Page 236
1. a) 1) 6 2) A : 2, B : 2, C : 4, D : 1, E : 1, F : 1 b) 1) 4 2) A : 3, B : 3, C : 4, D : 4
2. a) b)
1) 1 1) 2
2) 7 2) 11
3. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : b) Plusieurs réponses possibles. Exemple :
Page 237
4. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple :
b) L’équipe Les écureuils a atteint sept étapes et l’équipe Les chevreuils a atteint huit étapes.
c) Elles représentent le trajet parcouru entre deux étapes.
3 Graphes
Caractéristiques des graphes et vocabulaire utilisé
5. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Les sentiers prévus dans ce plan obligent les campeurs à faire de longs détours pour se rendre d’un aménagement à un autre.
Par exemple, une personne qui veut se rendre des tentes à la piscine doit emprunter le parcours Emplacements pour les tentes-Poste d’accueil-Terrain de jeux-Piscine.
b) Plusieurs réponses possibles. Exemple :
Page 238 1.
Réponse : Oui, ce graphe est planaire puisqu’il est possible de le tracer de façon que ses arêtes ne s’entrecoupent pas.
Page 241
1. a) d(A, B) = 3 b) d(A, B) = 1 c) d(A, B) = 1 2. a) 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple : A-B-C-E-A-D-E-B (chaîne eulérienne).
2) Plusieurs réponses possibles. Exemple : B-C-D-E-F-D-A-B (cycle eulérien).
3) Aucune chaîne eulérienne possible.
b) 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple : A-B-C-D-E-F-G-A (cycle hamiltonien).
2) Aucune chaîne hamiltonienne possible.
3) Plusieurs réponses possibles. Exemple : A-B-C-D-E-G-F (chaîne hamiltonienne).
Page 242
3. a) 1) b) 1)
2) Aucune chaîne eulérienne possible.
3) Aucune chaîne hamiltonienne possible.
2) Plusieurs réponses possibles. Exemple : b-e-a-f-c-d-f-b-a (chaîne eulérienne).
Caractéristiques des graphes et vocabulaire utilisé
Chaînes et cycles
c) 1) d) 1)
2) Plusieurs réponses possibles. Exemple : 6-4-3-7-6-2-1-5-3-1 (chaîne eulérienne).
3) Plusieurs réponses possibles. Exemple : 4-6-2-1-5-3-7 (chaîne hamiltonienne).
2) Aucune chaîne eulérienne possible.
3) Aucune chaîne hamiltonienne possible.
4.
Réponse : Passer une seule fois par chaque feu et revenir à son point de départ décrit un cycle hamiltonien.
En ajoutant une arête reliant les sommets 2 et 4 et une autre arête reliant les sommets 3 et 6, il est possible de décrire un tel cycle.
Page 243
1. Représentation de la situation dans le plan cartésien : Partir de la base, inspecter chacune des lignes à haute tension une seule fois et revenir à la base fait intervenir un cycle eulérien. En ajoutant deux arêtes représentant le trajet de l’hélicoptère à partir de la base jusqu’à un poste de distribution et d’un poste de distribution à la base, on obtient un graphe dont toutes les arêtes sont de degré pair.
Il y a deux cycles eulériens possibles :
Base-1-2-7-5-6-3-4-Base et Base-4-3-6-5-7-2-1-Base.
Réponse : L’hélicoptère peut emprunter l’itinéraire Base-1-2-7-5-6-3-4-Base ou Base-4-3-6-5-7-2-1-Base.
Page 245 1.
Il faut ajouter deux arêtes. Il faut retrancher six arêtes. Il faut retrancher une arête.
2. a) 18 + 15 + 14 = 47 b) 2 + 5 + 3 + 8 = 18 c) 234 + 612 + 523 = 1369 ou 126 + 613 + 342 = 1081
Chaînes et cycles
Types de graphes
3. a) b)
Page 246 4. a)
b) A-B-D-F-G, A-B-D-E-F-G, A-C-D-F-G, A-C-D-E-F-G et A-C-E-F-G.
c) A-B-D-F-G : 5 + 13 + 8 + 12 = 38 min, A-B-D-E-F-G : 5 + 13 + 8 + 9 + 12 = 47 min, A-C-D-F-G : 5 + 15 + 8 + 12 = 40 min, A-C-D-E-F-G : 5 + 15 + 8 + 9 + 12 = 49 min et A-C-E-F-G : 5 + 15 + 9 + 12 = 41 min.
