Ampliación de Álgebra Lineal y Geometría
Resumen
1 Elementos de Álgebra Lineal
Modos de determinar un subespacio:
Generado por k vectores linealmente independientes: S=< u1, u2, . . . , uk >
Ecuación vectorial de S:S=λ1u1+. . .+λkuk (siendou1, . . . , uk los vectores generadores de S)
Ecuación paramétrica de S:
x1=λ1α11+· · ·+λnαn1
. . .
xn=λkαk1+· · ·+λαnk
donde cadaαij sale de las coordenadas
de cadaui vector generador de S pasando de una ecuación vectorial a un sistema de ecuaciones en el
cuerpo.
Ecuación cartesiana de S: Si, ahora, se impone que la matriz
x1 ... ... xn
α11 ... ... α1n
... ... ... ... αk1 ... ... αkn
tenga rango
n-k (o euqivalentemente, que el determinante sea 0) se obtienen las ecuaciones cartesianas.
Dimensión: Número de vectores que engendran el subesapcio vectorial. Si un subespacio tiene k ecuaciones cartesianas, su dimensión siempre será de n-k.
Recta vectorial: Subespacio de dimensión 1 Plano vectorial: Subespacio de dimensión 2
Hiperplano: Subespacio de dimensión n-1 (en un espacio vectorial de dimensión n)
Retículo de subespacios
S(V): Familia de subespacios de un espacio vectorial V. Con la relación de inclusión se forma un retículo, dondeinf{S, T}=S∩T ysup{S, T}=S+T
S+T :es la suma de subespacios. Se halla uniendo las bases de ambos subespacios S y T
S∩T :es la intersección de subespacios. Se halla imponiendo que se cumplan las ecuaciones cartesianas
de ambos supespacios S y T
Fórmula de Grassman: dim(S+T) =dim(S) +dim(T)−dim(S∩T)
S⊕T: es la suma directa de subespacios. Es una suma de subespacios en la queS∩T = 0.
Suplemento: Se dice que S es suplemento de T cuandoS∩T = 0yS⊕T =V (es decir, engendran
Aplicaciones lineales
Aplicación lineal: es una apliaciónf :V →V0entre espacios vectoriales que conserva combinaciones
lineales, es decir: f(λ1x1+λ2x2) =λ1f(x1) +λ2f(x2)
Matriz asociada a una aplicación lineal: será una matriz compuesta por las imágenes de los vectores de la base de V escritos en la base V'.
Propiedades de las aplicaciones lineales: Sea f : V → V0 una aplicación lineal y A su matriz
asociada
(1)Ker(f)≤V yIm(f)≤V0
(2) f es monomorsmo (aplicación lineal inyectiva)⇐⇒Ker(f) = 0⇐⇒conserva independencia lineal
(3) Sidim(V) =dim(V0); f es monomorsmo ⇐⇒f es epimorsmo (aplicación lineal sobreyectiva)
(4)rango(A) =dim(f(V))
(5) Sidim(V) =dim(V0);f es isomorsmo (aplicación lineal biyectiva) ⇐⇒A es inversible
Cambio de base: Para hacer un cambio de base se debe multiplicar el vector x por la matriz del cambio de base que no es más que las imágenes de los vectores de la primera base puestos en la.
Espacio dual
Forma lineal: Es una aplicación linealφ:V →KdondeV es un espacio vectorial sobre el cuerpoK
que también es espacio vectorial sobre sí mismo
V∗: Es el espacio dual a V. Se dene como el espacio vectorial sobre K constituido por todas las formas
lineales provisto de las operacionesφ+ψ :v 7→φ(v) +ψ(v) yλφ:v 7→φ(v)λ. A V∗ también se le
llama ortogonal. Dado un subespacioS ≤V se obtieneS∗={f ∈V /f(S) = 0}. Dado un subespacio S≤V∗se obtiene queS∗=∩f∈Sker(f)
2 Elementos de Geometría Afín y Proyectiva
Retículo de subespacios
Espacio afínA: Es un espacio vectorialV sobreK al que a los vectores se les llama puntos
Subespacio afín: Es un subespacio vectorial trasladado. T ≤ A ⇐⇒ T = τa(S). Además, se
verica quedim(S) =dim(T)
Espacio proyectivo: SiV es un espacio vectorial cuyadim(V) =n+ 1 sobreK, conn≥ −1,P(V)
es el conjunto de los subespacios deS≤V condim(S) = 1. Se tiene quedim(P(V)) =n
Subespacio proyectivo: P(S) será un subespacio proyectivo deP(V) siS es subespacio vectorial
deV
Puntos: Son los elementos deP(V)
Rectas: Son los subespaciosS≤P(V)tales quedim(S) = 1
Planos: Son los subespaciosS≤P(V)tales quedim(S) = 2
Hiperplanos: Son los subespacios S ≤ P(V) tales que dim(S) = n−1 (en un espacio P(V) con
Fórmula de Grassman: se sigue vericando en espacios proyectivos de la siguiente maneradim(P(S)+
P(T)) =dim(P(S)) +dim(P(T))−dim(P(S)∩P(T)). Como observación de esta fórmula se puede
decir que cada par de rectas un plano proyectivo se interseca en un punto y cada par de hiperplanos se interseca según uno de sus hiperplanos
Independencia
Puntos independientes: Si tenemos queP1=< v1> . . . Pn=< vn>. P1. . . Pn son independientes
en el espacio proyectivo si, y sólo si,{v1,. . . vn}son linealmente independientes
P(S) :Subespacio engendrado por S. Es el subespacio más pequeño que contiene aS ={P1. . . Pn}.
Se halla encontrando una base de dicho subespacio, es decir, encontrando el máximo número de puntos linealmente independientes deS.
Observaciones:
(1) Un punto es independiente
(2) Dos puntos son independientes ⇐⇒los puntos son distintos
(3) Tres puntos son independientes ⇐⇒los puntos no están sobre la misma recta
(4) EnP(V)condim(P(V)) =ncaben, a lo sumo,n+ 1puntos independientes. Ademásn+ 1puntos
independientes generan la totalidad del espacioP(V)
Subespacios por sus ecuaciones: Se hace de manera similar al espacio vectorial
Coordenadas homogéneas
Coordenada homogénea de P: Es lan+ 1−upla(λ0, . . . , λ1)siendo esta la clase de equivalencia
de las coordenadas de los vectores que engendran el punto P. Es decir, (λ0, . . . , λ1) y sus múltiplos
(exceptuando el 0)
Número de puntos deP(V)sobre un cuerpo K conq elementos: qnq+1−−11
Sistema de coordenadas homogéneo: Es equivalente a una base en un espacio vectorial. Se puede dar de dos formas:
(1) Por las clases de equivalencia: {v0, v1, . . . , vn}
(2) Tomandon+1puntos independientes y añadiéndole uno, llamado unidadU,que no esté en ninguno
de los hiperplanos engendrados por los primerosn+ 1 puntos{P0, P1, . . . , Pn;U}
Cambio de base: Si A es la matriz del cambio de base, entonces la ecuación: λx0 = xAes la del
cambio de base, siendo, x' el nuevo vector en las nuevas coordenadas, x el vector en las primeras coordenadas y A la matriz cuyas las son las imágenes de los vectores de la base con respecto al segundo sistema de coordenadas.
