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I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ
A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)
UNIVERSIDAD DE BALEARES
JUNIO - 2000
(RESUELTOS) por Antonio Menguiano.
MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos Conteste de manera clara y razonada dos de las cuatro opciones propuestas. Cada cues-tión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene al dividir el total de pun-tos entre cuatro.
OPCIÓN A
1º) Una matriz cuadrada A es ortogonal si se verifica que A · AT = I. ¿Para qué valores de a y b es la siguiente matriz ortogonal?
− =
b b
sen
b sen b
a A
cos 0
cos 0
0 0
---
⇒
=
=
+ +
−
+ −
+ =
=
−
− =
− =
I a
b sen b b
b sen b b
sen
b b
sen b b
sen b
sen b a
b b
sen
b sen b
a
b b
sen
b sen b
a A
A b
b sen
b sen b
a
AT T
1 0 0
0 1 0
0 0
cos cos
· cos
· 0
cos · cos
· cos
0
0 0
cos 0
cos 0
0 0
· cos 0
cos 0
0 0
· ; ; cos 0
cos 0
0 0
2
2 2
2 2
2
. 1 1 =−
= ∈
∀b r y para a y a
ortogonal es
A
2º) Se considera la función f
( )
x =arc tag x. Demostrar que existe el menos un número( )
0,1∈
x , tal que f(x) = x.
---
Para resolver este ejercicio tenemos que aplicar el Teorema del valor medio o de Lagrange, que dice:
Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe al me-nos un punto c∈
( )
a, b que cumple:( ) ( ) ( )
a b
a f b f c f
− − =
' .
Teniendo en cuenta que, según el enunciado del problema: arc tag x=x, pode-mos considerar la función g
( )
x =x−arc tag x, que cumple las condiciones del Teorema de Lagrange en el intervalo (1, 0), por lo tanto será:( ) ( ) ( )
( )
( )
(
) (
)
( )
que cumple la condición cvalor un
menos al
Existe c
c
c c
c c
c c c
c
tag arc tag
arc c
x x
g
x tag arc x x g f
g c g
1 , 0 1
1 4
; ; 4 ;
; 4
4 4 ; ; 4 4 4 1 1
; ; 1
0 4 1
1
1 1
0 1
0 0
1 1
1 1 1
1 1 1 ' 0
1 0 1
'
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
∈
⇒
<
⇒
< − =
− = −
+ − = −
= − = + −
− = +
− +
− − − −
= + −
⇒
+ − =
− =
⇒
− − =
π π
π π
π π
π π
π
3º) Sabemos que las rectas
2 2
1 3
2 3
2 1
− + = − = ≡ −
= + = −
≡ x y m z y s x y z m
r se cortan en
un punto. Calcular el valor de m y el punto de corte. ---
Las expresiones por unas ecuaciones paramétricas de r y s son las siguientes:
− − =
+ = = ≡
− =
+ − =
+ = ≡
k m z
k y
k x s k
z
k m y
k x
r
2 2 1 3 ;
; 2
3 2 1
Si tienen un punto en común tiene que cumplirse que el valor de x tiene que ser igual para ambas rectas, lo cual nos permita calcular el valor de k, que a su vez nos permite calcular m:
0 ;
; 2 1 3 ;
; 1 · 2 1 1 · 3 1
3 2
1+ k= k ⇒ k = ⇒ −m+ = + −m+ = + m=
Las rectas r y s son :
− =
+ = = ≡
− =
= + = ≡
k z
k y
k x s k
z k y
k x
r
2 2 1 3 ;
;
2 3
2 1
.
Un punto y un vector de cada una de las rectas son:
(
)
(
)
(
)
(
)
− =
⇒
− =
⇒
2 , 2 , 3
0 , 1 , 0
2 , 3 , 2
0 , 0 , 1
v Q s
u P r
r r
El plano π pedido tiene como vectores directores ur y vr y contiene, por ejemplo,
al punto P(1, 0, 0):
(
)
(
)
(
)
(
1)
2 5 0 ;; 2 2 2 5 0 ;; 2 2 5 2 02
; ; 0 4 1 4 9 4 6 1 6 ; ; 0 2 2 3
2 3 2
1
, ;
= − + + ≡ =
+ + − =
− − − −
= + − + − + − − − =
− − −
≡
z y x z
y x
z y x
y x
z z y x
z y x
v u P
π
π r r
4º) Demostrar que el rectángulo de área máximo inscrito en una circunferencia de radio r es un cuadrado. Indicar el valor del área máxima.
---
El área del rectángulo es:
2 · b a S = .
Del triángulo rectángulo ABC se dedu-ce que:
( )
2 2 2 2 2 2 2 24 ;
; 4
; ;
2r =a +b r =a +b b= r −a Sustituyendo el valor de b en el área:
4 2 2 2
2
4 2 1 4
2 1 2
·
a a r a
r a b a
S= = − = −
Para que el área sea máxima, su derivada tiene que ser cero:
(
)
= =
⇒
= − =
−
⇒
= − − =
− − =
2 0 0
2 ; ; 0 2
0 4
2
4 2
4 8
· 2 1 '
2 1 2
2 3
2
4 2 2
3 2
4 2 2
3 2
r a a a
r a a
a r a
a r
a a r a
a r
a a r S
La primera de las soluciones carece de sentido lógico. (sería para mínimo). Los valores de a y b son: a=r 2.
a b r
r r
r a
r
b= 4 2 − 2 = 4 2 −2 2 = 2 2 = 2= = .
Se trata de un cuadrado, como queríamos demostrar.
