Olimpiada Mexicana de Matem´

Problemas para la

20

a

Olimpiada Mexicana de Matem´

aticas

(Problemas Avanzados)

Edici´on: Carlos Jacob Rubio Barrios Revisi´on: Gabriela Campero Arena

Carlos Jacob Rubio Barrios

Delegado de la Olimpiada de Matem´aticas en Yucat´an. Facultad de Matem´aticas, Universidad Aut´onoma de Yucat´an.

Gabriela Campero Arena

Contenido

. Presentaci´on IV

. Resumen de Resultados VII

. Resultados de M´exico en las Internacionales . . . vii

. Resultados del Concurso Nacional de la 19a OMM . . . x

. Agradecimientos . . . xii

. Informaci´on sobre la Olimpiada . . . xii

1. Enunciados de los Problemas 1 1.1. Problemas de Pr´actica . . . 1

1.2. Problemas de los ´ultimos tres Concursos Nacionales de la OMM . . . 9

2. Olimpiadas Internacionales en las que participa M´exico 13 2.1. XVII Olimpiada de la Cuenca del Pac´ıfico . . . 13

2.2. VII Olimpiada Matem´atica de Centroam´erica y del Caribe . . . . 14

2.3. XX Olimpiada Iberoamericana de Matem´aticas . . . 15

2.4. 46a Olimpiada Internacional de Matem´aticas . . . 16

3. Soluciones de los Problemas 19 3.1. Soluciones de los Problemas de Pr´actica . . . 19

3.2. Soluciones de los ´ultimos tres Concursos Nacionales de la OMM . . . 47

Presentaci´

on

La Sociedad Matem´atica Mexicana organiza la 20a _{Olimpiada Mexicana de}

Matem´aticas. Los ganadores del certamen formar´an las selecciones que partici-par´an en las distintas olimpiadas internacionales del a˜no 2007: la XIX Olimpiada de la Cuenca del Pac´ıfico que se llevar´a a cabo en el mes de marzo en M´exico y los ex´amenes se corregir´an en Corea; la 48a _{Olimpiada Internacional que se llevar´a} a cabo en Vietnam durante el mes de julio, la XXII Olimpiada Iberoamericana de Matem´aticas que se realizar´a en septiembre en Portugal y la IX Olimpiada Matem´atica de Centroam´erica y el Caribe que se celebrar´a en alguno de los pa´ıses participantes en el mes de julio.

En la20aOlimpiada Mexicana de Matem´aticas pueden participar los estudiantes de M´exico nacidos despu´es del1o _{de agosto de 1987. Los concursantes deber´an}

estar inscritos en una instituci´on preuniversitaria durante el primer semestre del ciclo escolar 2006-2007 y, para el1o de julio de 2007, no deber´an haber iniciado estudios de nivel universitario.

VI Etapas de la Olimpiada

[email protected] . Las aportaciones ser´an consideradas para su in-clusi´on en ex´amenes o en futuros folletos.

Este folleto incluye problemas de las olimpiadas estatales de matem´aticas de Distrito Federal, Morelos, Puebla, Quer´etaro y San Luis Potos´ı. Tambi´en in-cluye problemas del Encuentro Interestatal de la Zona Centro 2005 (en el que participaron Distrito Federal, Estado de M´exico, Hidalgo, Morelos, Puebla y Tlaxcala) y de la Olimpiada Regional del Noreste 2005 (en la que participaron Coahuila y Nuevo Le´on). Finalmente, incluye problemas de la etapa final de los Concursos Estatales del a˜no 2005 y del examen eliminatorio propuesto por el Comit´e Nacional 2005.

Etapas de la Olimpiada

La Olimpiada Mexicana de Matem´aticas consta de tres etapas:

Ex´amenes Estatales.En cada estado hay un delegado que organiza esta etapa y de ella surgen las selecciones estatales que asisten al Concurso Nacional.

Concurso Nacional.Este concurso se llevar´a a cabo en la ciudad de Zacatecas, Zacatecas, del 12 al 18 de noviembre de 2006. En ´el, se elegir´a a la preselecci´on mexicana.

Entrenamientos.A los alumnos de la preselecci´on que surjan del Concurso Na-cional se les entrenar´a intensivamente durante el primer semestre del a˜no 2007. Tambi´en, se les aplicar´an ex´amenes para determinar a los que representar´an a M´exico en las olimpiadas internacionales.

Resumen de Resultados VII

Resumen de Resultados

En el a˜no de 1987 la Sociedad Matem´atica Mexicana organiz´o la Primera Olim-piada Mexicana de Matem´aticas. A partir de esa fecha, los concursos nacionales se han celebrado anualmente en las ciudades de Xalapa, Hermosillo, Metepec, Guanajuato, Oaxtepec, La Trinidad, Acapulco, Guadalajara, Colima, M´erida, Monterrey, Quer´etaro, Oaxaca, Morelia, Oaxtepec, Colima, Guanajuato, Ixta-pan de la Sal y Campeche.

Resultados de M´exico en las Internacionales

Los resultados de las delegaciones mexicanas en las olimpiadas internacionales en las que se ha participado son los siguientes:

Olimpiada Internacional de Matem´aticas

a˜no pa´ıs sede no. de pa´ıses lugar de M´exico

1988 Australia 49 37

1989 Rep. Fed. de Alemania 50 31

1990 Rep. Popular de China 54 36

1991 Suecia 55 35

1992 Rusia 56 49

1993 Turqu´ıa 73 63

1994 Hong Kong 69 65

1995 Canad´a 74 59

1996 India 75 53

1997 Argentina 82 32

1998 Taiw´an 75 44

1999 Rumania 81 52

2000 Corea 82 30

2001 Estados Unidos 83 46

2002 Escocia 84 46

2003 Jap´on 82 41

2004 Grecia 84 37

2005 M´exico 91 31

La 46a _{Olimpiada Internacional de Matem´aticas se llev´o a cabo en M´erida,}

VIII Resumen de Resultados

(Morelos), Iv´an Joshua Hern´andez Maynez (Coahuila). Se obtuvieron 4 medallas de bronce (Isaac, Guevara Manuel ´Angel, Iv´an Joshua y Pablo) y dos menciones honor´ıficas (Hector Daniel y David Guadalupe). M´exico ocup´o el lugar 31 de 91 pa´ıses participantes.

Olimpiada Iberoamericana de Matem´aticas

a˜no pa´ıs sede no. de pa´ıses lugar de M´exico

1989 Cuba 13 3

1990 Espa˜na 15 3

1991 Argentina 16 5

1992 Venezuela 16 6

1993 M´exico 16 9

1994 Brasil 16 6

1995 Chile 18 9

1996 Costa Rica 17 2

1997 M´exico 17 3

1998 Rep´ublica Dominicana 18 5

1999 Cuba 20 3

2000 Venezuela 21 2

2001 Uruguay 21 3

2002 El Salvador 22 3

2003 Argentina 19 4

2004 Espa˜na 22 5

2005 Colombia 22 2

La XX Olimpiada Iberoamericana se llev´o a cabo en Cartagena, Colombia, del 25 de septiembre al 1◦ _{octubre de 2005. Los alumnos que concursaron}

fueron: H´ector David Guadalupe Torres Flores (Guanajuato), Guevara Manuel ´

Resumen de Resultados IX

Olimpiada Matem´atica de Centroam´erica y el Caribe

a˜no pa´ıs sede no. de pa´ıses lugar de M´exico

1999 Costa Rica 10 2

2000 El Salvador 9 2

2001 Colombia 10 2

2002 M´exico 8 1

2003 Costa Rica 11 1

2004 Nicaragua 12 1

2005 El Salvador 12 1

Entre el 7 y el 11 de junio, se celebr´o en El Salvador, la VII Olimpiada Ma-tem´atica de Centroam´erica y el Caribe. La delegaci´on mexicana estuvo inte-grada por los alumnos: Jan Marte Contreras Ortiz, Isaac Buenrostro Morales y Pa´ul Iv´an Gallegos Bernal (todos ellos de Jalisco). Los alumnos (Isaac y Pa´ul Iv´an) obtuvieron 2 medallas de oro y (Jan Marte) una medalla de plata. M´exico ocup´o la posici´on n´umero 1 de 12 pa´ıses participantes.

Olimpiada Matem´atica de la Cuenca del Pac´ıfico

Desde 1991, los ganadores del Concurso Nacional participan anualmente en la Olimpiada de Matem´aticas de la Cuenca del Pac´ıfico. No existe un registro estad´ıstico sobre la participaci´on de M´exico antes del 2004.

a˜no pa´ıs organizador no. de pa´ıses lugar de M´exico

2004 Canad´a 19 9

2005 Corea 19 13

X Resumen de Resultados

Andr´es Ru´ız Vargas (Yucat´an), Mario Alejandro Huicochea Mason (Distrito Fe-deral) y Francisco Javier Ibarra Goycoolea (Baja California). M´exico ocup´o el lugar n´umero 13 de los 19 pa´ıses participantes.

