TEMA 2: VIBRACIONES Y ONDAS
1. Movimiento vibratorio armónico simple
Se dice que un movimiento es periódico si la posición del móvil se repite cada cierto tiempo que llamamos período (T). Hay varios tipos de movimientos periódicos: el movimiento circular uniforme, el movimiento oscilatorio de un péndulo a uno y otro lado de la vertical, el movimiento vibratorio de un objeto que cuelga del extremo de un muelle, etc. Vamos a analizar el movimiento oscilatorio de un péndulo.
Separamos un ángulo de la vertical un objeto de masa m, que pende de un hilo de longitud L. Las fuerzas que actúan sobre el objeto son el peso P y la tensión de la cuerda T. Si descomponemos las fuerzas en las direcciones
tangente y normal a la trayectoria circular que sigue la bola se obtiene una resultante en la dirección normal que produce aceleración centrípeta T-PN, y una resultante en la dirección tangente Pt. La componente tangencial produce aceleración tangencial at:
dt dv m P
r v m P T
t
2 N
Donde v es el módulo de la velocidad y r el radio de curvatura. La velocidad va a ir aumentando por la acción de Pt hasta el punto 2 (vertical), donde Pt = 0. En ese punto la velocidad es máxima y la tensión T también. Una vez que pase el punto 2 la fuerza Pt actúa en sentido contrario al movimiento y, por tanto, hace disminuir la velocidad v hasta que se hace cero en el punto 3. A partir de este punto el movimiento se repite, pero en sentido contrario. Se puede observar que en los puntos donde v = 0 Pt es máxima (extremos). Por otro lado, en el punto de máxima velocidad (vertical) Pt = 0.
Desde el punto de vista energético, la bola está sometida a dos fuerzas P y T. P es conservativa y T no hace trabajo, y, por tanto, la energía mecánica de la bola se conserva. Tomando el cero de la energía potencial en el punto 2, resulta que la bola tiene sólo energía potencial en el punto 1 y en el 3, mientras que en el punto 2 sólo tiene energía cinética. El movimiento consiste en una transformación continua de energía cinética en potencial y viceversa, manteniendo constante la energía total:
E1 = m·g·h1
2 v m E
2 2
E3 = m·g·h3
E1 = E2 = E3
L
T Pt
h1 h2=0 h3 PN
Un movimiento se dice que es vibratorio armónico simple si la posición del móvil viene dada por una ecuación del tipo:
) t cos( A
x
Veamos algunas definiciones útiles:
x (elongación): posición del móvil sobre el eje OX. Puede ser positiva o negativa.
A (amplitud): Valor máximo de la elongación.
(pulsación): T 2
T (período) : Tiempo necesario para que se repita exactamente la posición x.
(fase inicial): ángulo que determina el valor inicial de la elongación.
f (frecuencia): 1/T
Para entender las características del movimiento armónico simple mejor vamos a calcular la velocidad y la aceleración en cualquier instante de tiempo.
) t sen( A
dt
) t cos( A ( d dt dx
v
) t cos( A
dt dv
a 2
Como puede comprobarse, se cumple que a = -2·x. La aceleración tiene siempre signo contrario a la posición, es decir, si la partícula está a la izquierda del punto de equilibrio el vector aceleración tiene sentido hacia la derecha y viceversa. El vector aceleración siempre apunta hacia el punto de equilibrio. Por otro lado, se puede comprobar a partir de las ecuaciones anteriores que en el punto de equilibrio ( x = 0 ) la velocidad es máxima y la aceleración nula. En los extremos ( x = A ) la velocidad es nula y la aceleración máxima en valor absoluto. La fuerza aplicada a la partícula para que el movimiento sea armónico simple debe cumplir la segunda ley de Newton:
x k x ) m ( ) x (
m a m
F 2 2
Las fuerzas que cumplen la ley anterior se llaman elásticas y se dicen que obedecen la
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5
)) t ( cos ) t ( (sen 2 A m 2 ) t ( cos A m 2 ) t ( sen A m E 2 )) t cos( A ( k 2 )) t sen( A ( m 2 x k 2 v m E 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 m 2 2 2 2 m 2 A m E 2 2 m
Por tanto, la energía mecánica de la partícula que vibra es una constante independiente del tiempo. Depende del cuadrado de amplitud y, aunque esto parezca más extraño, también es proporcional al cuadrado de la pulsación (y, por tanto, al cuadrado de la frecuencia). En cuanto a la variación de las energías cinética y potencial, es evidente que la energía cinética es nula en los extremos y máxima en el punto de equilibrio. La energía potencial elástica varía de forma inversa, es nula en el punto de equilibrio y máxima en los extremos.
2. Concepto de onda.
Las ondas son un fenómeno muy corriente. Existen ondas de naturaleza muy diversa: mecánicas, electromagnéticas, térmicas, etc. De unos tipos a otros cambia la naturaleza propia de la onda, pero tienen en común el carácter mismo de fenómeno ondulatorio. El origen de toda onda es la existencia de una perturbación periódica de una cierta propiedad física. ¿Qué entendemos por perturbación periódica? Es aquella en la que el estado del sistema físico perturbado se repite cada cierto intervalo de tiempo, que llamamos período T. En un estanque se producen ondas cuando lanzamos una piedra y ésta impacta en el agua y hace vibrar su superficie. Siempre es necesaria la producción de una perturbación.