Espacio afín dentro del proyectivo
Construcción del espacio afín: SeaH un hiperplano del espacio vectorialV sobreK. Al conjunto
de puntosA(V, H)que quedan en el epacio proyectivoP(V)al eliminarP(H)se le denomina espacio
afín sobre K. Es decir, A(V, H) = P(V)−P(H). Dos hiperplanos diferentes H y H0 del espacio
proyectivoP(V)generan dos espacios anes diferentes, pero, en esencia son el mismo
Puntos del innito: Los puntosP deP(V)tales queP ∈P(H)
Hiperplano del innito o impropio: Es el hiperplano proyectivoP(H)
Subespacio afín: T ≤ A(V, H) ⇐⇒ ∃S∈V /S*H tal que T =P(S)−P(H)
Dimensión de A(V, H): coincide con la dimensión del espacio vectorial V y es una menos que la
dimensión de su envolvente proyectiva
Coordenadas cartesianas: Llamaremos así a las coordenadas dadas en un espacio afínA(V, H)
Cambio de coordenadas homogéneas a cartesianas: Si tenemos un punto expresado en las coordenadas homogéneas (x0, x1, . . . , xn), sus coordenadas cartesianas serán (y1, . . . , yn) donde cada
yi= xx0i parai= 1, . . . , n
Cambio de coordenadas cartesianas a homogéneas: Si tenemos un punto expresado en las coordenadas cartesianas(y1, . . . , yn), sus coordenadas homogéneas serán(1, y1, . . . , yn)
Principio de dualidad
Correlación estándar: Son las aplicaciones S 7→ S∗ y su inversa S∗ 7→ S que resulta ser un
an-tiisomorsmo de retículos (cambia de sentido las inclusiones y, por consiguiente, cambia sumas en intersecciones y viceversa)
Principio de dualidad: Todo teorema en espacios proyectivos condim(P(V)) =nsobre un cuerpo K, enunciado en términos de inclusiones, sumas, e intersecciones de subespacios proporciona un
teo-rema dual, igualmente válido en espacios proyectivosn−dimensionales sobre el mismo cuerpo K,
obtenido mediante la inversión de las inclusiones, la sustitución de sumas por intersecciones y vicev-ersa y los subespacios de dimensiónrporn−r−1. Esto se debe fundamentalmente a la correlación
estándar
3 Proyectividades, Involuciones y Anidades
Proyectividades
Transformación regular: Es una aplicación linealf :V →V0 en la que Ker(f) = 0
(equivalente-mente, f es inyectiva)
Proyectividad: Es una aplicaciónP(f) :P(V)→P(V0)denida comoP(f)< v >=< f(v)>donde
f es una transofrmación regular Propiedades:
(1) Tiene carácter functorial: P(1v) = 1P(V)yP(f◦g) =P(f)◦P(g)
(2)dim(P(V))≤dim(P(V0)); la igualdad se produce cuando hay proyectividad
(3) Las proyectividades conservan subesapcios: SiP(S)≤P(V)⇒f(P(S))≤f(P(V))
(4) La inversa de una proyectividad es una proyectividad
(5) Una proyectividad conserva: inclusiones, sumas e intersecciones (6) SiA∈BC⇒σ(A)∈σ(B)σ(C)dondeσes una proyectividad
Ecuación de una proyectividad: λx = x0A donde x es el vector la de coordenadas homogénas
Anidades
Anidad: Es la aplicación restricción de una proyectividad al dominio A(V, H) y a la imagen
A(V0, H0). No hay problema porque se sabe que una proyectividad conserva dimensiones, por tanto,
transforma un hiperplanoH en otro hiperplanoH0
Ecuación de una anidad: Existen dos formas:
(1) (1, y0
1, . . . , yn0) = (1, y1, . . . , yn)
1 α01 ... α0n 0 α11 ... α1n
... ... ... ...
0 αn1 ... αnn
donde, y son las coordenadas cartesianas
de un punto de A(V, H); y' son las coordenadas de su imagen y la matriz es la asociada a la
aplicación.α00 6= 0 porque como uo ∈/ P(H);P(F) < uo > /∈ P(H0) (es decir, el primer vector de
la base cae fuera del hiperplano impropio) y los demás caen dentro y por esoαi0= 0coni >0
(2) También puede escribirse como: y0=a+yAdondea= (α01, . . . , α0n)yA=
α11 ... α1n
... ... ...
αn1 ... αnn
Teorema fundamental de la Geometría proyectiva
Símplex: Sonn+ 2puntos de un plano proyectivoP(V)condim(P(V)≥1 sobreK de manera que
los n+1 primeros son independientes y el último no pertenece a ninguno de los hiperplanos engendra-dos por los n+1 primeros. Tiene la misma construcción que un sistema de coordenadas homogéneo
{Po, P1, . . . , Pn;U}
Teorema fundamental de la Geometría Proyectiva: Dados {Pi},{Qi} dos símplex de dos
es-pacios proyectivos P yP0 con dim(P) =dim(P0)>0 sobre K, ∃!σ :P →P0 proyectividad tal que σ(Pi) =Qipara cadai. Observación: Se deduce de este teorema que basta dar la imagen del simplex
para determinar por completo una proyectividad
Proyectividades entre rectas en un plano
Perspectividad de centro O de r sobre s: es una aplicaciónπo:r→sdenida comoA7→A0 =
S∩OA
Punto doble: es un punto que se aplica sobre sí mismo a través de una aplicación. Punto jo Propiedades inmediatas:
(1)πO es biyectiva
(2)M =r∩ses un punto doble
(3)r=s ⇐⇒ πO =id
(4)πO−1 es otra perspectividad con el mismo centro
Abcisa: Es el númeroλ ∈K tal que en una perspectividad πO, dadas las imágenes de un sistema
de coordenadas{A, B;C} de la recta s, donde A=< a >,B=< b >, C =< a+b >, sobre la recta r {A0, B0;C0} existe un único escalar λ∈K tal que si se tomaD ∈ r con D 6=A, D =< λa+b >en
el sistema de coordenadas {A, B;C} en el que A está en el innito, B en el origen y C es el punto
Razón doble de cuatro puntos: (ABCD) =λsiendo A, B, C, D∈P1(V)con A6=B 6=C 6=A y
D6=A
Propiedades de la razón doble:
(1) Las perspectividades conservan la razón doble (2)(ABCB) = 0
(3)(ABCC) = 1
(4)(ABCD) = λ1µo
λ0µ1 donde A, B, C, D∈ P1(V)y {a, b} es base de V; A =< λ0a >, B =< λ1b > y D=< µ0a+µ1b > elegido el par(λ0, λ1)para queC sea el punto unidad.
(5) (ABCD) = ((γδ−−αα)()(γδ−−ββ)) donde A, B, C, D tienen abcisa α, β, γ, δ en un sistema de coordenadas
prejado
Ecuación explicita de una perspectividad: x0 = λ0+λ1x
µ0+µ1x donde λ0, λ1, µ0, µ1 son escalares que
vienen dados al manipular la fórmula obtenida de la razón doble (ABCX) = (σ(A)σ(B)σ(C)X0)
despejandox0 y se conocen las abcisas de dichos cuatro puntos.
