propriété de la distributivité de la multiplication sur l’addition ou la soustraction.

Ex. : Dans l’expression ab6 3b2a, abet 2a ont acomme facteur commun et 3bet 6 ont 3 comme facteur commun.

On écrit alors : ab2a3b6.

a(b2) 3(b2)

a(b2) 3(b2)

(b2)(a3)

(b2)(a3) bab3 2 a2 3 ab2a3b6

Le facteur b₂ est commun aux deux termes.

Ex. : Forme développée Forme factorisée Facteurs

1) 3xy6x2y4 (3x2)(y2) 3x2 et y2

2) ax3xay3y (xy)(a3) xyet a3

3) 8mn10m12n15 (2m3)(4n5) 2m3 et 4n5

Ex. : 1) 2xy4x3y6 2x(y2) 3(y2) (y2)(2x 3)

2) 4a²b8ab6a12 4ab(a2) 6(a2) (a2)(4ab6)

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Nom :

Groupe : Date :

16

2.3

Manuel de l’élève, volume 1, p. 95

Différence de deux carrés

Cette méthode permet de factoriser une expression algébrique de la formea²b². Ce type de polynôme peut être factorisé en appliquant le modèle suivant :

a²b²(ab)(ab)

Ex. : 1)Puisque 36x²y²(6x)²(y)², les facteurs de l’expression algébrique 36x²y²sont donc 6xyet 6xy.

2)Puisque 4a²9b⁶(2a)²(3b³)², les facteurs de l’expression algébrique 4a²9b⁶sont 2a3b³et 2a3b³.

3)Il est possible de déterminer une expression algébrique qui correspond à la mesure de chacune des diagonales du losange ci-contre de la façon suivante.

Puisque 16a²25 correspond à une différence de carrés :

Aire

Les expressions algébriques correspondant à la mesure des diagonales du losange sont donc 4a5 et 4a5.

(4a5)(4a5) 2 Dd

2

Ex. : 1)L’expression 9a⁶12a³4 est un carré parfait puisque 90, 4 0 et 122 . Puisque le terme médian est négatif, chacun des facteurs correspond à une différence.

Puisque 9a⁶ (3a³)²et que 4 2², les facteurs sont donc 3a³2 et 3a³2 ou (3a³2)².

2)Il est possible de déterminer une expression algébrique qui correspond à la mesure de chacun des côtés du carré ci-contre de la façon suivante.

Puisque 36m²60m25 correspond à un trinôme carré parfait : Aire c²(6m5)².

L’expression algébrique correspondant à la mesure d’un côté du carré est donc 6m5.

Trinôme carré parfait

Cette méthode permet de factoriser une expression algébrique de la forme ax²bxc, où a 0, c 0 et b 2 . Ce type de polynôme peut être factorisé de la façon suivante.

1. Vérifier si le trinôme possède les caractéristiques d’un carré parfait.

2. Déterminer si les facteurs sont des sommes ou des différences selon le signe du terme médian.

3. Déterminer les facteurs.

Ex. : Dans l’expression x²8x16 : 1 0, 16 0 et 82 .

Puisque le terme médian est positif, chacun des facteurs correspond à une somme.

x²8x16 (...)²

• x²est le carré de x.

• 16 est le carré de 4.

Les facteurs sont donc x4 et x4 ou (x4)².

Aire ⫽16a² ⫺ 25 2

Aire 36m² 60m 25 5374G_Savoirs_Vision2_EP4.qx:Layout 1 08/07/09 15:11 Page 16

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Nom :

Groupe : Date :

2.3

Manuel de l’élève, volume 1, p. 96

Ex. :1) (3x²5x2) (x2) 2) (5x²15x5) (x2)

Ainsi : Lorsqu’il y a un reste différent de 0,

(3x²5x2) (x2) 3x1 on l’indique en le posant sur le diviseur, ainsi : (5x²15x5) (x2) 5x5 _x⁵₂ 3x² 5x 2

(3x² 6x) 3x 1x 2 –x 2

(^–x 2) 0

Dividende Diviseur

Quotient

5x² 15x 5

(5x² 10x) 5x 5

x 2

–5x 5 (^–5x 10)

–5

Dividende Diviseur

Quotient Reste

Expressions rationnelles

Une expression rationnelle est une expression de la forme dans laquelle Pet Qsont des polynômes et où Q0.