Total de medallas obtenidas por M´exico en las olimpiadas internacionales

Olimpiada Oro Plata Bronce Menci´on Honor´ıfica

Internacional 0 3 28 20

Iberoamericana 13 25 23 3

Centroamericana 12 7 2 0

Resultados del Concurso Nacional de la

19a

Olimpiada Mexicana de Matem´aticas

Del 6 al 12 de noviembre de 2005 se llev´o a cabo en Campeche, Campeche, el Concurso Nacional de la 19a _{Olimpiada Mexicana de Matem´aticas, con la}

participaci´on de todos los estados de la Rep´ublica. Los 16 alumnos ganadores del primer lugar fueron:

Ram´ırez Prado Juan Carlos (Baja California) Ruelas V´azquez Juan Carlos (Chihuahua) Hern´andez M´aynez Iv´an Joshua (Coahuila) Campos Garc´ıa Fernando (Distrito Federal) Torres Flores David Guadalupe (Guanajuato) Buenrostro Morales Isaac (Jalisco)

Contreras Ortiz Jan Marte (Jalisco) Pacchiano Camacho Aldo (Morelos) Sober´on Bravo Pablo (Morelos)

Escalera Rodr´ıguez Jes´us Aar´on (Nuevo Le´on) Sierra Gonz´alez Daniel Alfonso (Nuevo Le´on) Ram´ırez Garc´ıa Luna Valente (San Luis Potos´ı) Bueno Contreras Jos´e Jorge (Sonora)

Rivera Arredondo Carolina (Sonora) ´

Resumen de Resultados XI

Los 5 alumnos preseleccionados para la Olimpiada Matem´atica de Centroam´erica y el Caribe fueron:

Gallegos Bernal Paul Iv´an (Jalisco) R´ıos Ferrusca Jos´e Daniel (Quer´etaro)

G´omez Emilsson Andr´es Leonardo (Distrito Federal) Novelo Puc Manuel Jes´us (Yucat´an)

Mendoza Orozco Rodrigo (Jalisco).

Aunque la participaci´on en el Concurso Nacional es individual, es importante destacar la labor que han llevado a cabo los estados de la Rep´ublica apoyando a sus concursantes. Con el prop´osito de reconocer este trabajo, presentamos el registro de los estados que ocuparon los primeros diez lugares en la 19a Olimpiada Nacional.

1. Jalisco 2. Morelos 3. Yucat´an 4. Chihuahua 5. Guanajuato 6. San Luis Potos´ı 7. Nuevo Le´on 8. Sonora

9. Distrito Federal 10. Quer´etaro

XII Resumen de Resultados

Agradecimientos

Agradecemos a todos los estados que colaboraron con los problemas que apa-recen en este folleto. Igualmente queremos agradecer a Radmila Bulajich quien elabor´o todas las figuras.

Informaci´

on sobre la Olimpiada

Para obtener m´as informaci´on sobre los eventos de la Olimpiada Mexicana de Matem´aticas o para consultar m´as material de estudio, visite nuestro sitio de internet:

http://erdos.fciencias.unam.mx/omm

Comit´e Organizador de la Olimpiada Mexicana de Matem´aticas

Cap´ıtulo 1

Enunciados de los Problemas

1.1.

Problemas de Pr´

actica

Problema 1.Determina todos los enteros positivos npara los cuales existenn

enteros positivos consecutivos cuya suma es un n´umero primo.

Problema 2. Decimos que un entero positivon es creciente si al leerlo de de-recha a izquierda se obtiene un entero mayor quen. ¿Cu´antos enteros positivos de cuatro d´ıgitos son crecientes?

Problema 3. Un entero positivo a > 1 est´a dado (en notaci´on decimal). Al copiar dos veces seguidas los d´ıgitos de aobtenemos el n´umerobel cual resulta ser m´ultiplo dea2. Determina todos los valores posibles del cociente _ab2. Problema 4. En el tri´anguloABC la bisectriz del ´angulo A, la perpendicular a

AB que pasa por su punto medio, y la altura desde el v´ertice B, se intersectan en el mismo punto. Prueba que la bisectriz del ´anguloA, la perpendicular aAC

que pasa por su punto medio, y la altura desde el v´ertice C, se intersectan en un mismo punto.

2 Problemas de Pr´actica

Problema 6. Determina todas las parejas de enteros positivos(a, b) tales que

a₋b es un n´umero primo yabes un cuadrado perfecto.

Problema 7. Sea n un entero positivo. Prueba que se pueden elegir al me-nos 2n−1 _{+n n´umeros del conjunto {1,2,3, . . . ,2}n_{} de tal manera que para} cualesquiera dos n´umeros distintos elegidos x, y, el n´umero x+y no divide a

xy.

Problema 8.Cada casilla de un tablero de100_×100se pinta con uno de cuatro colores de tal manera que hay exactamente 25 casillas de cada color en cada columna y en cada rengl´on. Demuestra que hay dos columnas y dos renglones que se intersectan en cuatro casillas pintadas de distinto color.

Problema 9.En el tri´angulo rect´angulo ABC con ´angulo recto en A, seanD

yE puntos en los lados AC yBC respectivamente, tales queAE yBC son perpendiculares, yBD=DC =EC= 1. Determina la longitud del ladoAC.

Problema 10. Un programa de computadora genera una sucesi´on de 2005 n´umeros, de acuerdo con la siguiente regla: el primer n´umero es 1, y a partir de all´ı, luego de generar el n´umero x, el siguiente n´umero es igual a x+ _[1_x]. Los primeros n´umeros de la sucesi´on son 1,2, 5₂,3, . . .. Determina el ´ultimo n´umero que genera el programa. (Nota: Los corchetes indican la parte entera del n´umero).

Problema 11.Determina todos los enteros positivos aybtales que 8a+ 1 es m´ultiplo de by8b+ 1 es m´ultiplo dea.

Problema 12. En el cuadrado ABCD cuyos lados miden 6, sea M el punto medio del ladoADyN el punto medio del ladoAB. La diagonalBD corta a

CN enK y a CM enL. Determina el ´area del cuadril´ateroKLM N.

Problema 13.Sean l₁ yl₂ dos rectas paralelas. Se han marcado k puntos en la rectal1 y npuntos en la recta l2 (k ≥n). Si se sabe que la cantidad total

de tri´angulos que tienen sus tres v´ertices en puntos marcados es 220, determina todos los valores posibles dek yn.

Problema 14. Determina el menor entero positivo n _≥ 2, de modo que con

1.1 Problemas de Pr´actica 3

Problema 15. El tri´angulo ABC est´a inscrito en un c´ırculo. Dos cuerdas se dibujan desde el v´erticeA, intersectando al ladoBCy al arcoBC en los puntos

K, L yM, N respectivamente. Prueba que si el cuadril´ateroKLN M es c´ıclico, entonces el tri´angulo ABC es is´osceles.

Problema 16.Seanun entero positivo tal que2n+ 2es m´ultiplo deny2n+ 1

es m´ultiplo den₋1. Prueba que22n₊₂

+2es m´ultiplo de2n_{+2y que2}2n₊₂

+1

es m´ultiplo de 2n+ 1.

Problema 17. ¿Es posible llenar una cuadr´ıcula de 11_×11 con los n´umeros del 1 al 121 de tal manera que todos los cuadrados perfectos est´en en la mis-ma columna, y que cualesquiera dos n´umeros consecutivos est´en en cuadritos adyacentes?

Problema 18.Determina todos los n´umeros primosp, qyr, tales quep+q+r = 2005 ypqr+ 1 es un cuadrado perfecto.

Problema 19.SeanEyF los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita del tri´angulo ABC con los lados AB y BC, respectivamente. La bisectriz del ´angulo CAB intersecta a la recta EF en K. Prueba que el ´angulo CKA es recto.

Problema 20. Se divide un tri´angulo equil´atero de lado n en n2 triangulitos equil´ateros de lado 1, mediante paralelas a los lados del tri´angulo. Se elige un paralelogramo con sus cuatro v´ertices en v´ertices de triangulitos y sus cuatro lados paralelos a los lados del tri´angulo. ¿De cu´antas maneras se puede hacer la elecci´on del paralelogramo?

Problema 21.Muestra que en todo entero positivo de 16 d´ıgitos, hay un bloque de uno o m´as d´ıgitos consecutivos tal que el producto de estos d´ıgitos es un cuadrado perfecto.

Problema 22. Sea ABCDE un pent´agono convexo (las diagonales quedan dentro del pent´agono). SeanP,Q,RySlos baricentros de los tri´angulosABE,

BCE,CDEyDAE respectivamente. Prueba queP QRS es un paralelogramo y que:

´

Area(P QRS) = 2

4 Problemas de Pr´actica

Problema 23.Si se sabe que:

34! = 295,232,799, cd9,604,140,847,618,609,643,5ab,000,000,

determina los d´ıgitosa, b, c yd.

Problema 24.Dos circunferencias tangentes internamente se tocan en el punto

M. Una recta es tangente a la circunferencia interior en el punto P y corta a la circunferencia exterior en los puntosQyR. Prueba que∠QM P =∠RM P.

Problema 25.Se tienen suficientes cuadrados de papel de1_×1en los que cada lado se ha pintado de uno de 4 colores (cada cuadrado tiene los 4 colores). Se quiere formar con estos cuadrados un rect´angulo dem_×n, pegando s´olo lados del mismo color de tal manera que tambi´en en el rect´angulo cada lado quede de un solo color y los cuatro lados del rect´angulo queden de distinto color. ¿Para qu´em ynes esto posible?

Problema 26.Prueba que todo entero es suma de cinco cubos.

Problema 27.Prueba que si se tienen 6 puntos en el plano de manera que 8 de las distancias entre ellos son iguales, entonces hay 4 de estos puntos que forman un paralelogramo.

Problema 28.Considera el siguiente tablero hecho con tri´angulos equil´ateros.

Determina si es posible llenar dicho tablero con piezas hechas con tri´angulos equil´ateros de las siguientes formas:

1.1 Problemas de Pr´actica 5

Problema 29. Considera un cuadril´atero c´ıclico ABCD. La prolongaci´on de

BA m´as all´a de A se corta con la prolongaci´on de DC en un punto P y las diagonales AC y BD se cortan enQ. Se sabe que BQ=BC =CP. Prueba que ∠BAC = 60◦_.