Puntos límite: son las imágenes y originales de los respectivos puntos impropios de r y s. Se pueden hallar haciendo tender a0 el denominador y a∞lax
Teorema: Sea σ : r → s una biyección entre rectas de un mismo plano proyectivo. Entonces: σ
conserva razones dobles ⇐⇒σes una proyectividad ⇐⇒ σse descompone, a lo sumo, en producto
de 3 proyectividades
Teorema: σ:r→ses una perspectividad entre rectas del mismo plano ⇐⇒M =r∩ses un punto
doble
Teorema: SeanA, B, C, Dcuatro puntos distintos dos a dos de una recta proyectiva con(ABCD) =λ.
Se tiene que se reducen a 6 las posibles razones dobles de 4 puntos distintos (que pueden ordenarse de 4! maneras)
Involuciones
Ecuación implícita de σ: λxx0 +µx+νx0+ζ = 0 (operando desde la ecuación explícita) donde
λζ−µν6= 0y los puntos límite se pueden hallar dividiendo por x y x' y hallando límite cuando tienden
a∞respectivamente
Hallar puntos dobles: Se pueden obtener los puntos dobles de una proyectividad tomandox=x0
en la ecuación implícita y hallando sus raíces
Proyectividad hipérbolica: Es una proyectividad que posee dos puntos jos Proyectividad parabólica: Es una proyectividad que posee un punto jo Proyectividad elíptica: Es una proyectividad que no posee puntos jos Involución: Es una proyectividad de una recta r en sí misma conσ2= 1r
Lema: Si∃A∈r/σ(A)6=Ayσ2(A) =A⇒σes una involución conσ6=id
Cuadrivértice: Es un símplex en el plano proyectivo{A, B, C, D}
Vértices: Cada uno de los puntos que forman un cuadrivértice Puntos diagonales: E=AB∩CD,F =AC∩BD,G=AD∩BC
Cuadrilátero: Son cuatro rectas{a, b, c, d}tales que no haya tres de ellas concurrentes. Es el concepto
Lados: Son las rectas que forman el cuadrilátero
Diagonales: Las tres rectas distintas de los lados que determinan los siete puntos de intersección de los cuatro lados
Segundo teorema de Desargues: Sea{A, B, C, D}un cuadrivértice de un plano proyectivo y r una
recta del plano que no contiene a ninguno de los vértices y que corta aBCen P,ADen P', aABenQ,
aCDenQ0, aBDen R y aAC enR0. Entonces, la única proyectividadσ:r→rtal queσ(P) =P0, σ(Q) =Q0 yσ(R) =R0 es una involución. Esto quiere decir que una recta corta a los lados opuestos
de un cuadrivértice según parjeas de puntos que están en involución
Teorema de Fano
Teorema de Fano: Los tres puntos diagonales de un cuadrivértice sobre un plano proyectivo están alineados ⇐⇒ la característica del cuerpo base es 2. Dice lo mismo que su dual.
Trapecio: Es un cuadrivértice con un punto diagonal en el innito (tiene un par de lados opuestos paralelos)
Paralelogramo: Es un cuadrilátero con dos de sus puntos diagonales en el innito (tiene dos parejas de lados paralelos)
Cuaterna armónica
Cuaterna arnmónica: Es una cuaternaA, B, C, Dtal que(ABCD) =−1
Cuarto armónico: Es el puntoD que produce una cuaterna armónica en la terna(A, B, C)
Conjugados armónicos: A los puntosC yD se les denomina conjugados armónicos deA y B de
una cuaterna armónicaA, B, C, D
Punto medio R del segemento P Q: R= P+2Q. Sólo tiene sentido en el espacio afín
Lema: Cuatro puntosA, B, C, D de una recta proyectiva se encuentran en cuaterna armónica ⇐⇒ B se localiza, cuandoAestá en el innito, en el punto medio del segmentoCD
Lema: Las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio
Transformaciones entre haces de rectas (concepto dual)
Lápiz(a, b, c, d): Son cuatro rectas distintas dos a dos y concurrentes de un plano proyectivo
Lápiz armónico: Es un lápiz en el que existe un cuadrilátero que integre aa yb como dos de sus
lados, a c como una de sus diagonales y a d que pase por el punto de corte de las otras dos rectas
diagonales. Observación: Si una recta cualquierar corta al lápiz en A, B.C, D, estos puntos forman
una cuaterna armónica
A∗:Es el haz de rectas que pasa porA∈ P(V)
Perspectividad de ejer: Es la aplicaciónπ:A∗→B∗, denida como: πr(a) =a0= (a∩r)Bdonde a∈A∗ ya0∈B∗
Razón doble de un lápiz: Concepto dual de la razón doble de cuatro puntos(ABCD)
Teorema: Sea (a,b,c,d) un lápiz de un plano P y r una recta arbitraria de P que no pase por
Teorema (de dualizaciones):
(1) Toda proyectividad entre haces del mismo plano factoriza en producto de, a lo sumo, tres perspec-tividades
(2) Las proyectividades entre haces de recta de un mismo plano que conserve dobles de lápices es una proyectividad
(3) Toda biyección entre haces de rectas de un mismo plano que conserve razones dobles de lápices es una proyectividad
(4) Una proyectividad entre haces de rectasA∗yB∗de un plano es una perspectividad ⇐⇒ la recta ABes doble
(5) El lápiz(a, b, c, d)es armónico ⇐⇒(abcd) =−1
(6) Una proyectividad σ6=id de un haz en sí mismo es una involución ⇐⇒ existe una recta adel
haz tal queσ(a)6=ayσ2(a) =a
(7) Una involución en un haz distinta de la identidad tiene, a lo sumo, 2 rectas dobles
4 Teoremas de conguración
Homologías, homotecias y traslaciones
Subespacio doble: Es un subespacio que permanece invariante por una proyectividad Recta doble: Es una recta que permanece invariante por una proyectividad.
