El trabajo realizado por una fuerza variable que actúa sobre una partícula que se mueve a lo largo del eje “x” de

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(1)

TRABAJO MECÁNICO Y ENERGÍA

Trabajo (W): desde el punto de vista de la física, se define como una medida del efecto acumulativo que tiene una

fuerza al actuar sobre un cuerpo, mientras éste se desplaza. Por lo que se habla del trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo, dicha fuerza es la Fuerza Resultante sobre el cuerpo.

La fuerza aplicada a un cuerpo puede se constante o variable.

1. Fuerza Constante

El trabajo W efectuado por un agente que ejerce una fuerza constante Es el producto de la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento

 

r

de la partícula y la magnitud del desplazamiento.

Por lo tanto, el trabajo de una fuerza constante viene dado por la expresión:

r

Fcos

F

r

r

Fcos

F

W F. r

  

F r cos

El trabajo es una cantidad escalar y sus unidades son fuerza multiplicada por longitud, es decir, Newton por metro

N.m

conocida como Joule (J).

Una fuerza no hace trabajo sobre una partícula si ésta no se mueve, es decir, si el desplazamiento es igual a cero, entonces

W

0

. Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, también

W

0

, ya que 0

90

 

y 0

90

0

cos

.

El trabajo hecho por la fuerza aplicada es positivo cuando el vector asociado con la componente

F cos

está en la misma dirección del desplazamiento. Por ejemplo, cuando se levanta un objeto, el trabajo hecho por la fuerza aplicada es positivo porque la fuerza de levantamiento es hacia arriba, es decir, en la misma dirección del desplazamiento. En esta situación, el trabajo hecho por la fuerza gravitacional es negativo.

Cuando el vector asociado con la componente

F cos

está en la dirección opuesta al desplazamiento, el W es negativo.

m

T

mg

m

T

mg

Movimiento

El factor

F cos

que aparece en la definición de trabajo, toma en cuenta el signo en forma automática.

Es importante destacar que el trabajo es una transferencia de energía; si la energía se transfiere al sistema (objeto), el W es positivo; pero si la energía se transfiere desde el sistema, el W es negativo.

Ejemplo de fuerza constante:

2. Fuerza Variable

El trabajo realizado por una fuerza variable que actúa sobre una partícula que se mueve a lo largo del eje “x” de

x a x

0 f es:

0

f

x

x

W

F(x)dx

Donde

F(x)

es la componente de la fuerza en la dirección “x”.

Si hubiera varias fuerzas actuando sobre la partícula, el trabajo realizado por todas las fuerzas seria la suma de las cantidades de trabajo individual efectuado por cada fuerza.

Ejemplo de fuerza variable:

Trabajo

x0 xf x

FX

Trabajo

x0 xf x

FX

(2)

En resumen:

0

f x

x

F es cons tan te W F. r F r cos Si

F es var iable W F(x)dx

  

  

 



Trabajo para Estirar un Resorte

Si un resorte se alarga o se comprime una pequeña distancia desde su configuración indeformada o de equilibrio la fuerza aplicada debe ser igual y opuesta a la fuerza del resorte

F   kx kx de modo que el trabajo realizado es:

FRes negativa

x es positiva

FRes positiva

x es negativa FR= 0

x = 0

x x

x x = 0

x = 0

x = 0 (a)

(b)

(c) x

x

FRes negativa

x es positiva

FRes positiva

x es negativa FR= 0

x = 0

x x

x x = 0

x = 0

x = 0 (a)

(b)

(c) x

x 2

0 0 0

1

2

x x x

W

Fdx

kxdx k xdx

kx

La fuerza ejercida por un resorte sobre un bloque varia con el desplazamiento “x” del bloque desde la posición de equilibrio

0

(x

)

, tal y como se observa en la figura, en donde: (a) cuando x es positivo (resorte estirado) la fuerza del resorte es hacia la izquierda. (b) cuando x es cero (longitud natural del resorte), la fuerza del resorte es cero. (c) Cuando x es negativo (resorte comprimido), la fuerza del resorte es hacia la derecha.

Teorema de Superposición

El trabajo neto sobre un cuerpo es igual al trabajo que realiza la fuerza resultante sobre dicho

cuerpo.

W W

F

Energía Cinética

La energía cinética de una partícula de masa “m” que se mueve con velocidad “v” (donde v es pequeña comparada con la velocidad de la luz) es:

2

1

2

K

mv

 

 

J

También se define como la energía que posee un cuerpo por el hecho de estar en movimiento o la capacidad de realizar trabajo que poseen los cuerpos por el hecho de estar en movimiento. Esta energía es una magnitud escalar y siempre será positiva.

Teorema del Trabajo y la Energía Cinética

Establece que el trabajo neto realizado sobre una partícula por fuerzas externas es igual al cambio en la energía cinética de la partícula.

2 2

0 0

1

1

2

2

neto f f

W

K

K

mv

mv

Fuerza Media

F

Es una fuerza constante que actuando en el mismo desplazamiento que una fuerza variable, realiza el mismo trabajo.

W

F

N

x

 

 

Potencia

La potencia se define como la rapidez con que se efectúa un trabajo; al igual que el trabajo y la energía es una cantidad escalar. Su unidad es el watt (W). Un watt es un joule por segundo

1

W

1

J s

Potencia Media de F

P

Se define como el cociente que hay entre el trabajo hecho por la fuerza externa aplicada a un objeto (el cual se supone, actúa como una partícula) y el intervalo de tiempo

t

.

