Tema 3 – Álgebra – Matemáticas I – 1º Bachillerato

(1)

TEMA 3 – ÁLGEBRA

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

EJERCICIO 1 : Factoriza los siguientes polinomios:

a) 2x4−−−− 18x 2 b) x 4−−−− x 3−−−− x 2−−−− x −−−− 2 c) x 3−−−− 13x 2++++ 36x d) 2x 3−−−− 9x 2−−−− 8x ++++ 15 e) x 5++++ x 4 −−−− 2x 3 e) x 3−−−− 3x ++++ 2 Solución:

a) Sacamos factor común y tenemos en cuenta que a2 − b2 = (a + b) (a − b): 2x4 − 18x2 = 2x2 (x 2 − 9) = 2x 2 (x+ 3) (x − 3)

b) Utilizamos la regla de Ruffini: 1 −1 −1 −1 −2 −1 −1 2 −1 2 1 −2 1 −2 0

2 2 0 2

1 0 1 0

x 4 − x 3 − x 2 − x − 2 = (x + 1) (x − 2) (x 2 + 1) (El polinomio x 2 + 1 no tiene raíces reales). c) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación de segundo grado:

(

)

x x x x x x

x

x x x

x

− + = − +

=

± − ± ±

− + = → = = =

=

3 2 2

2

13 36 13 36

9 13 169 144 13 25 13 5

13 36 0

2 2 2

4

ƒ ‚

Por tanto: x 3− 13x 2+ 36 x = x (x − 9) (x − 4) d) Utilizamos la regla de Ruffini:

2 −9 −8 15

1 2 −7 −15

2 −7 −15 0

5 10 15

2 /

3

4 /

6 x

5 x

4

13

7

4

169

7

4

120

49

7 x

0

15 x

7 x

2

−

=

−

=

±

=

±

=

+

±

=

⇒

=

−

2x 3 − 9x 2 − 8x + 15 = 2(x − 1) (x − 5) (x + 3/2)

e) Sacamos factor común y hallamos las otras raíces resolviendo la ecuación: x 5 + x4− 2x3 = x 3 (x 2 + x − 2)

=

− ± + − ± − ±

+ − = → = = =

= − 2

1

1 1 8 1 9 1 3

2 0

2 2 2

2 x

x x x

x ƒ

‚

Por tanto: x 5 + x4− 2x3 = x 3 (x − 1) (x + 2) f) Utilizamos la regla de Ruffini:

1 0 −3 2

1 1 1 −2

1 1 −2 0

1 1 2

_x

₂

1 x

2

3

1

2

9

1

2

8

1

1 x

0

2 x

x

2

−

=

±

−

=

±

−

=

+

±

−

=

⇒

=

−

+

x 3− 3x + 2 = (x − 1)2 (x + 2)

APLICACIONES DEL TEOREMA DEL RESTO

EJERCICIO 2 : Halla el valor de k para que la siguiente división sea exacta:

(

2

)

(

)

3x ++++kx−−−−2 :::: x++++2 Solución: Llamamos P(x) = 3x 2 + kx − 2.

(2)

FRACCIONES ALGEBRAICAS

EJERCICIO 3 : Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:

a) ₃ ₂

3 4 5 3 9 6 x x x x x + + + b) x x x x x 2 3 2 3 3 + + − c) x x x x x x 2 3 2 2 3 2 3 + − − −

d)

x x x x x x + − − + − 2 3 2 3 2 1 3 3

e) ₄ ₂ 2 3 4 9 3 2 x x x x x − − − Solución:

a)

(

)

(

)

(

)

x

(

x

)

x x x x x x x x x x x x x x x x 3 3 3 3 3 9 6 3 9 6 2 2 2 3 2 2 3 2 3 3 4 5 + = + = + + = + + + = + + +

b)

(

)

(

)

(

)(

)

2

1 2 1 1 1 2 3 1 2 3 2 2 2 3 3 + − = + + + − = + + − = + + − x x x x x x x x x x x x x x x x x x

c)

(

)

(

)

(

)(

)

1

1 1 2 1 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 3 − + = − − + − = + − − − = + − − − x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

d)

(

)

(

)

x

x x x x x x x x x x 1 1 1 2 1 3 3 2 3 2 3 2 3 ₋ = − − = + − − + −

e)

(

)

(

)

(

)(

)

3

1 3 3 1 3 9 3 2 9 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 4 + + = + − + − = − − − = − − − x x x x x x x x x x x x x x x x x x

EJERCICIO 4 : Efectúa las siguientes operaciones y simplifica:

a)

_

      + − − − ⋅       − − + − 1 6 1 3 1 1 2 2 3 x x x x x x x x

b)

4 1 2 1 3 2 2 2 ₋ − + − +

− x x

x x

x

c)

(

)

(

)

2 2 2 1 3 1 1 2 1 + − − ⋅ − x x x x d)

(

)

1

1 1 2 1 1 2

2 + − + ₋

− x x

x e) 

       − + ⋅       + − 1 1 2 3 2 x x x x x x Solución:

a)

(

)(

)

(

)

(

+

)(

−

)

⋅₋ ₋− ₊ = + − − − =         + − − − ⋅       − − + − 1 x 6 x x x 1 x 1 x 1 x x 3 1 x 1 x 2 1 x 6 x x x 1 x x 3 1 x 1 x 2 2 3 2 3

₍

₎₍

₎

(

)(

)

₍

₎₍

₎

(

)(

)

x

1 x 6 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 6 x 1 x 6 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 3 x 3 1 x x 2 x 2 2 2 2 2 2 = + − − + − ⋅ − + + − − = + − − + − ⋅ − + − − + − −

b)

(

) (

)(

)

4 x 3 x 11 x 4 x 1 2 x x 6 x 3 x 4 x 2 4 x 1 4 x 2 x 1 x 3 4 x 2 x x 2 4 x 1 2 x 1 x 3 2 x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ₋ − + − = − − − + + − + = − − − − − − − + = − − + − + −

c)

(

)

(

)

(

)(

)

) ( )

(

) ( )

