PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES SEPTIEMBRE - 2000

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I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE BALEARES

SEPTIEMBRE - 2000

(RESUELTOS) por Antonio Menguiano.

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos Conteste de manera clara y razonada dos de las cuatro opciones propuestas. Cada cues-tión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene al dividir el total de pun-tos entre cuatro.

OPCIÓN A

1º) Determinar los puntos de la recta

2 2 3

1 2

1₌ + ₌ +

−

≡ x y z

r que equidisten de los pla-nos π1 ≡3x+4y=1 y π2 ≡4x−3y=1.

---

A expresión en unas ecuaciones paramétricas de la recta es:      + − = + − = + = ≡ k z k y k x r 2 2 3 1 2 1 .

Un punto genérico de r es: P

(

1+2k, −1+3k, −2+2k

)

.

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

( )

; ; 6 2 18 6 2 18 6 2 18 ; ; 9 16 1 9 3 8 4 16 9 1 12 4 6 3 ; ; 0 3 4 1 3 1 3 2 1 4 0 4 3 1 3 1 4 2 1 3 , , 2 2 2 2 2 2 2 1    − = − + − = − ⇒ + − = − + − − + + = + − + − + + − + − + − − + = + + − + − + + ⇒ = k k k k k k k k k k k k k k P d P

d π π

      − ⇒                   − = + − = + − = = + − = + − = = + = + = ⇒ = → = 19 22 , 19 5 , 19 35 19 22 19 16 2 2 2 19 5 19 24 1 3 1 19 35 19 16 1 2 1 19 8 8

19 1 P1

k z k y k x k k       − − ⇒                   − = − − = + − = − = − − = + − = = − = + = ⇒ − = → − = 17 42 , 17 29 , 17 9 17 42 17 8 2 2 2 17 29 17 12 1 3 1 17 9 17 8 1 2 1 17 4 4

17 2 P2

2º) Se considera la función f

( )

x =2x3 −6x2 +4. Calcular la ecuación de la recta tangen-te a la curva representativa de esta función en su punto de inflexión. Hacer también una gráfica aproximada de la función en un entorno de ese punto.

---

En primer lugar determinamos el punto de inflexión:

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

( )

₍

₎

) (

0 ;

; 1 0 0 0

0 , 1 . . tan

Re

. :

Re . 0 12 12 1 '

0 , 1 . . 0

4 6 2 1 ; ; 1 0

1 12 12 12 0 ''

). inf

( 0 12 ''

' ; ; 12 12 ''

; ; 12 6

'

0 0

2

X Eje y

x y

m I P gente

cta

x x m y y pendiente punto

cta m

f m

I P f

x x

x x

f

lexión de

punto Existe

x f x

x f x x

x f

= −

= − ⇒   

  

= ⇒

− = − −

= = − = =

⇒ = + − = =

⇒ = − =

− ⇒ =

⇒ ≠ = −

= −

=

Para representar la función tendremos en cuenta que es polinómica; que tiene un máximo y un mínimo relativos que determinamos:

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

(

)

( )





   

 

  

   

 

↑ → → → − = + − =

− ⇒

> − = →

=

↑ → → → → → =

⇒ < − = →

=

⇒ = − ⇒

=

4 4 24 16 2

4 , 2 0

12 24 2 ' ' 2

4 0

4 , 0 0

12 0

' ' 0 0

2 6

0 '

2 1

f

Mín f

x f

Máx f

x

x x x

f

**********

X Y

Mín Máx

O

3º) Entre todos los rectángulos de área 3 metros cuadrados, hallar las dimensiones del que tenga mínimo el producto de sus diagonales.

---

El área del rectángulo es: 2

3

·h m

b

S = = ;;

h

b= 3

= + = +       = + = =

= 2

2 2 2 2

2

2 3 9

· h

h h h h b d d d P

(

)

(

)

(

9

)

0 ;; 9 ;; 3 3

2 18 2

0 '

18 2

2 18 4

9 2 4 2 · 9

· 4 ' ; ; 9

2 4

4 4

3 4

3 4 4

3 4 4

4 4 2

3

2 4

= ⇒ = =

= − =

− ⇒ =

− = − − = + − = +

− =

= + =

h h

h h

h P

h h h

h h

h h h

h

h h h

h P P h

h

a b b

h

b= ⇒ = = 3= =

3 3 3

metros lado

de cuadrado un

es pedido rectángulo

El 3

********** b

4º) Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro k:

    

= + +

= + +

= + −

10 8 2

kz y kx

z ky x

z y x

.