P Q

Ex. : Les expressions , et sont des expressions rationnelles. L’expression n’est définie que si x0, tandis que l’expression ^xy n’est définie que si x1.

x1

1 x xy

x1 3x1

2 1 x

Ex. : Les expressions et sont des expressions équivalentes puisque . Ces expressions ne sont définies que si x^–3 et x0.

–4x x²3x x

x

–4 x3

–4x x²3x

–4 x3

Ex. : . Ces égalités sont vraies si x0 et x^–1.

2 3

x 3(2x1) x(2x1) 6x3

2x²x

On peut générer des expressions rationnelles équivalentes en multipliant le numérateur et le dénominateur d’une expression par une même quantité différente de 0.

Il est possible de réduire une expression rationnelle lorsque le numérateur et le dénominateur ont au moins un facteur en commun. On élimine alors le ou les facteurs communs du numéra- teur et du dénominateur en supposant pour chacun qu’il n’est pas égal à 0.

MANIPULATION D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES

Division d’un polynôme par un binôme

La division d’un polynôme par un binôme peut s’effectuer en divisant par étapes successives le polynôme par le binôme. À chacune des étapes, il s’agit de choisir le terme du quotient de façon à annuler le terme de plus haut degré dans le polynôme à diviser.

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Nom :

Groupe : Date :

18

2.3

Manuel de l’élève, volume 1, p. 97

Pour multiplierdes expressions rationnelles, on multiplie les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble.

Opérations sur les expressions rationnelles

Les opérations sur des expressions rationnelles s’effectuent en appliquant les mêmes règles que celles utilisées pour les opérations sur des nombres écrits sous la forme de fractions.

L’additionet la soustractiond’expressions rationnelles nécessitent la recherche d’expressions équivalentes ayant le même dénominateur.

Ex. : 1) . 2) .

Ces égalités sont vraies si x0. Ces égalités sont vraies si x0 et y0.

3y4 xy 4 xy 3y xy 4 xy 3 x 9

2x 8 2x 1 2x 4 x 1 2x

Pour diviserdes expressions rationnelles, on multiplie la première fraction par l’inverse de la seconde.

Ex. : ^3(x1). Ces égalités sont vraies si x0.

2 3x(x1)

2x² 3(x²x)

2x² 3

x x²x

2x

Ex. : ³⁵ . Ces égalités sont vraies si x0 et y3.

(y3) 35x

x(y3) 5x

y3 7

x y3

5x 7 x

Voici une situation impliquant des opérations sur les expressions rationnelles et le rectangle ci-contre.

Ex. : 1) Il est possible de déterminer une expression algébrique réduite correspondant au périmètre du rectangle ci-dessus de la façon suivante.

Périmètre2h2b

2 2 2 2

L’expression algébrique réduite

correspondant au périmètre du rectangle est donc ^2x1, si x0 et x1.

x 2x1

x 2x2 1

x 2(x1)

x

1 x (x1)(x1)

x(x1)

1 2x x²2x1

x²x

1 2x

2) Il est possible de déterminer

une expression algébrique réduite corre- spondant à l’aire du rectangle

ci-dessus de la façon suivante.

Aire bh

L’expression algébrique réduite correspondant à l’aire du rectangle est donc ^x1, si x0 et x1.

2x² 1 2x x1

2x² x1

x

1 2x (x1)(x1)

x(x1) 1 2x x²2x1

x²x

x² ⫺ 2x ⫹ 1 x² ⫺ x

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