1º) Una matriz cuadrada A es ortogonal si se verifica que A · A

(1)

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE BALEARES

JUNIO - 2000

(RESUELTOS) por Antonio Menguiano.

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos Conteste de manera clara y razonada dos de las cuatro opciones propuestas. Cada cues-tión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene al dividir el total de pun-tos entre cuatro.

OPCIÓN A

1º) Una matriz cuadrada A es ortogonal si se verifica que A · AT = I. ¿Para qué valores de a y b es la siguiente matriz ortogonal?

     

   

− =

b b

sen

b sen b

a A

cos 0

0 0

---

⇒

=

     

   

=

     

   

+ +

−

+ −

+ =

=

     

   

−

     

   

− =

     

   

− =

I a

b sen b b

sen

b b

sen b b

sen b

sen b a

b b

sen

b sen b

a

b b

sen

b sen b

a A

A b

b sen

b sen b

a

AT T

1 0 0

0 1 0

0 0

cos cos

· cos

· 0

cos · cos

· cos

0

0 0

cos 0

0 0

· cos 0

cos 0

0 0

· ; ; cos 0

cos 0

0 0

2

2 2

2

. 1 1 =−

= ∈

∀b r y para a y a

ortogonal es

A

(2)

2º) Se considera la función f

( )

x =arc tag x. Demostrar que existe el menos un número

( )

0,1

∈

x , tal que f(x) = x.

---

Para resolver este ejercicio tenemos que aplicar el Teorema del valor medio o de Lagrange, que dice:

Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe al me-nos un punto c∈

( )

a, b que cumple:

( ) ( ) ( )

a b

a f b f c f

− − =

' .

Teniendo en cuenta que, según el enunciado del problema: arc tag x=x, pode-mos considerar la función g

( )

x =x−arc tag x, que cumple las condiciones del Teorema de Lagrange en el intervalo (1, 0), por lo tanto será:

( ) ( ) ( )

( )

_{( )}

(

) (

)

( )

que cumple la condición c

valor un

menos al

Existe c

c

c c

c c c

c

tag arc tag

arc c

x x

g

x tag arc x x g f

g c g

1 , 0 1

1 4

; ; 4 ;

; 4

4 4 ; ; 4 4 4 1 1

; ; 1

0 4 1

1

1 1

0 1

0 0

1 1

1 1 1

1 1 1 ' 0

1 0 1

'

2

2 2

∈

⇒

<

⇒

< − =

− = −

+ − = −

= − = + −

   

 

− = +

− +

− − − −

= + −

⇒     

  

+ − =

− =

⇒

− − =

π π

π

(3)

3º) Sabemos que las rectas

2 2

1 3

2 3

2 1

− + = − = ≡ −

= + = −

≡ x y m z y s x y z m

r se cortan en

un punto. Calcular el valor de m y el punto de corte. ---

Las expresiones por unas ecuaciones paramétricas de r y s son las siguientes:

    

− − =

+ = = ≡

    

− =

+ − =

+ = ≡

k m z

k y

k x s k

z

k m y

k x

r

2 2 1 3 ;

; 2

3 2 1

Si tienen un punto en común tiene que cumplirse que el valor de x tiene que ser igual para ambas rectas, lo cual nos permita calcular el valor de k, que a su vez nos permite calcular m:

0 ;

; 2 1 3 ;

; 1 · 2 1 1 · 3 1

3 2

1+ k= k ⇒ k = ⇒ −m+ = + −m+ = + m=

Las rectas r y s son :

    

− =

+ = = ≡

    

− =

= + = ≡

k z

k y

k x s k

z k y

k x

r

2 2 1 3 ;

;

2 3

2 1

.