F

W

P

W

t

 

 

Potencia Instantánea (P)

Se define como la tasa de transferencia de energía en el tiempo. Si un agente aplica una fuerza

F

a un objeto que se mueve con velocidad “v”, la potencia entregada por el agente en ese instante de tiempo es:

d W

P F.v F v cos

dt 

     

(3)

e s u n a me d id a d e l e fe c to a c u mu la tiv o

d e u n a

q u e a c tu a s o b re u n

mie n tra s e s te h a c e u n

c u y o re s u lta d o e s u n a

q u e p u e d e s e r

lla ma d a lla ma d a

e .j.

d e c a d a

q u e a c tu a s o b re u n

s e d e fin e c o mo q u e

d ic e

q u e p a ra u n a

s ig n ific a

d o n d e

lo q u e e n u n a

s e c o n v ie rte

e n

q u e e s e l

e .j.

s ig n ific a

p a ra a p lic a r e l p e rmite

o b te n e r e l

c o mo

a p a rtir d e l

q u e d ic e

e .j

e.j.

e .j.

e s la e s e l

e s e l

e .j. donde e.j. e.j.

TRABAJO

Fuerza Cuerpo

des plazami ento

Magnitud Es c al ar

Pos iti va Negativa

T rabajo Motor

T rabajo Res is tente

Fuerza

Cuerpo

T rabajo Neto

T eorema de s uperpos ic ión

Fuerza Constante

Fuerza Vari able Di mens ión

(x) Area bajo

la c urva

.

F

W

F dr

 

W

1 2

... n

F F F

WWW  W

  

1 2... n

F

F F F

W W

W W

 

 

   

T eorema del T rabaj o y la E nergía Cinétic a

2 2 2 1 1 ( ) 2 W k

W m v v

   

. . F F

W F r

W F r Cos

         2 1

.

r F r

W

F dr

 

Fuerza apl ic ada

r

F

Des pl azamiento

Angul o formado entre la fuerza y el

des plazami ento

ˆ ˆ

50 30

F ij N

2 1 ( ) x F x

W 

F x dx

3ˆ ˆ

10

F x ixy j N

10

F

W

J

W

F

 

15,5

J

F1=10 N 

0 m 6 m

10

F  N  r 6m

 

60

1 1 1 1 (0 6) (0 6) (0 6) (0 6)

?

.

10 . 6

60

60

F F F F

W

W

F

r Cos

W

Cos

W

J

   

   

2 2 ˆ 2 ˆ Fxiy j N

x y

(0 ,0 )

(4 ,1 )

2

2 2 2

2

1 1 1

2 2 2 (0,0 4,1) (0,0 4,1) 4 1 2 (0,0 4,1) 0 0 4 1

2 3 2 2 3 3

(0,0 4,1) 0 0 (0,0 4,1) ? . ( ) ( ) 2

1 2 1 2

(4 0 ) (1 0 )

2 3 2 3

26 3 F

r x y

F

r x y

F

F

F W

W F dr F x dx F y dy

W xdx y dy

W x y

W J                  

       3

2 2 2

3

1 1 1

3

3

3

( 0 4 )

( 0 4 )

4 0

2 ( 0 4 )

0 0

4

3 3 3

( 0 4 )

0

( 0 4 ) ?

. ( ) ( )

( 5) 0

1 1

5 (4 0 ) 5(4 0)

3 3

124 3 F

r x y

F

r x y

F

F

F

W

W F dr F x dx F y dy

W x dx dy

W x x

W J                   

      

F4 (N)

12

-10

x (m)

3 4 5 8

4 4 4 4 4 (0 8)

(0 8) (0 4) (4 8)

(0 8) (0 4) (4 8)

(0 8)

(0 8)

?

(4 3) 10 (4 3) 12

2 2 77 F F F F F W

W W W

W Area Area

W W J                          

0 m 4 m

2 3 ( 5)ˆ 0ˆ

F xij N

Mapa Conceptual de Trabajo. Ramírez de M., M y Tellez N. 2006 

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e .j. donde e.j. e.j.

TRABAJO

Fuerza Cuerpo

des plazami ento

Magnitud Es c al ar

Pos iti va Negativa

T rabajo Motor

T rabajo Res is tente

Fuerza

Cuerpo

T rabajo Neto

T eorema de s uperpos ic ión

Fuerza Constante

Fuerza Vari able Di mens ión

(x) Area bajo

la c urva

.

F

W

F dr

 

W

1 2

... n

F F F

WWW  W

  

1 2... n

F

F F F

W W

W W

 

 

   

T eorema del T rabaj o y la E nergía Cinétic a

2 2 2 1 1 ( ) 2 W k

W m v v

   

. . F F

W F r

W F r Cos

         2 1

.

r F r

W

F dr

 

Fuerza apl ic ada

r

F

Des pl azamiento

Angul o formado entre la fuerza y el

des plazami ento

ˆ ˆ

50 30

F ij N

2 1 ( ) x F x

W 

F x dx

3ˆ ˆ

10

F x ixy j N

10

F

W

J

W

F

 

15,5

J

F1=10 N 

0 m 6 m

10

F  N  r 6m

 

60

1 1 1 1 (0 6) (0 6) (0 6) (0 6)

?

.

10 . 6

60

60

F F F F

W

W

F

r Cos

W

Cos

W

J

   

   

2 2 ˆ 2 ˆ Fxiy j N

x y

(0 ,0 )

(4 ,1 )

2

2 2 2

2

1 1 1

2 2 2 (0,0 4,1) (0,0 4,1) 4 1 2 (0,0 4,1) 0 0 4 1

2 3 2 2 3 3

(0,0 4,1) 0 0 (0,0 4,1) ? . ( ) ( ) 2

1 2 1 2

(4 0 ) (1 0 )

2 3 2 3

26 3 F

r x y

F

r x y

F

F

F W

W F dr F x dx F y dy

W xdx y dy

W x y

W J                  

       3

2 2 2

3

1 1 1

3

3

3

( 0 4 )

( 0 4 )

4 0

2 ( 0 4 )

0 0

4

3 3 3

( 0 4 )

0

( 0 4 ) ?

