Introduccion al Analisis de una variable (Calculo 1)

(1)

Cap´ıtulo 1

Los N´

umeros Reales

Supondremos que el alumno tiene conocimientos b´asicos de teor´ıa de conjuntos.

1.1. Diversas clases de n´

umeros

Se clasificarán los números con los cuales se ha trabajado en estudios anteriores. Notación

Un Conjuntoes una colecci´on de objetos; tales objetos son llamados Elementosdel conjunto.

Si por A designamos a cierto conjunto, la notaci´on a∈A significa: “x es elemento del conjuntoA” o “x pertenece a A”. Six no es un elemento deA, escribiremosa /∈A.

Los números 1,2,3, . . . son conocidos como losNúmeros Naturalesó Número En-teros Positivos. La colección de estos números se designa por N y se llama el conjunto

de los n´umeros naturales. En s´ımbolos

N={1,2,3. . .}.

Notaci´on

Los números −1,−2,−3, . . . son conocidos como Números enteros negativos. La colección de números enteros negativos, el cero y los enteros positivos se designa por Z y

se llama el conjunto de los n´umerosenteros. En s´ımbolosZ={. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}

Definici´on

Un conjuntoAcontienea un conjuntoB (también se diceB está contenidoenA) si todo elemento de B pertenece aA. En este caso escribimos A⊇B ó B ⊆A, decimos que B es un subconjuntode A.Nes un subconjunto deZ.

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Una diferencia notable entreN yZ es de tipo algebraico: la ecuaci´on a+x =b donde

(xes la inc´ognita) siempre tiene soluci´on en Z, mientras que enNno siempre la tiene.

Si un conjuntoA est´a definido por una condici´on P que cumplen sus elementos, escri-bimos A={x| x cumple P}.

Notaci´on

Los números de la forma p_q conp ∈ _Z y q ∈ _N son los Números racionales. A esta colección se le designa porQ. En s´ımbolos

Q=

p

q | p∈Zy q ∈N

Definici´on

Dos conjuntosA, B son iguales si tiene los mismos elementos. En este caso escribimos: A=B. Obserbe queA=B si y solo si A⊆B yB⊆A.

Definici´on

La sustracci´onde un conjunto A menosun conjunto B es el conjunto A\B ={x|x∈A y x /∈B}

Qpuede expresarse tambi´en como:

p

q |p∈Zy q ∈N

=

p

q |p∈Zy q ∈Z\ {0}

=

p

q |p∈Ny q∈Z\ {0}

.

Z es un subconjunto de Q. Una diferencia importante entre los conjuntos Z y Q es

también de tipo algebraico: la ecuación a·x = b, con a 6= 0 (donde x es la incógnita), siempre tiene solución en Q, mientras que enZno siempre la tiene.

La utilidad de los números racionales en el área del Cálculo es principalmente de orden técnico: son usados para medir aproximadamente cantidades reales.

Aunque el conjunto de números racionales tiene estructura de “campo ordenado”(es decir, están definidas las cuatro operaciones elementales de la aritmética y está definido un orden compatible con tales operaciones) necesaria para elaborar una teoria que permitiera un estudio de funciones que interesan al Cálculo, como las polinomiales y las racionales, dejar´ıa a un lado un buen número de funciones elementales, tales como las radicales, las exponenciales,las logar´ıtmicas, las trigonométricas y otras, porque ya tan solo carecer´ıan de sentido las expresiones de la forma √2, π, e, π, sen1, Log2, etc.

Definici´on

(3)

1.1. DIVERSAS CLASES DE N ´UMEROS 3

Una manera de presentar la noci´on de n´umero real es a partir de las “expansiones deci-males”, es decir expresiones de la forma±a.d1d2d3. . .cona∈N∪{0}ydk∈ {0,1,2, . . . ,9}

para todak∈_N. As´ı, un número real puede definirse como una expansión decimal. Definición

La colección de estos números se designa porRy se llama el conjunto de losNúmeros

Reales.

Qes un subconjunto de R. En efecto, consideremos un racional positivo, es decir, un

n´umero de la forma p_q conp, q ∈N. Efectuando la divisi´on larga dep entre q obtenemos

una expansi´on decimal a.d1d2d3. . .. En el caso de un racional negativo r, consideramos

la expansi´on decimal a.d1d2d3. . . de −r. En este caso r = −a.d1d2d3. . .. Por ´ultimo 0 =

0,000. . ..

Las expansiones decimales obtenidas de esta manera tienen la particularidad de ser “peri´odicas”(es decir, los d´ıgitos dk que van apareciendo en la expansi´on se repiten en bloques indefinidamente).

Definici´on

La colecci´on de las expansiones decimales no peri´odicas se designa por I y se llama el

conjunto de los n´umeros irracionales Observemos queI=R\Q.

Admitiremos la existencia de un conjunto sin elementos; tal conjunto se designa por∅

y lo llamaremos conjunto vacio. Definici´on

La intersecci´on de dos conjuntosA y B es el conjunto: A∩B ={x|x∈A y x∈B}. SiA∩B=∅, decimos que los conjuntos A yB sondisjuntos.

R=Q∪I, de dondeQ∩I=∅.

Todo elemento deR puede ser arbitrariamente aproximado por los elementos deQ. En

efecto, fijemos un n´umero realαde la formaa.d1d2d3. . .la expresi´ona.d1d2d3. . .representa

la suma infinitaa+d1₁₀+₁₀d22 + d3

103 . . . de n´umeros racionales. Obserbemos queaaproxima aαen menos de 1, quea.d1 =a+d1₁₀ aproxima aα en menos de ₁₀1 , quea.d1d2 =a+d1₁₀₁₀d22 aproxima a α en menos de ₁₀12, etc. En general, para toda k∈N la k-´esima suma parcial a.d1d2. . . dk=a+d1₁₀+₁₀d22+. . .+

dk

10k de la suma infinitaa+

d1

10+. . ., es un n´umero racional que

aproxima aα en menos de ₁₀1k. Para el caso de un n´umero realβ de la forma−a.d1d2d3. . .

se considera el número real−β =a.d1d2d3. . .. El número racionala.d1d2d3. . . dkaproxima a−βen menos de ₁₀1k. Entonces el número racional−a.d1d2d3. . . dkaproxima aβen menos de ₁₀1k.

R es un campo ordenado.

La adici´on y el producto en R se introducen a partir de las mismas operaciones enQ.

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k∈N las operaciones:

(±a.d1d2. . . dk) + (±b.e1e2. . . ek) y (±a.d1d2. . . dk)(±b.e1e2. . . ek),

obtenemos valores racionales que se aproximan arbitrariamente a dos n´umeros reales:x+y yx·y llamados la suma y el producto dexyy respectivamente. El orden enRtambi´en se

introduce a partir del orden enQ. Consideremos un n´umero real de la formaα=±a.d1d2. . .

con a∈ _N∪ {0} y dk ∈ {0,1,2, . . . ,9} para toda k∈N. Si existe un indice k∈N tal que

el número racional x=±a.d1d2. . . dk sea mayorque cero, decimos que el número realα es mayor que cero. en este caso escribimos: α >0 ó 0< α. Consideremos ahora dos números reales x y y. Decimos que x esmayor que y, o que y es menor que x, si x−y >0 en este caso escribimos x > y o y < x. El orden as´ı definido es compatible con la adición y el producto en R.

El conjuntoR puede ser representado geom´etricamente como una recta infinita, de tal

suerte que los puntos representados sobre dicha recta se identifiquen con los elementos de

R.

Nota:

Representación geométrica del número a.d1d2. . .con a∈N∪ {0}y dk∈ {0,1,2, . . . ,9}

para toda k∈_N.

R es continuo.

Que R sea continuo significa que satisface el siguiente principio: si partimos el conjuntoR

en dos subconjuntos A y B tales que todo elemento de A sea menor que todo elemento de B, entonces bién existe un elemento máximo del conjuntoA ó bién existe un elemento m´ınimo del conjunto B.

Nota:

El significado geom´etrico de este hecho es que no hay huecos en cualquier corte que se haga en la recta.

Qno es continuo, lo cual es la diferencia esencial entreR yQ. En efecto consideremos

la siguiente secuencia de n´umeros racionales: x1 = 0,1, x2 = 0,10, x3 = 0,101, x4 =

0,1010, x5 = 0,10100, x6= 0,101001. . . , x10= 0,1010010001, . . .Definamos los siguientes

conjuntos de Q:

A={x∈Q|x≤xnpara alg´unn∈N} , B =

x∈Q|xn+ 1

10n ≤xpara alg´un n∈N

Entonces,x < y para todax∈Ay para toda y∈B.

Six0fuera el m´aximo elemento deA´o el m´ınimo elemento deB, necesariamente se

cum-plir´ıaxn≤x0 ≤xn+₁₀1n. Luego, la expansi´on decimal dex0ser´ıa 0,101001000100001. . .la

cual no es peri´odica. Por lo tanto niAtiene un elemento m´aximo enQniB tiene elemento

(5)

1.2. EL CAMPO DE LOS N ´UMEROS REALES 5

FinalmenteQ=A∪B, ya que si existierax∈Q\(A∪B), entoncesxn≤x≤xn+₁₀1n.

para todan∈_N. Luegox ser´ıax0, lo cual es contradictorio.

La teor´ıa que construiremos requiere como base lógica una lista m´ınima de axiomas que representan las propiedades básicas de los números reales que se generan a partir de estas definiciones. Por lo cual admitimos la existencia de un conjunto R, cuyos elementos

se llaman n´umeros reales.

1.2. El Campo de los N´

umeros Reales

Las propiedades algebraicas deR tienen como fundamento los siguientes axiomas.