Observación: Los puntos que forman la recta no tienen por qué ser dobles. Ahora bien, siP=r∩s
entonces sí que es doble. Además toda recta determinada por dos puntos dobles es doble
Proyectividad central: proyectividadσ:P → P tal que existe un puntoC∈ P tal que cada recta
porCes doble, es decir, siX 6=C⇒XC =σ(XC). Además,C es el centro de la proyectividad
Propiedades:
(1) Si hay enP dos rectas distintas llenas de puntos dobles⇒σ=id
(2) SiC es el centro de una proyectividad⇒C es doble
(3) Si existenC yC0 centros de una proyectvidad⇒σ=id
(4) Siσes central con centroC yres una recta doble que no pasa porC⇒todo punto deres doble
Homología: Es una proyectividad central de un plano en sí mismo distinta de la identidad Teorema: Toda homología posee una única recta con todos sus puntos dobles
Eje de homología: Es la única recta del plano cuyos puntos son dobles por la homología
Observación: Una homología queda determinada por su centroC, su ejer, y un par de puntosA y σ(A). Si nos danB, σ(B)se obtiene como la intersección de σ(A)P∩CB dondeP =AB∩r
Homotecia de centroC: Es una anidad que es la identidad o una restricción de una homología de
la envolvente proyectiva que tiene aC por centro, y a la recta del innito por eje. C es un punto del
afín
Teorema de Tales: Para cada homotecia σ de centro C existe un escalar λ, denominado razón
de la homotecia, tal que σ(X)−C = λ(X −C). Es más, para cualquiera X, Y del plano afín: σ(X)−σ(Y) =λ(X−Y)
Observación: La restricción al afín en la que el eje es la recta impropia yC es un punto del innito,
Teorema de Pappus
Teorema de Pappus: En un plano proyectivo, dadas dos ternas (A, B, C) y (P, Q, R) de puntos
alineados, los puntos X = AB∩BP , Y =AR∩CP yZ =BR∩CQestán en línea recta. Como
observación podemos decir que se sule usar como regla nemotécnica para recordar las intersecciones que intervienen el colocar(A, B, C)y(P, Q, R)como si se fuera a hacer el cálculo de un determinante
Teorema: Sean(A, B, C)una terna de puntos distintos de una rectar de un plano afín y(P, Q, R)
otra terna de puntos situados sobre otra rectasdel mismo plano secante con la anterior en un punto O /∈ {A, B, C} y tales queAQkBP yARkCP ⇒BRkCQ
Teorema menor de Pappus: SeanA, B, C puntos de una rectar de un plano afín yP, Q, R otros
tres puntos situados sobre una recta s del mismo plano paralela ar. SiAQkBP yARkCP, entonces BRkCQ
Teorema: En un plano proyectivo, se verica el teorema de Pappus ⇐⇒ un par de homologías son
conmutativas (σ◦τ=τ◦σ)
Teorema de Desargues
Teorema de Desargues: SeanABC y A0B0C0 dos triángulos de un plano proyectivo tales que las
rectas AA0, BB0 y CC0concurren en un punto O ⇒ las parjeas de lados (AB, A0B0), (AC, A0C0) y
(BC, B0C0)se cortan según puntos que están alineados
Conguración de Desargues: Es la disposición en la que se encuentran dos triángulos bajo las hipótesis del Teorema de Desargues
Triángulos homólogos: Son dos triángulos que se encuentran en la conguración de Desargues Teorema de Desargues (Dual): Sean(A, B, C)y(A0, B0, C0)dos triángulos de un plano proyectivo.
Entonces, las rectas que pasan por vértices homónimos concurren en un punto ⇐⇒ las parejas de
lados homónimos se cortan según puntos que están alineados.
Teorema: Sean (A, B, C) y (A0, B0, C0) dos ternas de puntos de un plano afín tales que, o bien
AA0,BB0, CC0 se cortan en un puntoO, o bien las retas son paralelas entre sí:
(1) SiP =AB∩A0B0, Q=AC∩A0C0 yR=BC∩B0C0,entonces R∈P Q (P, Q, R están alineados)
(2) SiABkA0B0, entoncesQRkABkA0B0
(3) SiABkA0B0 yACkA0C0, entonces BCkB0C0
(4) El recíproco también es cierto, es decir, Si se verica (1),(2), o (3), entonces se tiene que, o bien
AA0,BB0, CC0 se cortan en un puntoO, o bien las retas son paralelas entre sí
Teorema: Dado un cuadrivértice (A, B, C, D) de un plano proyectivo con puntos diagonales E =
AB∩CD, F = AC∩BD, G = AD∩BC, seaM la intersección de la diagonalEF y el lado AD.
EntoncesG∈P Q dondeP =AB∩CM yQ=CD∩BM
Teorema: En un plano afín, las medianas de un triángulo concurren en un punto de la envolvente proyectiva, que, además reside en el afín a partir de caracterísitca 3.
Baricentro: Es el punto de corte de las medianas de un triángulo
5 Geometría ortogonal
Formas cuadráticas
(1)q(λu+µv, w) =λq(u, v) +µq(v, w)
(2)q(u, v) =q(v, u)
Forma cuadrática: Es una aplicaciónq:V →K tal que verica:
(1)q(λv) =λ2q(v)
(2) La aplicaciónq(u, v) = 12(q(u+v)−q(u)−q(v))constituye un producto itnerno
Polarizada deq: Siqes una forma cuadrática, la aplicaciónq(u, v) = 12(q(u+v)−q(u)−q(v)), que
es un producto interno, es su polarizada Observación:
(1) Notamos igual a la forma cuadrática y a su polarizada (que es un producto interno), pero no debe haber lugar a confusión porque la forma cuadráticaq(u) toma sólo un argumento, mientras que la
polarizadaq(u, v)toma dos
(2) Cada producto internoqinduce una forma cuadrática cuya polarizada coincide con q
(3) Cada forma cuadráticaqinduce un producto interno (su polarizada)
(4) Cada matriz simétricaAinduce una forma cuadrática (en esencia, no hay más ejemplos)
Matrices congruentes: Lo sonA y B si A =P BPt donde P es una matriz inversible del cambio
de base. AyB son matrices de la misma forma cuadrática, pero en bases diferentes. La congruencia
constituye una relación de equivalencia
Vectores ortogonales: Sonu, vcuando q(u, v) = 0, dondeu, v ∈V que es espacio vectorial provisto
de una forma cuadráticaq
Vectores isótropos: Son vectoresu∈V ortogonales a sí mismos(q(u, u) = 0)
Base ortogonal: Es una base del espacioV dada por vectores ortogonales2a 2
Subespacio totalmente isotrópico: Es un subespacio compuesto únicamente por vectores isótropos Espacio no isotrópico: Es un subespacio que tiene como vector isótropo únicamente al0
Radical de V: Rad(V) ={u∈V :q(u, v) = 0,para cadav∈V}
El ortogonal deS: S⊥ ={u∈V :q(u, v) = 0, para cadav∈S}
Espacio o forma cuadrática degenerada: SiRad(V)posee otros vectores además del0
Suma ortogonal-directa: SiV =S⊕T con q(u, v) = 0para cadau∈S y cadav∈T
Isometría: Es un isomorsmo linealf entre dosK−espaciosvectoriales V y V0 sobre los que hay
denidas sendas formas cuadráticasqyq0 que satisface q0(f(u)) =q(u)para cualquier u∈V
Teorema: Siq:V →Kes una forma cuadrática en elK−espaciovectorialV, se satisfacen entonces
las siguientes propiedades:
(1) El ortogonalS⊥ de cada subconjunto S deV es un subespacio. SiS⊆T entoncesT⊥⊆S⊥
(2) Un subespacioS deV tal queV =Rad(V)⊕S nunca puede degenerar
(3) SiA es la matriz asociada aq, dim(V) =dim(Rad(V)) +rango(A). La no degeneración equivale
a la inversibilidad deA
(4) SiV es totalmente isotrópico, entoncesq(u, v) = 0para cadau, v∈V y la matriz deqen cualquier
base se llena de ceros
Lema: Para cualquierS≤V con forma cuadrática, se vericadim(S⊥) =dim(V)−dim(S)+dim(S∩ Rad(V))
Corolario: SiS≤V es no degenerado, se tiene(S⊥)⊥=S
Teorema del sumando directo: S ≤V no degenerado, entoncesV =S⊕S⊥ es suma ortogonal
directa.