. ( ) ( )

( 5) 0

1 1

5 (4 0 ) 5(4 0)

3 3

124 3 F

r x y

F

r x y

F

F

F

W

W F dr F x dx F y dy

W x dx dy

W x x

W J                   

      

F4 (N)

12

-10

x (m)

3 4 5 8

4 4 4 4 4 (0 8)

(0 8) (0 4) (4 8)

(0 8) (0 4) (4 8)

(0 8)

(0 8)

?

(4 3) 10 (4 3) 12

2 2 77 F F F F F W

W W W

W Area Area

W W J                          

0 m 4 m

2 3 ( 5)ˆ 0ˆ

F xij N

(4)

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

El trabajo hecho por la fuerza gravitacional no depende si un objeto cae verticalmente o resbala hacia abajo en un plano inclinado. Todo lo que importa es el cambio de altura en el objeto. Por una parte, la perdida de energía debido a la fricción en esa pendiente depende de la distancia recorrida. En otras palabras, la trayectoria no hace ninguna diferencia cuando consideramos el trabajo hecho por la fuerza gravitacional, pero si hace una diferencia cuando se considera la pérdida de energía debido a la fuerza de roce. Podemos utilizar esta variación de dependencia de la trayectoria para clasificar las fuerzas como conservativas y no conservativas. De las dos fuerzas mencionadas, la fuerza gravitacional es conservativa y la de roce es no conservativa.

1. Fuerzas Conservativas

Una fuerza es conservativa si el trabajo que hace sobre una partícula que se mueve entre dos puntos cualesquiera es independiente de la trayectoria seguida por la partícula. Es decir, que el trabajo depende solamente de la posición inicial (x0) y final (xf) de la partícula y no de su trayectoria. También se dice que una fuerza es

conservativa si el trabajo que realiza es cero cuando la partícula se mueve por una trayectoria cerrada arbitraria y regresa a su posición inicial.

Ejemplos: el peso, la fuerza elástica, la fuerza gravitatoria, la fuerza electrostática.

2. Fuerzas No Conservativas

Una fuerza es no conservativa cuando el trabajo que ella realiza sobre una partícula depende de la trayectoria que hace dicha partícula o depende de su velocidad.

Una fuerza es no conservativa si produce un cambio en la energía mecánica. Por ejemplo, la fuerza de roce. A estas fuerzas también se les llama “disipativas”.

Energía Potencial

Antes de describir las formas específicas de la energía potencial, primero debemos definir un sistema, que consiste en dos o más objetos que ejercen fuerzas unos sobre otros.

0 f

F r r,

W

U

 

 

El trabajo realizado por las fuerzas conservativas es igual a la variación negativa de la energía potencial.

La energía potencial se constituye de dos energías como lo son la potencial gravitatoria y la potencial elástica.

1. Energía Potencial Gravitatoria (Ug)

El producto de la magnitud de la fuerza gravitacional “mg” que actúa en un objeto y la altura “y” del objeto es tan importante en la física que le damos un nombre: la energía potencial gravitatoria.

Es la capacidad que tienen determinado cuerpos para realizar un trabajo en virtud de su

posición en el espacio.

Ug mgh J

 

 

Donde: m = masa (en kg), g = aceleración de gravedad

2

9 8

g

, m s

, y, h = altura (en m) Tiene las mismas unidades del Trabajo, y es una unidad escalar.

La energía potencial gravitatoria es la energía potencial del sistema objeto – tierra. Esta energía potencial es transformada en la energía cinética del sistema por la fuerza gravitacional.

El trabajo hecho en el ladrillo por la fuerza gravitacional como el ladrillo cae de una altura h0 a un hf de la altura es igual a:

mgh

0

mgh

f

Como la cantidad

mgh

es la energía potencial gravitatoria Ug del sistema, tenemos:

0 0

g f f g

W

U

U

 

U

U

 

U

h0

hf

mg mg

d

h0

hf

mg mg

d

(5)

2. Energía Potencial Elástica (Ue)

Considere un sistema formado por un bloque y un resorte, tal y como se observa en la figura. La fuerza que ejerce el resorte viene dada por la expresión

F

R

 

kx

, y el trabajo hecho por dicha fuerza esta dada por la ecuación

2 2

0

1

1

2

2

R

F f

W

kx

kx

En esta situación, las coordenadas “x” inicial y final del bloque son medidas desde la posición de equilibrio

x

0

, por lo que el trabajo depende solo de las coordenadas “x” iniciales y finales del objeto y es cero para cualquier trayectoria cerrada.

2

1 2 0 Ue kx

K

 

2

0 1 2 Ue

K mv

 

0 x

0 x

x (a)

(b)

(c)

m

m

m

2

1 2 0 Ue kx

K

 

2

0 1 2 Ue

K mv

 

0 x

0 x

x (a)

(b)

(c)

m

m

m

m

m

m

(a) Resorte deformado en una superficie horizontal sin fricción. (b) Un bloque de masa m es empujado contra el resorte, comprimiéndolo una distancia “x”. (c) Cuando el bloque se suelta, la energía potencial elástica almacenada en el resorte se trasfiere al bloque en forma de energía cinética.

Por lo tanto la energía potencial elástica asociada a un sistema es definida por la ecuación:

2

1

2

e

U

kx

 

 

J

Donde “k” es la constante de elasticidad del resorte, su unidad es N/m.

Puede considerarse como la energía almacenada en el resorte deformado (uno que está comprimido o extendido a partir de su posición de equilibrio)

ENERGÍA MECÁNICA

Se define como la suma de la energía cinética más la energía potencial.