---

{

}

0, 2

0 1

1 1

1 1 1

10 8 2 1

1 1

1 1 1 ' ; ; 1

1 1

1 1 1

3

1 = ⇒ = ∀ ∈ ⇒ =

→ = −

=

  

 

  

  − =

  

 

  

  − =

M de Rango R

k M

C C

k k

k M

k k

k M

k k

k M

Para determinar el rango de M’ estudiamos el determinante formado por las tres columnas diferentes:

   

− = = ⇒ ± = ± = + ± =

= − − =

+ + − = + − − − + = −

1 2 2

3 1 2

9 1 2

8 1 1

0 2 ;

; 0 4 2 2 10 8 2 8 2 10 10 1

8 1

2 1 1

2 1

2 2

2

k k k

k k k

k k

k k

k k

le Incompatib M

Rango M

Rango k

k

Para ⇒ ≠ ⇒

  

  

− ≠

≠

' 1

2

ado er

in Compatible n

M Rango M

Rango k

k

Para ' 2 det min

1 2

⇒ < = =

⇒    

 

− =

=

OPCIÓN B

1º) Sean las rectas

1 2 1

2 1

2 1 2

1 1

+ = −

− = + ≡ =

− + = −

≡ y z

k x s y z k

y k x

r . Estudiar su posición

relativa, según los valores del parámetro k. ---

La expresión mediante ecuaciones implícitas de las rectas es:

(

)

(

)

(

)

  

= +

+ = + + ≡ 

 

− − = −

− + − = − ≡

  

− = −

+ = − ≡ 

 

− = +

= − ≡

0

2 2 1 ;

; 2

2

2 2

2 2

1 2

2 2

; ; 1 2 2 2

2 2

z y

k y

k x s z

y

y k ky x s

z k y

k z x r z

k y

z k x r

El sistema que forman las rectas es:

₍

(

₎

)



     

= +

+ = + +

− = −

+ = −

0

2 2 1

2 2

1 2

2 2

z y

k y

k x

z k y

k z x

Las matrices de coeficientes y ampliada son:

   

 

   

 

+ +

− −

−

= 

  

 

   

 

+ −

−

=

0 1

1 0

2 2 0 1 1

2 2

1 2 0

2 1

0 2 ' ; ; 1 1

0

0 1 1

2 1 2 0

1 0

2

k k

k

k

M k

k M

{

}

(

)(

)

(

) (

)

(

)(

)

(

)

(

)

          − = − = ⇒ ± − = ± − = − ± − = = + + = + + = − − − + + = − − − + = − − − + + + = + + + − − + + = + + − + = + + − − + − ⇒ − ⇒ 3 2 1 4 5 7 4 25 7 4 24 49 7 ; ; 0 3 7 2 ; ; 0 6 14 4 ; ; 0 2 2 4 1 2 8 ; ; 0 2 2 4 1 8 ; ; 0 4 2 4 4 8 4 1 ; ; 0 1 4 2 1 2 4 1 2 1 4 0 2 2 1 1 2 2 1 0 2 2 2 ; 0 0 1 0 0 2 2 0 1 1 2 2 1 2 1 0 2 1 2 2 : ' 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k C C C M Rango 4 ' 3 2 1 = ⇒         − ≠ − ≠ M Rango k k Para Para 2 1 − =

k resulta:

            − = 1 1 0 0 1 2 2 0 1 0 2 2 1

M . Su rango es el siguiente:

{

}

{

}

2 2 1 0 4 4 1 1 0 2 2 0 1 0 2 , , 0 2 2 0 1 2 2 0 1 0 2 , , 4 2 1 2 1 3 2 1 = ⇒ − = ⇒           = − = − ⇒ = − = − ⇒ M Rango k Para L L L L L L CRUZAN SE RECTAS LAS M Rango M Rango k Para ⇒       = = ⇒ − ≠ 3 4 ' 2 1 PARALELAS SON RECTAS LAS M Rango M Rango k Para ⇒       = = ⇒ − = 2 3 ' 2 1