Axiomas de Campo

1. Adición Para cada pareja (a, b) de números reales está definido de modo único un tercer número real denotado pora+b. En s´ımbolos∀a, b∈R∃!a+b∈R.El número

a+bse llama la Sumade ayb. La adici´on satisface:

1. (a+b) +c=a+ (b+c) ∀a, b, c∈R (Asociatividad)

2. a+b=b+a ∀a, b∈ _R (Conmutatividad)

3. ∃0∈_R_ta+ 0 =a ∀a∈_R (Existencia de elemento neutro)

4. ∀a∈R∃ −a∈Rta+(−a) = 0 ∀a∈R (Existencia de elementos opuestos)

El número real 0 se llama ceroy para cada número real a,el número−ase llama el opuesto dea

2. Multiplicación Para cada pareja (a, b) de números reales está definido de modo único un tercer número real denotado por ab. En s´ımbolos∀a, b∈R∃!ab∈R.El número

a+bse llama elProductode ayb. El producto satisface: 1. (ab)c=a(bc) ∀a, b, c∈_R (Asociatividad)

2. ab=ba ∀a, b∈ _R (Conmutatividad)

3. ∃1∈_R_t 1= 0,6 1a=a ∀a∈_R (Existencia de elemento unidad)

4. ∀a∈R t a6= 0∃a−1 ∈R ta(a−1) = 1 ∀a∈R (Existencia de elementos

inversos)

El número real 1 se llamaunoy para cada número realadistinto de cero, el número a−1 se llama elinversode a

(6)

Definici´on

Un conjunto en el que esten definidas una adici´on y una multiplicaci´on que satisfagan los axiomas 1,2 y 3 se llamaCampo

R es un campo.

Ejemplo

Unicidad del elemento neutro∃! 0∈_R_t a+ 0 =a. Supongamos que existe 00 tal que a+ 00 =a∀a∈_R. Debemos probar 00 = 0.

00+ 0 = 00 y 0 + 00 = 0 prop. elemento neutro 00+ 0 = 0 + 00 prop. conmutativa

0 = 00.

Ejemplo

Unicidad de los elementos opuestos.∀a∈R∃! −a∈Rt a+ (−a) = 0.

Fijamosa∈_R. Elegimos−a0 ∈_R _t a+ (−a0) = 0 debemos probar que−a0 =−a a0+ (−a0) = 0 y [a+ (−a0)] + (−a) = 0 + (−a)

(−a) + [a+ (−a0)] = (−a) + 0 prop. conmutativa

[(−a) +a] + (−a0) = (−a) elto. neutro, prop. asociativa [a+ (−a)] + (−a0) =−a prop. conmutativa

0 + (−a0) =−a prop. elto. opuesto (−a) + 0 =−a prop. conmutativa

−a0 =−a prop. elto neutro.

Nota:

Ley de la cancelaci´on para la adici´on

Ejercicio

Haga las demostraciones de la unicidad del elemento unidad, de los elementos inversos y la ley de la cancelaci´on para la multiplicaci´on.

Introduciremos ahora la diferencia y el cociente para los n´umeros reales. Definici´on

Para cada pareja (a, b) de n´umeros reales definimos un tercer n´umero real llamado Diferenciade aconb, como a−b:=a+ (−b).

Proposici´on 1.1 ∀a, b, c, x∈ R se cumple:

1. x+a=b si, y s´olo si x=b−a.

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1.2. EL CAMPO DE LOS N ´UMEROS REALES 7

2. −(−a) =a

3. (−a)b=−(ab) (−a)(−b) =ab

4. a(b−c) =ab−ac (−a)(b−c) =ac−ab

Haga la demostraci´on como ejercicio. Definici´on

Para cada pareja (a, b) de n´umeros reales con b6= 0, definimos un tercer n´umero real llamado Cocientede aconb, como a_b :=a(b−1). En particular 1_b :=b−1.

Proposici´on 1.2 ∀a, b, c, x∈ R con b, d6= 0 se cumple:

1. xb=c si, y s´olo si x= c_b.

x

b =c si, y s´olo si x=bc.

2. Sic6= 0), entonces

a b c d

= ad bc.

En particular (b−1)−1=b. 3. a_b_dc = ac_bd.

En particular b−1d−1 = (bd)−1. 4. a_b +_dc = ad_bd+bc a_b − c

d = ad−bc

bd .

Haga la demostraci´on como ejercicio.

Todas las reglas del ´algebra elemental tambi´en pueden deducirse a partir de los axiomas de campo.

Teorema 1.3 Si a, b∈R, entonces: ab= 0 si, y s´olo si a= 0 o b= 0.

Demostraci´on:

Probaremos primero la relaci´on: 0x= 0 ∀x∈R

En efecto,

0x=(0+0)x 0x=0x+0x

(8)

Esto demuestra la suficiencia del teorema. Para probar la necesidad supondremos pues que ab= 0 debemos demostrar quea= 0 ob= 0. Basta demostrar que sib6= 0, necesariamente a= 0.

Como b 6= 0 entonces existe b−1 luego ab= 0 implica (ab)b−1 = 0b−1. Aplicando la pro-piedad asociativa del producto y la relacion demostrada tenemos quea1 = 0. Aplicando la

propiedad conmutativa tenemos 1a= 0 es decir a= 0.

Corolario 1.4 El elemento neutro no tiene inverso.

Demostraci´on:

Se tiene que 0x= 0 ∀x∈_RYa que 0= 1, necesariamente se tiene 0x6 6= 1 ∀x∈_R. Asi pues no es posible definir ladivisi´on por cero

1.3. El Orden en los N´

umeros Reales

Daremos los fundamentos para la minoraciones y mayoraciones asi como las estimacio-nes con el valor absoluto entre los n´umeros reales.

1.3.1. Axiomas de Orden

Admitimos la existencia de un subconjuntoR+deRcuyos elementos se llamanN´

ume-ros Positivos, el cual satisface:

1. R+ es “es cerrado con respecto a la adici´on”, es decir

a, b∈_R+ ₌_⇒ _a₊_b_∈

R+ (Ley de la Adici´on)

2. R+ es “es cerrado con respecto a la multiplicac´on”, es decir

a, b∈_R+ ₌_⇒ _ab_∈

R+ (Ley de la Multiplicaci´on)

3. Para cada n´umero real se cumple una y solo una de las tres relaciones siguientes:

a∈_R+_, ₋_a_∈

R+, a= 0 (Ley de Tricotom´ıa).

Definici´on

R− es la colecci´on de los n´umeros realesa tales que−a∈R+. Los elementos deR− se

(9)

1.3. EL ORDEN EN LOS N ´UMEROS REALES 9

Obseve que la ley de tricotom´ıa equivale a decir que:

R=R+∪R−∪ {0}, donde los conjuntos R+,R− y{0}son disjuntos a pares.

Definiremos ahora el orden en los n´umeros reales. Definici´on

Sia, b∈ R, decimos que a esMayor que b (´o que b es Menor que a) si a−b ∈R+.

En s´ımbolosa > b ( ´o b < a) ssi a−n∈_R+_.

Sia, b∈_R, decimos que aesMayor o Igualqueb(´o que b esMenor o igual que a) si a−b∈R+∪ {0}. En s´ımbolosa≥b ( ´o b≤a) ssi a−n∈R+∪ {0}.

En particular: a >0 ssi a∈_R+ _y _a_≥₀ _ssi _a_∈

R+∪ {0}.

El siguiente teorema nos dice que “≥” es una relaci´on de orden.

Teorema 1.5 Su cumple lo siguiente:

1. a≥a ∀a∈_R (Reflexividad)

2. Sia, b∈_R, entoncesa≥b y b≥a =⇒b=a (Antisimetr´ıa) 3. Sia, b, c∈_R, entoncesa≥b y b≥c =⇒a≥c (Transitividad)

Adem´as si hay desigualdad estricta en al menos una de las dos primeras relaciones, entonces habr´a desigualdad estricta en la tercera.

4. Para cada par(a, b)de n´umeros reales se cumple una y solo una de las tres relaciones siguientes:

a > b, a=b, b > a.

En particular: a≥b o b≥a ∀a, b∈R.

Demostraci´on:

2 Por hip´otesis suponemos que a≥b yb≥a. Entonces a−b∈_R+_{∪ {}₀_}_y_b₋_a_∈

R+∪ {0}es decir a−b∈R+∪ {0} y−(a−b)∈ R+∪ {0}.

Queremos probar que a=b, es decir a−b= 0.

La ley de tricotom´ıa afirma que se cumple una y solo una de las tres relaciones siguientes: a−b∈_R+_,_a₋_b_{= 0,} ₋_(a₋_b)_∈

R+.

En el caso a−b∈R+, se tendr´ıa−(a−b)6∈R+, lo cual ser´ıa contradictorio.

Si−(a−b)∈_R+_{, entonces}_a₋_b_6∈

R+, lo que tambi´en ser´ıa contradictorio.

Por lo tantoa−b= 0, que es lo que quer´ıa probarse.

Tenemos de hip´otesis quea≥b yb≥centoncesa−b∈R+∪ {0} yb−c∈R+∪ {0}.

(10)

es decira−c∈R+∪ {0}, o seaa≥c.

Sia−b∈_R+ _y_a₋_b_∈

R+, la ley de la adici´on afirma que

(a−b) + (b−c)∈R+

es decira−c∈_R+_{. Luego}_a_≥_c.

Demuestre como ejercicio los otros dos incisos.

Presentaremos algunas reglas para mayorar y minorar, que son de uso frecuente. Proposici´on 1.6 Se cumplen los siguentes incisos.