Un punto y un vector de cada una de las rectas son:

(

)

(

)

(

)

(

)

        

   

− =

⇒    

− =

⇒

2 , 2 , 3

0 , 1 , 0

2 , 3 , 2

0 , 0 , 1

v Q s

u P r

r r

El plano π_{pedido tiene como vectores directores}_ur _y _vr_{y contiene, por ejemplo,}

al punto P(1, 0, 0):

(

)

(

)

(

)

(

1

)

2 5 0 ;; 2 2 2 5 0 ;; 2 2 5 2 0

2

; ; 0 4 1 4 9 4 6 1 6 ; ; 0 2 2 3

2 3 2

1

, ;

= − + + ≡ =

+ + − =

− − − −

= + − + − + − − − =

− − −

≡

z y x z

y x

z y x

y x

z z y x

z y x

v u P

π

π r r

(4)

4º) Demostrar que el rectángulo de área máximo inscrito en una circunferencia de radio r es un cuadrado. Indicar el valor del área máxima.

---

El área del rectángulo es:

2 · b a S = .

Del triángulo rectángulo ABC se dedu-ce que:

( )

2 2 2 2 2 2 2 2

4 ;

; 4

; ;

2r =a +b r =a +b b= r −a Sustituyendo el valor de b en el área:

4 2 2 2

2

4 2 1 4

2 1 2

·

a a r a

r a b a

S= = − = −

Para que el área sea máxima, su derivada tiene que ser cero:

(

)

   

= =

⇒

= − =

−

⇒

= − − =

− − =

2 0 0

2 ; ; 0 2

0 4

2

4 2

4 8

· 2 1 '

2 1 2

2 3

2

4 2 2

3 2

4 2 2

3 2

r a a a

r a a

a r a

a r

a a r a

a r

a a r S

La primera de las soluciones carece de sentido lógico. (sería para mínimo). Los valores de a y b son: a=r 2.

a b r

r r

r a

r

b= 4 2 − 2 = 4 2 −2 2 = 2 2 = 2= = .

Se trata de un cuadrado, como queríamos demostrar.

El valor del área máxima es:

( ) ( )

2

2 2 2

2 · 2 2

·

r r r

r b a

S = = = =

El valor del área máxima es r2. **********

r

a

b A

B

(5)

OPCIÓN B

1º) Resolver el siguiente sistema cuando sea compatible indeterminado:

     = + − = + = + + 0 1 2 2 az y ay x z ay x ---     − = = ⇒ = − = − − = − =           − =           − = 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 1 2 0 1 2 1 0 0 1 1 2 ' ; ; 1 0 0 1 1 2 2 1 2 2 2 a a a a a a a a M a a a M a a a M ado er Compatible incógnitas n M Rango M Rango a a

Para ' 3 º det min

1 1 ⇒ = = = ⇒       − ≠ ≠

Observando la matriz ampliada M’, tiene las columnas 1ª y 4ª iguales, por lo tan-to, para determinar su rango basta con estudiar, por ejemplo, las últimas tres columnas:

{

}

{

}

2 1 1 0 ' 2

0 1 1 1 0 1 2 1 1 , , ' : ' 1 2 ' 0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 2 1 1 , , ' : ' 1 4 3 2 4 3 2 = ⇒ = − − = − − − − ⇒ ⇒ − = = ⇒ = − − = − ⇒ ⇒ = M Rango C C C M es M de rango el a Para M Rango C C C M es M de rango el a Para ado er in Compatible incógnitas n M Rango M Rango a a

Para ' 2 º det min

1 1 ⇒ < = = ⇒       − = =

Vamos a resolver ahora los casos en que es compatible:

1º.- a = 1. El sistema resultante es:

     = + − = + = + + 0 1 2 2 z y y x z y x

(6)

    

= =

− =

⇒

= − = − = =

⇒

=

⇒   

= + −

= +

k z

k y

k x

Solución x

k y

x k y k z z

y y

x 1

: 1

1 ; ; 0

1

2º.- a = -1. El sistema resultante es:

    

= − −

= −

= + −

0 1 2 2

z y

y x

z y x

Despreciando la 1ª ecuación y parametrizando z, queda:

    

= − =

− =

⇒

= − = + = −

=

⇒

=

⇒   

= − −

= −

k z

k y

k x

Solución x

k y

x k y k z z

y y

x 1

: 1

1 ; ; 0

1

(7)

2º) Calcular el área de la región limitada por la curva

2

3 2

− =

x x

y y las rectas y = 0, x = 2, x = 3.