Para k=−3 resulta:

            − − = 1 1 0 0 2 1 7 2 0 1 0 2

3 3

0 30 28 2 0 2 1

7 2 0

1 0 2

= ⇒

− = ⇒

≠ = + = −

−

M Rango k

Para

SECANTES SON

RECTAS LAS

M Rango

M Rango k

Para ⇒

   

 

= = ⇒

− =

3 3 ' 3

2º) Comprobar que se verifican las hipótesis del Teorema de Rolle para la función

( )

x x

f 2

cos 3

= en el intervalo _ _

2 3 , 2

π

π _{. Calcular también el valor al cual se refiere la}

tesis del teorema.

---

El teorema de Rolle se puede enunciar diciendo:

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b) y si se cumple que f(a) = f(b), existe al menos un punto c∈

( )

a, b tal que f’(x) = 0.

La función f

( )

x 2 x

cos 3

= es continua y derivable en todo su dominio, que es R, por lo tanto, es aplicable el Teorema de Rolle en el intervalo

  



2 3 , 2

π

π _.

Aplicando el Teorema:

( )

( )

( )

( ) ( )

2

3 2

2 2

3

2 2

2

0 0 · 3 º 270 cos 3 2 3 cos 3

0 0 · 3 º 90 cos 3 2 cos 3 cos

3 π π

π π

π π

f f

f f x

x

f ⇒ =

     

     

= =

= =

= =

= =

⇒ =

( )

    

= → =

= =

→ = ⇒

= −

=

π

π π

2

1 1

0

2 3 2

0 cos 0

· cos 6 '

x x

sen

x o x

x x

sen x x

f

El único valor que satisface la tesis del Teorema es x = π_.

3º) Calcular el área de la región limitada por las curvas

1 1

2 2

2

+ = =

x y e x

y .

--- Los puntos de corte de ambas funciones son:

  

   

 

∉ → − =

      

   

 

− ⇒ − =

      ⇒ = → = ⇒

  

− = = ⇒ ± − = ± − = + ± − =

= − + → = → = − + =

+ +

=

R x x

B x

A x

x

a a a

a a a

x x

x x

x x

x

2

2 1 , 1 1

2 1 , 1 1

1 2

1 2

3 1 2

9 1 2

8 1 1

0 2 0

2 ;

; 2 ;

; 1 1 2

2

2 1

2

2 1

2 2

2 4 2

4 2

2

Las dos curvas son pares, es decir, son simétricas con respecto al eje Y. Además tienen las siguientes características:

⇒ =

2

2

x

y Parábola cóncava

( )

∪ , que pasa por el origen y por los puntos A y B y tam-bién por los puntos C(2, 2) y D(-2, 2).

⇒ + =

1 1

2

x

y Todas sus ordenadas son positivas; tiene un máximo en el punto P(0, 1) y tiene como asíntota al eje de abscisas.

La situación real es, aproximadamente, la que indica la figura:

X

Y

2 -1

-2 1

A

O

S

B

x2 + 1 x2

y = 2

[

]

( )

[

]

S u

tag arc tag

arc

x x

tag arc dx

x dx x

dx x dx x

S

= ≅

≅ − = − = − = − −      

− − = − − + − −

=

=       + =

+ +

= −

+ =

− −

−

− −

−

∫

∫

∫

∫

2

1

1 3 1

1 1

1 2 1

1 2 1

1 2 1

1 2

904 ' 0

6 4 3 3 2 2 3 2 4 2 3 1 3 1 4 4

3 1 3

1 1 1

3 ·

2 ·

1 1 ·

2 ·

1 1

π π

π π

π

4º) Resolver la ecuación: 0 1 1 1

2 2 2

=

c b a

c b

a .

--- Restando a cada columna la anterior queda:

(

)(

) (

)(

)

(

)(

)

(

)(

) (

[

) (

)

]

(

b a

)(

c b

)(

c b b a

) (

b a

)(

c b

)(

c a

)

a b c a b b c b c a b b c a b b c a b

b c b c a b a b

b c a

b

b c a b a

b c a b a c

b a

c b a

= = ⇒ = − − − = − − + − −

= + − + −

− = + +

− − =

= − + −

+

− −

= − −

− −

=

0 1

1 ·

0 0

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

2 2