Problema 30. ¿Para qu´e valores dek el n´umero:

[2_×4_×6_{× · · · ×}(2k₋2)_×2k] + [1_×3_×5_{× · · · ×}(2k₋3)_×(2k₋1)]

es divisible entre (2k+ 1)?

Problema 31. Los n´umeros pentagonales V₁ = 1, V₂ = 5, V₃ = 12, V₄ = 22, . . ., se introducen mediante la siguiente sucesi´on de figuras:

"!$# %'& ( )

*$+$,

Para cada entero positivon, se definef(n) =Vn(por ejemplo,f(2) =V2 = 5).

Prueba que el n´umero 24_·f(Vn) es producto de cuatro enteros consecutivos para cualquier entero positivo n.

Problema 32.SeaABCDun rect´angulo. Sobre el ladoABse toma un puntoP

tal queAP =AD, y sobre el ladoADse toma un puntoQtal queAQ=AB. Si BD= 6, ¿cu´al es el ´area del cuadril´atero AP CQ?

Problema 33.Una persona elige un n´umero de tres d´ıgitos y anota los residuos de las siguientes divisiones: la divisi´on de dicho n´umero entre el n´umero formado por sus dos ´ultimos d´ıgitos y la divisi´on del n´umero formado por los dos ´ultimos d´ıgitos del n´umero elegido entre su d´ıgito de la derecha. (Si eligi´o, por ejemplo, el n´umero 479 calcul´o 479₇₉ y 79₉ obteniendo 5 y 7 como residuos, respectivamente). ¿Qu´e n´umero eligi´o la persona, si los residuos que obtuvo fueron, en ese orden, 1 y 5? Obt´en todas las respuestas posibles.

6 Problemas de Pr´actica

Problema 35. Un cuadril´atero ABCD est´a inscrito en una circunferencia de radio 12. Sea P el punto de intersecci´on de las diagonales de ABCD. Si

AB = BD, AC = 24 y CP = 6, obt´en la distancia de AD al centro de dicha circunferencia.

Problema 36.Seanun entero positivo. ¿De cu´antas formas es posible escribirn

como suma de enteros positivos:n=a₁+a₂+_{· · ·}+a_pcona_{1 ≤}a_2≤. . ._≤a_{p ≤}

1+a1? (Por ejemplo, sin= 4, existen 4 formas:4,2+2,1+1+2,1+1+1+1.

Problema 37.Seanun entero positivo mayor que 1. Encuentra el m´ınimo valor den para el cual se tiene que el promedio de los n´umeros 12,22,32, . . . , n2 es un cuadrado perfecto.

Problema 38.Una circunferencia de centro I, est´a inscrita en el cuadril´atero

ABCD. Las perpendiculares a los ladosAB yAD, que pasan porA, cortan a

BI yDI enM yN, respectivamente. Demuestra queM N es perpendicular a

AC.

Problema 39.Dado un subconjuntoAde_{1,2, . . . , n_}, llamamos suma deAa la suma de los elementos deA(por ejemplo, siA=_{1,4,8_}, entonces la suma de A es 13 y si A = _{9_}, entonces su suma es 9). El conjunto _{1,2, . . . , n_}

quiere partirse en 12 subconjuntos (ajenos y no vac´ıos) con la misma suma. Determina el menornpara el cual esto es posible.

Problema 40.Sean_Cy_C0 _{dos c´ırculos con centros enOyO}0_{, respectivamente,}

y tales que se intersectan en dos puntos distintosP yQ. Sea _L una recta por

P que intersecta a _C y _C0 _{en dos puntos B y B}0_{, respectivamente. Sea A el}

circuncentro deBB0_{Q. Prueba que A est´a en el circunc´ırculo de O,O}0 _yQ.

1.1 Problemas de Pr´actica 7

Problema 42.Ocho cajas numeradas del 1 al 8 est´an colocadas en una fila en orden de numeraci´on. ¿De cu´antas formas distintas pueden colocarse 8 esferas de Navidad en las cajas si de cada uno de 4 colores distintos hay dos esferas iguales, en cada caja va una esfera y esferas del mismo color no deben quedar en cajas con numeraci´on consecutiva?

Problema 43. Prueba que para n _≥ 12 es posible dibujar un “panal”con n

hex´agonos regulares todos del mismo tama˜no, de manera que cada uno tenga lado com´un con al menos otros tres hex´agonos.

Problema 44. Seaa1, a2, . . . la sucesi´on definida por a1 = 1y, para n≥2,

an= (n−1)an−1+· · ·+kak+· · ·+ 1a1+n.

¿Para qu´e n0s es an m´ultiplo de 9?

Problema 45. Sea ABCD un tetraedro en el que AB = CD, AC =BD y

AD =BC y sean P1, P2, Q1, Q2, R1 y R2 los puntos medios de AB, CD,

AC,BD, ADyBC, respectivamente. Prueba que: (a) P1P2 es perpendicular aAB.

(b) P1P2, Q1Q2 yR1R2 concurren y cualesquiera dos son perpendiculares.

Problema 46. En un tablero cuadriculado de madera de n_×n un mago toca con su varita m´agica uno de los cuadritos y, al tocarlo, desaparece toda la fila y columna del cuadrito. Al quitar una fila y una columna, el tablero se subdivide en tableros rectangulares a los que se les aplica el mismo acto m´agico, es decir, se toca un cuadrito de alguno de los rect´angulos y se elimina su fila y su columna (s´olo en el rect´angulo donde est´a el cuadrito que toc´o). El acto de magia se repite varias veces hasta que todos los cuadritos han desaparecido. Si el mago quiere hacer el procedimiento el m´ınimo n´umero posible de veces, ¿cu´al es este n´umero y c´omo debe ir tocando los cuadritos?

Problema 47.Seanaybenteros positivos tales que 7 divide aa+by72 divide a a2+b2. Demuestra que73 divide aa3+b3.

Problema 48.Los n´umerosa,byccumplen queabc= 1ya+b+c= 1_a+1_b+1_c. Demuestra que alguno de a, b´o ces igual a1.

Problema 49.SeaM el punto medio del ladoBCdel tri´anguloABC. La recta que pasa por M y es perpendicular a la bisectriz del ´angulo A, corta aAB en

8 Problemas de Pr´actica

Problema 50.Pablo y Galo tienen un n´umero entero de pesos cada uno. Pablo le dice a Galo: “Si t´u me das3 pesos, yo tendr´e n veces m´as pesos que t´u”. Galo le dice a Pablo: “ Si t´u me dasn pesos, yo tendr´e 3 veces m´as pesos que t´u”. Sines un entero positivo, ¿c´uales son los posibles valores de n?

Problema 51.Ciertos boletos est´an numerados con los n´umeros1,2,3, . . . , n. Se sabe que exactamente la mitad de los boletos tienen el d´ıgito 1 en ellos. Si

nes un n´umero de tres d´ıgitos, determina todos los posibles valores den.

Problema 52.Seap un n´umero primo mayor que 2. Si:

1 +1

2+

1

3+· · ·+ 1

p₋1 =

a b,

prueba queaes m´ultiplo dep.

Problema 53.Se colocan, formando una circunferencia, 2004 fichas bicolores: blancas por una cara y negras por la otra. Un movimiento consiste en elegir una ficha negra y darle la vuelta a tres fichas: la elegida, la de su izquierda y la de su derecha. Si al inicio hay una sola ficha negra, ¿ser´a posible, repitiendo el movimiento descrito, conseguir que todas las fichas tengan la cara blanca hacia arriba?

Problema 54.Considera el tri´anguloABC con circuncentroO. SeaD la inter-secci´on de la bisectriz del ´angulo enAconBC. Demuestra queOA, la mediatriz deADy la perpendicular aBC que pasa porD son concurrentes.

Problema 55.SeaABC un tri´angulo con∠ACB= 2∠CABy∠ABC >90◦_.

La perpendicular aAB que pasa porAintersecta a BC enD. Demuestra que:

1

BC −

1

DC =

2

CA.

Problema 56.Si ayb son enteros distintos y nes un entero positivo, prueba que22n−1_(a2n_+b2n_)−(a+b)2n _{es divisible entre (a−b)}2_.

Enunciados de los Problemas 9

Problema 58. Considera un tablero de 2n_×2n, donde se encuentran fichas blancas y negras, con a lo m´as una ficha en cada casilla. Primero, quitamos cada ficha negra que est´e en la misma columna que una ficha blanca. Enseguida, quitamos cada ficha blanca que est´e en el mismo rengl´on que una ficha negra que haya quedado. Demuestra que para alg´un color, a lo m´as n2 fichas de ese color quedan sin quitar.

Problema 59.Determina un par de enteros positivosaybtales queab(a+b)

no sea m´ultiplo de 7 y (a+b)7₋(a7+b7) sea m´ultiplo de77.

Problema 60. Sean a1 = 19y a2 = 98. Para n ≥1 definimos an+2 como el

residuo de a_n+a_n+1 cuando se divide entre 100. Determina el residuo de:

a2₁+a2₂+_{· · ·}+a2₁₉₉₈

cuando se divide entre 8.

1.2.

Problemas de los ´

ultimos tres Concursos

Nacionales de la OMM

Problema 1.(17a OMM) Dado un n´umerok de dos o m´as cifras, se forma otro entero m insertando un cero entre la cifra de las unidades y la de las decenas de k. Encuentra todos los n´umeros k para los cualesm resulta ser un m´ultiplo dek.