---

En el intervalo [2, 3] la función f(x) es continua y todas sus ordenadas son positi-vas, por lo tanto:

( )

[ ]

Lt

[

L L

]

L u A

t dt t

dt A

t x

dt dx

x

dt dx x

t x

dx x

x dx

x f A

= ≅

= − =

= =

=

⇒       

      

= → =

= = = −

⇒

− = =

∫

2 25

6 25

6

2 2 3

3

2 3

2

475 ' 0 6 25 · 3 1 6 25 · 3 1 ·

3 1 ·

3 1

6 2

25 3

· 3 1 ·

· 3

2

· 2 ·

(8)

3º) Enunciar el Teorema de Rolle. ¿Podemos aplicar este teorema a la función

( )

= x2−2

e x

f si el intervalo (-1, 1)? ¿Para qué valor α_{es f’(}α_{) = 0?}

---

El teorema de Rolle se puede enunciar diciendo:

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b) y si se cumple que f(a) = f(b), existe al menos un punto c∈

( )

a, b tal que f’(x) = 0.

La función

( )

2₋2

= x

e x

f es continua y derivable en todo su dominio, que es R, por lo tanto, es aplicable el Teorema de Rolle en el intervalo (-1, 1).

Aplicando el Teorema:

( )

₁ ( ) 1

( ) ( )

1 1

1 2 1

2

2 2 2

− =

⇒      

     

= = =

−

= = =

⇒

=

− − −

− −

−

f f

e e e

f

e e e

f e

x

f x

( ) ( )

2 · 0 2 0 ;; 0

' x = x e 2−2 = ⇒ x= x=

f x

( )

0 0 ' = f

(9)

4º) Sabemos que la recta r≡

(

x, y, z

) (

= 1, −b, 0

) (

+λ 2, −10,1

)

y el plano de ecuación 2

2 + + =

≡ x ay z

π se cortan perpendicularmente y que la recta pasa por P(-1, 1, -1). Calcular a, b y el punto Q de corte.

---

Si la recta r y el plano π_{son perpendiculares, un vector normal del plano puede}

ser vector director de la recta, por lo cual:

(

) (

)

(

)

(

2, ,1

)

10

0 2 2

1 , 10 , 2 1

, 10 , 2 0

, , 1 ,

,

− =

⇒

=

⇒     

=

⇒

= − + + ≡

− =

⇒

− +

− = ≡

a n v a

n z

ay x

v b

z y x r

r r

r

π

λ

Si r pasa por el punto P(-1, 1, -1), el punto tiene que satisfacer la ecuación de r:

(

) (

)

0 1

2 1 1

10 1

2 1 1

1 , 10 , 2 0

, , 1 1 , 1 ,

1 ⇒ = ⇒ =−

    

+ = −

− − =

+ = −

⇒

− +

− = −

− b b λ b

λ λ λ λ

El punto Q de corte de

    

= − =

+ = ≡

λ λ λ

z y x

r 1 10 2 1

con π ≡2x−10y+z−2=0 es el siguiente:

(

)

(

)

21 2 ;

; 10 105 ; ; 0 2 100

10 4 2 ; ; 0 2 10

1 · 10 2

1 ·

2 + λ − − λ +λ− = + λ − + λ+λ− = λ = λ=

   

  ⇒

        

= =

= = − = − =

= = + = + =

21 2 , 21

1 , 21 25

21 2

21 1 21 20 1 10 1

21 25 21

4 1 2 1

Q

z

y y

x x

λ λ λ