1. Sia, b, c, d∈_R, entonces

a≤b a≤b

=⇒ a+c≤b+d y =⇒ a−d≤b−c

c≤d c≤d

En ambas implicaciones, si hay desigualdad estricta en al menos una de las dos primeras relaciones, entonces la la tercera desigualdad ser´a estricta.

2. Sia, b, c, d∈_R+_{, entonces}

a≤b a≤b

=⇒ ac≤bd y =⇒ a

d ≤ b c

c≤d c≤d

En ambas implicaciones, si hay desigualdad estricta en al menos una de las dos primeras relaciones, entonces la la tercera desigualdad ser´a estricta.

3. Sia, b∈R, entonces

a≤b a≤b

=⇒ ac≤bc y =⇒ ac≥bc

c∈_R+ _c_∈

R−

(11)

1.3. EL ORDEN EN LOS N ´UMEROS REALES 11

Se deja la demostraci´on como ejercicio.

Las partes 1,2 de la Proposici´on 1.6 nos proporciona las siguientes reglas:

Para mayorar la suma de dos números reales, se mayora cada uno de sus términos. Para minorar la suma de dos números reales, se minora cada uno de sus términos. Para mayorar una diferencia u−v, se mayora u y se minora v; para minorar u−v se minora u y se mayora v.

Para mayorar el producto de dos números reales, se mayora cada uno de sus términos. Para minorar el producto de dos números reales, se minora cada uno de sus términos. Para mayorar un cociente u_v de dos números reales, se mayorau y se minorav. Para minorar un cociente u_v de dos números reales, se minora u y se mayorav.

Corolario 1.7 a2 >0 ∀a∈R∪ {0} y a2 = 0 ssi a= 0.

Corolario 1.8 El n´umero 1 es positivo y el n´umero −1 es negativo.

Haga las demostraciones como ejercicio.

A continuación daremos la definición de valor absoluto y el signo de los números reales. Definición

Para cada n´umero real a definimos el Valor Absoluto de a, como el n´umero no negativo |a|dado por :

a si a∈_R+ |a|:= 0 si a= 0

−a si a∈R−

Para cada n´umero realadistinto de cero, definimos el n´umero Sgn(a), llamado elSigno de acomo

1 si a∈_R+

Sgn(a) :=

−1 si a∈R−

Observe que:

|a|=| −a|, a≤|a| −a≤|a|, − |a|≤a≤|a| ∀a∈_R y Sgn(a) = a

|a| ∀a∈R\ {0}

(12)

Demostraci´on: El caso x= 0 ya se tiene demostrado por el corolario 1.7. Casox∈_R+

Tomando la hip´otesis x≤y, por transitividad se tiene 0< y, luego x, y∈_R+_.

Usando la parte 2 de la proposici´on 1.6 tenemos:x≤y ⇒ xx≤yy, es decirx2≤y2. Tomando ahora la hip´otesis x2 ≤y2 queremos probar que y−x≥0.

Si se tiene x2 ≤y2, entonces se tiene 0≤(y+x)(y−x).

Aplicando la primera parte de la Proposici´on 1.6 se tiene 0≤(y+x).

Por la parte 4 del Teorema 1.5 se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: y−x <0, y−x = 0 o 0 < y−x. Si y−x <0 la parte 3 de la Proposici´on 1.6 asegura que 0>(y+x)(y−x) lo cual ser´ıa contradictorio. Por lo tanto 0≤y−x

Teorema 1.10 1. |a|≥0 ∀a∈_R.

2. Sia∈_R, entonces |a|= 0 si y solo sia= 0. 3. |ab|=|a||b| ∀a, b∈_R.

4. |a+b|≤|a|+|b| ∀a, b∈R.

Demostraci´on: Unicamente probaremos 3 y 4.´ 3 Fijemosa, b∈_R.

En el caso ab= 0 aplicamos el Teorema 1.3 y concluimos que|ab|= 0 y

|a||b|= 0.

En el caso ab6= 0 se tiene entonces por el Teorema 1.3 que a6= 0 yb6= 0. Entonces a=Sig(a)|a|yb=Sgn(b)|b|, luego ab=Sgn(a)Sgn(b)|a||b|. Se cumple una de las siguientes:Sgn(a)Sgn(b) = 1 oSgn(a)Sgn(b) =−1.

En el primer caso se tiene que ab=|a || b|, luego ab > 0 de donde ab=|ab|, por tanto|a||b|=|ab|.

En el segundo caso ab=− |a||b|, luegoab <0, de donde |ab|=−ab y por tanto

−(− |a||b|) =|ab|, es decir|a||b|=|ab|.

4 Fijemosa.b∈_R. Queremos probar la desigualdad |a+b|≤|a|+|b|. Observemos que |a|+|b|,|a+b|∈_R+_{∪ {}₀_}_.

Aplicando el Lema 1.9 se tiene|a+b|≤|a|+|b|si y solo si|a+b|2_≤₍_|_a_|₊_|_b_|₎2_.

Luego es suficiente probar |a+b|2_≤₍_|_a_|₊_|_b_|₎2_.

Usando 3 en la relacion|a+b|2₌_|_a₊_b_||_a₊_b_|_{se tiene}_|_a₊_b_|2₌_|_(a₊_b)2_|_.

El corolario 1.7 afirma que (a+b)2≥0.

Entonces |a+b|2_{= (a}₊_b)2_{, luego}_|_a₊_b_|2₌_a2_{+ 2ab}₊_b2_.

Observemos que |a|2₌_a2 _y_|_b_|2₌_b2_.

Entonces

(13)

1.4. PRINCIPIO DE INDUCCI ´ON EN N 13

Aplicando la parte 1 de la Proposici´on 1.6 tenemos 2ab≤2|ab|. Usando 3 en la relaci´on anterior: 2ab≤2|a||b|.

Finalmente aplicando la parte 1 del Teorema 1.6 en 1.1

|a+b|2_≤|_a_|2₊₂_|_a_||_b_|₊_|_b_|2_{, es decir}_|_a₊_b_|2_≤₍_|_a_|₊_|_b_|₎2_.

Terminaremos esta sección enunciando algunas reglas de mayoración y minoración para valores absolutos.

Proposici´on 1.11 Dados a, b, c, d∈_R, se cumple:

1. |a|≤bsi, y s´olo si−b≤a≤b, equivalentemente|a|≤bsi y solo sia≤by−a≤b.

2. |a|≤c y |b|≤d =⇒ |a+b|≤c+d. 3. ||a| − |b||≤|a−b|.

Demostraci´on: Pruebe 1,2 como ejercicios. 3 Fijemosab∈_R.

Queremos probar que ||a| − |b|≤|a−b|.

Aplicando la parte 4 del Teorema 1.10:|a|≤≤a−b|+|b|y|b|≤≤a−b|+|a|. Entonces |a| − |b|≤|a−b|y|b| − |a|≤|b−a|.

Luego|a| − |b|≤|a−b|y−(|a| − |b|)≤|a−b|.

1.4. Principio de Inducci´

on en

_N

Caracterizaremos aNcomo el conjunto de Peano minimal deR.

Definici´on

Un conjuntoS de R que satisfaga las siguientes condiciones

1. 1∈S

2. x∈S =⇒ x+ 1∈S

ser´a llamdo Conjunto de Peano.

(14)

Definici´on

La Intersecci´on de unaColecci´on Ade Conjuntoses el conjunto:

\

X∈A

X :={x| x∈X∀X∈A}.

Note queT

X∈AX⊆A∀A∈A. Definici´on

Denotaremos porNla intersecci´on de todos los conjuntos de Peano enR. Los elementos

de Nser´an llamadosN´umeros Naturales.

Observaci´on 1.13 N es un conjunto de Peano enR, es el conjunto de Peano minimal.

En efecto, la intersecci´on de la colecci´on de conjuntos de Peano en R, satisface las

condiciones 1 y 2 para ser conjunto de Peano, luego es un conjunto de Peano.

Cualquier elemento de la colecci´on de los conjuntos de Peano enR contiene a N, luegoN

es un conjunto de Peano minimal enR.

La minimalidad deNpuede ser expresada como sigue:

Teorema 1.14 (Principio de Inducci´on) Si un subconjunto S deN satisface

1. 1∈S

2. n∈S =⇒ n+ 1∈S, entonces S=N.

Demostración: Solo necesitamos observar que las hipótesis implican que S es un con-junto de Peano en R, luego S contiene la intersección de los conjuntos de Peano en R, es

decirS ⊇_N.

Casi todas las propiedades de N se pueden deducir usando el principio de inducci´on,

como se ve en la siguiente Proposici´on. Teorema 1.15 1. N∈R+.

2. n∈_N\ {1} ⇒ n >1. 3. n, m∈_N ⇒ nm∈_N. 4. n, m∈_N ⇒ nm∈_N.

(15)

6. n, m∈Nentonces n < m ⇒ n+ 1≤m.

7. ∀n∈_{N @}p∈_N _t n < p < n+ 1. 8. (Principio de buen orden)

Cualquier subconjunto no vacio deNtiene un primer elemento (´o elemento m´ınimo).

Intente hacer las demostraciones como ejercicio. Algunas aplicaciones del principio de inducci´on. Considere un conjuntoA no vacio.

Si a cada naturalnle hacemos corresponder un elemento deA, denotado poran, tendremos una Sucesión de elementos de A (o una Sucesión en A), a la cual denotaremos por los s´ımbolos: n → an o {an}n∈N. Conocer una sucesión n → an en A significa conocer la

regla que determina los elementos a1, a2, a3, . . . , an, . . . de A.

Progresi´on Geom´etrica.

Fijemos a, r ∈ R con r 6= 1. Definiremos una sucesi´on {an}n∈N de n´umeros reales de la

siguiente manera. 1. a1=a.