Problema 2. (17a OMM) Sean A, B y C tres puntos colineales con B entre

A y C. Sea _Y una circunferencia tangente a AC en B, y sean _X y _Z las circunferencias de di´ametros AB yBC, respectivamente. Sea P el otro punto (adem´as de B) en el que se cortan las circunferencias _X y _Y; sea Q el otro punto (adem´as de B) en el que se cortan las circunferencias_Y y_Z. Sup´on que la recta P Q corta a _X en un punto R distinto de P, y que esa misma recta

P Qcorta a _Z en un punto S ditinto deQ. Demuestra que concurrenAR, CS

y la tangente com´un a _X y_Z por B.

10 Problemas Concursos Nacionales de la OMM

Problema 4.(17a OMM) SeaABCD un trapecio conAB paralelo aDC. Se toman puntos P yQ sobre AB yCD respectivamente, tales que AP_{P B} = DQ_QC. SeaM la intersecci´on de AQconDP y seaN la intersecci´on deP C conQB. Pruebe que la longitud deM N depende s´olo de las longitudes deAB yDC, y calcula su valor.

Problema 5. (17a OMM) Se escriben en tarjetas todas las parejas de enteros

(a, b) con 1 _≤ a < b _≤ 2003. Dos personas juegan con las tarjetas como sigue: cada jugador en su turno elige(a, b) (que se retira del juego) y escribe el productoa_·ben un pizarr´on (ambos jugadores usan el mismo pizarr´on). Pierde el jugador que ocasione que el m´aximo com´un divisor de los n´umeros escritos hasta ese momento sea 1. ¿Qui´en tiene estrategia ganadora? (Es decir, ¿cu´al de los dos jugadores puede inventar un m´etodo con el cual asegura su triunfo?)

Problema 6. (17a OMM) Dado un entero n un cambio sensato consiste en sustituirnpor2n+1´o3n+2. Dos enteros positivosaybse llamancompatibles

si existe un entero que se puede obtener haciendo uno o m´as cambios sensatos, tanto a partir de a, como a partir de b. Encuentra todos los enteros positivos compatibles con 2003 menores que 2003.

Problema 7. (18a OMM) Encuentra todos los n´umeros primos p, q y r con

p < q < r, que cumplan con 25pq+r= 2004 y que pqr+ 1sea un cuadrado perfecto.

Problema 8.(18a OMM) ¿Cu´al es la mayor cantidad de enteros positivos que se pueden encontrar de manera que cualesquiera dos de ellosayb(cona₆=b)

cumplan que,

|a₋b_{| ≥} ab

100?

Problema 9. (18a OMM) Sean Z y Y los puntos de tangencia del inc´ırculo del tri´anguloABC con los ladosAByCA,respectivamente. La paralela aY Z

por el punto medioM del lado de BC,corta aCAenN. SeaLel punto sobre

CAtal que N L=AB (yL del mismo lado de N que A). La rectaM Lcorta aAB enK.Muestra que KA=N C.

Enunciados de los Problemas 11

Cada equipo calcul´o la diferencia (positiva) entre el n´umero de partidos que gan´o y el n´umero de partidos que perdi´o. La suma de todas estas diferencias result´o ser 5000. ¿Cu´antos equipos participaron en el torneo? Encuentra todas las respuestas posibles.

Problema 11. (18a OMM) Sean_A y_Bdos circunferencias tales que el centro

O de _B est´e sobre _A. Sean C y D los dos puntos de intersecci´on de las cir-cunferencias. Se toman un punto A sobre _A y un punto B sobre _B tales que

AC es tangente a _B en C y BC es tangente a _A en el mismo punto C. El segmento AB corta de nuevo a _B enE y ese mismo segmento corta de nuevo a_AenF.La rectaCE vuelve a cortar a_AenGy la rectaCF corta a la recta

GD enH.Prueba que el punto de intersecci´on deGO yEH es el centro de la circunferencia circunscrita al tri´angulo DEF.

Problema 12. (18a OMM) ¿Cu´al es el mayor n´umero posible de cambios de direcci´on en un recorrido sobre las l´ıneas de una cuadr´ıcula de 2004 _×2004

casillas, si el recorrido no pasa dos veces por el mismo lugar?

Problema 13.(19a OMM) Sea O el centro de la circunferencia circunscrita al tri´angulo ABC, y sea P un punto cualquiera sobre el segmento BC (P ₆=B

y P ₆=C). Sup´on que la circunferencia circunscrita al tri´angulo BP O corta al segmento AB en R (R ₆=A y R ₆= B) y que la circunferencia circunscrita al tri´angulo COP corta al segmento CAen el punto Q(Q₆=C yQ₆=A).

(i) Considera el tri´anguloP QR; muestra que que es semejante al tri´angulo

ABC y que su ortocentro es O.

(ii) Muestra que las circunferencias circunscritas a los tri´angulos BP O,

COP yP QR son todas del mismo tama˜no.

Problema 14. (19a OMM) Dadas varias cuadr´ıculas del mismo tama˜no con n´umeros escritos en sus casillas, susumase efect´ua casilla a casilla, por ejemplo:

1 2

3 4 +

1 0

0 1 +

2 0

3 0 =

4 2 6 5

Dado un entero positivo N, diremos que una cuadr´ıcula es N-balanceada si tiene n´umeros enteros escritos en sus casillas y si la diferencia entre los n´umeros escritos en cualesquiera dos casillas que comparten un lado es menor o igual que N.

12 Problemas Concursos Nacionales de la OMM

(ii) Muestra que toda cuadr´ıcula 3n-balanceada (de cualquier tama˜no) se puede escribir como suma de 3 cuadr´ıculasn-balanceadas.

Problema 15.(19a OMM) Determina todas las parejas (a, b) de enteros dis-tintos de cero para las cuales es posible encontrar un entero positivox primo relativo conb y un entero cualquiera y, tales que en la siguiente lista hay una infinidad de n´umeros enteros:

a+xy b ,

a+xy2 b2 ,

a+xy3 b3 , . . . ,

a+xyn bn , . . .

Problema 16. (19a OMM) Decimos que una lista de n´umeros a1, a2, . . . , am contiene una terna aritm´etica a_i, a_j, a_k si i < j < k y 2a_j = a_i+a_k. Por ejemplo,8,1,5,2,7 tiene una terna aritm´etica (8, 5 y 2) pero 8,1,2,5,7 no. Sean un entero positivo. Muestra que los n´umeros1,2, . . . , n se pueden reor-denar en una lista que no contenga ternas aritm´eticas.

Problema 17.(19a OMM) SeaN un entero mayor que 1. En cierta baraja de

N3 cartas, cada carta est´a pintada de uno deN colores distintos, tiene dibujada una deN posibles figuras y tiene escrito un n´umero entero del 1 alN (no hay dos cartas id´enticas). Una colecci´on de cartas de la baraja se llamacompletasi tiene cartas de todos los colores, o si entre sus cartas aparecen todas las figuras o todos los n´umeros.

¿Cu´antas colecciones no completas tienen la propiedad de que, al a˜nadir cual-quier otra carta de la baraja, ya se vuelven completas?

Problema 18.(19a OMM) SeaABC un tri´angulo yADla bisectriz del ´angulo

∠BAC, con D sobre BC. Sea E un punto sobre el segmento BC tal que

BD=EC. PorE traza lla recta paralela aAD y considera un puntoP sobre

Cap´ıtulo 2

Olimpiadas Internacionales en

las que participa M´

exico

2.1.

XVII Olimpiada de la Cuenca del Pac´ıfico

Problema 1.Muestre que para cada n´umero real irracionala, existen n´umeros reales irracionalesbyb0 tales quea+byab0 son ambos racionales mientras que

abya+b0 _{son ambos irracionales.}

Problema 2. Seana, bycn´umeros reales positivos tales queabc= 8. Muestre que:

a2

p

(1 +a3_{)(1 +b}3₎ +

b2

p

(1 +b3_{)(1 +c}3₎ +

c2

p

(1 +c3_{)(1 +a}3₎ ≥

4

3.

Problema 3. Muestre que existe un tri´angulo que puede dividirse en 2005 tri´angulos congruentes.

Problema 4. En una ciudad, hay n_×n casas se˜naladas por (i, j) con 1 _≤

i, j _≤ n. La casa se˜nalada por (1,1) es la que se encuentra en la esquina superior izquierda, dondeiyjson los ´ındices para los renglones y las columnas, respectivamente. Al tiempo 0, inicia un incendio en la casa se˜nalada por (1, c)

14 Problemas de las Olimpiadas Internacionales

protegen una casa que a´un no se ha incendiado, mientras el fuego se propaga de una casa que se incendia en el instanteta todas las casasvecinasno protegidas. Una casa protegida, permanece protegida todo el tiempo. El proceso termina cuando el fuego ya no se puede propagar. ¿Cu´al es el mayor n´umero de casas que pueden salvar los bomberos? Una casa se˜nalada por (i, j) es vecina a una se˜nalada por(k, l) si _|i₋k_|+_|j₋l_|= 1.

Problema 5. En un tri´angulo ABC, se consideran puntos M y N sobre los lados AB y AC, respectivamente, tales que M B = BC = CN. Sean R y r

el circunradio e inradio del tri´angulo ABC, respectivamente. Exprese la raz´on M N

BC en t´erminos de R yr.

2.2.