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x 2 1 x 6 x 1 x 2 x 6 1 x 1 x x 3 1 x 2 1 x 1 x x 3 1 x 1 x 2 1 x 1 x x 3 1 x 1 2 1 x + − − = + − − = + − + − = + − + − − = + − − ⋅ − d)

(

)

(

) (

)(

)

(

−

( )

) (

+

(

)

= − + − + + = + − + − + − = − + − +

− x 1 x 1

1 x 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 1 x 2 1 x 1 1 x 1 1 x 2 1 x 1 2 2 2 2 2

(

) (

)

(

x 1

) (

x 1

)

2 x 2 x 2 1 x 1 x 1 x 2 x 2 1 x 2 2 2 2 + − − + = + − − + − + +

e)

(

)

(

)

(

)

(

)

x 1

3 x 3 x 2 1 x 1 x x 1 x x x 2 3 x 3 1 x x x 1 x x x 2 1 x 3 1 x x x 1 x x 2 x

3 2 2 2 2 2

− + + − = − + ⋅ + − + = − + ⋅ + − + = − + ⋅       + −

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

EJERCICIO 5 : Resuelve las siguientes ecuaciones:

3 4 3 3 4 4 1) 2 2 ₊ − = − − x x x x x

2)x4−11x2+28=0

3 4 3 3 4 15 3) 2

2 ₊ ₌ x −x+ ₊ x

0 100 21

4)x4 − x2− =

(

)

(

)

3 1 5

4

(3)

1 2 16 3

7) x+ = x− 8) x+5−x=3

3 14 2 2 4

9) =

− +

+ x

x x

x

6 11 4 2 3

10) =

+ +

x

x 4

5 1 2 1 2

11) =

+ − +

− x

x

x 12) x+4= 4x+12

2 11 1 4 1 2

13) =

− + −

x x x

14

)

x4 +x3−9x2−9x =0 15) x3−2x2 −11x+12=0 16) x4+x3−4x2−4x=0 17

)

x3−2x2−5x+6=0 18) x3+4x2−x−4=0

2 7

2 1 2 2

19) −1+ + =

x x

x

(

)

x log log

x

log −3 + 4=

20) 2 21) x4−37x2 +36=0

(

1

)

( )

2 2

2

22) ln x+ −ln x =ln 23) 5x+4 =2x+1 0

9 8 3 3

24) 2x − x+1+ =

2 2

6 3 3 1

4 5 25)

x x

=

− 26)log

(

x+1

)

−log

(

3x−2

)

=1 27)3 x−1+11=2x

0 4 2 3 2 2

28) x−1+ x+1− ⋅ x + =

x x x

x 1

6 16 1

29) − = +

+ 3

1 3

3 30)

1 1 2

=

+ + −

x x x

0 3 2 2

31) 1−x + x − = 32)1−x= 7−3x 33) 2x+2+2x −5=0 Solución:

3 4 x 3 x x 3

x 4 x 4

1) 2

2 ₊

− = − −

;

3 4 3 3 3 3 3 3

4

4 2 2 +

− = −

− x x x x

x

; 4x2−4x−3x=3x2−3x−4

0 4 x 4

x2− + = ; 2

2 4 2

16 16 4

= = − ± =

x ; Solución: x = 2

0 28 x 11 x

2) 4− 2+ = Cambio: x2 =z → x4=z2 z2−11z+28=0

    

± = → =

± = → = → ± = ± = − ± =

2 4

7 7

2

3 11 2

9 11 2

112 121 11

x z

z

Cuatrosoluciones: x1=− 7, x2 = 7, x3 =−2, x4 =2

3 4

3 x x 3 4 15 x 3)

2

2₊ ₌ − + ₊

;

4 12 4

3 3

4 15 4

4 2 2

+ + − =

+ x x

x

; 4x2+15=3x2−x+3+12

0 x

x2+ = ;

(

)

   

− = → = + = → = +

1 0

1 0 0 1

x x

x

0 100 x 21 x

4) 4− 2− = Cambio:x2 =z → x4 =z2 z2 −21z−100=0

   

− =

± = → =

→ ±

= ±

= + ± =

vale) (no 4

5 25 2

29 21 2

841 21 2

400 441 21

z

x z

z Dos soluciones: x1 = −5, x2 = 5

(

)

(

)

3 1 x x 5 4 x x

5) + − = − ;

3 5 4

2

2 _x x x

x + − = − ; x2 + x− = x2 −x 15

12 3

0 15 x 13 x

2 2+ − = ;

   

− = − = = → ± − = ±

− = + ± − =

2 15 4

30 1 4

17 13 4

289 13

4

120 169 13

x x

x

0 49 x 48 x )

6 4− 2− = Cambio :x2 =z → x4 =z2 z2 −48z−49=0

   

− =

± = → =

→ ± = ±

= + ±

=

vale) (no 1

7 49

2

50 48 2

500 2 48 2

196 304 2 48

z

x z

z Dos soluciones: x1 = −7, x2 = 7

1 x 2 16 x 3

(4)

   

− = − = = → ±

= ±

= + ± =

4 5 8 10 3

8 17 7 8

289 7

8 240 49 7

x x x

Comprobación:

vale. sí 3 5

25

3 → = → =

= x

x

vale. no 4

5 2

7 2 7 4 49 4

5 −

= → − ≠ = → −

= x

x

Hay una solución: x = 3

3 x 5 x

8) + − = ; x+5 =3+x; x+5=9+x2 +6x; 0=x2 +5x+4

  

− =

− = → ± − = ± − = − ± − =

4 1 2

3 5 2

9 5 2

16 25 5

x x x

Comprobación:

vale sí 1 3

1 2 1 4

1 → + = + = → =−

−

= x

x

vale no 4 3

5 4 1 4 1

4 → + = + = ≠ → =−

−

= x

x

Hay una solución: x = −1

3 14 2 x

x 2 x

x 4

9) =

− +

+ ;

(

)(

)

(

)(

)

3

(

2

)(

2

)

2 2 14 2 2 3

2 3 2 2 3

2 12

− +

− + = − +

+ +

− +

−

x x

x x x

x x x x

x x x

(

4

)