2. Siak est´a definido, entoncesak+1:=akr.

Nota:

Probaremos por inducci´on que: 1. La sucesi´on esta bien definida.

2. se cumple a1+. . .+ak=a 1−rk

1−r .

Algunas consecuencias de las relaciones demostradas son las siguientes.

1. a(1 +r+. . .+rk−1) =a1−r k

1−r ∀k∈N. 2. Six, y∈R conx6=y yx6= 0, entonces

xk−yk x−y =x

k−1₊_xk−2_y₊_{. . .}₊_xyk−2₊_yk−1 _∀_k_∈ N.

La F´ormula de Newton.

(16)

n!

i!(n−i)! +

n!

(i+1)!(n−i−1)! =

n!

i!(n−i−1)!

1

n−i +

1

i+1

= _i_!(_n₋n_i!₋_1)!

n+1 (n−i)(i+1)

= ₍_i_+1)!((n+1)!_n₋_i_)! Por inducci´on probaremos que (a+b)n=Pn

i=0

n i

an−ibi. En efecto, 1. paran= 1, tenemos que (a+b)1 =a+b= 1₀

a1b0+ 1₁

a0b1=P1

i=0 1

i

a1−ibi. 2. Supongamos v´alida la expresi´on paran.

3. Probaremos que la aseveraci´on es v´alida paran+ 1 (a+b)n+1 = (a+b)n(a+b)

= Pn

i=0

n i

an−ibi

(a+b)

= Pn

i=0

n i

an−i+1bi+ Pn

i=0

n i

an−ibi+1

= an+1+ Pn

i=1

n i

an−i+1bi

+Pn−1

i=0

n i

an−ibi+1+bn+1

= an+1+ Pn

i=1

n i

an−i+1bi+

Pn

j=1

n j−1

an−(j−1)bj

+bn+1

= an+1+

Pn i=1 n i

+ _i₋n₁

an−i+1bi

+bn+1

= an+1+ Pn

i=1

n+1

i

an−i+1bi+bn+1 = Pn+1

i=0

n+1

i

an+1−ibi

Desigualdad de Bernoulli Fijemosa∈_R _t a≥ −1.

(1 +a)n≥1 +na ∀n∈N.

Desigualdad de Schwarz.

Considere dos sucesiones {xn}n∈N y{yn}n∈N de n´umeros reales, se cumple

(17)

Haga la demostración como ejercicio. Progresión Aritmética.

Fije a, d∈R.

Defina una sucesi´on{an}_n∈N de n´umeros reales como sigue:

1. a1:=a

2. Siak est´a definida, entoncesak+1:=ak+d.

Tal sucesión {an}n∈N será llamada Progresión Aritmética de Diferencia d.

ak=a+ (k−1)d a1+a2+. . .+ak =

k

2(2a+ (k−1)d) ∀k∈N. Haga la demostraci´on como ejercicio.

Como consecuencia de estas relaciones tenemos: a1+a2+. . .+ak =

k

2(a1+ak) ∀k∈N. 1 + 2 +. . .+k= k(k+ 1)

2 ∀k∈N. 1 + 3 +. . .+ (2k−1) =k2 ∀k∈N.

Caracterizaremos ahora a los conjuntosZ yQde R.

Definici´on

La colección de los opuestos de los números naturales se denotarán por −_N. Los ele-mentos de −Nse llamaránNúmeros Enteros Negativos.

Denotaremos por Zal conjunto (−N)∪ {0} ∪N. Los elementos de Z se llaman N´umeros

Enteros.

Observaci´on 1.16 (−N−)⊆R−.

Teorema 1.17 El subconjunto Z de R satisface

1. 1∈Z.

(18)

Proposici´on 1.18 Si un subconjunto S de R satisface

1. 1∈S.

2. S es cerrado con respecto a la adici´on y a la sustracci´on. entonces S⊇_Z.

Corolario 1.19 Z es la intersecci´on de la colecci´on de los subconjuntos de R que tienen

al uno como elemento y son cerrados bajo la suma y la sustracci´on.

Haga las demostraciones como ejercicio. Definici´on

Denotaremos porQ al conjunto {p_q | p ∈Z y q ∈ N}. Los elementos deQ se llaman

N´umeros Racionales.

Observaci´on 1.20 Z⊆Q.

Teorema 1.21 El subconjunto Q deR satisface

1. 1∈_Q.

2. Q es cerrado con respecto a la adición y a la sustracción, a la multiplocación y a la

divisi´on.

Definici´on

Un subconjuntoS de un campoK se llamar´a Subcampo si los axiomas de campo se cumplen al restringir las operaciones deK aS.

Observaci´on 1.22 S es un subcampo de K si y solo si 1. ∃a∈K\ {0} _t a∈S .

2. S es cerrado con respecto a la adición y a la sustracción, a la multiplocación y a la división.

Corolario 1.23 Q es un subcampo de R.

Proposición 1.24 Qes la intersección de la colección de los subcampos de R.

(19)

1.5. EL AXIOMA DEL SUPREMO 19

1.5. El Axioma del Supremo

Definici´on

Considere un subconjunto no vacioT deR.

Un elemento a de T que satisfaga la condici´on a ≤ x ∀ x ∈ T, ser´a llamado Elemento M´ınimode T.

Observaci´on 1.25 Observe que si existe un elemento m´ınimo de T, tal elemento de T

debe ser ´unico. Se denota usualmente por MinT al elemento m´ınimo de T si tal n´umero existe.

Definici´on

Diremos que un subconjunto no vacio de S de R est´a Acotado Superiormente si

existeb∈_Rtal que pueda demostrarse quex≤b∀x∈S. Tal n´umero se llamaMayorante (o “cota superior”) de S.

Axioma del Supremo

Existe un mayorante m´ınimo para cualquier subconjunto no vacioS deRque est´e acotado

superiormente. Al m´ınimo de los mayorantes de tal subconjunto S lo denotaremos por supSy lo llamaremos Supremo de S.

Proposici´on 1.26 Consieremos un subconjunto no vacio S de R que est´e acotado

su-periormente. Sea α un n´umero real. α= supS si, y s´olo si α satisface 1. α≥x ∀x∈S

2. ∀ε >0 ∃x∈St x > α−ε.

Demostraci´on:

Tomemos la hip´otesis de sera= supS.

La propiedad que tiene α de ser mayorante deS implica queεsatisface la condici´on 1. Seaε >0.

Observemos que α−ε < α

Entonces la hip´otesis de serαel mayorante m´ınimo deSimplica queα−εno es mayorante de S.

Eso quiere decir que por lo menos existe un x∈S tal quex > α−ε. Por lo tantoα satisface la condicio´on 2.

Supongamos ahora queα satisface las condiciones 1 y 2. Que satisfaga la condici´on 1 significa que α es mayorante deS. Por otro lado observemos que {c| c < α}={α−ε| ε >0}.

Queαsatisfaga 2 implica que ning´un n´umero mayor queαes mayorante deS. Por lo tanto

(20)

Teorema 1.27 [Propiedad Arquimedeana de los Naturales] El subconjunto N de R no est´a acotado superiormente.

Demostraci´on:

Razonemos por reducci´on al absurdo.

En el caso de que Nfuera acotado superiormente existir´ıa ω∈R tω = supN.

De acuerdo con la Proposoci´on 1.26, existir´ıan∈_N _t n > ω−1. Luego n+ 1> ω. PeroN es un conjunto de Peano, por lo quen∈N⇒ n+ 1∈N.

Por lo tanton+ 1∈N yn+ 1> ω.

Esto significar´ıa queω no es mayorante deN. Peroω= supS, entoncesω es mayorante de N. Hemos llegado a una contradicci´on.

Por lo tantoN no est´a acotado superiormente.

Corolario 1.28 ∀ε >0∃n∈N t _n1 < ε.

Demostraci´on: Seaε >0

Consideremos el n´umero 1_ε.

El Teorema 1.27 justifica la existencia den∈_N _t n > 1_ε. Se deducir´a la existencia de las ra´ıcesn-es´ımas.

Teorema 1.29 Dado n∈_N tenemos ∀a∈_R+_{∪ {}₀_{} ∃}_!_b_∈

R+∪ {0} t bn=a.

Demostraci´on:

Fijemosa∈R∪ {0}.

Para el caso a= 0 el n´umerob= 0 el el´unico que satisface las condiciones requeridas. Para a∈_R

Verifiquemos laexistencia, para ello consideremos el conjunto: S :={x∈_R| xn< a}

S es un conjunto no vacio, ya que el número m´ın{1, a}es elemento de S. S es acotado superiormente, ya que el número máx{1, a} es mayorante deS.

Luego por el axioma del supremo existe un mayorante m´ınimo paraS. Seab= supS. b∈_R+

En efecto, ya que b es mayorante para S, entonces se cumple b≥ x ∀ x ∈ S. Adem´as se tiene que el n´umero m´ın{1, a}es elemento de S, luego se cumple lo pedido.

bn=a

Seε∈R+tal queε < b. Debido a quebes el m´ınimo de los mayorantes, se tiene que existe

(21)

Observemos que (b−ε)n< xn, luego (b−ε)n< an.