VII Olimpiada Matem´

atica de Centroam´

erica y

del Caribe

Problema 1.De los n´umeros positivos que pueden ser expresados como suma de 2005 enteros consecutivos, no necesariamente positivos, ¿cu´al ocupa la posici´on 2005?

Problema 2. Demuestre que la ecuaci´on a2b2+b2c2+ 3b2₋a2₋c2 = 2005

no tiene soluciones enteras.

Problema 3.En el tri´angulo ABC seanP, Q yR los puntos de tangencia del inc´ırculo en los ladosAB, BC yAC respectivamente. Sean L, M yN los pies de las alturas del tri´anguloP QR enP Q, QR yP R, respectivamente.

(a) Demuestre que las rectasAN, BL yCM se cortan en el mismo punto. (b) Demuestre que este punto com´un est´a en la recta que pasa por el ortocentro y el circuncentro del tri´anguloP QR.

Problema 4.Dos jugadores llamados Azul y Rojo juegan por turnos en un ta-blero de10_×10. Azul tiene una lata de pintura azul y Rojo una de pintura roja. Comenzando por Azul, cada jugador en su turno elige una fila o columna del tablero que no haya sido escogida anteriormente por ninguno de los dos y pinta sus 10 casillas con su propio color. Si alguna(s) de esas casillas ya estuviese pintada, el nuevo color cubre al anterior. Luego de 20 turnos, al agotarse las filas y columnas disponibles, el juego finaliza. Entonces se cuenta la cantidad de casillas de cada color y se determina el ganador de acuerdo a la siguiente regla:

Enunciados de los Problemas 15

Determine si alguno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y expli-que cu´al es la estrategia.

Problema 5. En un tri´angulo acut´angulo ABC, seanH su ortocentro yM el punto medio del lado AC. Por M se traza una recta L paralela a la bisectriz del ´angulo AHC. Demuestre que la recta L divide al tri´angulo ABC en dos partes que tienen el mismo per´ımetro.

Problema 6.Se tienenncartas numeradas del 1 alnypcajas para guardarlas, conpprimo. Determine los posibles valores denpara los que se pueden guardar todas las cartas de forma que la suma de las cartas en cada caja sea la misma.

2.3.

XX Olimpiada Iberoamericana de Matem´

aticas

Problema 1. Determine todas las ternas de n´umeros reales (x, y, z) que satis-facen el siguiente sistema de ecuaciones:

xyz = 8,

x2y+y2z+z2x = 73, x(y₋z)2+y(z₋x)2+z(x₋y)2 = 98.

Problema 2. Una pulga salta sobre puntos enteros de la recta num´erica. En su primer movimiento salta desde el punto 0 y cae en el punto 1. Luego, si en un movimiento la pulga salt´o desde el punto ay cay´o en el puntob, en el siguiente movimiento salta desde el punto b y cae en uno de los puntos b+ (b₋a)₋1,

b+ (b₋a), b+ (b₋a) + 1.

Demuestre que si la pulga ha ca´ıdo dos veces sobre el punto n, para n entero positivo, entonces ha debido hacer t movimientos, dondet es el menor entero mayor o igual que 2√n.

Problema 3. Seap >3 un n´umero primo. Si:

1

1p +

1

2p +

1

3p +· · ·+

1

(p₋1)p =

n m

16 Problemas de las Olimpiadas Internacionales

Problema 4.Dados dos enteros positivosayb, se denota por(aOb)el residuo que se obtiene al dividiraporb. Este residuo es uno de los n´umeros0,1, . . . , b₋1. Encuentre todas las parejas de n´umeros(a, p) tales quep es primo y se cumple que:

(aOp) + (aO2p) + (aO3p) + (aO4p) =a+p.

Problema 5. Sea O el circuncentro de un tri´angulo acut´angulo ABC y A1

un punto en el arco menor BC de la circunferencia circunscrita al tri´angulo

ABC. Sean A₂ yA₃ puntos en lo lados AB yAC respectivamente, tales que

∠BA1A2 =∠OAC y∠CA1A3=∠OAB. Demuestre que la recta A2A3 pasa

por el ortocentro del tri´anguloABC.

Problema 6.Dado un entero positivon, en un plano se consideran 2npuntos alineados A₁, A₂, . . . , A_2n. Cada punto se colorea de azul o rojo mediante el siguiente procedimiento:

En el plano dado se trazan n circunferencias con di´ametros de extremos Ai y A_j, disyuntas dos a dos. Cada A_k, 1 _≤ k _≤ 2n, pertenece exactamente a una circunferencia. Se colorean los puntos de modo que los dos puntos de una misma circunferencia lleven el mismo color.

Determine cu´antas coloraciones distintas de los2npuntos se pueden obtener al variar lasncircunferencias y la distribuci´on de los dos colores.

2.4.

4

6

_{Olimpiada Internacional de Matem´}

_aticas

Problema 1.Se eligen seis puntos en los lados de un tri´angulo equil´atero ABC:

A1 y A2 en BC, B1 y B2 en CA, C1 y C2 en AB. Estos puntos son los

v´ertices de un hex´agono convexoA1A2B1B2C1C2cuyos lados son todos iguales.

Demuestre que las rectasA1B2, B1C2 yC1A2 son concurrentes.

Problema 2.Seaa1, a2, . . .una sucesi´on de enteros que tiene infinitos t´erminos

positivos e infinitos t´erminos negativos. Supongamos que para cada entero po-sitivo n, los n´umeros a₁, a₂, . . . , a_n tienen n restos distintos al ser divididos entre n. Demuestre que cada entero se encuentra exactamente una vez en la sucesi´on.

Problema 3.Seanx, y, z n´umeros reales positivos tales quexyz_≥1. Demues-tre que:

x5₋x2 x5_+y2_+z2 +

y5₋y2 y5_+z2_+x2 +

z5₋z2

Enunciados de los Problemas 17

Problema 4. Consideremos la sucesi´on infinitaa1, a2, . . . definida por:

a_n= 2n+ 3n+ 6n₋1 (n= 1,2, . . .).

Determine todos los enteros positivos que son primos relativos (coprimos) con todos los t´erminos de la sucesi´on.

Problema 5. Sea ABCD un cuadril´atero convexo que tiene los lados BC

y AD iguales y no paralelos. Sean E y F puntos en los lados BC y AD, respectivamente, que son distintos de los v´ertices y satisfacen BE =DF. Las rectas AC y BD se cortan en P, las rectas BD y EF se cortan en Q, las rectas EF yAC se cortan enR. Consideremos todos los tri´angulosP QR que se forman cuandoEyF var´ıan. Demuestre que las circunferencias circunscritas a esos tri´angulos tienen en com´un otro punto adem´as de P.

Cap´ıtulo 3

Soluciones de los Problemas

3.1.

Soluciones de los Problemas de Pr´

actica

Soluci´on del problema 1. Sin= 1basta tomar cualquier n´umero primo. Por otro lado, tenemos que 3 = 1 + 2 y como todo n´umero primo mayor que 3 es de la forma6k₋1 = (3k₋1) + (3k) o6k+ 1 = (3k) + (3k+ 1), conk entero positivo, entoncesn= 2tambi´en es soluci´on. Supongamos entonces quen >2. Queremos que k+ (k+ 1) + (k+ 2) +_{· · ·}+ (k+n₋1) sea un n´umero primo con k _≥ 1, es decir, n(2k+n₋1) = 2p con p primo. Si n es par, digamos

n = 2i con i _≥ 2, entonces i(2k+ 2i₋1) = p, lo que contradice que p sea primo, pues i_≥2 y2k+ 2i₋1_≥ 5. Sin es impar, digamos n = 2i+ 1 con

i_≥1, entonces(2i+ 1)(k+i) =p, que contradice nuevamente quepes primo, pues2i+1_≥3yk+i_≥2. Por lo tanto, las ´unicas soluciones sonn= 1yn= 2.

Soluci´on del problema 2.Primero contaremos el n´umero de enteros crecientes con cuatro d´ıgitos de la forma ABCA. En este casoC debe ser mayor que B. Para cada elecci´on de A (1 _≤ A _≤ 9), tenemos 10₂

= 45 formas de elegir a B y C (ya que 0 _≤ B < C _≤ 9). Luego tenemos 9_×45 = 405 n´umeros crecientes de esta forma. Contemos ahora el n´umero de enteros crecientes de la forma ABCD conA distinto de D. En este caso D debe ser mayor que A, mientras que B yC pueden ser arbitrarios. ComoAyD deben ser distintos de cero, hay 9₂

20 Soluciones Problemas de Pr´actica

yC. Luego, hay 36_×100 = 3600 n´umeros crecientes de esta forma. Se sigue que hay405 + 3600 = 4005 n´umeros crecientes de cuatro d´ıgitos.

Soluci´on alternativa:Es f´acil ver que un n´umero creciente no puede terminar en cero. Consideremos todos los enteros positivos de cuatro cifras que no terminan en cero. Tenemos en total9_×10_×10_×9 = 8100enteros de este tipo. Entre ellos

hay9_×10 = 90de la formaABBA, donde1_≤A_≤9y0_≤B_≤9. Luego, hay

8100₋90 = 8010 enteros que no son de la formaABBA. Agrupando a cada

uno de estos con su reverso (alABCD lo agrupamos con DCBA), obtenemos

8010

2 = 4005pares, y como en cada par s´olo uno de ellos es creciente, la respuesta

es 4005 como en la primer soluci´on.