14 6 3 24

12x2− x+ x2+ x= x2− ; 15x2−18x=14x2−56; x2−18x+56=0

  

= = → ±

= ±

= − ±

=

4 14 2

10 18 2

100 18

2 224 324 18

x x x

6 11 4 x

2 x 3

10) =

+

+ ;

(

₍

)

₎

₍

₎

₍

(

₎

)

4 6

4 11 4 6

12 4

6 4 18

+ + =

+ + + +

x x

x x x

x x

; 18x+72+12x=11x2+44x; 0=11x2 +14x−72

   

− = − = = → ±

− = ±

− = +

± − =

11 36 22

72 2

22 58 14 22

3364 14

22

3168 196 14

x x x

4 5 1 x

2 x 1 x

2

11) =

+ − +

− ;

(

)(

)

(

)(

)

4

(

1

)(

1

)

1 1 5 1 1 4

2 1 4 1 1 4

1 8

+ −

+ − = + −

− − + + −

+

x x

x x x

x x x x

x x

; 8x+8+4

(

x2−3x+2

) (

=5x2−1

)

5 5 8 12 4 8

8x+ + x2 − x+ = x2 − ; 0=x2+4x−21;

   

− = = → ±

− = ±

− = + ± − =

7 3 2

10 4 2

100 4

2 84 16 4

x x x

12 x 4 4 x

12) + = + ;

(

x+4

)

2 =4x+12; x2+16+8x=4x+12; x2+4x+4=0;

Comprobación:x=−2 → 2= 4 → síesválida

2 11 1 x

4 x

1 x 2

13) =

− + −

;

(

₍

)(

₎

)

₍

₎

₍

(

₎

)

1 2

1 11 1 2

8 1

2

1 1 2 2

− − =

− + −

− −

x x

x x x

; 2

(

2x2−3x+1

)

+8x=11x2−11x

x x x x

x 6 2 8 11 11

4 2− + + = 2 − ;0=7x2−13x−2;

   

− = − = = → ±

= ±

= + ±

=

7 1 14

2 2

14 15 13 14

225 13

14 56 169 13

x x x

14) Sacamos factor común:x4+x3−9x2−9x=x

(

x3+x2−9x−9

)

=0

: 9 x 9 x x os

Factorizam 3+ 2− −

x2 – 9 = 0 ⇒ x = ± 3

2 2

4 2

16 16 4

(5)

(

)(

)

      

− = → = +

= → = −

− = → = + = → = + − + = − − +

3 0

3

3 0

3

1 0

0 3 3 1 9

9 2 3 4

x x

x x x x x x x

Por tanto, las soluciones de la ecuación son:x₁=0, x₂ =−1, x₃ =3, x₄ =−3 15) Factorizamos:

(

)(

)

    

− = → = +

= → = −

= → = − → = + − − = + − −

3 0

3

4 0

4

1 0

3 4 1 12 11 2 2 3

x x

x x x x

x x

Por tanto, las soluciones de la ecuación son: x₁=1, x₂ =4, x₃ =−3 16) Sacamos factor común:x4+x3−4x2 −4x=x

(

x3+x2−4x−4

)

=0 Factorizamos x3 +x2 −4x−4:

(

)(

)

      

− = → = +

= → = −

− = → = + =

→ = + − + = − − +

2 0

2

2 0

2

1 0

0 2 2 1 4

4 2 3 4

x x

x

x x x x x x x x

Por tanto las soluciones de la ecuación son:x₁=0, x₂=−1, x₃=2, x₄ =−2

17) Factorizamos:

(

)(

)

    

− = → = +

= → = −

= → = − → = + − − = + − −

2 0

2

3 0

3

1 0

2 3 1 6 5 2 2

3

x x

x x x x

x x

Por tanto, las soluciones de la ecuación son:x₁=1, x₂=3, x₃=−2

(6)

(

)(

)

    

− = → = +

= → = − → = + + − = − − +

4 0

4

1 0

1

1 0

4 1 1 4 4 2 3

x x

x x x x

x x

Por tanto, las soluciones de la ecuación son:x₁=1, x₂ =−1, x₃ =−4

2 7

2 1 2 2 19)

x x 1

x− ₊ ₊ ₌

;

2 7 2

1 2 2 2

= +

+ x _x

x

Hacemos el cambio de variable: 2x = y :

2 7 1 2 +y +y = y

; 2₊2 2₊2₌7 _→ 3 2 ₋7 ₊2₌0 y y y

y y

   

= = = → ± = ± = − ± =

3 1 6 2 2

6 5 7 6

25 7 6

24 49 7

y y y

1 2

2

2 → = → =

=

•y x x

58 1 2 3 3

3 1 3

1 2 3

1

2

2 ,

log log log

log x

y = → x = → = =− =− =−

•

Hay dos soluciones: x = 1; x2 = −1,58

20 )

log

(

x

−

3 )

2

+

log 4

=

log x ; log [4

(

x

−

3 )

2

]

=

log x ;

4(x − 3)2 = x → 4(x2 − 6x + 9) = x

4x2 − 24x + 36 = x → 4x2 − 25 x 6 + 36 = 0 ;

   

= = = → ± = ± = − ±

=

4 9 8 18 4

8 7 25 8

49 25 8

576 625 25

x x

x

4 9 ; 4 : soluciones dos

Hay x1= x2 =

21) x4−37x2+36=0 ; Cambio: x2=z → x4 =z2⇒z2−37z+36=0

  

= = → ±

= ±

= − ±

=

1 36 2

35 37 2

1225 37

2

144 1369 37

z z z

1 1

6 36

36 36

2 2

± = → ± = → = → =

± = → ±

= → =

→ =

x x

x z

x x

x z

Hay cuatro soluciones: x1 = −6, x2 = −1, x3 = 1, x4 = 6

22)2ln

(

x+1

) ( )

−ln 2x =ln 2; ln

(

x+1

)

2−ln

( )

2x =ln2;

(

)

(

)

2 2

1 2

2

12 2

= + → =

+

x x ln

(

x+1

)

