La phase de propagation des fissures conduit simplement à la propagation des level sets. Les différentes étapes de propagation des fissures X-FEM dans Code_Aster changent en fonction de l'approche utilisée.
Vitesse d’avancée du fond de fissure
Champ de vitesse étendu au maillage
Si l'on regarde la signification physique de la vitesse, on peut dire qu'elle change progressivement entre les deux vecteurs limites VI et VJ avec la position du point P. Pour la valeur de ‖ VP‖ on peut utiliser une interpolation linéaire entre deux valeurs ∥VI∥ et ∥VJ∥.
Calcul des vitesses pour chaque nœud du maillage
L'orientation de la base au point P est obtenue en utilisant une rotation inférieure proportionnelle à la valeur de smin. Après avoir déterminé la base locale tP et nP au point P, on peut calculer la valeur des composantes de la vitesse VP.
Calcul de la base locale
Chaque colonne de la matrice représente un vecteur de la base au point J tJ, nJ, bJ dans la base locale au point I. On calcule les axes tP et nP de la base locale au point P dans la base locale au point I .
Ajustement du champ de vitesse normale
Prise en compte du déversement
La réflexion sur le déversement consiste donc à faire circuler les bases locales préalablement à l'étape de mise à jour des level sets. Bases locales ayant subi une rotation avant l'étape de mise à jour du level set, le vecteur vitesse V porte donc uniquement le vecteur t' de la nouvelle base locale.
Détermination des angles de bifurcation
Après propagation, la géométrie de la fissure change et les niveaux doivent évoluer pour décrire correctement cette nouvelle géométrie. Les ensembles de niveaux peuvent être recalculés plus rapidement à l'aide d'équations de mise à jour des ensembles de niveaux qui décrivent leur évolution après propagation des fissures.
Équations de mise à jour
La recherche de la vitesse maximale peut donc se limiter aux intersections entre le fond de fissure et les surfaces des éléments de grille. Le taux calculé selon la loi de propagation (par exemple la loi de Paris) est donné comme la progression de la fissure par cycle de fatigue (par exemple : millimètres/cycle).
Introduction
Compte tenu de l'utilisation principale de ces fonctions pour la méthode G-Theta, il semble plus important que les gradients soient bien normalisés, plutôt qu'orthogonaux, pour que les coordonnées polaires r, aient un sens. Afin d'avoir une base locale orthonormée, on s'appuie également sur le point de rupture que les gradients sont normalisés et orthogonaux.
Résolution par la méthode de fast marching
Méthode « Upwind »
Il est nécessaire de localiser le fond de la fissure dans le maillage physique. Sur le côté gauche de la figure, nous voyons la configuration des level sets avant la mise à jour. On voit que la surface de la fissure qui existait avant la propagation est préservée par la projection (ligne rouge à droite du point orange), ainsi que la continuité de la surface de la fissure entre le domaine de projection (cercle 3) et la partie restante du maillage physique (la ligne rouge est la continuation de la ligne orange).
Avec la définition du domaine de projection utilisé, la projection affecte toujours des ensembles de niveaux autour de la position du fond de fissure avant propagation (point orange), il n'y a donc aucun risque de détecter de faux fonds de fissure (lsn=lst =0). après projection.
Méthode « Simplexe »
La surface et le fond de la fissure sont représentés en orange avant propagation et en rouge. L'idée utilisée est d'écrire une équation pour la projection d'un point sur une droite pour x1, x2 et x3. Pour garantir que la solution augmente de manière monotone, nous pouvons ajouter un critère à la sélection de la solution.
La méthode géométrique sert uniquement à obtenir les valeurs d'initialisation d'un ensemble de niveaux tangents, toujours avec l'idée que les ensembles de niveaux doivent rester perpendiculaires les uns aux autres.
Calcul des level-sets à proximité des iso-zéros
Contrairement à la méthode upwind, nous n’avons plus besoin de la méthode géométrique pour les points de bord. Un avantage de cette localisation est évidemment que le temps de calcul nécessaire pour mettre à jour et réinitialiser les level sets est inférieur par rapport au cas où tous les nœuds et éléments du maillage ou de la grille auxiliaire sont utilisés. Il montre une fissure 3D se propageant en mode mixte avec un angle de propagation changeant linéairement le long du fond de fissure.
Il est à noter que pour cette figure le niveau de la fissure initiale n'a pas été représenté, contrairement à ce qui a été fait pour la figure 5-2.
Sélection des nœuds/points et des éléments du domaine de calcul localisé
La première étape (à gauche) est la sélection des nœuds à une distance inférieure ou égale à Rloc. Enfin, on sélectionne tous les nœuds des éléments qui ont été prélevés : les nœuds marqués de petits cercles viennent.
Déplacement du domaine localisé en suite à la propagation de la fissure
Le calcul des bonnes valeurs des level sets pour tous les points de la région blanche du domaine 2 de la Figure 5.2-1 peut se faire en utilisant la définition de distance signée des level sets (bib14). Ces équations permettent de calculer la valeur exacte d'ensembles de niveaux de signe correct. Il est à noter que dans le cas 3D, le point P2 est le point projeté du point M au fond de la fissure.
Pour chaque point M, sa projection et la base n2−t2 ont déjà été calculées lors de la phase d'expansion de la vitesse du fond de fissure aux points du domaine de calcul ([§2.2.