5. a) 1) 2)
Lucie.
Zacharie.
b) 52 − 8 + 3 − 6 = 41 min
Page 247
1. Pour chaque parcours, évaluer tous les trajets possibles du départ à l’arrivée.
Parcours 1 Parcours 2
Trajet Temps (s) Trajet Temps (s)
Départ-A-B-C-Arrivée 857 Départ-A-B-C-F-Arrivée 938
Départ-A-B-Arrivée 518 Départ-A-B-F-Arrivée 578
Départ-G-A-B-C-Arrivée 1217 Départ-G-B-C-F-Arrivée 1217
Départ-G-A-B-Arrivée 878 Départ-G-B-F-Arrivée 857
Départ-G-F-Arrivée 504 Départ-G-D-E-F-Arrivée 1036
Départ-D-E-G-A-B-C-Arrivée 1601 Départ-D-E-F-Arrivée 841
Départ-D-E-G-A-B-Arrivée 1262 Départ-D-E-G-F-Arrivée 1143 Départ-D-E-F-Arrivée 896 Déterminer quels trajets prennent le même temps.
Parcours 1 Parcours 2
Trajet Temps (s) Trajet Temps (s)
Départ-A-B-C-Arrivée 857 Départ-G-B-F-Arrivée 857
Départ-G-A-B-C-Arrivée 1217 Départ-G-B-C-F-Arrivée 1217
Réponse : Il y a deux possibilités : soit le coureur ou la coureuse du parcours 1 emprunte le trajet Départ-A-B-C-
Types de graphes
Page 251
1. a) A-B-E-F : 12 + 21 + 34 = 67 b) C-B-E : 45 + 21 = 66 c) B-C-D : 45 + 26 = 71
2. a) b)
3. a) b)
Le nombre chromatique est 3. Le nombre chromatique est 2.
Page 252
4. a) 1) 2)
b) 1) 2)
Valeur minimale et maximale et nombre chromatique
5. Représentation de la situation à l’aide d’un graphe où chaque sommet correspond à un type de produit et chaque arête, à deux produits incompatibles :
Nombre chromatique de ce graphe :
Le nombre chromatique du graphe est 3.
Réponse : Puisque le nombre chromatique du graphe représentant la situation est 3, un nombre minimal de trois camions est nécessaire à la livraison de tous ces produits.
Page 253
1. Pour que le coût soit minimal, il faut construire les tronçons les plus longs la première année et les plus courts la deuxième.
Arbre de valeurs maximales associé à cette situation : Longueur totale des tronçons à construire la première année :
7,13 + 5,48 + 5,12 + 3,71 + 6,38 + 6,43 + 4,04 + 4,91 + 5,7
= 48,9 km
Coût de réalisation : 48,9 × 5000 = 244 500 $
Tronçons manquants qui seront construits
la deuxième année : Longueur totale des tronçons à construire la deuxième année :
2,58 + 5,39 + 2,53 + 1,64 + 2,23 + 2,92 + 3,8 = 21,09 km Coût de réalisation :
21,09 × 5500 = 115 995 $ Coût total :
244 500 + 115 995 = 360 495 $
Réponse : Le coût minimal pour réaliser l’ensemble du projet est de 360 495 $.
Valeur minimale et maximale et nombre chromatique
Page 256 1. a)
Réponse : Le chemin critique est A-D-C-E-F-I-H.
b) Puisque la valeur du chemin critique est 123 jours, le temps minimal requis pour réaliser ce projet est 123 jours.
Page 257 2. a)
b)
Réponse : Le chemin critique est A-C-D-E-H-I-J-K.
c) Puisque la valeur du chemin critique est 101 min, le temps minimal requis pour monter cette motocyclette est 101 min.
d)
Réponse : Le temps minimal requis pour monter cette motocyclette augmente de 11 min pour devenir 112 min.