Soluci´on del problema 3.Seaaun entero dend´ıgitos. Entoncesb=a(10n₊₁₎ y por lo tanto _ab2 = 10

n₊₁

a . Si ab2 es un entero, es f´acil ver que1< 10

n₊₁

a <11. Como10n+ 1 _≡1 (mod2), 10n+ 1 _≡2 (mod3) y10n+ 1 _≡1 (mod5) se sigue que 10n_{+ 1 no es divisible por 2, 3 ´o 5. As´ı que el ´unico valor posible} para _ab2 es 7. Los n´umeros a= 143 y b= 143143 muestran que 7 es la ´unica

soluci´on.

Soluci´on del problema 4.Sean M y N los respectivos puntos medios de los ladosAB y AC, y sean H yK las intersecciones de BE con AC y CF con

ABrespectivamente. Es f´acil ver que los tri´angulos AEH, AEM yBEM son congruentes entre s´ı. Entonces ∠BEM =∠M EA=∠AEH = 180₃◦ = 60◦ _y

en consecuencia∠M AE=∠EAH = 30◦_{. De la congruencia de los tri´angulos}

AF N yCF N se sigue que∠F CN =∠EAH = 30◦ _{y por lo tanto∠CKA=}

90◦_{. Es decir, CF es perpendicular aAB.}

B C

A

E F K

M N

H

Soluci´on del problema 5. Supongamos que es posible. Consideremos todos los segmentos de un color, digamos rojo. El n´umero total de tri´angulos con un lado rojo es igual al n´umero de tri´angulos con dos lados pintados con los otros 11 colores, es decir, 11₂

= 11·10

2 = 55. Pero como cada segmento rojo es un

3.1 Soluciones de los Problemas de Pr´actica 21

pasa con los otros 11 colores. Luego, el n´umero total de segmentos es al menos

12_·6 = 72. Pero el n´umero total de lados y diagonales en un dodec´agono es

12·11

2 = 66 <72. Esta contradicci´on muestra que no existe tal coloraci´on.

Soluci´on del problema 6. Sea p un n´umero primo tal que a₋b = p y sea

ab= k2. Tenemos que (b+p)b =k2 o lo que es lo mismo b2+pb₋k2 = 0. Completando el cuadrado obtenemos (2b+p₋2k)(2b+p+ 2k) = p2. Como

2b+p+ 2k >2b+p₋2k yp es primo, concluimos que2b+p+ 2k = p2 y

2b+p₋2k = 1, de donde 2b+p = p2₂+1, y en consecuencia a = (p+1₂ )2 y

b= (p−₂1)2. Por lo tanto, las soluciones son (a, b) = ((p+1₂ )2,(p−₂1)2)con pun primo impar.

Soluci´on alternativa:Como en la soluci´on anterior tenemos que(b+p)b=k2. Adem´as es claro que mcd(b, b+p) =mcd(b, p) = 1op.

Caso I. mcd(b, b+p) =p. Seab=b1p. Entonces p2b1(b1+ 1) =k2, de donde

b₁(b₁+ 1) = m2 para alg´un entero positivo m. Como mcd(b₁, b₁ + 1) = 1 se

sigue que b1 y b1+ 1 son ambos cuadrados. Pero la diferencia m´as peque˜na

entre dos cuadrados es 4₋1 = 3. Luego, no hay soluciones en este caso. Caso II. mcd(b, b+p) = 1. En este caso, b = u2 y b+p = v2, de donde

p =v2 ₋u2 = (v₋u)(v+u). Luego, v₋u = 1 yv+u=p, y por lo tanto

a= (p+1₂ )2 _{yb= (}p−1

2 )2 conp un primo impar, como en la primer soluci´on.

Soluci´on del problema 7.Elijamos a los n´umeros 1, 3, 5,. . . ,2n_{−1 y 2, 4,} 8, . . . ,2n, es decir, a todos los n´umeros impares y a todas las potencias de 2. Consideremos los siguientes casos:

1. Six= 2a₋1ey = 2b₋1, entoncesx+y= (2a₋1)+(2b₋1) = 2(a+b₋1)

es par y no divide axy = (2a₋1)(2b₋1) que es un n´umero impar.

2. Si x = 2k _{e y = 2}m _{con k < m, entonces x+y = 2}k₍₂m−k_{+ 1) tiene un} divisor impar mayor que 1 y por lo tanto no divide a xy = 2k+m_.

3. Six = 2k e y= 2b₋1, entoncesx+y= 2k+ (2b₋1)>(2b₋1) es impar y por lo tanto no divide a xy = 2k_{(2b−1) que tiene a 2b−1 como su mayor} divisor impar.

Soluci´on del problema 8.SeanA, B, C yD los colores usados. Diremos que dos cuadrados del tablero son “bicrom´aticos” si est´an en el mismo rengl´on y tie-nen distinto color. Es f´acil ver que cada rengl´on da lugar a 4₂

·252 _{= 6·25}2_pares

de cuadrados bicrom´aticos. Luego, en total hay100_·6_·252 pares de cuadrados bicrom´aticos. Como cada uno de estos pares es la intersecci´on de un rengl´on con un par de columnas distintas, y tenemos 100₂

= 100·99

2 pares de columnas,

alguna pareja de columnas contiene al menos 100₁₀₀·_·6₉₉·25_/22 = 2·6₉₉·252 > 12₄·252

22 Soluciones Problemas de Pr´actica

pares de cuadrados bicrom´aticos. De aqu´ı que hay dos columnas que forman pares de cuadrados bicrom´aticos en al menos 76 renglones. Por lo tanto, po-demos ignorar el resto de los renglones y columnas y asumir que tenemos un tablero de76_×2 pintado con cuatro colores, en el cual cada rengl´on tiene dos colores distintos y ning´un color se usa m´as de 25 veces en cada columna. Para cada rengl´on, consideremos el par de colores que contiene. Si las parejas de colores _{A, B_} y _{C, D_} ocurren cada una en alg´un rengl´on, no hay na-da que probar. Tampoco hay nana-da que probar en los casos _{A, C_},_{B, D_} y

{A, D_},_{B, C_}. Supongamos entonces que a lo m´as una pareja de colores de cada uno de los tres casos anteriores ocurre. Tenemos entonces s´olo dos posi-bilidades (salvo un reordenamiento de colores): o bien_{A, B_},_{A, C_},_{A, D_}

son las ´unicas parejas que ocurren o bien_{A, B_},_{A, C_},_{B, C_}. En el primer caso, cada uno de los 76 renglones contiene un cuadrado de colorA, lo cual es una contradicci´on. En el segundo caso, cada columna contiene solo los colores

A, B, C. Como s´olo puede haber 25 cuadrados de cada color A, B, C en cada columna, hay a lo m´as 150 cuadrados en el tablero, lo cual es una contradicci´on pues hay 152 cuadrados en total.

Soluci´on del problema 9.TracemosDF perpendicular aBC. SeanAC =xy

F C =y. Debido a que el tri´angulo BDC es is´osceles, tenemos que BC = 2y, y de la semejanza de los tri´angulos DCF, ACE y BCA, obtenemos que 1_y =

x

1 = 2y

x. Luego, y= 1x yy= x

2

2 , de dondex3= 2 o x=

3 √

2.

B C

A

E F D

Soluci´on alternativa:Sean AC =x y∠DCE =α. Entonces∠CBD =α y

∠ADB = 2α (por ser ∠ADB un ´angulo exterior del tri´angulo BCD). Luego, en el tri´angulo rect´anguloACE tenemos quecosα= EC_AC = _x1 y en el tri´angulo rect´angulo ABD tenemos que cos 2α = AD_BD = x₋1. Finalmente, aplicando la identidad cos2α = 1+cos 2₂ α, se sigue que 2(1_x)2 ₋1 = x₋1 _⇔ 2₋x2 =

x3₋x2 _⇔x=√3

2, como en la primer soluci´on.

suce-3.1 Soluciones de los Problemas de Pr´actica 23

si´on. Entonces, los siguientes nt´erminos son:

n2+ 1

n , n2+ 2

n , . . . ,

n2+n

n =n+ 1.

Luego, si escribimos todos los t´erminos de la sucesi´on como fracciones tendremos un n´umero con denominador 1, 2 n´umeros con denominador 2, 3 n´umeros con denominador 3, ... , n n´umeros con denominador n, y as´ı sucesivamente. Es decir: 1 1, 4 2, 5 2, 9 3, 10 3 , 11 3 , . . . ,

n2 n,

n2+ 1

n , . . . ,

n2+n₋1

n , . . .

Denotemos por x al ´ultimo n´umero de la sucesi´on. Si x tiene denominador k, tenemos que1 + 2 +_{· · ·}+k _≤2005_⇔k(k+ 1)_≤4010. Es f´acil ver quek = 62

satisface esta desigualdad, y como la cantidad de t´erminos en la sucesi´on hasta el ´ultimo n´umero con denominador 62 es 62(63)₂ = 1953y2005₋1953 = 52, se sigue que x= 632+(52₆₃ −1) = 4020₆₃ = 1340₂₁ .

Soluci´on del problema 11.Si a=b, entonces 8a_a+1 = 8 +_a1 es entero sia_|1, de donde a=b= 1. Supongamos que a < b. Entonces b_≥a+ 1 y7b > 7a, de donde 8b >8a+ 1. Luego, como 8a+ 1 =bk para alg´un entero positivo k, se sigue que k <8 y como k no puede ser par (ni tampoco ay b), los valores posibles de k son 1, 3, 5 y 7.

• Sik = 1, entonces 8a+ 1 =by 8b_a+1 = 64a_a+9 = 64 +9_a es entero si a_|9. De aqu´ı se sigue que las parejas (1,9),(3,25) y(9,73) son soluci´on.