2 =4x → x2+2x+1=4x → x2−2x+1=0; 1 2 2 2

4 4 2

= = − ± =

x ; Hay una única sol: x = 1

23) 5x+4 =2x+1⇒ 5x+4=

(

2x+1

)

2⇒ 5x+4=4x2+4x+1⇒ 0=4x2−x−3

   

− = − = = → ± = ± = + ± =

4 3 8

6 1

8 7 1 8

49 1 8

48 1 1

x x x

Comprobación:

válida Es 1

2 3 9

1 → = = + →

= x

válida es No 2

1 1 2

3 2 1 4 1 4

3

→ − = + − ≠ = →

− = x

2 0

9 8 3 3

4) 2x− x+1+ = ;

( )

0

9 8 3 3

3x 2− x ⋅ + =

: 3 cambio el

Hacemos x ₌y

0 8 y 27 y 9 0 9 8 y 3

y2 − + = → 2− + =

     

= =

= = → ±

= ±

= − ±

=

3 1 18

6 3 8 18 48

18 21 27 18

441 27

18 288 729 27

y y y

89 , 0 1 3 log

8 log 1 8 log 3 8 log 3

8 3 3

8

3

3 = − = − =

= → = → =

(7)

1 3

1 3 3

1

− = → = → =

•y x x

Hay dos soluciones: x1 = −1; x2 = 0,89

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2 ₁₂_x 15 4x 6 15 6 4x 9 4x

6

x 12

x 4

x 12

15

x 6

3

3 1

x 4

5

5) − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =

    

− = = → ±

= → =

2 3 2 3

4 9 4

9

2

x x x

x

2 3 ;

2 3 :

soluciones dos

Hay 1 2 =

−

= x

x

26)log

(

x+1

)

−log

(

3x−2

)

=1; 10 1 10

(

3 2

)

2

3 1 1

2 3

1

− =

+ → = − + → = − +

x x

x x x

x log

29 21 29

21 20

30

1= − → = → =

+ x x x

x

(

)

(

)

(

)

130 x 53 x 4 0 121 x 44 x 4 9 x 9

121 x 44 x 4 1 x 9 11 x 2 1 x 3 11 x 2 1 x 3 11 x 2 1 x 3 x 2 11 1 x 3 27)

2 2

2

+ − = ⇒ + − = −

+ − = − ⇒ − = − ⇒ − = − −

= − ⇒ = + −

   

= = = → ±

= ±

= −

± =

4 13 8 26 10

8 27 53 8

729 53 8

080 2 809 2 53

x x x

Comprobación:

válida Es 10

2 20 11 9 11 9 3

10 → + = + = = ⋅ →

= x

válida es No 2

13 4 13 2 2 31 11 2 9 11 4 9 3 4

13

→ =

⋅ ≠ = + = + →

= x

28)2x−1+2x+1−3⋅2x+4=0; 2 2 3 2 4 0 2

2

= + ⋅ − ⋅

+ x x

x

; Hacemos el cambio: 2x = y

2 3 4 0

2 + y− y+ = y

; y+4y−6y+8=0 → −y+8=0 → y=8; 2x =8 → x=3

(

)

(

)

(

)

(

)

0 3 x 14 x 8 0 6 x 28 x 16 0 6 x 28 x 16 6 x 12 x 6 x 16 x 16 x 6

1 x 2 x 6 x 16 x 16 x 6 1 x x 6

1 x 6

1 x x 6

1 x x 16

1 x x 6

x 6

x 1 x

6 16

1 x

x 29)

2 2

2

= + + → = + + ⇒

= − − − ⇒ + + = − −

+ + = − − ⇒ + + = +

+ −

+ ⇒

+ = − +

    

− = − =

− = − = → ±

− = ±

− = − ± − =

2 3 16

24 4 1 16

4

16 10 14 16

100 14 16

96 196 14

x x x

2 3 ;

4 1 : soluciones dos

Hay 1 2

− = −

= x

x

( )

x 1 1 1

x x 1

x 1 x x

3 3

3 1

3 3 30)

2 2

− + − + − +

+ −

= →

= ; x2−x+1−x−1=−1→ x2−2x+1=0: 1

2 2 2

4 4 2

= = − ± = x

Hay una única solución: x = 1

0 3 2 2

2 )

31 x

x 1

= −

+ ⇒Cambio: 2x ₌z.Así,

0 3 2

= − +z

z 2 3 0

2 ₋ ₌

+z z z2−3z+2=0

   

= → = → =

= → = → = ± = − ± =

0 1

2 1

1 2

2 2

2 1 3 2

8 9 3

x z

z

x x

32)

(

)

  

− = = +

± − = → = − + → − = − + → − = −

3 x

2 x

2 24 1 1 x 0

6 x x x

3 7 x 2 x 1 x 3 7 x

1 2 2 2 (novale)

(8)

SISTEMAS DE ECUACIONES

EJERCICIO 6 : Halla la solución de los siguientes sistemas, analítica y gráficamente:

a)

     

= +

4 2 2

3 2 3

y x

b)

    + =

= − −

x x y

x y

3 0 2 4

2 c) _

  

= − +

− =

0 6

2 2

x y

x x y

d)

    

= +

= + −

7 3

2 2 3

1 y x

y x

e)

   

= + −

− =

0 6 2

3

2

x y

x x y

Solución: a)

• Resolvemos el sistema analíticamente: y x

y x

y x y

x y x y

x y x

− =

    

= +

     

= +

     

= +

8 8

18 3 2

2 8 2 2

6 18 6 3 6 2

4 2 2

3 2 3

2x +3(8−x) = 18; 2x + 24 −3x = 18; −x = −6 ; x = 6 → y = 8 − 6 = 2 ; Solución: x = 6; y = 2

• Interpretación gráfica:

     

− = → = +

+ − = − = − = → = +

x y y

x

x x

x y

y x

8 4

2 2

6 3

2 3

2 6 3

2 18 3

2 3

Estas dos rectas se cortan en el punto (6, 2).

b)

• Lo resolvemos analíticamente:

2 x x 0 ; x 3 x 2 x 4

2 x 4 y x 3 x y

0 2 x 4 y

2 2

2 ₊ ₌ ₊ ₌ ₋ ₋

+ =

   

+ =

= − −

    

− = → − =

= → = → ± = ± = + ± =

2 1

10 2

2 3 1 2

9 1 2

8 1 1

y x

x

   − =

− = 

  = =

2 y

1 x y 10 y

2 x :

2 2 1

1

Solución

• Interpretación gráfica: Larecta y laparábolasecortanenlospuntos(2,10) y ( 1, 2). 3

2 4

2 − −

  

+

= +

=

x x y

(9)

c)

• Resolvemos analíticamente el sistema:

0 6 ;

0 6 2

2 0

6 2

2 2

= − − =

− + −

− =

  

= −

+= − x x x x x

x x y x

y

x x y

    

= → − =

= → = → ± = ± = + ± =

8 2

3 3

2 5 1 2

25 1 2

24 1 1

y x

x

  

= − =

  

= =

8 y

2 x y 3 y

3 x :

2 2 1

1

Solución

• Interpretación gráfica: Laparábola y larectasecortanenlospuntos(3,3) y ( 2,8). 6

2 2

−

  

−

= −

= x y

x x y

d)

• Resolvemos analíticamente el sistema:

  

= +

= + −

    

= +

= + −

    

= +

= + −

7 3

12 3 2 2

7 3

6 12 6 3 6

2 2

7 3

2 2 3

1

y x

(

7 3

)

14 3

2 ; 3 7 7

3

14 3 2

= − + −

=    = + =

+ _y _x _x _x

y x

4 3 7 1 3 7 ; 1 ; 7 7 ; 21 14 9 2 ; 14 9 21

2x+ − x= x− x= − − x=− x= y= − ⋅ = − =

Solución: x = 1; y = 4

• Interpretación gráfica: Estasdosrectassecortanenelpunto(1,4). 3

7 7

3

3 2 14 14

3 2

   

− = → =

+

− = → =

+

x y

y x

x y

y x

e)

• Lo resolvemos analíticamente:

0 6 5 ;

0 6 2 3

3 0

6 2

3

2 2

= + − =

+ − −

− =    = +

−= − x x x x x

x x y x

y

x x y

    

− = → =

= → = → ± = ± = − ± =

2 2

0 3

2 1 5 2

1 5 2

24 25 5

y x

x

   

− = =

   

= =

2 2 y 0 3 :

2 2

1 1

y x y

x Solución

• Interpretación gráfica: Laparábola y larectasecortanenlospuntos(3,0) y (2, 2) 6

2 3 2

−

  

−

= −

= x y

(10)

EJERCICIO 7 : Halla las soluciones de estos sistemas: a)     − = + + + = x y y x x y 4 1 3 b)      = − = − 3 2 0 3 y x y x

x

c)

     = + = + 4 3 3 2 y x y

x d)

    − = − = + 3 6 2 y x y x e)        = + = + 2 5 1 1 5 2 1 y x y x f)    − = − = + 2 2 1 2 y log x log y log x log g)    = += + 6 32 2 ln y ln x ln y x h)     = = − + ₈ 2 0 2 2 x y y log x log i)

(

)

    = + = − 1 2 2 y x log x y j)     = − = + + 2 8 2 2 1 log x log y log y x k)    = − = − 1 9 y log x log y x l)     − = − = − 2 3 2 2 xy x y m)     − = + − = + 1 3 2 1 3 y x y x n)      = − = − 1 2 6 1 1 1 y x y

x ñ)

    = + = − 6 2 2 0 2 y x y x      = + − = − 6 5 1 1 1 2 o) y x y x     = = + 6 13 p) 2 2

xy y x     + − = − = 1 2 5 q) 2 y y x x y Solución: a) x x x x x y x y y x x y − + = + + + + =     − = + + + = 1 3 4 1 3 1 3 4 1

3

₍

₎

2

1 2 5 4 ; 1 2 5

4x+ = x+ x+ = x+

1 ; 4 4 ; 4 1 4 5

4 ₊ ₌ 2₊ ₊ ₌ 2 2 ₌

x x x x x ;      = → = → − = → ± = 4 1 válida no 1 1 y x x x

Hay una solución: x = 1; y = 4

b) 9 x x 6 ; 3 3 x x 2 3 x y 3 y x 2 0 x y 3 3 y x 2 0 y x x 3 2 2 2 2 = − = − =       = − = −      = − = − 3 3 2 6 2 36 36 6 ; 9 6

0₌ 2 ₋ ₊ ₌ ± − ₌ ₌ _→ ₌

y x

x

x Solución: x = 3; y = 3

c)

(

)

(

) (

)

x

(

x

)

x x x x x x x x x y x x y x y x − − = − + − −       − = = − +      = + = + 4 4 3 4 3 4 4 2 4 3 4 3 2 4 3 3 2 ; 0 8 11 3 ; 3 12 3 2

8₋ ₊ ₌ ₋ 2 2₋ ₊ ₌

(11)

d)

x x

x x y

y x

= −

+ = −

   

= +

− =

   

− = −

= +

2 3

3 2

6 3

2 6

3 6 2

(

3−2x

)

2 =

( )

x 2; 9+4x2−12x= x; 4x2−13x+9=0

      

= → =

→ = = → ± = ± = − ±

=

4 1

válida no 4

9 8 18

8 5 13 8

25 13 8

144 169 13

y x

x x

    

  

= ≠ − = ⋅ − =

2 3 4 9 2 3 4 9 2 3 que puesto válida, es no 4 9 solución

La x

La única solución del sistema es x = 1, y = 4.

e)

(

)

x y xy xy

y x xy

x y

y x

1 1

5 5

2 2 5

5 2 2

2 5

2 5 1 1

5 2 1

= → =

→ =

+ =

   

= +

+ =

     

= +

2 5 2 0 ; 2 2 5 ; 2 2

5₌ ₊ ₌ 2₊ ₌ 2 ₋ ₊

x x x

      

= → = =

= → = → ± = ± = − ± =

2 2

1 4 2

2 1 2

4 3 5 4

9 5 4

16 25 5

y x

x

    