Desarrollando (b−ε)n con el binomio de Newton tenemos:

(b−ε)n=bn+ n X k=1 n k

bn−k(−ε)k

Obsevemos que bn+Pn

k=1

n k

bn−k(−ε)k> bn−Pn

k=1

n k

bn−kεk Ahora comoε < b entonces bn+Pn

k=1

n k

bn−k(−ε)k> bn−Pn

k=1

n k

bn−1ε. Luego (b−ε)n> bn−Pn

k=1

n k

bn−1ε PeroPn

k=1

n k

= 2n−1. Entonces

−(2n−1)bn−1ε < a−bn (1.2)

Por otra parte comoε >0 se tiene queb < b+ε. Por serbmayorante deS se tiene que b+ε6∈S, luego a≤(b+ε)n_{. Desarrollando (b}₊_ε)n _{de acuerdo a la formula del binomio} y mayorando tenemos:

a−bn<(2n−1)bn−1ε (1.3)

Observemos que las desigualdades 1.2 y 1.3 implican

|a−bn|<(2n−1)bn−1ε (1.4) Observe que|a−bn|≥0. Si fuera distinto de cero, entonces la ecuaci´on 1.4 es v´alida para todo ε >0, en particular para cualquier positivo menor que M in{b,₍₂n|a₋−₁₎b_bnn|−1} lo cual es contradictorio, por tanto |a−bn|= 0, luegoa=bn.

Ahora verifiquemos laUnicidad.

Para ello elijamosr, s∈R+ tales que rn=aysn=a. Queremos probar que r=s.

Observemos que rn−sn = 0. Factorizando tenemos 0 = (Pn

k=1rn

−k_sk−1_)(r ₋_{s). Pero}

Pn

k=1rn−ksk−1∈R+ya quer, s∈R+, luego por el Teorema 1.3r−s= 0, de donder=s.

Definici´on

Para cualquiera∈_R+_{∪ {}₀_}_{, al ´}_unico_b_∈

R+∪ {0}tal quebn=alo llamremos laRaiz

n-esima no negativa de ay lo denotaremos b=an1 o b= n

√

a

Introduciremos ahora el concepto de ´ınfimo. Definici´on

Considere un subconjunto no vacioT deR.

(22)

Observaci´on 1.30 Observe que si existe un elemento m´aximo de T, tal elemento de T

debe ser único. Se denota usualmente por máxT al elemento máximo de T si tal número existe.

Definici´on

Diremos que un subconjunto no vacio deSdeRest´aAcotado Inferiormentesi existe

d∈_R tal que pueda demostrarse que d≤x ∀x ∈S. Tal n´umero se llama Minorante(o “cota inferior”) de S.

Teorema 1.31 Existe un minorante m´aximo para cualquier subconjunto no vacio S deR

que est´e acotado inferiormente. .

En efecto apliquemos el axioma del supremo al conjunto−S(la colecci´on de los opuestos de los elementos de S).

Definici´on

Al m´aximo de los minorantes de un subconjunto S no vacio lo denotaremos por ´ınfS y lo llamremos Infimo de S

Proposici´on 1.32 Consieremos un subconjunto no vacio S de R que est´e acotado

infe-riormente. Sea γ un n´umero real.

γ = ´ınfS si, y s´olo si γ satisface 1. γ ≤x ∀x∈S

2. ∀ε >0 ∃x∈St x < γ+ε.

Observaci´on 1.33 El supremo (´ınfimo) de un subconjunto no vacio S de R que este

acotado superiormente (inferiormente) no necesariamente es elemento de S.

Proposici´on 1.34 Considere un subconjunto no vacio S de R

1. Suponga que S est´a acotado superiormente.

Si el supremo de S es elemento de S, entonces el conjunto S tendrá como elemento máximo al número supS.

2. Suponga que S est´a acotado inferiormente.

Si el infimo de S es elemento de S, entonces el conjunto S tendr´a como elemento m´ınimo al n´umero´ınfS.

(23)

Teorema 1.35 Si A, B son dos subconjuntos no vacios deR tales que:

1. a < b ∀a∈A ,∀b∈B

2. R=A∪B,

entonces se cumple una y solo una de las siguientes afirmaciones:

i A tiene elemento m´aximo

ii B tiene elemento m´ınimo

Demostraci´on: Por la condici´on 1 se tiene que cualquier elemento deB es mayorante de A. El axioma del supremo justifica la existencia de un mayorante m´ınimo deA.

Escribamos s:= supA.

La elecci´on de scomo el m´ınimo de los mayorantes de Aimplica que

s≤b∀b∈B (1.5)

Observe que la condici´on 1 implica queA∩B =∅, luego por la condici´on 2 se tiene que s

satisface una y solo una de las siguientes condiciones: s∈A,s∈B.

En el primer caso la Proposición 1.34 afirma queses el elemento máximo de A, mientras que en segundo caso la relación1.5implica que ses el elemento m´ınimo deB.

Definici´on

Un subconjunto no vacioS de R estar´a Acotado si est´a acotado superior e

inferior-mente. Nota:

Localizaci´on de los conjuntos acotados (los intervalos) en la recta real.

Proposici´on 1.36 Para cada subconjunto no vac´ıoS deRlas siguientes afirmaciones son

equivalentes

1. S est´a acotado.

2. Existena, b∈_R con a < b, tales que S ⊆[a, b]. 3. ExisteR >0 tal que|x|≤R ∀x∈S.

Demostraci´on: 1⇒2

Tenemos la hip´otesis de estar S acotado.

(24)

Escribamos a:= supS yb:= ´ınfS.

Obseve que x∈S implicaa≤xy x≤b, luegoS ⊆[a, b]. 2⇒3

Tenemos ahora la hip´otesis de que existen a, b∈R tales queS ⊆[a, b].

ElijamosR > M ax{|a|,|b|}. Obsevemos queR >0. Se cumple|x|≤R ∀x∈S.

3⇒1

La hip´otesis de existir R > 0 tal que | x |≤ R ∀ x ∈ S. implica −R < x < r ∀x ∈S.

Luego S est´a acotado superior e inferiormente.

Corolario 1.37 Si un subconjunto no vacioSdeRest´a acotado, entoncesS⊆[´ınfS,supS].

Convenci´on

Considere un subconjunto no vacio S de R.

Convenimos en que supS = +∞ cuando el conjunto S no est´e acotado superiormente y que ´ınfS =−∞ cuando el conjunto S no est´e acotado inferiormente.

Observaci´on 1.38 supS = +∞ si, y s´olo si ∀M ∈_R+_∃_x_∈_S _t _{x > M}

´ınfS=−∞ si, y s´olo si ∀N ∈R+ ∃x∈S t x < N

Definici´on

Definici´on de intervalos infinitos.

Considere un subconjunto no vacioS de R.

S está acotado superiormente si, y sólo si existe b∈_R tal queS ⊆]− ∞, b[. S está acotado inferiormente si, y sólo si existe a∈R tal queS ⊆]a,+∞[.

Terminaremos el cap´ıtulo probando la densidad de los n´umeros racionales y de los n´umeros irracionales en R.

Lema 1.39 Cualquier natural asatisface una y solo una de las siguientes condiciones 1. Existen∈_N _t a= 2n(a es Par)

2. Existen∈N t a= 2n−1 (a es Impar)

Haga la demostraci´on como ejercicio. Lema 1.40 aes par si, y s´olo si a2 es par.

(25)

Demostraci´on: Razonemos por reducci´on al absurdo.

Supongamos que √2∈ _Q. Entonces existir´ıan m, n ∈_N tal que √2 = m_n. El principio de buen orden enNjustificar´ıa la existencia de un m´ınimo naturalppara el cual existeq∈N

tal que√2 = p_q. Entonces p2 = 2q2.

Luegop2 ser´ıa par. El Lema 1.40 afirmar´ıa que pes par.As´ı que por el Lema 1.39 existir´ıa un naturalk tal quep= 2k.

Entonces p2 = 4k2, adem´asp2 = 2q2, luego q2= 2k2.

Se tiene entonces queq2 es par y nuevamente existir´ıa (por los lemas 1.39 y 1.40) un natural l tal queq= 2l.

q =l y p= 2kimplican p_q = k_l. De donde

√

2 = k

l (1.6)

La existencia de un naturalkque satisfaga 2.43 yk < pesta en contradicci´on de la elecci´on de p. Hemos llegado a un absurdo.

Por tanto √2∈R\Q.

Definici´on

El subconjunto no vacio deR\Qde R ser´a denotado por I. Los elementos deI ser´an

llamadosN´umeros Racionales.

Teorema 1.42 ∀a, b∈_R _t a < b ]a, b[∩_Q6=∅ y ]a, b[∩_I6=∅.

Demostraci´on: Fijemosa, b∈_R tal quea < b ya >0.

∃p, q∈N ta < p_q < b.}

Se tiene b−a >0. El Corolario 1.28 justifica la existencia de q∈Ntal que

1

q < b−a (1.7)

El Teorema 1.27 justifica la existencia de n´umeros naturales mayores queaq. Por el principio de buen orden obtenemos un m´ınimo natural ptal quep > aq. Entonces

a < p

q (1.8)

Observe quep−1∈_N∪ {0}.

Sip−1 fuera cero, tendr´ıamos p−_q1 < a.

(26)

En cualquier caso p−1 q ≤a.

Entonces p q ≤a+

1 q.

Pero la desigualdad 1.7 implicaa+1

q < a+ (b−a), luegoa+ 1

q < b. Entonces p q < b.

∃r, s∈_N_t a < r s

√

2< b

Se justifica la existencia de un natural s tal que 1 s <

b−a

√

2 y despues, se justifica la exis-tencia de un m´ınimo naturalr tal quer > √as

2 y deduzca que r s

√

2< b. Ahora para el caso general, es decir a∈_R.

El Teorema 1.27 justifica la existencia de un naturaln tal quen >|a|. entoncesa+n∈_R+_.

(27)

Cap´ıtulo 2

Sucesiones y Series de N´

umeros

Reales

Precisar la identidad de cierto número real significa aproximarse por números conocidos de tal modo que los números aproximantes deduzcan el comportamiento o caracteristica del número propuesto.