• Si k = 3, entonces 8a+ 1 = 3b y 8b_a+1 = 64a_a+11 = 21 +a+11_3a es entero si

3a_|a+ 11. Luego3a_≤a+ 11 oa_≤5. De aqu´ı se sigue que la pareja(1,3) es la ´unica soluci´on.

• Si k = 5, entonces 8a+ 1 = 5b y 8b_a+1 = 64a₅+13_a = 12 + 4a₅+13_a es entero si 5a_|4a+ 13. Luego 5a_≤ 4a+ 13 o a _≤13. De aqu´ı se sigue que la pareja

(13,21) es la ´unica soluci´on.

• Sik= 7, entonces 8a+ 1 = 7by 8b_a+1 = 64a₇+15_a = 9 +15_7a es entero si7a_|15. Luego 7a_≤15 o a_≤2. Es f´acil ver que en este caso no hay soluci´on.

Por lo tanto, las soluciones son las parejas (1,1), (1,3), (1,9), (3,25), (9,73),

(13,21) y las reflejadas.

Soluci´on alternativa:Tenemos quea_|8b+ 1 yb_|8a+ 1_⇒ab_|(8b+ 1)(8a+ 1), es decir ab_|64ab+ 8(a+b) + 1, de dondeab_|8(a+b) + 1.

Supongamos que a_≤b. Entonces, ab_≤8(a+b) + 1 _≤8(2b) + 1 _≤16b+ 1, de donde a_≤16 +1_b, y como b_≥1, se sigue que a_≤16 + 1 = 17.

24 Soluciones Problemas de Pr´actica

13, 15 y 17. Verificando cada valor dea, obtenemos las soluciones(1,1), (1,3),

(1,9), (3,25), (9,73), (13,21), como en la primer soluci´on.

Soluci´on del problema 12. Siendo M y N puntos medios de AD y AB, tenemos queM N yBD son paralelas. Adem´as, como AC yBD son perpen-diculares por ser diagonales de un cuadrado, se sigue queM N y AC tambi´en son perpendiculares. SeanO yP los puntos de intersecci´on deAC conM N y

BD, respectivamente.

B

C A

D

M

N O

L P

K

Entonces, el ´area del trapecioKLM N es (M N+₂KL)OP.

De la semejanza de los tri´angulosABD yAN M tenemos queM N = 1₂BD y por el Teorema de Thales tenemos que1 = AN_{N B} = AO_OP, de dondeOP =AO=

1

2AP = 14AC.

Por otra parte, de la congruencia de los tri´angulos CBN y CDM se sigue que ∠DM L = ∠KN B, y como M D = N B y ∠ADB = ∠ABD, tenemos que los tri´angulos N BK y M DL son congruentes. De aqu´ı que DL = KB, y de la semejanza de los tri´angulos N BK y CDK se sigue que DK_KB = 2 _⇒

KB+KL=DL+KL=DK = 2KB_⇒KB=KL,de dondeBD= 3KL. Finalmente, tenemos que:

(M N+KL)OP

2 = 12(12BD+13BD)(14AC) = 485 (BD)(AC) = 485(72) = 152 .

Soluci´on del problema 13.Para formar un tri´angulo debemos elegir dos puntos de l1 y uno de l2, o uno de l1 y dos de l2. Hay k₂n maneras distintas de

escoger dos puntos del₁ y uno de l₂, y hay n₂

k maneras distintas de escoger dos puntos del2 y uno del1. Luego, tenemos que k₂n+ n₂k = 220, de donde,

k(k₋1)n+n(n₋1)k =nk(k+n₋2) = 440. Como nk debe dividir a 440,

tenemos que nk _≤ 440 y como n _≤k, resulta que n2 _≤nk _≤440, de donde

n_≤√440<21. Por lo tanto, los posibles valores de nson los divisores de 440 menores o iguales que 20, es decir, 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11 y 20. Verificando cada uno de estos valores paran, encontramos que la ´unica soluci´on con k _≥n es

3.1 Soluciones de los Problemas de Pr´actica 25

Soluci´on del problema 14. Supongamos que el rompecabezas tiene lado k. Entonces, la suma de las ´areas de los cuadrados que lo forman debe ser igual a

k2, es decir12_{·n+ 2}2_{·(n−1) + 3}2_{·(n−2) +· · ·+ (n−1)}2_{·2 +n}2_=k2_{. La}

suma del lado izquierdo la podemos calcular como sigue: Pn

i=1i2(n−i+ 1) = Pni=1(i2n−i3 +i2) = (n+ 1)Pni=1i2 −Pni=1i3 =

n(n+1)2

(2n+1) 6 −

n2

(n+1)2

4 =

n(n+1)2

(n+2) 12 .

Luego, debemos tener que n(n+ 1)2(n+ 2) = 12k2. Verificando los primeros valores de n _≥ 2 encontramos que n = 6 es el m´as peque˜no que cumple. La figura muestra el armado del rompecabezas para n= 6.

6_×6

4_×4

4_×4 4_×4

5_×5

5_×5

3×3 3×3 3×3 3×3

2×2 2×2 2×2

2×2

2×2

1 1 1 1 1 1

Soluci´on del problema 15. En el tri´angulo ACK tenemos que ∠ACK =

∠ACB = 180◦_{−∠CAK−∠CKA. Como ∠CAK =∠CN L(por subtender}

el mismo arco) y ∠CKA =∠M KL (por ser opuestos por el v´ertice), resulta

que ∠ACB= 180◦_{−∠CN L−∠M KL. Pero ∠M KL= 180}◦_{−∠M N Lpor}

ser KM N Lc´ıclico. Entonces∠ACB=∠M N L₋∠CN L=∠M N C y como

∠M N C y∠ABC subtienden el mismo arco, se sigue que ∠ACB =∠ABC, es decir el tri´angulo ABC es is´osceles.

B C

A

K M

L

26 Soluciones Problemas de Pr´actica

Soluci´on del problema 16.Ya que2n+ 1 = (n₋1)k es impar, tenemos quek

es impar ynes par. Tambi´en tenemos que2n+ 2 = 2(2n−1_{+ 1) =mn, y como}

nes par se sigue que m debe ser impar (ya que 2n_{+ 2no puede ser m´ultiplo} de 4). Por otra parte, sabemos quexi+ 1 = (x+ 1)(xi−1_−xi−2_{+· · · −x+ 1)}

para cualquier entero positivo impar i. Luego, como k es impar resulta que

22n₊₂

+ 2 = 2(22n₊₁

+ 1) = 2(2(n−1)k_{+ 1)es m´ultiplo de2(2}n−1_{+ 1) = 2}n_{+ 2,}

y an´alogamente, comomes impar resulta que22n+2+ 1 = 2mn+ 1es m´ultiplo de2n_{+ 1.}

Soluci´on del problema 17.Supongamos que es posible. Entonces la cuadr´ıcula quedar´ıa dividida en dos partes por medio de la columna que contiene a los cuadrados perfectos, con 11n (0_≤ n_≤5) casillas de un lado y 110₋11n =

11(10₋n)casillas del otro lado. Notemos que los n´umeros entre dos cuadrados

perfectos consecutivos, digamos a2 y (a+ 1)2, deben estar del mismo lado, y aquellos n´umeros entre(a+1)2 _y(a+2)2 _{deben estar en el lado opuesto. Como}

el n´umero de enteros estrictamente entre 1 y 4, 4 y 9, 9 y 16, ... , 100 y 121 es

2,4,6,8, . . . ,20, respectivamente, un lado de la cuadr´ıcula tiene 2 + 6 + 10 +

14 + 18 = 50n´umeros, mientras que el otro lado tiene4 + 8 + 12 + 16 + 20 = 60

n´umeros. Pero esto es imposible pues 50 y 60 no son m´ultiplos de 11. Por lo tanto, no es posible hacer lo que se pide.

Soluci´on del problema 18.Si p= 2 y2< q < r, entonces p+q+r ser´ıa un n´umero par, lo cual no es posible. Si p=q = 2, entonces r = 2001 = 3_·667

que no es primo. Por lo tanto, podemos asumir que2< p_≤q _≤r.

Tenemos quepqr+ 1es un cuadrado, de dondepqr=k2₋1 = (k+ 1)(k₋1)

para alg´un entero k. Dividimos en dos casos:

(i)p_|k₋1:

(a) Sik+ 1 = qr, entonces k₋1 =p y qr₋p = 2, lo cual no es posible ya queqr >2r_≥2p > p+ 2.

(b) Si k+ 1 = q, entonces k₋1 = pr, de donde q > pr > r, lo cual no es posible.

(c) Sik + 1 =r, entonces k₋1 = pq y pq=r₋2 = (2005₋p₋q)₋2 = 2003₋p₋q, de donde(p+1)(q+1) = 2004. Es f´acil verificar que esta ecuaci´on no tiene soluciones en n´umeros primos.

(d) Sik+ 1 = 1, entoncesk = 0y pqr=₋1, lo cual no es posible.

(ii)p_|k+ 1:

(a) Si k₋1 = qr, entonces k+ 1 = p, de donde p > qr > r, lo cual no es posible.

3.1 Soluciones de los Problemas de Pr´actica 27

(c) Si k₋1 = r, entonces k+ 1 = pq ypq =r+ 2 = (2005₋p₋q) + 2 = 2007₋p₋q, de donde(p+1)(q+1) = 2008. Es f´acil verificar que esta ecuaci´on no tiene soluciones en n´umeros primos.

(d) Si k ₋1 = 1, entonces k = 2 y pqr = 3, lo cual no es posible ya que

pqr >23 _{= 8.}

Por lo tanto, no existen n´umeros primos p, q y r que cumplan las condiciones del problema.