El valor del área máxima es:
( ) ( )
22
2 2 2
2 · 2 2
·
r r r
r b a
S = = = =
El valor del área máxima es r2. **********
r
a
b A
B
OPCIÓN B
1º) Resolver el siguiente sistema cuando sea compatible indeterminado:
= + − = + = + + 0 1 2 2 az y ay x z ay x --- − = = ⇒ = − = − − = − = − = − = 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 0 1 2 1 0 0 1 1 2 ' ; ; 1 0 0 1 1 2 2 1 2 2 2 a a a a a a a a M a a a M a a a M ado er Compatible incógnitas n M Rango M Rango a a
Para ' 3 º det min
1 1 ⇒ = = = ⇒ − ≠ ≠
Observando la matriz ampliada M’, tiene las columnas 1ª y 4ª iguales, por lo tan-to, para determinar su rango basta con estudiar, por ejemplo, las últimas tres columnas:
{
}
{
}
2 1 1 0 ' 20 1 1 1 0 1 2 1 1 , , ' : ' 1 2 ' 0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 2 1 1 , , ' : ' 1 4 3 2 4 3 2 = ⇒ = − − = − − − − ⇒ ⇒ − = = ⇒ = − − = − ⇒ ⇒ = M Rango C C C M es M de rango el a Para M Rango C C C M es M de rango el a Para ado er in Compatible incógnitas n M Rango M Rango a a
Para ' 2 º det min
1 1 ⇒ < = = ⇒ − = =
Vamos a resolver ahora los casos en que es compatible:
1º.- a = 1. El sistema resultante es:
= + − = + = + + 0 1 2 2 z y y x z y x
= =
− =
⇒
= − = − = =
⇒
=
⇒
= + −
= +
k z
k y
k x
Solución x
k y
x k y k z z
y y
x 1
: 1
1 ; ; 0
1
2º.- a = -1. El sistema resultante es:
= − −
= −
= + −
0 1 2 2
z y
y x
z y x
Despreciando la 1ª ecuación y parametrizando z, queda:
= − =
− =
⇒
= − = + = −
=
⇒
=
⇒
= − −
= −
k z
k y
k x
Solución x
k y
x k y k z z
y y
x 1
: 1
1 ; ; 0
1
2º) Calcular el área de la región limitada por la curva
2
3 2
− =
x x
y y las rectas y = 0, x = 2, x = 3.
---
En el intervalo [2, 3] la función f(x) es continua y todas sus ordenadas son positi-vas, por lo tanto:
( )
[ ]
Lt[
L L]
L u At dt t
dt A
t x
t x
dt dx
x
dt dx x
t x
dx x
x dx
x f A
= ≅
= − =
= =
=
⇒
= → =
= → =
= = = −
⇒
− = =
∫
∫
∫
∫
2 25
6 25
6 25
6
2 2 3
3
2 3
2 3
2
475 ' 0 6 25 · 3 1 6 25 · 3 1 ·
3 1 ·
3 1 ·
3 1
6 2
25 3
· 3 1 ·
· 3
2
· 2 ·
3º) Enunciar el Teorema de Rolle. ¿Podemos aplicar este teorema a la función
( )
= x2−2e x
f si el intervalo (-1, 1)? ¿Para qué valor α es f’(α) = 0?
---
El teorema de Rolle se puede enunciar diciendo:
Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b) y si se cumple que f(a) = f(b), existe al menos un punto c∈
( )
a, b tal que f’(x) = 0.La función
( )
2−2= x
e x
f es continua y derivable en todo su dominio, que es R, por lo tanto, es aplicable el Teorema de Rolle en el intervalo (-1, 1).
Aplicando el Teorema:
( )
( )
( )
1 ( ) 1( ) ( )
1 11 1
1 2 1
1 2 1
2
2 2 2
− =
⇒
= = =
−
= = =
⇒
=
− − −
− −
−
f f
e e e
f
e e e
f e
x
f x
( ) ( )
2 · 0 2 0 ;; 0' x = x e 2−2 = ⇒ x= x=
f x
( )
0 0 ' = f4º) Sabemos que la recta r≡
(
x, y, z) (
= 1, −b, 0) (
+λ 2, −10,1)
y el plano de ecuación 22 + + =
≡ x ay z
π se cortan perpendicularmente y que la recta pasa por P(-1, 1, -1). Calcular a, b y el punto Q de corte.
---
Si la recta r y el plano π son perpendiculares, un vector normal del plano puede
ser vector director de la recta, por lo cual:
(
) (
) (
)
(
)
(
2, ,1)
100 2 2
1 , 10 , 2 1
, 10 , 2 0
, , 1 ,
,
− =
⇒
=
⇒
=
⇒
= − + + ≡
− =
⇒
− +
− = ≡
a n v a
n z
ay x
v b
z y x r
r r
r
r
π
λ
Si r pasa por el punto P(-1, 1, -1), el punto tiene que satisfacer la ecuación de r:
(
) (
) (
)
0 12 1 1
10 1
2 1 1
1 , 10 , 2 0
, , 1 1 , 1 ,
1 ⇒ = ⇒ =−
+ = −
− − =
+ = −
⇒
− +
− = −
− b b λ b
λ λ λ λ
El punto Q de corte de
= − =
+ = ≡
λ λ λ
z y x
r 1 10 2 1
con π ≡2x−10y+z−2=0 es el siguiente:
(
)
(
)
21 2 ;
; 10 105 ; ; 0 2 100
10 4 2 ; ; 0 2 10
1 · 10 2
1 ·
2 + λ − − λ +λ− = + λ − + λ+λ− = λ = λ=
⇒
= =
= = − = − =
= = + = + =
21 2 , 21
1 , 21 25
21 2
21 1 21 20 1 10 1
21 25 21
4 1 2 1
Q
z
y y
x x
λ λ λ