La teor´ıa de sucesiones y series resuelve parcialmente el problema.

2.1. Las Sucesiones y sus L´ımites

Considere un conjuntoA no vacio

Si a cada naturalnle hacemos corresponder un elemento deA, denotado poran, tendremos una Sucesión de Elementos de A (ó una sucesión deA), a la cual denotaremos por los simbolos n7→an ó{an}n∈N.

Los elementosa1, a2, . . .de Ase llamarán los términos de la sucesión {an}n∈_N,an es cono-cido como el Término General de la Sucesión.

Conocer la sucesi´on {an}n∈N en A significa conocer la regla que determina los elementos

a1, a2, . . . de A.

Ejemplo

1. {1

n}.

2. Fije a∈_R.n7→aes la sucesi´on constante de valora. 3. ∀k∈Ndefinimos x2k−1:= 1,x2k:= 0.

4. {(−1)n}. 5. {(1 + 1_n)n}n∈N.

(28)

6. {Pn

k=1

(−1)k k }n∈N.

7. Podemos definir una sucesi´on {xn}_n∈N de la siguiente manera:

x1= √

2

Sixk est´a definido, definimos xk+1:= √

2xk.

En estas condiciones por el principio de inducci´on se tiene quexk est´a definido para cualquier k∈_N.

La definición precisa del concepto de aproximación está dada por la siguiente definición. Definición

Seal∈_R fijo.

Diremos que la sucesi´on {xn}n∈N en R Converge a el n´umero l si para cualquier ε > 0

puede justificarse la existencia den0∈Ntal que pueda demostrarse que |xn−l|< εpara

cualquier n≥n0.

Teorema 2.1 Si una sucesión en R converge a algún número, este número debe ser el

´

unico al que converge la sucesi´on.

Demostración: Fijemos una sucesión {xn}n∈N en R tal que converja a un númerol, y

supongamos que {xn}n∈N converge tambi´en al n´umerol0.

Vamos a probar que l=l0. Seaε >0.

Observemos que |l−l0 |≤|xn−l|+|xn−l0 | ∀n∈N.

Para el n´umero ₂ε existenn1, n2 ∈Ntales que |xn−l|<

ε

2 ∀n≥n1 |xn−l

0 _|_< ε

2 ∀n≥n2 Luego |xn−l|<

ε

2 |xn−l

0 _|_< ε

2 ∀n≥M ax{n1, n2}. Sean0 =M ax{n1, n2}. Luego |l−l0 |< ε para todoε >0.

Si|l−l0 |>0 entonces se cumple|l−l0 |<|l−l0 |lo cual es contradictorio. Luegol=l0.

Definici´on

Consideremos una sucesi´on {xn}n∈N en R y el n´umero real l.

Si {xn}n∈_N converge a l, diremos que l es el Limite de la Sucesi´on {xn}n∈_N cuando n

(29)

2.1. LAS SUCESIONES Y SUS L´IMITES 29

Ejemplo

1. l´ımn→∞

1 n = 0

Fijemosε >0. Observemos que |_n1 −0|= _n1 ∀n∈N.

Por el corolario 1.28 se sabe que existe n0 > 0 tal que _n01 < ε. Observemos que

n≥n0 ⇒ _n1 ≤ _n01 . Entonces _n1 < ε ∀n≥n0.

Por tanto | 1

n−0|< ε. 2. l´ımn→∞

n2₋_n

2n2₋₁ = 1 2

Seaε >0. Observemos que| n 2₋_n

2n2₋₁ −

1 2 |=

2n−1

4n2₋₁ ∀n∈N.

Adem´as 2n−1≤2ny 4n2−1≥3n2 para todon. Entonces 2n−1 4n2₋₁ ≤

2

3n ∀n∈N. Luego| n

2₋_n

2n2₋₁ −

1 2 |≤

2

3n ∀n∈N. 3. l´ımn→∞

1 2n = 0

Seaε >0. Tenemos que| 1

2n −0|= ₂1n ∀n∈N.

observe que ₂1n ≤ _n1 ∀n∈N.

4. l´ımn→∞n

1

n = 1.

Sea ε > 0. Observe que n1n −1 > 0. Considere la expresi´on (1 + (n

1

n −1))n para

n >2.

Desarrollando de acuerdo a la f´ormula de Newton

(1 + (nn1 −1))n=

n X k=0 n k

(n1n −1)k

peroPn

k=0

n k

(nn1−1)k≥ n

2

(n1n−1)2, entonces (1+(n

1

n−1))n≥ n(n−1)

2 (n

1

n−1)2

paran≥2

Por otra parte (1 + (n1n −1))n =n. Entonces n ≥ n(n−1)

2 (1 + (n 1

n −1))2. Luego

(nn1 −1)2 ≤ 2

n−1 ≤ 4

n. Luego|n 1

n −1)|≤ 2

n12 .

El siguiente resultado es de uso frecuente.

Proposici´on 2.2 Si las sucesiones {xn}n∈_N y {yn}n∈_N satisfacen las siguientes

(30)

1. {xn}n∈N converge a alg´un n´umero l.

2. {yn−xn}n∈N converge a cero,

entonces tambi´en {yn}n∈N converger´a al.

Demostraci´on: Observe que |yn−l|≤|yn−xn|+|xn−l| ∀n∈N.

Como consecuenci podemos observar que la convergencia de una sucesión no depende de una colección finita de sus términos.

Corolario 2.3 Si la sucesiones{xn}_n∈N, {yn}n∈N satisfacen las condiciones siguientes

1. {xn}n∈N converge a alg´un n´umero l.

2. ExisteN ∈_N tal quexn=yn ∀n≥N,

entonces {yn}n∈N tambi´en converger´a al.

Haga la demostraci´on como ejercicio. Definici´on

Diremos que una sucesión es Convergentesi existe algún número al cual converja la sucesión.

Definici´on

Una sucesión estará acotada si el conjunto de términos de la sucesión está acotado. Se deduce del Teorema 1.35 del Cap´ıtulo I el siguiente corolario.

Corolario 2.4 Considere una sucesi´on {xn}n∈_N. Las siguientes afirmaciones son

equiva-lentes

1. {xn}_n∈N est´a acotada.

2. Existen a, b∈R con a≤btales que xn∈[a, b] ∀n∈N.

3. ExisteR >0 tal que|xn|≤R ∀n∈N.

Teorema 2.5 Las sucesiones convergentes tienen la propiedad de estar acotadas.

Demostración: Considere una sucesión convergente {xn}n∈_N. Luego existe un númerol

tal quel= l´ımn→∞xn. Observe que |xn|≤|xn−l|+|l|para todon∈N.

(31)

2.1. LAS SUCESIONES Y SUS L´IMITES 31

Corolario 2.6 Si una sucesión no está acotada, tal sucesión no puede ser convergente.

Observaci´on 2.7 Las sucesiones acotadas no necesariamente tendr´an que ser convergen-tes.

En efecto, considere la sucesi´on{(−1)n}_n∈N.

La sucesi´on est´a acotada, ya que |(−1)n_|≤₁_.

La sucesi´on {(−1)n}n∈N no converge.

Sea l ∈ _R. Que {(−1)n}_n∈N no converja a l quiere decir que existe ε0 > 0 tal que para

cualquier n0 ∈Nse puede encontrar n∈N n≥n0 que satisfaga |(−1)n−l|≥ε0.

Observe que |(−1)2k−l|=|l−1|y |(−1)2k+1−l|=|l+ 1| ∀k∈_N.

Al menos uno de los dos es positivo, supongamos que |l−1|>0 y sea ε0= |l−₂1|.

Fijemos n0∈N. El n´umero 2n0≥n0 y cumple |(−1)2n0−l|≥ε0.

Por lo tantoxn9n→∞ ssi ∃ε0 >0t ∀N ∈N∃n≥N t|xn−l|≥ε0.

Teorema 2.8 Si {xn}n∈N,{yn}n∈N son dos sucesiones convergentes, entonces

1. La sucesi´on{xn+yn}_n∈Nes convergente yl´ımn→∞(xn+yn) = l´ımn→∞xn+l´ımn→∞yn

2. La sucesi´on {xnyn}n∈N es convergente y l´ımn→∞(xnyn) = (l´ımn→∞xn)(l´ımn→∞yn)

3. En el caso de serl´ımn→∞yn6= 0, la sucesi´on{_{y n}1 }n∈N es convergente y

l´ım n→∞

1 yn =

1 y

Demostraci´on: Dado ε >0

Corolario 2.9 Si {xn}n∈N, {yn}n∈Nson dos sucesiones convergentes, entonces

1. Para cualquierα, la sucesi´on{αxn}n∈Nes convergente yl´ımn→∞(αyn) =αl´ımn→∞yn.

2. La sucesi´on{xn−yn}n∈Nes convergente yl´ımn→∞(xn−yn) = l´ımn→∞xn−l´ımn→∞yn.

3. En el caso de serl´ımn→∞yn6= 0, la sucesi´on{x_y_nn}n∈Nes convergente yl´ımn→∞

xn

yn =

l´ımn→∞xn

l´ımn→∞yn.

Teorema 2.10 Si {xn}n∈_N es una sucesi´on convergente, entonces la sucesi´on {|xn|}n∈_N

(32)

Demostraci´on: Escribamos x= l´ımn→∞xn. Probaremos l´ımn→∞ |xn|=|xn|.

Seaε >0. Observemos que||xn| − |x||≤|xn−x| ∀n∈_N.

La condici´on l´ımn→∞xn=x justifica la existencia den0 ∈Nt|xn−x|< ε ∀n≥n0.

Luego ||xn| − |x||< ε∀n∈N.