Chemin critique
Page 258
1. Chemin critique du chantier 1 :
D’après le chemin critique, le temps minimal requis pour terminer le chantier 1 est 65 semaines.
Graphe valué et orienté représentant l’évolution des travaux sur le chantier 2 :
Pour que le chantier 2 soit terminé en 65 semaines, le chemin critique doit être I-Q-K-M-R-O-P et doit avoir une valeur de 65. Pour cela, le temps requis pour réaliser l’étape Q doit être de 17 semaines.
Réponse : L’étape Q doit prendre 17 semaines.
Pages 259-260
Nommer chacun des vols et déterminer l’heure du retour pour chacun.
Horaire des vols
Nom du vol Heure de départ Durée du vol (min) Heure de retour
A 8 h 55 267 13 h 22
B 10 h 10 61 11 h 11
C 11 h 05 66 12 h 11
D 12 h 20 172 15 h 12
E 12 h 35 239 16 h 34
F 13 h 25 355 19 h 20
G 14 h 05 83 15 h 28
H 14 h 45 233 18 h 38
I 14 h 55 262 19 h 17
J 15 h 126 17 h 06
Chemin critique
La compagnie aérienne
Graphe où chaque sommet représente un vol et où chaque vol ayant lieu simultanément est relié par une arête :
Nombre chromatique du graphe :
Le nombre chromatique du graphe est 7.
Réponse : Puisqu’un ou une même pilote ne peut assurer plus d’un vol à la fois et que le nombre chromatique du graphe est 7, le nombre minimal de pilotes requis pour assurer tous ces vols est 7.
Pages 261-262
Graphe où la valeur de chacune des arêtes correspond
à la longueur (en km) de chaque sentier : Arbre de valeurs minimales :
Longueur minimale de sentiers à construire : 36,6 + 38,9 + 46,8 + 24,1 + 31 + 34,8 = 212,2 km Coût d’exécution des travaux d’aménagement pour les cinq premières années :
212,2 × 50 000 = 10 610 000 $
Autres sentiers à construire au cours des cinq années suivantes :
Longueur totale des sentiers à construire :
81,8 + 49,3 + 46,3 + 83 + 66,2 + 63,1 + 35,3 + 80,3 = 505,3 km Coût d’exécution des travaux d’aménagement pour
ces cinq années :
505,3 × 52 500 = 26 528 250 $
Coût total de l’aménagement des sentiers : 10 610 000 + 26 528 250 = 37 138 250 $
Réponse : Le coût total de l’aménagement des sentiers est de 37 138 250 $, ce qui dépasse 35 M$.
Les sentiers d’exploitation forestière
Page 263
1. d) 2. b) 3. c) 4. d)
Page 264
5. a) 7 b) A : 1, B : 5, C : 5, D : 4, E : 4, F : 3, G : 2
c) A, C, F et G. d) C et D, B et F.
6. a) A-F-E-D-C ou A-F-E-B-C. b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : C-B-A-F-E-C.
c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : C-D-E-F-A-B-C (cycle hamiltonien).
d) Plusieurs réponses possibles. Exemple : C-D-E-C-B-A-F- E-B (chaîne eulérienne).
7. a) b) c)
Le nombre chromatique est 3. Le nombre chromatique est 4. Le nombre chromatique est 2.
8. a)
Le chemin critique est A-B-D-E-F-H-I-J.
b) La valeur du chemin critique est 64.
Page 265
9. Le rez-de-chaussée est représenté par ce graphe, où chaque sommet correspond à une pièce et chaque arête, à une porte entre deux pièces. Passer une seule fois par chacune des pièces, incluant le corridor et à l’exception des armoires, puis revenir à son poste fait intervenir un cycle hamiltonien. Ce graphe n’admet aucun cycle hamiltonien.
Réponse : Puisque le graphe représentant l’étage n’admet aucun cycle hamiltonien, le gardien de sécurité ne peut pas, à partir de son poste, passer une seule fois par chacune des pièces, incluant le corridor et à l’exception des armoires, puis revenir à son poste.
10.
