Loi de comportement GLRC_DM

Modèles globaux

Objectifs de la loi GLRC_DM

L’utilisation de la théorie des plaques et coques minces permet de décrire efficacement le comportement mécanique des structures en béton armé, généralement minces. Dans la première étape de la construction du modèle, nous supposons l'existence d'un milieu homogénéisé ayant le même comportement mécanique que la structure en béton armé qui nous intéresse. Pour simplifier, nous faisons l'hypothèse que ce milieu est isotrope et que l'élément structural étudié est symétrique par rapport à son feuillet moyen.

De plus, leur impact sur le comportement est estimé inférieur à celui de la fissuration, qui est l’objet du modèle. Il est à noter que l'utilisation de ce modèle est associée à celle d'un élément en plaque. Il ne peut être utilisé que dans le cadre d'éléments finis DKT (modélisation prise en charge : DKTG), qui correspond à la théorie de Love-Kirchhoff, où toute distorsion transversale dans l'épaisseur de la plaque est négligée.

Énergie libre

Dans la théorie utilisée ici, nous introduisons seulement deux composantes rotationnelles x et y, ce qui implique que le tenseur de variation de courbure est 2D et n'a que 3 composantes indépendantes. Puisque ces valeurs propres sont généralement des fonctions non polynomiales de la coordonnée z, l'intégrale ∫ eddz ne peut pas être calculée analytiquement. Dans [éq 2.1-3] et [éq 2.1-4], nous avons également fait l'hypothèse que le développement en z n'affecte pas l'endommagement, ce qui se traduit par l'absence d'arguments zz de l'indicateur d'endommagement m.

De plus, du point de vue de la résolution numérique discuté ci-dessous, cette hypothèse facilite le calcul local des variables de dommage dj et la. Quant à la variable d'endommagement, elle est décrite par deux composantes, l'une des deux représente globalement l'endommagement du côté de la surface supérieure de la plaque et l'autre représente l'endommagement du côté de la surface inférieure de la plaque. Les paramètres d'endommagement mt pour la tension membranaire, mc pour la compression membranaire et f pour la flexion peuvent avoir des valeurs en [0,1], afin que le modèle ne s'adoucisse pas, ce qui entraînerait des problèmes de dépendance à la discrétisation spatiale et convergence.

On choisit ,≈0 si le phénomène correspondant aura plus d'impact sur le dommage et ,≈ 1 s'il est négligeable. Concernant le paramètre :  permet d'ajuster la contribution de la flexion au seuil d'endommagement (voir § 3.2).

Contraintes généralisées

Seuils et évolution de l’endommagement

2 pourrait être différent, mais selon l'hypothèse que l'on fait sur la symétrie de la plaque par rapport à la plaque moyenne, les valeurs sont les mêmes. Dans [éq 2.3-2] nous voyons que le paramètre  régule la contribution de la flexion au seuil d'endommagement initial, puisque. La loi d'évolution des variables d'endommagement d1 et d2 est définie par la règle de normalité aux seuils [éq 2.3-3], pour laquelle on peut définir le potentiel de pseudodissipation D.

L'évolution des variables d'endommagement est ainsi obtenue à l'aide de la condition de cohérence, les fonctions  x, d  sont convexes, les modules d'écrouissage − f, d.

Intégration numérique

L'équation [éq 2.4-1] doit être résolue également en tenant compte de l'état de contrainte plane, ce qui permet l'expression de zz, dj, cf. Cette phase de correction se termine lorsque le critère de convergence exprimé en énergie est atteint.

Opérateur de raideur tangente

Pour simplifier l'écriture, nous définissons un vecteur de contraintes généralisées (force membranaire, moment fléchissant),  et un vecteur de déformations généralisées (extension, flexion), E,. Elle peut être calculée comme la somme de deux contributions, celle correspondant à une non-évolution du dommage et celle résultant de l'évolution du dommage. De plus, nous considérons la structure du tenseur C composé des contributions normales de force-extension, de moment de flexion et de leurs couplages.

Nous voyons d'après [équation 2.5-2] que les couples de couplage moments/allongement et forces membranaires/flexion ne sont introduits que par la partie dissipative. Ce couplage a une justification physique, puisque toute fissure perpendiculaire à la couche médiane de la plaque affecte à la fois le comportement de la membrane et la flexion.

Changement de repère

Calcul de la dissipation

Variables internes du modèle

Le modèle de dalle en béton armé endommagé GLRC_DM a donc besoin de paramètres caractéristiques d'élasticité, complétés par 5 paramètres pour décrire le comportement à l'endommagement : k0, pour définir la limite élastique,  pour déterminer la participation de flexion (voir § 2.2), mt et mc , f pour décrire la réponse non linéaire. Il est possible d'intégrer soit à partir d'estimations analytiques simples (qui donnent des ordres de grandeur) soit à partir d'un recalibrage sur une courbe de réponse fournie par un autre modèle comportemental, éventuellement par compromis.

Identification des paramètres de comportement élastique linéaire

Tous ces paramètres peuvent être identifiés à partir d’essais monotones uniaxiaux de traction et de flexion pure. Certains d'entre eux sont remplacés par des paramètres plus "importants" dans le jeu de données Code_Aster, voir ci-dessous au § 3.2.5. La condition de contrainte plane pour la membrane zz=0 est remplie de la manière décrite au § 2.3.

