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GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA ANEXO_4

ING. CHRISTIAN ARIELL ORTEGA MARQUEZ CONCEPTOS

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CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

Centro de la circunferencia

Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio de la circunferencia

Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

Elementos de la circunferencia

1 2 3 4

1) Cuerda Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

2) Diámetro Cuerda que pasa por el centro.

3) Arco Cada una de las partes en que una cuerda divide a la

circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita. 4) Semicircunferencia Cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro

Circulo

Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia.

Elementos de un círculo

Segmento circular

Porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente. Semicírculo

Porción del círculo limitada por un diámetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del círculo.

Zona circular

Porción de círculo limitada por dos cuerdas. Sector circular

Porción de círculo limitada por dos radios. Corona circular

Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos. Trapecio circular

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ACTIVIDAD 1 “La circunferencia”

1. En base a los conceptos de circulo, cuerda,zona circular y semi-circulo. Crea un una circunferencia o dos según tu criterio, de tal manera que en este se pueda plasmar el dibujo de la circunferencia y de cada un de los conceptos, se recomienda que no se pueda ver ningún ejmplo para que el alumno estructure sus nuevos conocimientos. 2. Dibuja un automovi por medio de figuras goemetrias y distinge en este los cuadrados,

tirnagulos y circunferencias con las que cuente.

POSICIONES RELATIVAS DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA

1. Interior su distancia al centro es menor que el radio. 2. Punto sobre la circunferencia.

3. Punto exterior a la circunferencia su distancia al centro es mayor que el radio.

POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

Recta secante La recta corta a la circunferencia en dos puntos.

Recta tangente La recta corta a la circunferencia en un punto.

Recta exterior No tiene ningún punto de corte con la circunferencia.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

NINGÚN PUNTO EN COMÚN

Exteriores

La distancia entre los centros es mayor que la suma de las radios. Interiores

La distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios. Concéntricas

Los centros coinciden.

UN PUNTO COMÚN

Tangentes exteriores

La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios. Tangentes interiores

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DOS PUNTOS EN COMÚN

Secantes

La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios.

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.

La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo semiinscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.

Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

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Actividad 2 “Ángulos de Circunferencia”

Llena la siguiente tabla con de acuerdo al concepto que analizaste en clases

ÁNGULO CENTRAL: Es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. Su notación queda de la siguiente forma: Ángulo central = < AOB

ÁNGULO INSCRITO: Es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son dos secantes. Su notación queda de la siguiente forma: Ángulo inscrito = < ABC.

ÁNGULO SEMI – INSCRITO: Es aquel que tiene su vértice en la circunferencia, donde uno de sus lados es una tangente y otro una secante. Su notación queda de la siguiente forma: Ángulo semi – inscrito = < BAC

ÁNGULO INTERIOR: Es aquel cuyo vértice es un punto interior de la circunferencia y sus lados son dos secantes. Pero su vértice no esta en el centro de la circunferencia. Su notación queda de la siguiente forma: Ángulo interior = < ABD

ÁNGULO EXTERIOR: Es aquel cuyo vértice es un punto exterior de la circunferencia y sus lados pueden ser o dos secantes o dos tangentes. Su notación queda de la siguiente forma: Ángulo exterior = < ABC

Resolver los siguientes ejercicios:

1.- Si ab = 35°, determina los valores de AOB y BOC.

2.- Encuentra el valor del ángulo abc formado por las secantes, si AC = 63° y DE = 27°

3.-Determina la medida del ángulo AOB si AB = 160 y CD= 50.

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ÁREASDELACIRCUNFERENCIA

Longitud de una circunferencia

Longitud de un arco de circunferencia

Área de un círculo

Área de un sector circular

Área de una corona circular

Es igual al área del círculo mayor menos el área del círculo menor.

Área de un trapecio circular

Es igual al área del sector circular mayor menos el área del sector circular menor.

Área de un segmento circular

Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB

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Actividad 3 “Ejemplos Resueltos”

1.- Calcula el perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 6 cm.

DATOS FORMULA SUSTITUCION RESULTADO

r = 6 cm.

P = L = 2πr

L = 2(3.1426)(6)

L = 37.6992 L = 37.70 cm.

2.- Una circunferencia tiene como diámetro 22 cm. ¿cuál será su área?

D = 22 cm.