Teorema 2.11 (Criterio de Comparaci´on) Considere una sucesi´on {un}n∈N que

sa-tisface las condiciones:

1. Existen dos sucesiones {xn}n∈N, {yn}n∈N tales que xn ≤ un ≤ yn ∀n ≥ N para

alg´un N ∈_N.

2. Las sucesiones {xn}n∈N y {yn}n∈N convergen al mismo n´umero real, digamos u =

l´ımn→∞xn= l´ımn→∞yn.

Entonces {un}n∈N converge al n´umero u.

Demostraci´on: Seaε >0. Observe quexn−u≤un−u≤yn−u

Corolario 2.12 Considere una sucesi´on{un}n∈N que satisface las siguientes condiciones

1. Existe algún númerou y una sucesión{yn}n∈_Ntales que u≤un≤yn ∀n≥N para

alg´un N ∈_N.

2. La sucesi´on {yn}n∈N converge al n´umero real, u= l´ımn→∞yn.

Corolario 2.13 Considere una sucesi´on{un}n∈N que satisface las siguientes condiciones

1. Existe algún númerou y una sucesión{xn}n∈_N tales quexn≤un≤u ∀n≥N para

alg´un N ∈N.

2. La sucesi´on {xn}n∈_N converge al n´umero real, u= l´ımn→∞xn.

Corolario 2.14 {xn}n∈_N converge a cero si, y solo si{|xn|}n∈_N converge a cero.

(33)

2.2. SUBSUCESIONES. SUCESIONES MON ´OTONAS, ACOTADAS Y SUCESIONES DE CAUCHY33

Ejemplo

1. { n

3₋_4n_{+ 2}

4n3_{+ 2n}2₋₁}n∈N

2. {√n_a_}

n∈N

3. Sea R∈_Q+_{. Si una sucesi´}_on _{_x

n}n∈N satisface las condiciones

xn≥0

{xn}n∈_N converge a alg´un n´umerox.

entonces i x≥0

ii l´ımn→∞xRn =xR.

2.2. Subsucesiones. Sucesiones Mon´

otonas, Acotadas y

Su-cesiones de Cauchy

Definici´on

Considere un subconjunto no vacioS deN.

El conjunto será llamado finito si está acotado. El conjunto será llamado infinito si no está acotado.

Convenimos en que el conjunto vacio es finito. Definici´on

Diremos que una sucesi´on de n´umeros {xn}n∈N es Estrictamente Creciente si sus

t´erminos satisfacen la condici´on xn< xn+1

Teorema 2.15 SiS es un conjunto infinito deN, existe una sucesi´on creciente{α(n)}n∈N

de n´umeros reales tal que S={α(n)|n∈_N}.

Intente hacer la demostraci´on como ejercicio. Tal sucesi´on{α(n)}n∈N es conocida como la

Enumerac´on creciente del conjunto S Nota:

Hablar de los subconjuntos infinitos de N es hablar de las sucesiones estrictamente

(34)

Definici´on

Considere la sucesi´on{xn}_n∈Nde n´umeros reales.

Si {α(n)}_n∈N es una sucesión estrictamente creciente de números naturales, la sucesión {xα(n)}n∈Nserá llamada laα-Subsucesiónde la sucesión{xn}n∈N.

Proposición 2.16 si una sucesión {xn}n∈N converge a un número real l, entonces

cual-quier subsucesi´on {x_α₍_n₎}n∈_N de {xn}n∈_N converge al.

Demostraci´on: Basta observar que α(n)≥npara todon∈_N.

Corolario 2.17 Si dos subsucesiones {xα(n)}n∈N y {xβ(n)}n∈N de una sucesi´on {xn}n∈N

tienen l´ımites distintos, entonces la sucesi´on {xn}n∈N no es convergente.

Ejemplo

La sucesi´on{(−1)n+_n1}_n∈N no es convergente.

Proposici´on 2.18 Considere una sucesi´on{xn}n∈Npara la cual existen dos subsucesiones {xα(n)}n∈N y {xβ(n)}n∈N que satisfacen las condiciones

1. {xα(n)}n∈N y {xβ(n)}n∈N convergen al mismo n´umero.

2. {α(n)|n∈N} ∪ {β(n)|n∈N}=N.

Entonces {xn}n∈N es convergente.

Demostraci´on: Seaε >0. Buscamosn0 ∈Ntal quen≥n0 ⇒|xn−l|< ε.

Observe que la condici´on 2 inplica que cualquier natural n satisface al menos una de las siguientes condiciones

∃k∈_N _tn=α(k) o ∃j ∈_N _tn=α(j) La condici´on 1 implica la existencia de N ∈_Ntal que

|xα(k)−l|< ε ∀k≥N y |xβ(n)−l|< ε ∀j ≥N

Fijemosn≥max{α(N), β(N)}

Caso en que n=α(k) para algún naturalk Tal númerok satisface la condición α(k)≥α(N)

Pero la sucesi´on{α(n)}n∈N es estrictamente creciente, entoncesα(k)≥α(N)⇒k≥N.

(35)

Pero la sucesi´on {β(n)}n∈N es estrictamente creciente, entoncesβ(k)≥β(N)⇒k≥N.

Luego |xβ(k)−l|< ε, por lo tanto|xn−l|< ε.

Escribimosn0 =max{α(N), β(N)}.

Observación 2.19 La convergencia de una o más subsucesiones de una sucesión{xn}n∈_N

no necesariamente implica la convergencia de la sucesi´on {xn}n∈N, a´un en el caso de que

dichas sucesiones convergieran al mismo n´umero.

Ejemplo

Considere la sucesión 1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1, . . .. Las subsucesio-nes de los términos α(n) = n(n₂+1) + 1, β(n) = n(n₂+1) + 2 y β(n) = n(n₂+1) + 3 convergen todas a cero, pero la sucesión dada no es convergente.

As´ı pues la condici´on 2 del Teorema no puede ser omitida. Definici´on

Sea{xn}_n∈N una sucesión de números reales. El número realx es unPunto de

Ad-herenciade{xn}n∈Ncuando existe una subsucesi´on {xα(n)}n∈N de{xn}n∈Nque converge

a x. Ejemplo

1. Toda sucesión convergente tiene como único punto de adherencia a su l´ımite. 2. La sucesión {xn}n∈N donde x2n= 1 y x2n+1 = 0 tiene dos puntos de adherencia, el

0 y el 1.

3. La sucesi´on {2n}_n∈N no tiene puntos de adherencia.

Teorema 2.20 Toda sucesi´on acotada de n´umeros reales tiene al menos un punto de ad-herencia.

Demostración: Sea{an}n∈N una sucesión acotada de números reales.

Existe M >0 tal que−M < an< M para todon∈N.

SeaA={x∈_R| x≤an para una infinidad de ´ındices n}. Se cumple−M < an∀n∈N ⇒ −M ∈A, luego Aes no vacio.

x ∈A ⇒ ∃n∈N tx≤ an; an < M ⇒ x < M luego M es un mayorante deA, por lo

tantoA es un conjunto acotado superiormente, sea l= supA.

(36)

´ındices n, es decir, {n∈N|l−ε < an}es infinito.

Ahora l+εn∈A, luegol+ε≤an a lo m´as para un n´umero finito de ´ındices n. Entonces existen0 ∈Ntal quean< l+ε, ∀n≥n0.

SeaN >0.

Puesto que {n ∈ _N | l−ε < an} es infinito, existe k ∈ {n ∈ _N | l−ε < an} tal que k > max{N, n0}, entoncesak< l+ε, luego k∈ {n∈N|an< l+ε}

Entonces {k∈ {n∈N|l−ε < an< l+ε}cumple k > N por tanto {n∈N|l−ε < an<

l+ε} es no acotado, es decir infinito.

Construiremos una subsucesi´on {x_α₍_n₎}_n∈N de {xn}n∈N.

Seaα(1) el primer elemento del conjunto {n∈N|l−1< an < l+ 1}. El natural cumple

l−1< aα(1) < l+ 1.

Supongamos construido el natural α(k).

Seaα(k+ 1) el primer elemento del conjunto{n∈N|l−_k₊₁1 < an< l+_k₊₁1 }mayor que

α(k). el naturalα(k+ 1) que cumpleα(k)< α(k+ 1) yl− 1

k+1 < ak+1 < l+ 1

k+1.

Aplicando inducci´on, tenemos construida una sucesi´on {α(n)}_n∈_N estrictamente creciente

de n´umeros naturales que cumple l− 1_n < aα(n) < l+ n1. Luego por el Teorema 2.11 la

subsucesi´on {xα(n)}n∈N es convergente.

Teorema 2.21 Toda sucesión monótona acotada de números reales es convergente.

Demostración: Sea{an}n∈N una sucesión monótona acotada de números reales.

1. Supongamos que {an}n∈N es creciente.

El conjuntoA={an|n∈N}es acotado. Seal= supA. Se cumplean≤l ∀n∈N.

Sea ε >0.l−ε no es mayorante deA. Entonces existe n0 ∈N tal que l−ε < an0.

Puesto que la sucesi´on es creciente se tiene que si n > n0, entonces an0 < an, luego paran≥n0 se cumple l−ε < an≤l. Por tanto l= l´ımn→∞an.

2. Supongamos que{an}n∈N es decreciente. Entonces{−an}n∈Nes creciente y acotada.

Aplicando 1 {−an}_n∈N es convergente. Por tanto{an}n∈N es convergente.

Observación 2.22 Si dos subsucesiones de una sucesión convergen a diferentes lımites, entonces la sucesión no es convergente. La rec´ıproca de esta afirmación no es válida en general. Sin embargo:

(37)

Demostración: Sea{xn}n∈N una sucesión acotada de números reales. Supongamos que

existen dos subsucesiones que convegen a l´ımites distintos. Aplicando el corolario 2.17,

{xn}n∈Nno es convergente.