Limitations sur la valeur du rayon du domaine localisé entre deux propagation successives
La valeur du rayon du domaine courant est donc bornée par les valeurs de la promotion de fissure et du rayon du domaine utilisé à l'étape de propagation précédente. Il est cependant à noter que la valeur du rayon du domaine peut changer par rapport à la valeur théorique donnée par l'utilisateur du fait de la discrétisation du domaine et de la figure 5.2-1 de droite). Ceci découle de l'analyse des équations de mise à jour des level set décrites aux paragraphes 3.1 : nous réussissons à montrer que le processus de mise à jour des level set peut toujours se réduire à un processus 2D en mode I II dans le plan formé soit par la tangente et la normale à la surface de la fissure au fond de la fissure (plan nP−tP de la figure 2.3-1.
Sachant que le problème de mise à jour des level sets peut toujours être réduit à un problème 2D, la nouvelle position du fond peut être facilement calculée en fonction de la progression de la fissure et de l'angle de propagation au point de fissure.
Méthode de calcul des level-sets
Une méthode alternative aux méthodes de mise à jour au niveau de l'ensemble est celle décrite dans (bib 18). Cela permet de simplifier grandement le calcul direct des nouvelles valeurs des groupes de niveaux après progression. Ce calcul est d'ailleurs déjà expliqué au paragraphe §5.2 concernant l'évaluation des level sets pour les points hors périmètre de calcul qui ont été ajoutés.
Où O est le point d'origine de la base globale dans laquelle sont exprimées les coordonnées des points.
Traitement des points problématiques
Enfin, la base au point Q peut être calculée en faisant pivoter l'angle de la base au point P autour de l'axe perpendiculaire au plan tP−nP. Pour rendre compte correctement du signe du level set tangent, le vecteur t*P doit être réorienté selon la direction donnée par tP (bib 18. L'utilisation du vecteur t'P au lieu de tP dans les équations de la section § § 6.1 vous permet de calculer correctement les niveaux pour les points problématiques.
Discontinuité de la level-set normale et limitations de calcul
Si elle limite l'angle d'épandage à des valeurs strictement inférieures à π/2 (sous la menace d'une amélioration de plus en plus importante à mesure que l'on se rapproche de π/2), cette condition n'est pas très contraignante, puisqu'il convient d'envisager également une relation similaire dans le cas de mise à jour d'ensembles de niveaux par la méthode simplex ou upwind.
Localisation du domaine
La méthode la plus intuitive pour mettre à jour les valeurs de niveau définies à chaque étape de propagation de fissure consiste à utiliser leur propriété de distance signée. Cela inclut une représentation claire de la fissure (bords de fissure et pointe de fissure) propagée pour calculer les distances nœud-fissure. Ainsi, cette méthode utilise deux maillages distincts (fissure et structure) et seul le maillage de fissure est modifié lors de la propagation.
Lors de la mise à jour de ce maillage, les nouveaux jeux de niveaux sont recalculés en calculant directement la distance à la fissure (projection orthogonale sur le maillage des fissures).
Présentation de la méthode
La mise à jour du maillage de fissure à chaque étape de propagation consiste concrètement à créer une nouvelle rangée de maillages surfaciques pour représenter l'avancée de la fissure et une nouvelle rangée de maillages linéaires pour représenter le nouveau fond.
Algorithme
Comment gérer la séparation de ce front de fissure en deux ou même plusieurs autres parties. Une chose similaire se produit lorsque deux fronts de fissures indépendants fusionnent en un seul. Mais dans certains cas, il s'agit d'améliorations par rapport aux méthodes précédentes en s'adaptant à la séparation des fronts de fissure (modification de la génération du maillage de fissure pour la méthode maillage, continuité des niveaux dans le trou pour la méthode upwind utilisant un maillage auxiliaire).
Selon les méthodes utilisées pour contrôler la mise à jour des level sets, la stratégie mise en œuvre pour tenir compte de la séparation ou de la fusion des fronts de fissures est différente.
Méthode maillage
L'objectif est ici d'expliquer les évolutions à apporter à ces différentes méthodes pour prendre en compte le comportement d'un front de fissure lorsqu'il rencontre un obstacle (un trou par exemple). Ce sont les level sets qui déterminent le fond de fissure et donc la présence ou non de multiples fonds de fissure. Le nombre total de N nœuds à tous les points de fissure doit rester constant entre deux étapes de propagation.
Ce cas peut notamment se produire lorsque deux fonds de fissure se rencontrent (Figure 8.1-3 a.) et doit être absolument évité car il crée des problèmes importants dans le calcul des level sets (fausses valeurs, apparition de faux fonds). fissure).
Méthode upwind : introduction d'un fond virtuel
On lui attribue la même base locale que celle du point final du front physique de fissure. La distance d'un point virtuel au sommet de la fissure ne doit pas dépasser le tiers de la distance entre les deux sommets. On calcule géométriquement les groupes de niveaux (voir paragraphe 6) en projetant le joint sur le front de fissure (figure 8.2-5.
Ces points sont repérés sur le front de fissure du maillage par leurs abscisses curvilignes respectives.
Méthode géométrique et simplexe
1 GRAVOUIL A., MOËS N., BELYTSCHKO T., "Non-planar 3D crack growth with extended finite element and level sets - II. part: Updating level sets,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 5 BARTH T.J., SETHIAN J.A., “Numerical schemes for Hamilton-Jacobi and level equations on triangulated domains”, Journal of Computational Physics, vol. 13 DUFLOT M., “Study of representation of cracks with sets of levels”, International Journal of Numerical Methods in Engineering, vol.
14 COLOMBO, PATRICK MASSIN, «Fast and robust level set updating for 3D non-planar X-FEM crack propagation modelling», Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.