Complemento ortogonal deS, no degenerado: es el subespacioS⊥ que completa el espacio V
Teorema de diagonalización: Cada espacio vectorialV provisto de una forma cuadráticaq posee
una base ortogonal
Encontrar una base ortogonal de Witt:
(1) Se busca un vector no isótropou1(si no existe, entonces cuaquier pareja de vectores es ortogonal
y cualquier base es ortogonal también)
(2) Se calculaV1=< u1>yV =V1⊕V1⊥ en suma ortogonal-directa
(3) Se aplica lo mismo sobreV1⊥ encontrando u2 (si no existe, entonces se completau1con cualquier
base deV1⊥)
(4) Se continúa así un máximo denpasos porque cadaVi⊥ disminuye en 1 su dimensión, y caben dos
posibilidades: o Vi⊥ = 0 con lo que se encuentra {u1, . . . , un}, o bien, algún Vi⊥ = Rad(V) ya que
todos los vectores serían isótropos
Observación: La matriz diagonalBde la forma cuadráticaqen la base ortogonal{u1, . . . , un}, tendrá
por elementos diagonalesai,i=q(ui)parai= 1, . . . , n
Descomposición de Sylvester
Cuerpo ordenado: Si existe en él una relación de orden total compatible con la suma y la multipli-cación de elementos mayores que0, esto es, α≤β⇒α+λ≤β+λpara cualquierλyαλ≤βλpara λ >0
Teorema de descomposición de Sylvester (Ley de la inercia): q:V →Kuna forma cuadrática
de un espacio vectorialV sobreK con K cuerpo ordenado. Existen, entonces subespaciosV+, V0, V−
que satisfacen las siguientes condiciones:
(1) El espacioV se descomopone en suma ortogonal-directa como: V =V+⊕V0⊕V−
(2) La restricción deqaV+ es denida positiva(q(u)>0para todou∈V+)
(3) La restricción deqaV− es denida negativa (q(u)<0para todou∈V−)
(4)V0 es totalmente isotrópico
(5) Además, cualquier otra descomposición dada de esta maneraV =W+⊕W0⊕W− que verica lo
anterior, verica que las dimensiones de homónimos son iguales Método para la descompoisición de Sylvester:
(1)V0=Rad(V)
(2) De la obtención de la base ortogonal de Witt, se tiene la base ortogonal{u1, . . . , un}. Entonces
V+ es el espacio engendrado por los vectoresuitales queq(ui)>0 yV− es el espacio engendrado por
Descomposición de Witt
Plano hiperbólico: es un espacio vectorial bidimensional provisto de un producto interno no degen-erado y que contiene al menos un vector isótropo no nulo
Lema: Para un espacio vectorialV bidimensional con forma cuadrática no degenerada sobre K, se
tiene que: V es un plano hiperbólico ⇐⇒ ∃u, v∈V tal que {u, v} dene una base ortogonal para la
queq toma la forma
0 1 1 0
⇐⇒ Hay otra base para la queqtoma la forma
1 0
0 −1
Lema: SiV es un espacio vectoral con producto interno no degenerado sobreK, entonces todos sus
subespacios totalmente isotrópicos maximales tienen la misma dimensión.
Además: V se expresa como suma ortogonal-directa de n planos hiperbólicos ⇐⇒ existen dos
subespaciosW1 yW2totalmente isotrópicos maximales y de dimensión ntales queV =W1⊕W2
Índice de Witt: Es lal invarianten(dimensión de los subespacios totalmente isotrópicos maximales)
Teorema de descomposición de Witt: Seaq:V →K una forma cuadrática, entoncesV es suma
ortogonal-directa deV =Rad(V)⊕[⊕i∈sPi]⊕W con cadaPiun plano hiperbólico yW un subespacio
no isotrópico.
Además, cualquier otra doscomposición deV en suma ortogonal-directa de esta forma ha de conservar
el número de planos y la dimensión deW
Observación: El cardinal deS no es más que el índice de Witt
Método para la descomposición de Witt:
(1) Si enV no hay más vectores isótropos que el0 ya se ha terminado,V =Rad(V)⊕W dondeW es
un subespacio no isotrópico
(2) En caso contrario, tómese u1 ∈V − {0} con q(u1) = 0. Como V es no degenerado, existe otro
vectorv1∈V tal queq(u1, v1)6= 0
(3) El subespacioP =< u1, v1>es un plano hiperbólico
(4) Se toma aV1=P1⊥ y se sigue con el mismo procedimiento
(5) Si en V1 no se encuentran vectores isótropos, hemos terminado V = Rad(V)⊕P ⊕V1 donde
V1=W, si no, se continúa el proceso
Observación:
(1) En un cuerpo ordenado en el que todo elemento positivo admita raíz cuadrada, se puede obtener la descomposición de Witt mediante Sylvester, donde las parejas(ui, vi)con ui base deV+ y vi base
deV− generan los planos hiperbólicos y los vectores que quedan sueltos devi generan el espacio no
isotrópicoW yV0=Rad(V)
(2) En productos internos sobre espacios vectoriales reales, la descomposición de Sylvester proporciona la de Witt ahorrando bastantes cálculos
6 Cuádricas en el proyectivo
Generalidades
Cuádrica proyectiva: Q(q)Es el conjunto de puntos de un espacio proyectivoP(V)engendrado por
los vectores isótropos no nulos deq donde V es un espacio vectorial sobre K provisto de una forma
Cónica proyectiva: Es el caso particular de una cuádrica proyectiva en dimensión2
Observación:
(1) Cuádricas procedentes de formas cuadráticas no isométricas pueden denir los mismos lugares geométricos
(2) Ecuación reducida de la cuádrica: α0x20+· · ·+αnx2n = 0cuando se expresaQ(q)diagonalizda,
en una base ortogonal
Teorema: Una proyectividad entre espacios proyectivos transforma cuádricas en cuádricas
Cuádrica en un espacio proyectivo de dimensión −1: Sólo existen dos opciones, o bien llena
el espacio (que consta sólo de un punto), o bien es vacía, dependiendo de siK como espacio vectorial
sobre sí mismo es totalmente isotrópico o no
Cuádrica en una recta proyectiva: Se considera la cuádrica reducidaα0x20+α1x21= 0. Hay tres
posibilidades:
(1) rango(q) = 2. La cuádrica puede poseer dos puntos o ninguno, dependiendo de si la ecuación (x1
x0)
2 =−α0
α1 tiene solución en K. Si λes una de las dos raíces cuadradas, la cuádrica se compondra
de los puntos(1, λ),(1,−λ), de lo contrario sólo estará el0 como vector isótropo
(2) rango(q) = 1. Entonces uno de los dos coecientes se anula, y la ecuación tiene única solución (0,1) ó bien(1,0)
(3)rango(q) = 0. Entoncesα0=α1= 0y todo punto de la recta pertenece a la cuádrica
Posiciones relativas de una recta a una cuádrica: Si P(S) ≤ P(V) tomamos qS como la
restricción deqa la rectaS, entonces:
Recta secante a la cuádrica: SiqS no degenera y tiene dos puntos de corte
Recta exterior a la cuádrica: SiqS no degenera y no tiene puntos de corte
Recta tangente a la cuádrica: SiqS degenera (luego cortará a la cuádrica en un punto o estará
contenida totalmente)
Subespacio tangente a una cuádrica: Es un subespacio tal queqS degenera
Vértice de la cuádrica: Es el subespacioP(Rad(V))
Punto singular: Aquellos puntos que pertenecen al vértice de la cuádrica
Directriz de la cuádrica: es la cuádrica deSno degeneradaQ(qS), si se descomponeV =Rad(V)⊕
S, conS no degenerado
Generatriz de la cuádrica: es cualquier recta que contenga puntos singulares y puntos de una directriz
Teorema: Si una cuádrica no se reduce al vértice, entonces es la unión del haz de sus generadores, es decir, se compone de rectas que pasan por puntos del vértice y se apoyan en una directriz
Teorema: Un punto está en el vértice ⇐⇒ pertenece a la cuádrica y cada recta que pase por él es
tangente a la cuádrica
Un primer estudio de las cónicas
Cónicas (Cuádricas sobre un espacio proyectivo de dimensión 2): Se considera Q(q) una
cónica del plano proyectivoP(V)sobreK de ecuación reducidaα0x20+α1x21+α2x22= 0. Hay cuatro
(1) La forma cuadráticaqes no degenerada (rango(q) = 3): SiV es no isotrópico, entoncesQ(q) =∅.