E K U J

 

 

Conservación de la Energía Mecánica

Si sobre un cuerpo o sistema de cuerpos actúan exclusivamente fuerzas conservativas entonces la energía mecánica total de ese cuerpo o sistema de cuerpos permanece constante.

0

0 0

f

f f

E

E

K

U

K

U

Principio de Conservación de la Energía Total

En cualquier sistema aislado (ni entra ni sale energía) la energía total de ese sistema permanece constante.

La energía nunca puede crearse ni destruirse. La energía puede transformarse de una forma en otra, pero la energía total de un sistema aislado siempre es constante.

Teorema de las Fuerzas No Conservativas

Si sobre un cuerpo o sistema de cuerpos actúan fuerzas no conservativas, el trabajo realizado

(6)
(7)

EJERCICIOS RESUELTOS

Trabajo y Energía

PROBLEMA. Un bloque de 12 kg se mueve con rapidez inicial v0 = 3 m/s a lo largo de un plano rugoso inclinado

= 37° en sentido ascendente, bajo la acción de tres fuerzas aplicadas. Una fuerza constante F1 de intensidad F1 = 60

N, que forma un ángulo  = 30° con la dirección del movimiento, una fuerza F2 que depende de la posición de acuerdo

al gráfico F2 = F2(x) que se muestra a continuación, y la fuerza F3 que varia con la posición de la siguiente forma

2 3

1

1

ˆ

3

4

F

x

x

i N

. El coeficiente de roce cinético entre el bloque y el plano es k = 0,25.

x

Determinar:

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

0 2 4 6 8 10

F2(N)

x(m)

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

0 2 4 6 8 10

F2(N)

x(m)

1. El trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre el bloque entre las posiciones x = 0 m a

x = 10 m, es:

La pregunta se refiere al trabajo neto sobre el bloque, para ello es necesario realizar un diagrama de cuerpo libre del bloque y ubicar TODAS las Fuerzas Externas que actúan sobre el:

D.C.L:

x y

mg N

fr

Cálculo del Trabajo realizado por F1: Como F1 es una fuerza constante el trabajo hecho por F1 es:

1 1

cos

F

W

F

x

Luego el trabajo neto o trabajo realizado por todas las fuerzas es:

1 2 3 mg

F F F N fr

W

W

W

W

W

W

W

     

Por definición trabajo es:

W

F

F d r

.

Para una fuerza constante el trabajo es:

.

cos

F

F

W

F

x

W

F

x

 

Para una Fuerza variable:

W

F

F d x

x

.

F d y

y

.

Donde:

F

1

60

N

,

 

x

10

m

1

30º

este ángulo es el que forman F y

x

cuando los vectores estan unidos por sus origenes

 

1 60 10 cos 30º 1 569.62

F F

(8)

Cálculo del Trabajo realizado por F2: Como F2 es una fuerza que varia con la posición y además se cuenta con la grafica F2 = F2(x) en este caso el trabajo hecho por F2 es el área bajo la curva

Cálculo del Trabajo realizado por F3: Se observa que F3 es una fuerza que varia con la posición de la siguiente

forma: 2

3

1

1

ˆ

3

4

F

x

x

i N

. Por lo tanto el trabajo realizado por F3 sobre el bloque es:

3 3

.

x y

F

W

F d r

F d x

F d y

Cálculo del Trabajo realizado por mg: esta fuerza es constante y el calculo del trabajo hecho por mg sobre el

bloque se obtiene a partir de:

W

mg

mg

x

cos

Cálculo del Trabajo realizado por N: Aplicando Segunda Ley de Newton en el eje y, podemos determinar el valor

de la Normal:

1 1

0

0

12 9.8

37 60

30

63.92

Fy

N

F Sen

mg Cos

 

N

mgCos

F Sen

N

 

Cos

Sen

N

Newton

Y esta fuerza es constante y el calculo del trabajo hecho por la Normal sobre el bloque se obtiene a partir de:

cos

N

W

N

x

x

N

3 3

3 3 3

10

2 0

10

2 3 2 3

0

1 1

0

3 4

1 1 1 1

10 10 100

6 12 6 12

x y

F F

F F F

W F d x F d y W x x d x d y

W x x W W Joule

 

   

 

      

 

  

Donde:

12 9.8

117.6

mg

mg

 

mg

N

10

x

m

 

90

90 37

127º este angulo es el que forman mg y

x

cuando los vectores estan unidos por sus origenes

 

 

117.6 10 cos 127º

707.73

mg mg

W

W



Joule

2 1 2 3 4

F

W AAAA

2 2

60 80

1 3 1 210

2 2

40 80

2 2 2 120

2 2

2 3

3 40 3 100

2 2

2 80

4 4 80

2 2

210 120 100 80 350

F F

b B

A h A Joule

b B

A h A Joule

b B

A h A Joule

bh

A A Joule

W W Joule

 

   

 

   

 

   

 

    

     

 

Donde:

63.92

N

N

;

 

x

10

m

90º este àngulo es el que forman N y

x cuando estos vectores estan unidos

por sus origenes

 

63.92 10 cos 90º

0

N N

(9)

Cálculo del Trabajo realizado por fr: Para determinar el trabajo hecho por fr es necesario calcular el valor de la fuerza de roce:

0.25 63.92

15.98

c

fr

N

fr

fr

N

Luego el trabajo hecho por esta fuerza se obtiene a partir de:

W

fr

fr

x

cos

:

Luego el Trabajo Neto es la suma de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas externas que

actúan sobre el bloque:

1 2 3

569.62 350 100 707.73 0 159.8

152.39

mg

F F F N fr

W

W

W

W

W

W

W

W

W

Joule

 

     