= =

    

= =

2 2 1

y

2 1 2 : soluciones dos

Hay

2 2

1 1

y x

f)

(

)

   − =

− + =

   =

−+ = 2 2

2 2

2 2 2

1 2

y log x log

y log x log y

log x log

y log x log

1 0

0 5

2 2

4

= → = →

= − = −

= +

x x

log x

log

y log x log

Sustituyendo en la primera ecuación este valor, queda:2logx+logy =1 → logy=1 → y =10 Por tanto, la solución es x = 1, y = 10.

g)

_{( )}

(

5

)

6 5 6

5 6

2 2 6 32

2 5

= −

− =    = = +    = = 

  = +=

+ +

x x

x y xy

y x ln xy ln ln y ln x ln

y x y

x

= − ± = → + − = → = −

2 24 25 5 6

5 0

6

5x x2 x2 x x

    

= − = → =

= − = → = → ± = ±

3 2 5 y 2

x

2 3 5 y 3

x

2 1 5 2

1 5

Hay dos soluciones: x1 = 3, y1 = 2 ; x2 = 2, y2 = 3

h)

  

= +=

  

= =

  

=− = +

+ ₂ ₃

2 2 8

2

0

2 2

3 2

2 2

x y

y x y log x log y

log x log

x y x

y 3 2 2 3 0

2 3

2 2

2

= − + → −

=

   

− =

=

x x x

x x y

y x

   

− =

= → = → ± − = ± − = + ± − =

válida) (no 3

1 1

2 4 2 2

16 2 2

12 4 2

x

y x

(12)

i)

₍

₎

(

2

)

1 2 10

2 1

2

2 2

= + − → = + −

= −

  

= += −

y y

log

x y

y x log

x y

   

− = = → ± − = ± = + ± − = → = − +

4 3

2 7 1 2

49 1 2

48 1 1 0

12

2

y y y

y y

7 2 9

3 → = − =

=

•y x

14 2 16

4 → = − =

− =

•y x

Hay dos soluciones: x1 = 7, y1 = 3 ; x2 = 14, y2 = −4

j)

x 2 y 2

x y

8 2 2

2 log x y log

8 2 2

2 log x log y log

8 2 2

y 1 x y

1 x y

1 x

=     

=

= +

    

= = + 

  

= −

=

+ + +

+

( )

2 8 2

2 8

2

2x+1₊ 2x ₌ _→ x _⋅ ₊ x 2 ₌

; Cambio: 2 ₌ _→ 2 ₊ 2 ₌8 _→ 2₊2 ₋8₌0 z z z

z z

x

   

− = = → ± − = ± − = + ± − =

4 2

2 6 2 2

36 2 2

32 4 2

z z z

2 1

2 2

2 → = → = → =

=

•z x x y

vale No 4

2

4 → =− →

− =

• x

z

El sistema tiene una única solución: x = 1, y = 2

k)

   

= + =

   

= + =

   

= + =

   

= −

y x

y x y

x y x y

x log

y x y

log x log

y x

10 9

1 9

10 1

9 9 10

9+y = y → = y → y = → x =

1 ; 10 : solución una

Hay x= y =

l) 2 2 3

3

2

3 2

2 2

2

− = −

     ₋    

− =

− = −

  

− ==−

− _x

x x

y x y xy

x y

; 4₂ −x2 =−3 → 4−x4 =−3x2 → 0=x4−3x2−4 x

0 4 3

:

Cambio x2=z → z2− z− =

    

→ − =

± = ± = → = → = → ± = ± = + ± =

vale no 1

2 4 4

4

2 5 3 2

25 3 2

16 9 3

2

z

x x

z z

1 2

= → − = •

− = → = •

y x

1 ; 2

1 ;

2 : soluciones dos

Hay

2 2

1 1

= − = =− =

y x

m) 3 1 1 3 2

3 1

2 1 3 1

3

2 1

3 ₊ ₌₋ ₋ ₋

  

− −

= + = −

  

− =

++ = − y x x x

y x y

x

y x

1 1

3 3 3 1 3

3 1

3 x+ =− x− → x+ = − x− → x+ =−x−

(

x

)

x x x x x

x+1= − −12 → +1= 2+2 +1 → 0= 2+ ⇒

(

)

   

= → − =

→ = → = +

2 1

válida no 0

0 1

y x

x x

x

Hay una única solución: x = −1; y = 2

n) 6

(

2 1

)

6

(

2 1

)

1 2

6 6

1 2

6 1 1 1

− = − −

  

= −

    

= −

x x x x

y x

xy x y

y x

y

x ⇒12 ₋6₋6 ₌2 2₋ _→ 0₌2 2₋7 ₊6

x x x

   

= → = =

= → = → ± = ± = − ± =

2 2

3 4 6

3 2

4 1 7 4

1 7 4

48 49 7

y x

x

2 y ; 2 3 x ; 3 y ; 2 x : soluciones dos

(13)

ñ)

( )

2 2 6 6 2 2 2 6 2 2 0 2 2

2 _ + =

   = + =     = + =

− _y _y

y y y x y x y x

Hacemos el cambio: 2y = z

    − = = → ± − = ± − = + ± − = → = − + 3 2 2 5 1 2 25 1 2 24 1 1 0 6 2 z z z z z 2 1 2 2

2 → = → = → =

=

•z y y x

válida no 3

2

3 → =− →

− =

• y

z

Hay una solución: x = 2; y = 1

y 2 1 x ) =− + o ⇒

(

)

(

) (

)

0 6 23 10 10 5 12 6 6 2 1 5 2 1 6 6 5 6 6 5 6 6 5 1 1 2

2 _⇒ ₋ ₊ ₌

+ − = + − + − = + − + ⇒ = + = + ⇒ = + y y y y y y y y y y xy x y xy x y y x     − = → = = = → = ± = − ± = 5 2 10 3 20 6 3 2 20 17 23 20 240 529 23 x y x y y 0 36 x 13 x x 13 36 x 13 x 36 x x 6

y 4 2 4 2

2

2₊ ₌ _→ ₊ ₌ _→ ₋ ₊ ₌

→ = p) 0 36 13 : Así . :