Rec´ıprocamente, supongamos que {xn}n∈N no es convergente.

Aplicando el Teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesi´on{xα(n)}n∈Nde{xn}n∈N

que converge a alg´un real l.

Aplicando la hip´otesis, l no es el l´ımite de {xn}n∈N. Entonces existe (a0, b0), a0 < l < b0

tal que el conjunto S = {n∈ _N| xn ∈/ (a0, b0)} es infinito. Aplicando inducci´on

numera-mos crecientemente a S. Existe, pues una sucesi´on estrictamente creciente {β(n)}_n∈N de

n´umeros naturales tales que S={β(n)|n∈N}.

Entonces {β(n)}_n∈N es una subsucesi´on de{xn}n∈N acotada tal quexβ(n)∈/ (a0, b0).

Aplicando el Teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesi´on {x_β₍_γ₍_n₎₎}_n∈N de {xβ(n)}n∈Nque converge a alg´un real p. Como se cumplexβ(n)∈/ (a0, b0), entoncesp6=l.

Definici´on

Una sucesión de números reales {xn}n∈N es una Sucesión de Cauchy si para todo

ε >0 existen0 ∈Ntal quen, m≥n0 implica|xn−xm|< ε.

Lema 2.24 Toda sucesi´on de Cauchy es acotada.

Demostraci´on:Sea{xn}n∈Nuna sucesi´on de Cauchy. Note que|xn|≤|xn0 |+|xn−xn0 |

Proposición 2.25 Una sucesión de Cauchy es convergente si, y solo si existe al menos una subsucesión convergente.

Demostración: Sea {xn}n∈N una sucesión de Cauchy. La Proposición 2.16 garantiza la

necesidad de la condici´on.

Supongamos ahora que existe una subsucesi´on{x_α₍_n₎}_n∈N de {xn}n∈N cuyo l´ımite esl.

Existen1, n2 ∈Ntales quen≥n1 implica|xα(n)−l|< ε2 yn≥n2 implica|xn−xm|<

ε

2.

Se tieneα(n)≥ny|xn−l|≤|xn−xα(n)|+|xα(n)−l|. Sean0 =max{n1, n2}. Entonces

si n≥n0 se tiene|xn−l|< ε

Teorema 2.26 (Cauchy) Una sucesi´on de n´umeros reales es convergente si, y solo si es de Cauchy.

Demostraci´on: Supongamos que{xn}n∈N es una sucesi´on convergente. Basta observar

que |xn−xm|≤|xn−l|+|xm−l| ∀n.m∈N.

(38)

Aplicando el lema 2.24, se tiene que{xn}n∈Nes acotada. Aplicando el teorema de

Bolzano-Weierstrass se tiene que tiene un punto adherente l. Aplicando la proposici´on2.25 se tiene que es convergente.

Los Teoremas 2.20,2.21 y 2.26 son importantes, porque garantizan la convergencia de sucesiones, sin tomar como referencia su l´ımite y porque dan propiedades de los n´umeros reales equivalentes a la capacidad de supremo e ´ınfimo.

Ejemplo

1. Construyamos una sucesi´on{xn}n∈Ncomo sigue:

A el 1 le asociamos x1 = √

2.

Habiendole asociado anun n´umero, asociamos an+ 1 el n´umeroxn+1= √

2xn. La sucesi´on {xn}_n∈N es convergente:

Se cumplexn= 212+ 1 22+...+

1 2n _{= 2}

Pn k=1

1

2k ∀n∈_N.

{xn}_n∈N es estrictamente creciente.

En efecto, es suficiente notar que Pn

k=1 21k <

Pn

k=121k +₂n1+1 =

Pn+1

k=1 21k

{xn}n∈N es acotada superiormente.

En efecto, es suficiente notar que n

X

k=1

1 2k =

1 2 0 + n X k=1 1 2k−1 =

n

X

k=0

1 2k−1 =

1−1₂n+1

1−1 2

−1< 1 1−1

2

−1 = 2−1 = 1 ∀n∈_N

Aplicando el Teorema 2.21 {xn}n∈N es convergente. {xn}n∈N converge a 2.

En efecto, seal= l´ımn→∞xn. La subsucesi´on {xn+1}n∈_N de {xn}n∈_N es convergente

yl= l´ımn→∞xn+1.

La sucesi´on {√2xn}n∈N es convergente y √

2l= l´ımn→∞

√

2xn. Entonces como xn+1 =

√

2xn para todo n ∈N se tiene l= √

2lluego l2 = 2l, luego l= 2.

2. Construimos la sucesi´on {xn}n∈N como sigue

x1= 1.

Una vez definidoxndefinimos xn+1 como siguexn+1=xn+ (−1)n_n₊₁1

La sucesi´on {xn}n∈N es convergente.

Se cumple: xn= 1−1₂ +1₃ −. . .+ (−1n)_n1 =Pn

j=1 (−1)j−1

(39)

Fijemosn0 ∈N. Para todo m > n0 se cumple |xm−xn0 |=|Pmk=n0+1

(−1)j−1 j |=

= | (−1)

n0

n0+ 1

+ (−1) n0+1

n0+ 2

+. . .+ (−1)

n0+2k−2

n0+ (2k−1)

| sim−n0 = 2k−1

= | (−1)

n0

n0+ 1

+ (−1) n0+1

n0+ 2

+. . .+ (−1)

n0+2k−2

n0+ (2k−1)

+(−1)

N0+2K−1

N0+ 2K

| sim−n0= 2k

Tomando como factor com´un a (−1)n0 obtenemos

|xm−xn0 | = | 1 n0+ 1

− 1

n0+ 2

+. . .+ 1 n0+ (2k−1)

| sim−n0 = 2k−1

= | 1

n0+ 1

− 1

n0+ 2

+. . .+ 1 n0+ (2k−1)

− 1

n0+ 2k

| si m−n0 = 2k

Para todo k∈Nse cumple

(1) 0< 1 n0+ 1

− 1

n0+ 2

+. . .+ 1 n0+ (2k−1)

< 1 n0

(2) 0< 1 n0+ 1

− 1

n0+ 2

+. . .+ 1 n0+ (2k−1)

− 1

n0+ 2k

< 1 n0

(La demostraci´on se hace usando inducci´on ) Entonces ∀m∈_N, m > n0 ⇒|xm−xn0 |< _n01 .

{xn}n∈N es de Cauchy

Dadoε >0, existen0 ∈Ntal que _n01 < ₂ε, entoncesm, n≥n0+ 1 ⇒|xn−xm |≤| xm−xn0 | − |xn−xn0 |< _n02 < ε.

El Teorema de Cauchy implica que{xn}n∈N es convergente. (De hecho l´ımn→∞xn= log 2).

3. Consideremos la sucesi´on {xn}n∈N dondexn= (1 +_n1)n ∀n∈N. {xn}n∈_N es convergente.

Aplicando la formula de Newton tenemos

xn= n X k=0 n k 1

nk = 1 + n

X

k=1

(1−k−_n1). . .(1−_n1)

k! ∀n∈N.

{xn}n∈N es estrictamente creciente

Dadon∈_N tenemos

xn+1 = 1+

n

X

k=1

(1−k−1

n+1). . .(1− 1

n+1)

k! = 1+

n

X

k=1

(1− k−1

n+1). . .(1− 1

n+1)

k! +

(40)

yxn= 1 +Pn

k=1

(1−k−1

n ). . .(1−

1

n)

k! , las relaciones (1−k−1

n ). . .(1− 1

n)<(1− k−1

n+ 1). . .(1− 1

n+ 1) k= 1,2,3, . . . , n implicaxn< xn+1.xn<3 ∀n∈N.

Las relaciones (1− k−1

n ). . .(1−

1

n) < (1− k−1

n+1). . .(1− 1

n+1) k = 1,2,3, . . . , n y

1 k! ≤

1

2k−1 ∀k∈N.implican:

xn= 1 + n

X

k=1

(1−k−1

n ). . .(1−

1

n) k! <1 +

n

X

k=1

1

2k−1 = 1 +

n−1

X

k=0

1

2k ∀n∈N.

Luego xn<1 + 1−1

2

n

1−1₂ <

1

1−1₂ = 3.

Aplicando el teorema 2.21 tenemos que {xn}_n∈N es convergente. Su l´ımite es un

n´umero real al que llamaremose. 4. Se cumplee−1_{= l´ım}

n→∞(1−1_n)n.

Pruebe la afirmaci´on como ejercicio.

2.3. Divergencia de Sucesiones.

Definici´on

Sea{xn}n∈N una sucesi´on de n´umeros reles.

{xn}n∈NDiverge a +∞ (cuando ntiende a ∞) si para cadaR >0 existe n0∈Ntal que

n > n0 ⇒ R < xn. En este caso escribimos +∞= l´ımn→∞xny decimos que +∞es el

L´ımitede {xn}n∈N. {xn}n∈N Diverge a −∞(cuando n tiende a ∞) si para cada R > 0

existen0 ∈Ntal que n > n0 ⇒ −R < xn. En este caso escribimos−∞= l´ımn→∞xn

y decimos que −∞es el L´ımite de{xn}_n∈N.

Observaci´on 2.27 1. Toda sucesi´on que diverja a +∞ o −∞ no es acotada. 2. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.

i +∞= l´ımn→∞xn.

ii ∀R >0∃n0 ∈Nt n≥n0 ⇒R < xn. iii ∀R >0∃n0 ∈Nt xn∈]R,+∞[ ∀n≥n0.