A = πr2

A = 3.1416(11)2

A = 3.1416(121) A = 380.13 cm2

3.- Calcula el área de un sector circular cuyo radio mide 5 cm. y un ángulo de 48º

r = 5 cm.

360 º 2_n r ASC  

  

360

5

48 1416

.

3 

SC

A

2 47 . 10 cm A

nº = 48

360 92 . 769 , 3  SC A A =

4.- Calcula el área de un segmento circular cuyo radio mide 6 cm., un angulo de 90º y la altura del triangulo es de 6 cm y una altura de 6 cm.

r=6 cm. 2 _ 360 º 2 bh n r ASC  

     

2 6 6 360 6 90 1416 .

3 2 _

 seg A 2 27 . 10 cm A nº= 90º h=6cm. 2 36 _ 360 78 . 178 , 10  seg A b=6cm.

A=



₂₈

_.

₂₇



₁₈

seg

A

5.- Calcular el area de una corona circular cuyos radios miden 7 cm. y 4 cm.

R=7cm



2 2



r

R

A

_CC







   



2 2



4 7 1416 . 3   CC A 2 67 . 103 cm A r= 4cm A=



49

16 

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6.- Calcular el área de un trapecio circular cuyos radios miden 8 cm y 6 cm yel angulo que lo forma mide 110º.

R=8cm

 

360 º 2 2

r R n ATC  

     





360 6 8 110 1416 .

3 2 2

 TC A 2 87 . 26 cm A r=6cm

nº=110

 



360 36 64 110 1416 . 3   TC A 360 12 . 676 , 9  TC A

ACTIVIDAD 4.- LÚNULA DE HIPÓCRATES

Construcción de una lúnula de Hipócrates

Partimos de un triángulo isósceles rectángulo.

Con centro en O se traza el arco AB.

Con centro en M, que es el punto medio de la hipotenusa, se traza el otro arco.

La parte enmarcada por el color verde se llama lúnula de Hipócrates

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Actividad 4: “Ejercicios”

1. La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?

2. Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente? 1 milla = 1 852 m

3. La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?

4. El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que

pertenece y la longitud de la circunferencia.

5. Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.

6. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.

7. En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

8. La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.

9. Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo

mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños miden 2 cm.

10. Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD

un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y

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Ejercicios resueltos

La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?

r = 90 : 100 = 0.9 m L = 2 · π · 0.9 = 5.65 m 5.65 · 100 = 565 m

Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente?

1 milla = 1 852 m

La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?

El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia.

Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.

Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm,

respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un

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En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1

m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.

Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños miden 2 cm.

Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado

y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.

La parte sombreada se compone de dos segmentos circulares.

Área del segmento circular = Área del sector circular − Área del triángulo.

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Examen

1. Dar el nombre correspondiente a cada uno de los siguientes líneas:

2. Dar el nombre que corresponde a cada uno de los siguientes ángulos:

3. Calcula la longitud de la circunferencia cuando el radio es de 4 cm.

4. Calcula la longitud de la circunferencia cuando el diámetro es de 6.5 cm.

5. Hallar el radio de una circunferencia que mide 9.4248 cm.

6. Hallar el diámetro de una circunferencia que mide 62.832 cm.

7. Calcular el área de un círculo cuyo radio mide 2.5 m.

8. Calcular el área de un círculo cuyo diámetro mide 7.5 m.

9. ¿Cuánto mide el radio de un círculo que tiene un área de 12.5664m2?

10. ¿Cuánto mide el diámetro de un círculo que tiene un área de 0.7854m2?

11. En las siguientes figuras calcular el área de la región sombreada. El punto resaltado

representa el centro de una circunferencia.

Angulo AOB = 120º Angulo AOB = 60º

Radio OB = 9 cm

Radio OB = 11 cm.

Base = 11 cm.

Radio AO = 12

Angulo AOB = 130º

Radio BO = 9 Radio OA = 13 cm

a) AB es: b) CD es: c) DE es: d) FG es: e) HI es:

a) 1: b) 2: c) 3: d) 4:

B

O

A

B

A

B

A

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Resolver los siguientes ejercicios:

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Actividad 3 “Ejemplos Resueltos”

  

360

5

48

1416

.

3



A

     



28

.

27



18

A





r

R

A







   







49

16



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     





₂₈

_.

₂₇

₁₈