2. El valor de la energía cinética del bloque cuando pasa por la posición x = 10 m

Para hallar el valor de la Energía Cinética, hacemos uso del teorema de trabajo y energía:

 

0 10 0 10 10 0

2 2

0 10 10 0 10 10

1

1

152.39

12 3

306.39

2

2

W

K

W

K

K

W

K

m v

K

K

Joule

 

 

3. El valor de la rapidez del bloque cuando alcanza la posición x = 10 m:

Para hallar el valor de la rapidez en x=10m se calcula a partir del valor de la Energía Cinética ya calculado en la pregunta anterior:

 

2 2

10 10 10 10

1

1

306.39

12

5.86

/

2

2

K

m v

 

v

v

m s

4. Si en el justo momento de pasar por x=10m, las fuerzas F1, F2 y F3 dejan de actuar sobre el bloque, se

puede asegurar que el bloquee se detiene después de desplazarse:

El diagrama de cuerpo libre es:

Cálculo del Trabajo realizado por mg: el trabajo hecho por mg sobre el bloque se obtiene a partir de:

cos

mg

W

mg

x

Donde:

15.98

fr

N

;

 

x

10

m

180º este ángulo es el que forman fr y

x cuando estos vectores estan unidos

por sus origenes

 

15.98 10 cos 180º

159.8

fr fr

W

W



Joule

Luego el trabajo neto o trabajo realizado por todas las fuerzas externas es: 10 x mg N fr

W WWW

  

Y también el trabajo neto es: 10 x

W

 

K

(Teorema de Trabajo y energía)

Donde:

12 9.8

117.6

mg

mg

 

mg

N

x

x m

 

90

90 37

127º este angulo es el que forman mg y

x

cuando los vectores estan unidos por sus origenes

 

 

117.6

cos 127º

70.77

mg mg

(10)

Cálculo del Trabajo realizado por N:

Como la fuerza F1 dejó de actuar sobre el bloque la componente de esta fuerza en la dirección del eje Y desapareció, por lo tanto el valor de la normal cambio, es decir que se debe determinar la nueva magnitud de esta fuerza.

Aplicando Segunda Ley de Newton en el eje y, podemos determinar el nuevo valor de la Normal:

0

0

12 9.8

37

93.92

Fy

N

mgCos

 

N

mgCos

N

 

Cos

N

Newton

esta fuerza es constante y el

cálculo del trabajo hecho por la Normal sobre el bloque se obtiene a partir de:

W

N

N

x

cos

x

N

Cálculo del Trabajo realizado por fr:

Como el valor de la Normal cambio ahora determinamos el nuevo valor de la fuerza de roce:

0.25 93.92

23.48

c

fr

N

fr

fr

N

el trabajo hecho por fr sobre el bloque se obtiene a partir de:

W

fr

fr

x

cos

Luego el Trabajo Neto sobre el bloque es: 10

10

70.77

23.48

94.25

x mg N fr

x

W

W

W

W

W

x

x

W

x Joule

 

 

 

Y por el teorema de trabajo y energía : 10 0 10 10

10

0

306.39

x x

x

W

K

W

K

K

W

 

 

 

Igualando las dos ecuaciones se obtiene el valor de x:

306.39

94.25

306.39

3.25

94.25

x

x

x

m

 

Conservación de la Energía Mecánica

PROBLEMA: Un bloque de masa m se empuja contra

un resorte de masa despreciable y constante de fuerza k1,

comprimiéndolo una distancia

AB

. Cuando el bloque se suelta desde el punto A, se desliza por el plano inclinado de longitud

AC

y luego se encuentra en el punto D con una pista circular de radio R. Después de abandonar la pista circular, sigue deslizándose hasta alcanzar un resorte de constante de fuerza k2 ubicado en el extremo derecho

como se muestra en la figura. Datos:

2

1 2

m

2 kg; k

400 N / m; AB

 

x

0.35m;

AC

8m;

 

30º; R

1,5 m; CD

2 m; DG

3m; k

460 N / m; g

9.8m / s

Determinar:

SI TODA LA SUPERFICIE POR DONDE SE DESLIZA EL BLOQUE ES COMPLETAMENTE LISA

1. ¿Cuál es la rapidez del bloque cuando alcanza el punto E de la pista circular?

Inicialmente ubicamos un sistema de referencia donde la energía potencial gravitatoria es cero (de manera Ug a lo

largo del problema es igual a Ug en determinado sitio), este nivel de cero energía potencial gravitatoria lo vamos a

localizar en el nivel más bajo del arreglo presentado.

Aplicamos el teorema de conservación de la energía

E

A

E

B

E

C

E

D

E

E

E

F

E

G

E

H

Puesto que en la situación planteada la energía mecánica se conserva porque todas las superficies son lisas y las fuerzas externas que actúan sobre el sistema son fuerzas conservativas.

Donde:

93.92

N

N

;

 

x

x m

90º este ángulo es el que forman N y

x cuando estos vectores estan unidos

por sus origenes

 

93.92

cos 90º

0

N N

W

x

W

Joule

Donde:

23.48

fr

N

;

 

x

x m

180º este ángulo es el que forman fr y

x cuando estos vectores estan unidos

por sus origenes

 

23.48

cos 180º

23.48

fr fr

(11)

Cálculos :

Para calcular la rapidez del bloque en el punto E, basta con aplicar el teorema de conservación de la energía entre este punto (E) y otro punto donde sea posible determinar el valor de la energía mecánica. En este caso nos ubicamos en el punto A ya que con los datos suministrados es posible calcular la energía mecánica (energía inicial).