Cambio 2 ₌ 2 ₋ ₊ ₌

z z z x ⇒     ± = → = ± = → = ± = ± = − ± = 2 4 3 9 2 5 13 2 25 13 2 144 169 13 x z x z z    = =    − =− =    = =    − =− = 3 2 3 2 2 3 2 3 : 4 4 3 3 2 2 1 1 y x y x y x y x Soluciones

(

5 x

) (

2 5 x

)

1

x= − 2− − +

q) ⇒x =25+x−10 x −10+2 x +1⇒ 3

, 4 2

16

8 x = ⇒ x = ⇒ x = y =

SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS

(14)

b) →         = − − = + = − + → −         − = + − − = + = − + → − +         = − + − = + − = − + 0 x 7 2 z x 5 6 z 2 y x 3 ª 2 ª 3 ª 2 ª 1 2 z x 2 2 z x 5 6 z 2 y x 3 ª 1 ª 3 ª 1 ª 2 ª 1 4 z y x 8 z 3 y x 2 6 z 2 y x 3 2 z 2 y 0 x 2 z 2 x 3 6 y 2 x 5 2 z 0 x − = = =         = + − = − = − − = = →

c) x 3 , y 1 , z 1

1 4 z x 2 y 3 z 2 x 1 z 2 z 2 2 z x 4 z y x 2 ª 1 ª 3 ª 1 ª 2 ª 1 6 z y x 2 6 z 2 y x 3 4 z y x 2 = − = =         − = + + − = = + = =         = = − − = + − + − → + +         = + + = − + − = + − − : Solución

d) →

− −         − = + − − = + − = − + → ⋅ − ⋅ −         = + − = + − = − + →         = + − = − + = + − 5) ( : ª 3 ª 3 ª 2 ª 1 5 z 5 y 5 4 z 4 y 5 2 z y 2 x ª 1 2 ª 3 ª 1 2 ª 2 ª 1 1 z 3 y x 2 2 z 2 y x 2 3 z y 2 x ª 3 ª 1 ª 2 1 z 3 y x 2 3 z y 2 x 2 z 2 y x 2 1 z 0 y 2 x 2 z y 2 3 x 0 z 1 y 1 z 1 z y 1 z 3 z y 2 x − = = =         = + − = = + = − = →         = − = − = − + → e)

( )

→ − −        − = + − − = + − = − + → ⋅ − −        − = + − − = + − = − + 5 : 3 3 2 1 15 5 5 13 3 5 6 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 7 3 6 2 2 ª ª ª ª z y z y z y x ª ª ª ª ª z y x z y x z y x 1 2 0 : 0 2 4 6 2 2 6 2 1 3 3 1 2 2 3 2 2 6 2 2 − = = =          = − − = + − = = − = + = − = − = →        = − = − = − +

→ Solución x , y , z

z y x z y z z y z z y x

f) →

       = − = + − = − + → − ⋅ −        = − + = + − = − + 2 3 5 4 2 1 3 1 2 2 1 4 2 1 3 2 2 2 y z y z y x ª ª ª ª ª z y x z y x z y x 1 1 2 2 2 1 5 8 3 5 4 3 2 = + − = + − = = + − = + − = = z y x y z y 1 2 1

: x = , y = , z= Solución

g) − ⋅ →

(15)

h) − ⋅ →

      

− = −

= + −

→ ⋅

− −

      

= + −

− = − +

= + −

ª ª ª ª

z y

z y x

ª ª

ª ª ª

z y x

3 3 2 2

1

5 2

12 5 2

7 2

1 2 3

1 2 1

9 2 2

5 3

7 2

2 1 2

:

2 4 1 7 2 7

1 4 5 2 5

2

5 2

2 7 2

= − = =

      

= − − = − + =

− = + − = + − =

=

→       

− = −

= + −

z y x

z y

z

z y

z z y x

i) − ⋅ →

      

− = − −

= + +

→ −

−       

− = − −

= − −

= + +

ª ª ª ª

z y

z y x

ª ª

ª ª ª

z y x

3 3 2 2

1

7 3 2

5 3 4

6 2

1 3

1 2 1

1 1 3

6 2

3 1 1

:

1 6 1 6 2 6

1 2

9 7 2

3 7

3 3 9

7 3 2

9 3

6 2

= − = =

   

    

 

= − + = − − =

− = −

+ − = −

+ − =

= =

→

      

− = − −

= = + +

z y x

z y

z

z y

z z y x

INECUACIONES

EJERCICIO 9 : Resuelve: 2

1 2

3 1 2

a) x− − <x−x+

6 x 3 2 3

1 x

b) − ≥ + −

6 1 3

1 2

4

c) x− −x+ ≤ 0

3

d) x2+ x≤

(

)

2

3 1 3

3 2

e) x− −x+ >x− Resuelve f) 7 0. 3

x x ++++ ≥≥≥≥ −−−−

g) 2

2x+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤5 x −−−−2x−−−−16 h) x ₂2 0

x++++ ≤≤≤≤ i)

2

3 6 8 2 x ++++ x− > −− > −− > −− > − x

Solución:

(

2x 1

)

12 6x 3

(

x 1

)

2

) − − < − +

a ⇒ 4x−2−12<6x−3x−3⇒x<11 → intervalo

(

−∞,11

)

(

x 1

)

12 3 x 2

)

b − ≥ + − ⇒2x−2 ≥12+3−x⇒3x≥17⇒ 

  

 

∞ + →

≥ ,

3 17 Intervalo 3

17 x

(

x 4

) (

2 x 1

)

1

3 − − + ≤

c) ⇒ 3x−12−2x−2≤1⇒x≤15 → Intervalo

(

−∞,15

]

. d) x2 + 3x = 0 ⇒ x(x + 3 ) = 0 ⇒ x = 0 ; x = -3

-3 0 Solución: x ∈ (-∞,-3] U [0,+∞)

(

x 3

) (

x 1

) (

3 x 2

)