Si existeV 6= 0isótropo, podrá aplicarse la descomposición de Witt y sacar que Q(q)tiene al menos
dos puntos (de hecho tantos como cualquier recta)
(2)rango(q) = 2. Entonces puede suponerseα0 = 0y entoncesv = (1,0,0)es el vértice de la cónica
y el suplemento del radical . Pueden darse ahora dos situaciones ya queqS no degenera, la directriz o
tiene dos puntosP yQ, o no tiene ninguno. Luego, la cónica, o bien consiste en dos rectasV QyV P
secantes en el vértice, o bien, se reduce al vérticeV
(3) rango(q) = 1 Puede suponerse α0 = α1 = 0. Enonces Rad(V) =< (1,0,0),(0,1,0) >. Un
suplemento del radical debe ser no isotrópico, luego la cónica se reduce al vérticeV
(4)rango(q) = 0. Entonces la cónica llena todo el espacio
Lema: Una cónicaQ degenera en cada una de las siguientes circunstancias:
(1) Hay enQal menos tres puntos alineados
(2) La cónica se reduce a un punto (3) Todo punto del plano pertenece aQ
Teorema: Si una cónicaQ no ocupa todo el plano y contiene al menos5 puntos, entoncesQ queda
determinada por completo por5de los puntos de los que pasa ⇐⇒ hay, a lo sumo,3de ellos colineales.
Además si de entre los cinco, no hay3colineales, la cónica es no degenerada, mientras que la alineación
de3 de ellos implica queQdegenere en dos rectas secantes
Polaridad inducida por una cuádrica
Espacios conjugados respecto de una cuádrica: si P(S), P(T) ≤ P(V) sobre K tales que q(S, T) = 0
Subespacio polar de A: A⊥ que es un hiperplano (si A no es singular) o todo el espacio (siA es
singular)
Polo del hiperplanoH: H⊥ que es un punto cuandoHno corta al vértice
Propiedades:
(1) Los hiperplanos polares de los puntos de un hiperplano pasan todos por el polo del hiperplano (2) Hiperplanos que pasan por un punto tienen su polo en el hiperplano polar del punto
(3) Un punto pertenece a la cuádrica ⇐⇒ está en su hiperplano polar
Polaridad inducida por la cuádrica: Es la pareja de aplicacionesA7→A⊥ yH 7→ H⊥
Lema (Dual del apartado 3): Un hiperplano es tangente a una cuádrica ⇐⇒ contiene a su polo
Ecuación tangencial de la cuádrica: v.adj(A)vt= 0que se deduce de imponer que el hiperplano
pase por el polo. La ecuación tangencial de una cuádrica, permite saber qué hiperplanos son tangentes a la cuádrica
Observación: En ambiente no degenerado, un punto sobre la cuádrica dualiza en hiperplano tangente a la cuádrica y el concepto de cuádrica es autodual
Teorema: Para un punto no singular de una cuádrica, su hiperplano polar, denominado en este caso el hiperplano tangente, contiene a todas las rectas tangentes a la cuádrica que pasan por el punto Polaridad σ inducida por una cuádrica Q sobre una recta r: Es una biyección σ:r→r tal
(1) Sir⊆P⊥ se tiene la tangencia entreryQyσ(P) =P
(2) SiP⊥∩r=P0 entonces σ(P) =P0
Observación: Estas dos son las únicas posibilidades si se toma en cuenta querno pasa por el vértice
(luegoP no es singular) y la fórmula de Grassman
Posibildades paraσ:
(1)σ= 1r sir⊆ Q, es decir, sir es tangente aQ en todos sus puntos
(2)σes una aplicación constante sires tangente aQen un único punto
(3)σes una involución elíptica o hiperbólica dependiendo de sires exterior o secante aQ
Teorema: Los puntos de intersección de una recta secante a una cuádrica son conjugados armónicos de cualquier pareja de puntos conjugados respecto de la cuádrica
Corolario: Si un cuadrivértice se inscribe en una cónica, entonces cada punto diagonal no singular es el polo de la recta determinada por los otros dos puntos diagonales
Observación: El teorema y el corolario permiten un método gráco para hallar, dadoP un punto no
singular,P⊥ y las tangentes a una cónica que pasan porP si es que existen:
(1) Se circunscribe un cuadrivértice en la cónica{A, B, A0, B0}
(2) Se hallan sus puntos diagonales, entre los cuales se debe encontrarP=r∩s
(3)P⊥ no es más que QR que es la recta que une las otras dos diagonales y los puntos por los que
pasan las tangentes sonS yS0 que son las intersecciones de la recta dada con los ladosrys
Razón doble de cuatro puntos sobre una cónica
Teorema: Si σ : A∗ → B∗ es una proyectividad entre haces de rectas un plano tal que A 6= B y σ(AB)6= AB entonces Q ={r∩σ(r) :r ∈A∗} es una cónica no degenerada que pasa por A y B.