Por lo tanto aplicando el teorema de conservación de la energía entre estos dos puntos tenemos: Recordamos que la energía mecánica es:

  2

masa del rapidez del cuerpo cuerpo en un

determinado instante

Energía Cinética del sistema 1

2

 

K

K m v

 

2

constante

deformación de elasticidad

del resorte del resorte

Energía Potencial elástica del sistema 1

2

 

Ue

Ue k x

 

masa del altura donde cuerpo se ubica el

cuerpo respecto del nivel Ug=0

Energía Potencial gravitatoria del sistema

  

Ug

Ug m g h

E

K

Ue

Ug

  2

masa del rapidez del cuerpo cuerpo en un

determinado instante

Energía Cinética del sistema 1

2

 

K

K m v

 

2

constante

deformación de elasticidad

del resorte del resorte

Energía Potencial elástica del sistema 1

2

 

Ue

Ue k x

 

masa del altura donde cuerpo se ubica el

cuerpo respecto del nivel Ug=0

Energía Potencial gravitatoria del sistema

  

Ug

Ug m g h

E

K

Ue

Ug

A B

A A A E E E

0 0

2 2

1 A E E

2

1 A E

E E

1 A E

E

E

E

K

Ue

Ug

K

Ue

Ug

1

1

k (x)

mgh

m(v )

mgh

2

2

k (x)

2mgh

2mgh

Despejando V se tiene : v

m

Sustituyendo los valores de m, k , g, x, h

y h , la rápidez en E es :

v

4,7 m / s

 

2. ¿Cuánto logra deformar el bloque al resorte de constante de fuerza k2?

Cálculos :

La deformación del resorte k2 se determina a partir de la energía mecánica, ahora aplicaremos el teorema de conservación de la energía entre este punto donde ocurre la máxima deformación del resorte k2 (punto H) y el punto A.

Por lo tanto aplicando el teorema de conservación de la energía entre estos dos puntos tenemos:

A H

A A A H H H

0 0 0

2 2

1 A A 2 H

2

1 A A

H H

2

1 A A 2 H

H

E

E

K

Ue

Ug

K

Ue

Ug

1

1

k (x )

mgh

k (x )

2

2

k (x )

2mgh

Despejando x se tiene : x

k

Sustituyendo los valores de m, k , g, x , h

y k , la deformación del resorte x es :

x

0,67 m

  

SI EL BLOQUE INICIA SU VIAJE DESDE LA POSICIÓN INICIAL (PUNTO A), PERO AHORA SOLAMENTE LA SUPERFICIE HORIZONTAL CD ES RUGOSA, MIENTRAS LAS DEMÁS SON COMPLETAMENTE LISAS

3. ¿Cuál es el coeficiente de roce cinético entre el bloque y la superficie CD sabiendo que el bloque llega al

punto D con energía cinética de 98.8 J?

Cálculos :

Para esta nueva situación existe una variación en la energía mecánica entre la Superficie C y D, puesto que existe una fuerza no conservativa (fuerza de roce). En este caso hacemos uso del teorema del trabajo de las no conservativas que dice: no cons C D

W

E

 

Aplicando el teorema del trabajo de las no conservativas entre estos dos puntos tenemos:

no cons C D

fr D C

C D D C fr C D fr C D

W

E

W

E

E

Por lo tanto, sustituyendo los valores de E y E se obtiene :

W

98 102, 9

W

4, 9 Joule

   

 

 

Cálculo de las alturas hA y hE:

sin 30 4

2 3

   

  

A A

E E

h AC h m

h R h m

Como la superficie AC es lisa y las fuerzas presentes son conservativas, se puede afirmar que:

A C

E

E

2

A A A A 1 A A

0

A

1

E

K

Ue

Ug

k (x )

mgh

2

E

102, 9 Joule

(12)

Una vez obtenido el valor del trabajo realizado por la fuerza de roce mientras el bloque se desplaza por la superficie CD, haciendo uso de la definición de trabajo se calcula el coeficiente de roce cinético.

fr C D

fr C D

k

k k

W

4, 9 Joule

Pero

W

fr .

r .cos

Por lo tanto:

4, 9

N.CD.cos 180

4, 9

0,125

mg.CD.cos 180

 



 

 

4. Después de abandonar la pista circular, ¿Cuánto comprime el bloque al resorte de constante k2?

Cálculos :

Luego que el bloque abandona la superficie CD, la energía mecánica se conserva a lo largo del movimiento del bloque hasta que regrese nuevamente a la superficie CD, es decir que ahora aplicaremos el teorema de conservación de la energía entre el punto D y un nuevo punto que llamaremos H’ que es donde ocurre la máxima deformación del resorte k2.

Por lo tanto aplicando el teorema de conservación de la energía entre estos dos puntos tenemos:

D H '

H ' H ' H '

0 0

2 2 H '

H ' H '

2

H ' H '

E

E

98

K

Ue

Ug

1

98

k (x )

2

2 98

Despejando x

se tiene : x

k

Y la nueva deformación del resorte x

es : x

0,65 m

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

PROBLEMA 1. Para llevar un piano, de masa m, al segundo piso de

su casa Carlitos decide improvisar una rampa que forma un ángulo  con la horizontal, el piano se encuentra en reposo en la parte inferior de la rampa y Carlitos lo comienza a mover ayundandose de una cuerda inextensible y masa despreciable, tal y como se muestra en la figura. La fuerza que hace Carlitos en todo el recorrido del piano es de 420 N, y la fuerza de roce que existe entre el piano y la rampa se presenta en la gráfica

f

r

f x

r

( )

.