2 − − + > −

e) ⇒2x−6−x−1>3x−6⇒ −1>2x⇒ 

  



 ₋

∞ − →

− <

2 1 , Intervalo 2

1

x

f) Igualamos por separado numerador y denominador a cero x + 7 = 0 ⇒ x = -7 (pintado)

3 – x = 0 ⇒ x = 3 (sin pintar)

(16)

g) Reducimos a una ecuación de segundo grado y calculamos sus soluciones:

2 2

0≤x −2x−16−2x−5 → x −4x−21≥0

± + ± ±

− − = → = = =

2

7

4 16 84 4 100 4 10

4 21 0

2 2 2

3

ƒ

‚

x x x

-La solución es

(

] [

)

Luego la solución a la inecuación es −∞ −, 3 U 7, + ∞ . -3 7

h) Se igualan, por separado, numerador y denominador a cero: x + 2 = 0 ⇒ x = -2 (pintado)

x2 = 0 ⇒ x = 0 (sin pintar)

Por tanto, la solución es

(

- ∞,- 2 .

]

-2 0

i) 2 2

3 6 8 2 5 14 0

x + x− > − x → x + x− >

2

Resolvemos la ecuación x +5x−14=0:

2

5 25 56 5 9

2 2

7

x= − ± + = − ±

−

ƒ ‚

Solución: x ∈ (-∞,-7) U (2,+∞)

-7 2

EJERCICIO 10 : Resuelve e interpreta gráficamente:

a) 2x – 3 < 5 b) x2 −4≤0 c) −3x+1>−5 d) x2++++ x −−−− 6 ≤≤≤≤ 0 e) −−−− 2x ++++ 4 ≤≤≤≤−−−− 2 f) 2x ++++ 1 > −−−−5 Solución:

a)

• Resolvemos la inecuación:2x−3<5 → 2x<8 → x <4⇒ Soluciones:

{

x/x <4

} (

= −∞, 4

)

• La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x menores que 4, la recta y = 2x − 3 queda por debajo de la recta y = 5; es decir, 2x − 3 < 5:

b)

  

= − = → ±

= → = → = −

2 2 4

4 0

4 2

2

x x x

x x

La parábola y = x2_{− 4 corta al eje}

X en x = −2 y en x = 2.

(17)

c)

• Resolvemos la inecuación:−3x+1> −5 → −3x > −6 → 3x <6 → x <2

}

{

2

(

2

)

: x/ x ,

Soluciones < = −∞

• La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x menores que 2, la recta y = −3x + 1, va por encima de la recta y = −5; es decir, −3x +1>−5:

d)

    

− = = → ± − = ± − = + ± − = → = − +

3 2

2 5 1 2

25 1 2

24 1 1 0

6

2

x x x

x x

La parábola y = x2_{+ x − 6 corta al eje X en −3 y en 2.}

En el intervalo [−3, 2], toma valores negativos o nulos.

Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [−3, 2].

e)

• Resolvemos la inecuación:− 2x + 4 ≤ − 2 → − 2x ≤ − 6 → 2x ≥ 6 → x ≥ 3 Soluciones: { x / x ≥ 3 } = [3, + ∞)

La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x mayores o iguales que 3, la recta y = −2x + 4 va por debajo (coincide) con la recta y = −2. Es decir, −2x + 4 ≤ −2

f)

• Resolvemos la inecuación: 2x + 1 > −5 → 2x > −6 → x > −3⇒_{Soluciones: {x / x > −3} = (−3, +∞)}

(18)

SISTEMAS DE INECUACIONES

EJERCICIO 11 : Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: a)

(

)

  

≥ +

≤ − +

6 4 2

0 2 1 4

x x

b)

  

− > +

< −

1 6 2

4 2 3

x x x

c)

(

)

(

)

 

≤ − +

< − −

0 9 1 3

0 1 2 1

x x

d)

(

)

(

)

 

< −

≤ + −

4 1 2

4 7 2 3

x x

Solución: a)

(

)

1 2 1

1 4 2

2 2

2 4 6 4 2

0 2 4 4 6

4 2

0 2 1 4

≥ − ≤    

≥ − ≤    ≥

− ≤    ≥ +

≤ − +    ≥ +

≤ − +

x x x

x x

x

Como no hay ninguna solución común a las dos inecuaciones, el sistema no tiene solución.

b)

7 2 7

6 3 1 6 2

4 2 3

− >

<    − >

<    − > +

< −

x x x

x x

Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir: {x < 2 y x > −7} = {x / −7 < x < 2} = (−7, 2)

c)

₍

(

₎

)

2 1

6 3

2 2 0 9 3 3

0 1 2 1 0 9 1 3

0 1 2 1

≤ >    ≤− < −    ≤ − + + < −

   ≤ − + − < −

x x x

x x

x

Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir:

{

x>1y x≤2

} {

= x/ 1<x ≤2

} (

= 1,2

]

d)

(

₍

₎

)

3 1 6

2 3 3 4

2 2

4 7 6 3 4

1 2

4 7 2 3

< ≤    < ≤    < − + ≤ −    < − + ≤ −

x x x

x x

x

Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir:

{

x≤1y x<3

} {

= x/x≤1

} (

= −∞,1

]

PROBLEMAS

EJERCICIO 12 : Hemos comprado un pantalón y una camiseta por 44,1 euros. El pantalón tenía un 15%%%% de descuento y la camiseta estaba rebajada un 10%%%%. Si no tuvieran ningún descuento, habríamos tenido que pagar 51 euros. ¿Cuánto nos ha costado el pantalón y cuánto la camiseta? Solución:

Llamamos x al precio del pantalón sin el descuento e y al precio de la camiseta sin descuento. Así:

(

51

)

44,1 9

, 0 85 , 0

51 1

, 44 9 , 0 85 , 0

51

= − +

− =    = + = +

x x

x y

y x y x

15 36 51 x 51 y ; 36 x ; 8 , 1 x 05 , 0 ; 9 , 45 1 , 44 x 9 , 0 x 85 ,

0 − = − − =− = = − = − =

El pantalón costaba 36 euros y la camiseta 15 euros, sin los descuentos.