Además,σtransforma la tangente a la cónica porAen la rectaABy, ésta última en la tangente a Q
porB
Teorema: Dada una cónica no degenerada Qy dos puntos A yB distintos sobre ella, la aplicación
σ:A∗→B∗ dada porσ(r) =
BP r=AP;P ∈ Q − {A, B} AB r=A⊥
B⊥ r=AB
es una proyectividad
Teorema de Steiner: Si A, B, C, Dse sitúan sobre una cónica Q que no ocupa todo el plano yX
es otro punto deQ para el que tiene sentido referirse al lápiz (XA, XB, XC, XD)entonces la razón
doble del lápiz no depende de la elección deX. Además, esta razón doble coincide con la de los lápices
del tipo(A⊥, AB, AC, AD)cada vez que estos existan
Teorema de Pascal: SiA, B, C, P, Q, Rson seis puntos sobre una cónicaQ para los que existen las
interseccionesX =AQ∩BP,Y =AR∩CP,Z=BR∩CQ, entoncesX, Y, Z están alineados
Teorema: SeanP, Q, R, B, C cinco puntos distintos sobre una cónica no degenerada Qy runa recta
Clasicación proyectiva de las cuádricas
Cuádricas proyectivamente equivalentes: Si existe alguna proyectividad que transforme una en la otra Teorema: Si dos cuádricas son proyectivamente equivalentes, entonces coinciden el rango y el índice de Witt de las formas cuadráticasqyq0
Observación: El recíproco es cierto si el cuerpoKes algebraicamente cerrado o es un cuerpo ordenado
en el que cada elemento positivo admite raíz cuadrada
Clasicación sobreP2(Z3)(Ejemplo accesible sobre un cuerpo pequeño)
I. Cónicas no degeneradas: Son cuadrivértices del plano y todos son proyectivamente equivalentes II. Cónicas denidas porrango(q) = 2:
(a) Si la ecuación esx2
0+x21= 0, entonces no tiene solución y la cónica se limita al vértice
(b) Si la ecuación es2x20+x21= 0, entonces la cónica consta de 7 puntos distribuidos en dos rectas
III. Cónicas denidas porrango(q) = 1 :Es la rectax0= 0que pasa por4puntos
IV. Cónicas derango(q) = 0: La cónica llena el espacio y posee 13puntos
Clasicación de cónicas reales
I. Rango 3. Cónicas no degeneradas: I.1) Índice0. Q(q)≡x2
0+x21+x22= 0A=±diag(1,1,1). La cónica no tiene puntos y se dice que es
una elipse imaginaria I.2) Índice1. Q(q)≡ −x2
0+x21+x22= 0A=±diag(−1,1,1)Hay vectires isótropos y se le denomina
elipse real
II. Rango 2. El vértice consiste en un punto: II.1) Índice0. Q(q)≡x2
0+x21= 0A=±diag(0,1,1)La directriz no tiene puntos y la cónica se reduce
al vértice y se le denomina pareja de rectas imaginarias que se cortan en un punto real II.2) Índice1. Q(q)≡x2
1−x22= 0A=diag(0,1,−1)La directriz es ahora una cuádrica no degenerada
y no vacía sobre una recta y la cónica constará de dos generatrices que pasan por el vértice y se apoyan en los dos puntos de la directriz. La cónica son la pareja de rectasx2=x1 yx2=−x1
III. Rango 1. El vértice es toda una rectaQ(q)≡x2
2 = 0 A=±diag(0,0,1) La directriz no tiene
puntos y la cónica coincide con el vértice, se le denomina recta doble
IV. Rango 0. Q(q)≡0 = 0A= 0. El índice se anula y la cónica llena el plano
Observación: La clasicación de complejos se reduce a tomar siempre los subcasos con el índice de Witt máximo
Clasicación de cuádricas tridimensionales reales
Reglada: Es una cuádrica no degenerada en la cual, por cada punto, pasan rectas contenidas en la cuádrica
I.1) Índice 0. Q(q)≡x2
0+x21+x22+x32= 0A=±diag(1,1,1,1)La cuádrica no tiene puntos y se le
denomina elpsoide imaginario I.2) Índice 1. Q(q)≡ −x2
0+x 2 1+x
2
2= 0A=±diag(−1,1,1,1)Sí tiene puntos, pero no contiene rectas
y se ele denomina elipsoide real no reglado I.3) Índice 2. Q(q)≡ −x2
0+x21−x22+x23 = 0A=±diag(−1,1,−1,1) Por cada punto de la cuádrica
pasan dos rectas totalmente contenidas en ella y se le denomina elpsoide real reglado II. Rango 3. El vértice es un punto
II.1) Índice 0. Q(q)≡x21+x22+x23= 0A=±diag(0,1,1,1)La directriz es una elpise imaginaria y la
cuádrica se limita al vértice y se le denomina cono imaginario con vértice real II.2) Índice 1. Q(q)≡ −x2
1+x22+x23 = 0 A =±diag(0,−1,1,1) La cuádrica consiste en el haz de
rectas que pasan por el vértice y atraviesan una elpise real, se le denomna cono real III. Rango 2. El vértice es una recta
Índice 0.Q(q)≡x22+x32= 0A=±diag(0,0,1,1) La directriz no tiene puntos y se reduce al vértice,
se le denomina par de planos imaginarios que se cortan en una recta real Índice 1.Q(q)≡x2
2−x23= 0A=±diag(0,0,1,−1)La directriz consiste en una cuádrica no degenerada
no vacía sobre una recta luego consta de 2 puntos, la cuádrica se comone de dos planos secantes en una recta (el vértice)
IV. Rango 1. El vértice ocupa todo un planoQ(q)≡x23 = 0A =±diag(0,0,0,1) La cuádrica se
reduce a un plano doble
IV. Rango 0. Q(q)≡0 = 0A= 0. El índice se anula y la cónica llena el espacio
Cómo clasicar una familia de cónicas
(1) Se escribe la matrizAasociada a la forma cuadráticaq
(2) Se halla el determinante deAy los casos degenerados se dejan para el nal (Cuando|A|= 0)
(3) Se determina el índice de Witt encontrando una base ortogonal (con el método de Witt por ejemplo) (4) Se sigue hallando el rango y el índice de Witt en los casos en los que|A|= 0
7 Cuádricas en el afín
Posición relativa de una cuádrica y un hiperplano
Cuádrica afín: Es el conjuntoQ(q, H) =Q(q)− P(h) =Q(q)∩ A(V, H)dondeQ(q)es una cuádrica
de la envolvente proyectiva deA(V, H)
Observación: Dependiendo del hiperplano del innito escogido, la misma cuádrica proyectiva, puede generar diferentes cuádricas anes
Cuádrica del innito de una cuádrica afín: Es la restricciónQ(qH) =Q(q)∩ P(H)
Observación:
(1) Se evidencia queQ(q) =Q(q, H)∪ Q(qH)
Teorema: Sif :V →V0 es un isomorsmo lineal entre espacios vectoriales, entonces cada cuádrica
afínQ(q, H)deA(V, H)se transforma por la anidadA(f)en una cuádrica afín deA(V0, f(H))
Teorema: SiH es un hiperplano vectorial de V de dimensión n≥2sobre K en el que hay denida
una forma cuadráticaq, entonces:
(a) SiH⊥ *H, entoncesV se descompone en suma ortogonal directaV =< u >⊕H para cada vector
u∈H⊥−H
(b) SiH⊥ ⊆H, existen entonces un subespacioU y un par hiperbólico (u, v) conv ∈H⊥−Rad(V)
y u /∈ H tales que V y H se descomponen en suma ortogonal directa como V =< u, v > ⊕U y H=< v >⊕U
Cuádricas con centro: Son aquellas cuádricas anesQ(q, H)en las queH⊥ *H.