Soluci´on del problema 19. Consideraremos los casos en que el puntoK est´a entre E yF, y cuando K est´a fuera del segmento EF.

-B C

A

I E

F K

.

B C

A

I E

F K

Sea I el incentro del tri´angulo ABC. Entonces A, I y K son colineales. Te-nemos que ∠CIK = 1₂(∠BAC+∠ACB) por ser ∠CIK un ´angulo exterior del tri´angulo AIC y porque AI y CI son bisectrices de los ´angulos BAC y

ACB respectivamente. Como BE =BF tenemos que ∠BEF =∠BF E y en consecuencia 2∠BF E= 180◦_{−∠CBA, es decir∠BF E = 90}◦₋1

2∠CBA.

(i) K est´a entre E y F. En este caso, ∠CIK +∠CF K =∠CIK+ (180◦ ₋

∠BF E) = 1₂(∠BAC+∠ACB)+(180◦₋₍₉₀◦₋1

2∠CBA)) = 90◦+12(∠BAC+

∠ACB+∠CBA) = 90◦₊ 1

2(180◦) = 180◦, de donde el cuadril´atero CIKF

es c´ıclico. Luego, ∠CKA=∠CF I = 90◦_.

(ii) K est´a fuera del segmento EF. En este caso, 1₂(∠BAC + ∠ABC +

∠ACB) = 90◦ _{⇒∠CIK =∠BF E y como ∠CF K=∠BF E por ser}

opues-tos por el v´ertice, se sigue que ∠CF K = ∠CIK. Es decir, el cuadril´atero

CIF K es c´ıclico y por lo tanto∠CKA=∠CF I = 90◦_.

28 Soluciones Problemas de Pr´actica

direcciones opuestas (ver figura).

/

0 1

2

Fij´emonos en un tri´angulo v´ertice y supongamos que tiene direcci´on 1. Observe-mos que este tri´angulo v´ertice determina paralelograObserve-mos con todos los trianguli-tos que tienen direcci´on 2. Es decir, determina paralelogramos con un triangulito del segundo nivel, dos triangulitos del tercer nivel, y as´ı sucesivamente hasta con

n₋1triangulitos deln-´esimo nivel. Luego, tenemos1 + 2 +_{· · ·}+ (n₋1) parale-logramos determinados por el tri´angulo v´ertice considerado. En el segundo nivel tenemos entonces dos triangulitos, digamosA yB, con direcci´on 1. Fij´emonos en A y consideremos el tri´angulo de lado n₋1 que contiene a A y que no contiene al tri´angulo v´ertice elegido. Entonces, por el argumento anterior, el tri´anguloAdetermina1 + 2 +_{· · ·}+ (n₋2) paralelogramos (y lo mismo sucede con B). Ahora, en el tercer nivel tenemos tres triangulitos, digamos A₁, B₁ y

C1, con direcci´on 1. Fij´emonos en A1 y consideremos el tri´angulo de ladon−2

que contiene a A1 y que no contiene a ning´un triangulito de un nivel

ante-rior. Entonces,A₁ determina1 + 2 +_{· · ·}+ (n₋3) paralelogramos (y lo mismo sucede con B₁ y C₁). Continuando de esta forma, tenemos que el tri´angulo v´ertice elegido y todos los triangulitos que tienen su misma direcci´on,

determi-nanPn_i=1−1(1+2+_{· · ·}+i)(n₋i)paralelogramos. Luego, como hay tres tri´angulos

v´ertice, el n´umero total de paralelogramos es3_·Pn−1

i=1(1+2+· · ·+i)(n−i).

Fi-nalmente, no es dif´ıcil ver que3_·Pn_i=1−1(1+2+_{· · ·}+i)(n₋i) = (n−1)n(n₈+1)(n+2).

Soluci´on del problema 21. Sean d₁, d₂. . ., d₁₆ los d´ıgitos del n´umero. Si alguno de estos d´ıgitos es 0, 1, 4 ´o 9, no hay nada que probar. Luego, podemos asumir que cada uno de los d´ıgitos es 2, 3, 5,6 = 2_·3, 7 u 8 = 23_{. Seax}

0 = 1

yx_i=d_1×d_{2× · · · ×}d_i para i= 1,2, . . . ,16. Entonces x_i = 2pi_·3qi_·5ri_·7si

para i = 0,1,2, . . . ,16, donde cada uno de pi, qi, ri, si es un entero mayor o igual que cero. Diremos quexiyxj tienen el mismo patr´on de paridad si tienen la misma paridadp_i yp_j; q_i yq_j; r_i yr_j; y s_i ys_j. Luego, es f´acil ver que hay

24_{= 16 posibles patrones de paridad. Entonces, por el principio de las casillas,}

3.1 Soluciones de los Problemas de Pr´actica 29

de paridad. Es f´acil ver que d_{k+1× · · · ×}d_l= xl

xk es un cuadrado perfecto.

Soluci´on del problema 22. Denotaremos por (XY Z...) al ´area de la figura

XY Z.... SeanM yN los puntos medios deAE yEC respectivamente. Por ser

DM, DN, BM y BN medianas, tenemos que2 = _SMDS = DR_RN = _{P M}BP = BQ_QN, de donde por el Teorema de Thales se sigue que son paralelas SRyM N; M N

y P Q; SP y BD; y BD yRQ. Tenemos entonces que (DRS) = 4₉(DN M),

(BQP) = 4₉(BN M), (M SP) = ₉1(M DB) y (N RQ) = 1₉(N DB). Consi-deraremos los casos cuando el cuadril´atero M BN D es convexo y cuando es c´oncavo.

(i) M BN D es convexo. En este caso, (P QRS) = (M BN D)₋[(BQP) +

(N RQ)+(DRS)+(M SP)] = (M BN D)₋[4₉((BN M)+(DN M))+1₉((N DB)+

(M DB))] = (M BN D)₋[4₉(M BN D) + 1₉(M BN D)] = 4₉(M BN D), es

de-cir (M BN D) = 9₄(P QRS). Por otra parte, (ABCD) = (ABE) + (BCE) + (CDE)₋(AED)y como toda mediana divide a un tri´angulo en dos tri´angulos de la misma ´area, resulta que (ABCD) = 2[(BEM) + (BN E) + (DEN)₋

(DEM)] = 2(M BN D) = 2(9₄(P QRS)) = 9₂(P QRS).

(ii)M BN Des c´oncavo. Supongamos sin p´erdida de generalidad que∠BN D >

180◦_{. En este caso, (P QRS) = (M BN D) + (N RQ)−[(BQP) + (DRS) +}

(M SP)] = (M BN D)₋[(M SP)₋(N RQ)]₋[(BQP)+(DRS)] = (M BN D)₋

1

9((M DB)−(N DB))−49((BN M) + (DN M)) = (M BN D)−(19(M BN D) +

4

9(M BN D)) = 49(M BN D). La conclusi´on se sigue como en el caso (i).

3 4 A B C D E M N P Q R S 5 6 A B C D E M N P Q R S

Soluci´on del problema 23.Como5_·10_·15_·20_·25_·30 = 5_·(2_·5)_·(3_·5)_·(4_·5)_· (5_·5)_·(5_·6) es factor de34!, tenemos que34!es m´ultiplo de57 y por lo tanto es m´ultiplo de 107 _{(ya que 34! tiene al menos 17 veces 2 en su factorizaci´on,}

30 Soluciones Problemas de Pr´actica

que:

34!

107 = 29,523,279,9cd,960,414,084,761,860,964,35a

= (34_·33_·32_·31_·3_·29_·28_·27_·26_·24_·23_·22_·21_·19_·18_·17_·16)

(3_·14_·13_·12_·11_·9_·8_·7_·6_·3)

≡ 2,

de donde a= 2. (Alternativamente, como ₁₀34!7 es m´ultiplo de 8, tenemos que

35a_≡0(mod 8) y comoaes un d´ıgito, la ´unica posibilidad esa= 2). Por otra parte, como34!es m´ultiplo de 9 y de 11, tenemos que141 +c+d _≡6 +c+d_≡ −3+c+d_≡0(mod 9) y(80₋d)₋(61+c) = 19+d₋c_≡8+d₋c_≡0(mod 11). Es f´acil ver que c+d _≡ 3 (mod 9) s´olo si c = 1, d = 2; c = 2, d = 1;

c = 0, d = 3 ´o c = 3, d = 0. De estas posibilidades, la ´unica que cumple con c₋d _≡ 8 (mod 11) es c = 0 y d = 3. Por lo tanto, la respuesta es

a= 2, b= 0, c= 0 yd= 3.

Soluci´on del problema 24.SeanX yY los puntos de intersecci´on de M Qy

M Rcon la circunferencia interior, y sea _Lla tangente com´un a ambas circun-ferencias. Ya que el cuadril´atero M Y P X es c´ıclico, tenemos que ∠QM P =

∠XY P. Adem´as, ∠RM P = ∠RP Y por subtender el mismo arco. Como el ´angulo formado por _L yM Rsubtiende a los arcosM R yM Y en las circunfe-rencias exterior e interior respectivamente, resulta que ∠M XY =∠M QR, de dondeXY yQR son paralelas. De aqu´ı que∠XY P =∠RP Y y por lo tanto

∠QM P =∠RM P.

M

L

X

Y

Q

R P

Soluci´on del problema 25. Demostraremos que es posible si y s´olo si m y n

tienen la misma paridad. Los n´umeros 1, 2, 3 y 4 denotan los colores.