Datos: 2

80 Rampa 6 30 h 420 9 8

m kg ; L  m ; º ; F  N ; g . m / s

1. El valor del trabajo neto realizado sobre el piano durante todo el recorrido de la rampa, es:

2. La fuerza media tiene un valor de:

3. La rapidez cuando el piano llegue al final de la rampa tendrá un valor de:

4. Y la potencia cuando el piano llegue al final de la rampa, es:

x y

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

x (m)

fr

(

N

)

fr

x

(13)

PROBLEMA 2. Para subir la caja de masa m se utiliza el plano inclinado como se muestra en la figura. Para ello tres personas aplican fuerzas F1, F2 y F3 respectivamente. Entre la caja y el

plano inclinado existe un coeficiente de roce cinético

k. Considere la información anexa.

0 2

2 3

0 2

240

70

90

90

50

37

k

0 1

9 8

ˆ

F

N;

; m

kg;

F

x

x i N

;

, ; g

, m s

Determinar:

1. El trabajo efectuado por cada una de las fuerzas F1, F2 y F3 sobre la caja desde el inicio del plano inclinado hasta la mitad de éste es:

2. El trabajo neto realizado sobre la caja desde el inicio del plano inclinado hasta la mitad de éste es:

3.

Si la caja estaba en reposo al inicio del plano inclinado, la rapidez de la caja en la mitad del plano inclinado será: 4. Si en el justo momento de pasar por la mitad del plano

inclinado, las tres personas dejan de aplicar las fuerzas sobre la caja, se puede asegurar que:

 F1

F2

F3

9,96 m

Y

X

0 30 60 90 120 150 180 210

0

0

,5 1

1

,5 2

2

,5 3

3

,5 4

4

,5 5

5

,5 6

x(m)

F1

(N

)

a) La caja no alcanza a llegar al final del plano inclinado.

b) La caja llega al borde del plano inclinado con v=0.

c) La caja llega al final del plano inclinado con v>0.

d) La caja empieza a descender

inmediatamente.

e) La caja se detiene inmediatamente.

PROBLEMA 3. Un bloque de masa m se muve sobre un

plano horizontal rugoso, bajo la influencia de dos fuerzas F1 y

F2. La fuerza F1=40 N forma un ángulo  con la horizontal tal y

como se muestra en la figura. La fuerza F2=F(x).

El bloque se encuentra inicialmente en reposo en el punto A (0,0), alcanzando luego el punto B (6,0)con una rapidez VB .

X(m)

A

B

A (0,0)

F1

F2

X(m)

m

B (4,0)

Datos: 0 2

1 40 2 4 3ˆ 3 37 B 2 9 8

F  i N; F ( x )i N; m kg;   v  m s; g , m s

1. El valor del trabajo realizado por F1 desde, desde A hasta B (en Joule), es:

2. El valor del trabajo realizado por F2 desde, desde A hasta B (en Joule), es:

3. Y el coeficiente de roce cinético entre el bloque y el plano es:

4. La potencia media cuando el bloque se desplaza desde A hasta B (en Watt) es:

PROBLEMA 4. Un muchacho hala una caja de masa m subiendo por

un plano inclinado rugoso de ángulo θ aplicando una fuerza variable

a

F

durante le tramo

AB

.

Datos:

    o a a B

m

ˆ ˆm

m 20kg ; 30º ; AB 0.8m ; v 2i s ; F F (x) ; v 4,47i s Usando los datos proporcionados, calcule:

1. Trabajo hecho por la fuerza

F

a en el tramo

AB

. 2. Trabajo neto en el tramo

AB

.

(14)

4. Si al pasar por el punto B se rompe la cuerda y “x” se define como la distancia medida sobre el plano inclinado hacia arriba teniendo como referencia el punto B; entonces la energía cinética de la masa mientras continúe subiendo será:

a. 

 

  2

B

1 mg x cos 30º mg x cos(120º ) mv

2

b. 

 

  2

B

1 mg x cos 30º mg x cos(120º ) mv

2

c. 

 

  2

B

1 mg x cos 30º mg x cos(30º ) mv

2

d. 

 

  2

B

1 mg x cos 30º mg x cos(120º ) mv

2

0 100 200 300 400 500 600

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x (m)

Fa

(N

)

PROBLEMA 5. Un bloque de masa m, se encuentra

inicialmente en reposo sobre un plano horizontal, comprimiendo un resorte de constante de elasticidad

k

1, una distancia Δx, como se muestra en la figura. Al separarse el bloque del resorte, puede recorrer una distancia BC, hasta encontrar un plano inclinado θ, al extremo del cual hay otro resorte de constante

k

2

Datos: 0 2

1 1 2

2 20 0 7 900 500 30 10

m kg; BC m; x  , m; k  N m; k  N m;   ; g m s

1. Si consideramos que “no hay roce“ en la vía ABCDE, se puede afirmar que: a) Energía potencial en A es

mayor que la energía mecánica en C

b) EA es mayor que la

energía potencial en C

c) La energía cinética en C es menor que la EA

d) La energía cinética en C es menor que la energía cinética en D

2. El bloque alcanza una altura máxima

H

Max

6

m

, comprimiendo el resorte

k

2 . La compresión de este resorte será: 3. Si consideramos que “tan sólo hay roceen la superficie BC, siendo

 

k

0 27

,

y el bloque comprime el resorte

2

k

una distancia

DE = 0,1 m

. Entonces la altura máxima que alcanza el bloque es:

4. En estas condiciones, el bloque se devuelve hasta comprimir nuevamente el resorte

k

1, entonces podemos afirmar que la nueva compresión del resorte será:

PROBLEMA 6. Un esquiador de masa m, se desliza

sobre nieve impulsándose sobre una superficie horizontal con una rapidez V. Al llegar a una pendiente (punto A) de longitud L, deja de impulsarse y sube por ella hasta una

altura máxima h (punto B), como se muestra en la figura.  L

A

B C

0 2

7 100 30 6 1 5 9 8

v  m s; m kg;   ; L m; h , m; g , m s

Suponiendo que no existe roce entre los esquíes y todas las superficies

1. Entonces la energía mecánica en el punto A es (en Joule):

2. La rapidez del esquiador cuando pasa por el punto B tiene un valor de:

Si consideramos que “tan sólo hay roce” en el plano inclinado (pendiente AB)

3. Sí la rapidez del esquiador al llegar al punto B es de 2,94 m/s, entonces el coeficiente de roce cinético entre los esquíes y la nieve es de:

(15)

SISTEMA DE PARTÍCULAS

Es un conjunto seleccionado de partículas, que pueden interactuar entre sí (Fuerzas Internas) o con otras partículas externas, es decir, con el entorno del sistema (Fuerzas externas)

La figura muestra tres partículas que pueden estar relacionadas en cuanto a la posición, velocidad, aceleración y tamaño (masa).