Propiedades:
(1) Se puede tomar base ortogonal{u1, . . . , un} y completarla conude manera que Q(q, H)≡λ0+
λ1y12+· · ·+λnyn2 = 0 mediante el paso a coordenadas cartesianas de la expresión de la cuádrica
proyectiva resultanteQ(q)≡λ0x02+· · ·+λnx2n = 0.
(2) La matriz deq, en la base dada, queda como:
λ0 0 . . . 0
0 λ1 . . . 0
... ... ... 0
0 0 0 λn
(3) Si un puntoP ∈ Q(q, H), entonces−P ∈ Q(q, H)porque se verica la ecuación, de manera que el
puntoO=< u >ejerce de centro
Paraboloides: Son aquellas cuádricas anesQ(q, H)en las queH⊥⊆H
Propiedades:
(1) Se puede tomar el sistema de coordenadas homogéneas{u, v, u2, . . . , un}con(u, v)el par hiperbólico
y los ui intergrando una base ortonogal de U. La ecuación de la cuádrica proyectiva será Q(q) ≡ 2x0x1+λ2x22+· · ·+λnxn2 que proporciona la cuádrica afínQ(q, H)≡2y1+λ2y22+. . . y
2
n
(2) La matriz deq, en la base dada, queda como:
0 1 0 . . . 0 1 0 0 . . . 0 0 0 λ2 . . . 0
... ... ... ... ...
0 0 0 . . . λn
(3) Si un puntoP = (α1, . . . , αn) está en el paraboloide, su simétrico con respecto del eje r≡y2 =
· · ·=yn = 0;P0= (α1,−α2, . . . ,−αn)también pertenece al paraboloide
Observación: La cónicaQ(q, H)dondeq= 0, es decir, la que llena todo el espacio, se sitúa entre las
cuádricas con centro
Ecuación reducida de la cuádrica afín: Es de la formaQ(q, H)≡2y1+λ2y22+. . . yn2 ó Q(q)≡
λ0x20+· · ·+λnx2n= 0
Ejes de la cuádrica: La parte af´ni de las rectas proyectivasP0Pi con P0 =< u > yPi =< ui >
donde{u, u1, . . . , un} es la base donde se alcanza la ecuación reducida deq
Observación: El ejeP0P1es en realidad el eje de simetría en un paraboloide
Vértice: Es la intersección de la cuádrica afín con sus ejes (que pueden existir o no)
Centro de una cuádrica: (En una cuádrica con centro) es la parte afín del subespacioP(H⊥), es
Observación: En dimensiónn, las cuádricas no degeneradas, admiten como sistema de ejes a cualquier
conjunto denrectas concurrentes en el centro y conjugadas dos a dos, mientras que todo puntoV de
un paraboloide puede hacer de vértice
Elipsoide: SiQ(q)es exterior al innito (cuádrica en el innito vacía)
Hiperboloide: SiQ(q)se sitúa secante al innito
Observación: En dimensión2, al elipsoide se le conoce como elipse, al hiperboloide como hipérbola
y alos paraboloides no degenerados por parábolas
Diámetro: Es la parte afín de los hiperplanos polares de los puntos del innito (Para cuádricas anes con centro no degeneradas)
Asíntota: Es la recta tangente a una cuádrica en un punto del innito
Extensión proyectiva de una cuádrica afín
Teorema: Una cuádrica afínQno contenida en ningún hiperplano (del afín), posee una única extensión
proyectivaQ0
Lema: Si los vectores isótropos de un espacio vectorial provisto de una forma cuadrática constituyen un subespacio, entonces todo vector isótropo está en el radical
Lema: Una cuádrica proyectiva no vacía contenida en un hiperplano se reduce al vértice
Teorema: Las únicas cuádricas proyectivas no degeneradas y no vacías cuya restricción al afín está contenida en un hiperplano son:
(1) La que consiste en dos puntos de una recta proyectiva con uno de ellos en el innito
(2) La constituída por un símplex del plano proyectivo sobre Z3 con dos puntos en el innito, en
denitiva, una cuádrica degenerada deP2(Z3)
Corolario: En dimensión mayor que1 y sobre cuerpos con más de3elementos, si una cuádrica afín
no vacía posee extensión proyectiva no degenerada, entonces ésta es única
Clasicación afín de las cuádricas
Pares afínmente equivalentes: Son (q, H) y (q0, H0), donde H y H0 son hiperplanos de V y V0
respectivamente, yq yq0 son sendas formas cuadráticas, de manera que existe un isomorsmo lineal f :V →V0 tal que q=q0◦f yf(H) =H0
Teorema: Si dos pares(q, H)y(q0, H0)son afínmente equivalentes, entonces, coinciden los rangos e
índices de Witt de las formas cuadráticas y sus restricciones a los hiperplanos impropios
Clasicación de las cónicas deR2
Cónica r r0 i i0 ecuación reducida
elipse imaginaria 3 2 0 0 1 +x2+y2= 0
elipse real 3 2 1 0 −1 +x2+y2= 0
hipérbola 3 2 1 1 1 +x2+y2= 0
dos rectas secantes imaginarias (*) 2 2 0 0 x2+y2= 0
dos rectas secantes 2 2 1 1 x2−y2= 0
dos rectas imaginarias paralelas 2 1 0 0 x2+ 1 = 0
dos rectas paralelas 2 1 1 0 x2−1 = 0
recta doble 1 1 0 0 x2= 0
recta impropia doble (el vacio) 1 0 0 0 1 = 0
todo el plano 0 0 0 0 0 = 0
parábola 3 1 1 0 2x+y2= 0
una recta (y la impropia) 2 0 1 0 2x= 0
(*) Las rectas secantes imaginarias se cortan en un punto real
Observación: Hemos tomado como parámetros de clascación aryr0 que son los rangos deq yqH
ei,i0que son los índices de Witt deqyqH
Clasicación de cuádricas deR3
Cuádrica r r0 i i0 ecuación reducida
elipsoide imaginario 4 3 0 0 1 +x2+y2+z2= 0
elipsoide real 4 3 1 0 −1 +x2+y2+z2= 0
hiperboloide elíptico 4 3 1 1 1−x2+y2+z2= 0
hiperboloide hiperbólico 4 3 2 1 1−x2+y2−z2= 0
cono imaginario 3 3 0 0 x2+y2+z2= 0
cono real 3 3 1 1 −x2+y2+z2= 0
cilindro imaginario 3 2 0 0 1 + +x2+y2= 0
cilindro con base una elipse 3 2 1 0 −1 +x2+y2= 0
cilindro con base una hipérbola 3 2 1 1 −1 +x2−y2= 0
par de planos imaginarios 2 2 0 0 x2+y2= 0
par de planos secantes 2 2 1 1 x2−y2= 0
par de planos imaginarios paralelos 2 1 0 0 1 +x2= 0
par de planos paralelos 2 1 1 0 −1 +x2= 0
plano doble 1 1 0 0 x2= 0
plano impropio doble 1 0 0 0 1 = 0
todo el espacio 0 0 0 0 0 = 0
paraboloide elíptico 4 2 1 0 2x+y2+ +z2= 0
paraboloide hiperbólico 4 2 2 1 2x−y2+z2= 0
cilindro con base una parábola 3 1 1 0 2x+y2= 0