Cette différence est directement liée aux différentes considérations de flexion de l’état de contrainte de la membrane et du plan. Plus précisément, nous définissons Eeqf et f via un test de flexion pur, où yy=−fxx, et Mij= 0, sauf Mxx≠0. L'identification des paramètres élastiques Eeqm, m, Eeqf et f du modèle basé sur les caractéristiques du béton et de l'acier repose sur deux cas de chargement : effort de traction pure et flexion pure.

Considérons les propriétés suivantes pour le béton : module d'Young Eb, coefficient de Poisson b, épaisseur de la dalle h, et pour l'acier : module d'Young Ea, coefficient de Poisson a, section totale par mètre linéaire (pour les deux couches, supposées symétriques en épaisseur et identiques dans les deux sens) Sa, position relative d'une couche en épaisseur. On observe que cette identification produit une erreur sur la rigidité plano-élastique en cisaillement de la plaque, cas où les aciers n'y contribuent pas (il s'agit de grilles de barres soudées), rendant le comportement homogénéisé orthotrope et non isotrope. . Si l'on préfère assurer une identification prioritaire dans le cas d'un déplacement élastique plan de la plaque, et dans le cas d'une réponse selon la direction de traction pure (donc en acceptant l'erreur sur l'effet de Poisson orthogonal), on obtient.

Il faut veiller à ce que cette identification grossière (non admissible thermodynamiquement par rapport à l'essai de traction pur) ne donne pas des valeurs fantaisistes de m. On observe également que cette identification produit une erreur sur la rigidité élastique antiélastique en flexion Mxy de la plaque (coefficient Geqf = Eeqf h3.

Identification des paramètres de comportement élastique endommageable

Paramètres définissant les seuils (mots-clé NYT, NYC et MYF)

Cas traction uniaxiale pure
Cas compression uniaxiale pure
Cas distorsion uniaxiale pure
Cas flexion uniaxiale pure
Cas traction-flexion uniaxiales

Paramètres définissant les pentes d'endommagement (mots-clé GAMMA_T et

Autre méthode pour définir les paramètres GAMMA_T et GAMMA_F:ENDO_LIM

Autre méthode pour définir les paramètres GAMMA_T et GAMMA_F : ENDO_INTER

Bilan de l'identification des paramètres du modèle GLRC_DM

Ainsi, en utilisant la valeur de ∣NC∣ (notée par le mot clé NYC), le coefficient mc est dérivé de mt et ND. Ceci découle du choix de formulation du modèle de membrane GLRC_DM, en ligne directe avec le modèle ENDO_ISOT_BETON. Si l'on poursuit l'analyse du § 3.1, la contrainte longitudinale dans le béton, justement au moment où survient l'endommagement, est égale à la paroi de la dalle (on sait que l'endommagement se poursuit alors immédiatement sur une grande partie de l'épaisseur de la section). ) .

Ainsi, il définit le domaine élastique prédit par le modèle GLRC_DM dans le quadrant  Nxx, Mxx. On sait que cet endommagement initial dans le modèle 3D de la dalle en béton armé est immédiatement suivi de l'apparition d'une zone endommagée dans une bonne partie de l'épaisseur. Les coefficients mt≤1 et f≤1 (mot-clé GAMMA_T et mot-clé GAMMA_F) sont liés aux pentes de la courbe de traction uniaxiale pure monotone et de la courbe de flexion uniaxiale pure, compte tenu de l'évolution infinitésimale immédiatement après l'apparition du premier dommage (.dj=0, d ˙j 0).

On obtient ainsi la pente de la courbe force normale Nxx – allongement xx à partir de l'apparition de l'endommagement, en fonction des propriétés élastiques et mt. On voit en pratique que la courbe force normale-extension obtenue avec le modèle GLRC_DM après endommagement est quasiment linéaire. 3.2-7] avec celle de la réponse recherchée, obtenue par comparaison avec une courbe d'un autre modèle de dalles en béton armé, dans la plage de déformation que l'on veut représenter, en négligeant éventuellement la phase de durcissement négatif correspondant à la phase brutale d'endommagement du béton dans la rubrique.

Traitons maintenant le cas de flexion uniaxiale pure en xx=D, à l'apparition du premier endommagement, avec ˙xx0 et d ˙1=0, d ˙20. On obtient ainsi la pente de la courbe de moment Mxx – variation de la courbure xx dès l'apparition de l'endommagement, en fonction des caractéristiques élastiques et def. On observe en pratique que la courbe moment - variation de courbure obtenue avec le modèle GLRC_DM après endommagement est quasiment rectiligne.

3.2-9] avec celle de la réponse souhaitée, obtenue par comparaison avec une courbe d'un autre modèle de dalle en béton armé, dans le domaine de déformation que nous souhaitons présenter, en négligeant éventuellement la phase d'écrouissage négative correspondant au stade brutal d'endommagement du béton dans la section. , voir Figure 3.2.2.1-a. Si l'on souhaite identifier la pente Ctanf à partir des caractéristiques du matériau et de la section, on peut adopter un modèle de section simple en flexion pure où le béton est endommagé pendant la portée. On vérifie facilement que si l'on s'intéresse, pour dj∞ dans les deux cas : celui du chargement et celui du déchargement, les deux pentes sont identiques.

Une dernière méthode consiste à considérer que les paramètres mt, mc et f sont égaux au rapport entre la pente correspondant à la raideur de la phase endommagée, donnée par le mot-clé PENTE dans DEFI_GLRC et la pente correspondant à la raideur élastique. Modèle global de comportement des dalles en béton armé sous chargement dynamique de flexion : loi GLRC améliorée : modélisation de la fissuration par endommagement.