Cada partícula tiene una masa y una posición determinada respecto al sistema de referencia.

Centro de Masas (CM)

Punto geométrico que representa al sistema y donde se supone concentrada la masa total del sistema, tiene posición, velocidad y aceleración. El centro de masas de un sistema se mueve como si toda la masa M estuviera concentrada en él.

1. Posición del Centro de masas

 

rCM

1 1 2 2

1

i i

n n CM

i

mr

r

(m r

m r

... m r )

M

m

Donde:

r ,r ,...,r

 

1 2

n Son los vectores posición de las partículas.

M Masa total del sistema de partículas

2. Velocidad del Centro de Masas

 

v

CM

1 1 2 2

1

CM n n i i

i

mv

v

(m v

m v

... m v )

M

m

Donde:

v , v ,..., v

1

2

n Son los vectores aceleración de las partículas

M Masa total del sistema de partículas

3. Aceleración del Centro de Masas

 

a

CM

1 1 2 2

1

i i

n n CM

i

m

m

m

... m

M

m

a

a

a

a

a

Donde:

a a

 

1

,

2

,...,

a

n Son los vectores aceleración de las partículas M Masa total del sistema de partículas

Cantidad de Movimiento Total

 

p

T

La cantidad de movimiento de un particular de masa “m” que se mueve con una velocidad “v” es

definido como el producto de la masa y la velocidad.

p mv

La cantidad de movimiento es un vector porque iguala el producto de una cantidad escalar m y una cantidad vectorial “v”. Su dirección y sentido está a lo largo de “v”. Su unidad es el

kgm s

.

La cantidad de movimiento total del sistema es igual a la sumatoria de la cantidad

de movimiento de cada una de las partículas. Tot 1 2 CM

sistema

p

p p

p

Mv

Fuerzas Internas

1 1 1 p m v

2 2 2

p m v

1

m

12

F

2

m

21

F

1 1 1 p m v

2 2 2

p m v

1

m

12

F

2

m

21

F

Son aquellas interacciones que ocurren dentro del sistema, es decir son las que se producen entre las mismas partículas que forman parte del sistema.

Teorema de las Fuerzas Internas

La suma de todas las fuerzas internas de un sistema de partículas es siempre

igual a cero.

F

int

0

Las fuerzas de acción y reacción nunca se anulan porque actúan sobre cuerpos diferentes, pero en este caso si se anulan porque son fuerzas en el interior del sistema de partículas. Todos los pares de partículas hacen acción y reacción.

Fuerzas Externas

(16)

Si la fuerza externa resultante sobre el sistema es distinta de cero y la masa del

sistema permanece constante, entonces, el centro de masas acelera.

0

a

ext

ext CM

F

F

M

Leyes de Newton para un Sistema de Partículas

Primera Ley de Newton

0

0



  



CM ext

CM

v

Si

F

v

ctte

El sistema esta en reposo.

El sistema remueve con velocidad constante.

Segunda Ley de Newton

0

a

0

a

a

ext

ext CM ext CM CM

F

F

;

;

F

M

;

M

, siendo M Masa Total del sistema

Principio de Conservación del Momentum o de la Cantidad de Movimiento

Este principio dice: “Que la cantidad de movimiento total de un sistema aislado siempre es igual a su cantidad de movimiento inicial” .

Entonces, si la sumatoria de las fuerzas externas que actúan sobre un sistema es

cero, eso significa o implica que la cantidad de movimiento total permanece constante.

F

ext

0

p

0

p

f

cte

MOVIMIENTO RELATIVO

Sistema de referencia inercial (S): Se caracteriza porque tiene un movimiento constante o esta en reposo.

Sistema de referencia no inercial (S’): Se caracteriza por presentar aceleración.

Sistema de referencia del centro de masas: Es un sistema de referencia que se ubica siempre en el centro de masas

del sistema.

Posición

cm

r

r

r ' m

 

 

Donde:

r

Es la posición de la partícula vista desde tierra (S) C M

r

Es la posición del centro de masa vista desde tierra (S)

r '

Es la posición de la partícula respecto al centro de masa (S’).

También llamada posición relativa.

Velocidad

CM

CM

dr

dr

dr '

v

v

v

u m s

dt

dt

dt

 

Donde:

v

Es la velocidad de la partícula vista desde tierra (S) C M

v

Es la velocidad del centro de masa vista desde tierra (S)

u

Es la velocidad relativa de la partícula respecto al centro de masa (S’) Ejemplo:

Juan observa a Ana y Pedro que están compitiendo en una carrera de triciclos, donde las velocidades registradas por Juan de cada uno de los competidores son:

45 40

P ˆ A ˆ

v  i m s; v  i m s

Datos: mJ60kg; mA 80kg; mP 85kg

La velocidad del centro de masas es:

60 0

 

80 40

 

85 45

 

31 22

60

80

85

i i CM

i

mv

ˆ

v

, i m s

m

Figure

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