Son muy numerosos los ejemplos de ondas. Las ondulaciones de la superficie del agua producidas al lanzar una piedra, el sonido con el que nos comunicamos, las ondas sísmicas, las olas del mar, las ondas de radio, la luz, etc. son algunos. En general una onda es algo que se extiende a todos los puntos del espacio; cuando nos referimos a la propagación de una perturbación solo a determinados puntos del espacio hablamos de pulsos, más que de ondas. Se puede demostrar, no obstante, que un pulso no es más que una superposición de ondas.
¿Cuáles son las características que definen un movimiento ondulatorio?
Podemos definir finalmente lo que entendemos por onda de la siguiente forma: " Es la propagación en el espacio de una perturbación periódica producida en cierto punto al que llamamos foco de la onda." Veamos dos ejemplos:
B
En el ejemplo A sujetamos una cuerda por un extremo. En el extremo libre realizamos un movimiento vertical de vaivén, que constituye la perturbación producida. Si la cuerda está tensa, el movimiento del extremo se irá transmitiendo hasta afectar a toda su longitud debido a las propiedades elásticas de la cuerda.
En el ejemplo B disponemos de un tubo, en uno de cuyos extremos existe un émbolo que tiene un movimiento armónico simple, en torno de cierta posición de equilibrio O. Cuando el émbolo esté desplazado hacia la derecha, el aire interior en contacto con él sufre una compresión. La capa de aire comprimida tenderá a expandirse, y en su expansión irá comprimiendo a otras capas próximas de aire. De forma análoga podemos razonar lo que sucede cuando el émbolo se encuentra a la izquierda de la posición de equilibrio. Así, gracias a las propiedades físicas del aire la perturbación se propaga.
Es muy importante observar que, en las ondas materiales, la propagación se produce en un determinado medio material (aire, cuerda,...), pero el medio material mismo no se desplaza.
ONDA ARMÓNICA
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5
-1 -0.5 0.5 1
PULSO
-6 -4 -2 2 4 6
no transporta materia y no está localizada espacialmente. Una partícula es un objeto localizado en el espacio, está en un punto o en otro, pero no puede estar en varios a la vez. Sin embargo, una onda puede afectar al mismo tiempo a puntos muy distantes entre sí.
3. Magnitudes características de una onda.
En primer lugar vamos a clasificar las ondas en dos grupos: mecánicas y
electromagnéticas. Las mecánicas son aquellas que precisan de un medio material para su propagación (ondas en el agua, el sonido,...); las electromagnéticas no lo requieren (la luz). Llamemos Y a la magnitud perturbada. Según la naturaleza escalar o vectorial de la magnitud "Y" se clasifican en:
onda escalar: "Y" es una magnitud escalar (presión, densidad, temperatura...)
onda vectorial: "Y" es una magnitud vectorial (posición de un punto en una cuerda, campo eléctrico,...)
Atendiendo a las direcciones de vibración y de propagación se clasifican las ondas en longitudinales y transversales:
longitudinales: la dirección en la que se produce la perturbación coincide con la dirección de propagación de la onda (sonido).
transversales: la dirección en la que tiene lugar la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación (onda en una cuerda tensa).
Las ondas transversales, a su vez, pueden ser polarizadas o no polarizadas. Decimos que una onda transversal está polarizada linealmente si las vibraciones de Y se producen en una única dirección. Si la dirección de vibración no está fijada de ninguna manera, se dice que la onda no está polarizada. Por ejemplo, si hacemos vibrar el extremo de una cuerda en una dirección fija, producimos una onda polarizada linealmente; si vamos cambiando la dirección de vibración producimos una onda no polarizada.
La propagación de la onda se produce a una velocidad característica, típica de cada tipo de onda y de cada medio material utilizado para su propagación. Por ejemplo, la velocidad de propagación de las ondas longitudinales (sonido) es mayor cuanto mayor sea la rigidez y menor sea la densidad:
MATERIAL VELOCIDAD(m/s)
aluminio 5104
hierro 5100
cobre 3560
plomo 1227
En las ondas transversales en una cuerda, la velocidad de propagación aumenta al aumentar la tensión de la cuerda y al disminuir la densidad lineal de masa (masa por unidad de longitud).
Para algunos tipos de ondas, (como es el caso de la luz en algunos materiales) la velocidad de propagación depende de la frecuencia. Una consecuencia de este fenómeno, llamado dispersión, es que en un prisma se produce la separación de los colores que componen una luz determinada.
Resumimos a continuación las características fundamentales de una onda (algunas comentadas ya al hablar del movimiento armónico simple):
Amplitud (A): Máximo valor de la magnitud perturbada Y.
Período (T): Tiempo necesario para que , en un punto determinado, se repita el valor de la magnitud perturbada.
Longitud de onda (): Distancia entre dos puntos consecutivos en los que se repite exactamente el valor de la magnitud Y.
Frecuencia (f): Número de ciclos que se completan por segundo en un punto determinado. f=1/T. Se mide en Hz o ciclos/s
Pulsación ():
T 2
Número de ondas (k):
2
k
4. Ondas armónicas.
Vamos a investigar en esta pregunta cómo debe ser la ecuación matemática, que represente correctamente a una onda. Lo esencial de una onda es la existencia de propagación de "algo". Supongamos una magnitud física (presión, temperatura, posición de la superficie del agua...) que en cierto punto, al que llamamos foco, varía de forma periódica según Yo=Acos(t). Supongamos que la perturbación se propaga en el sentido positivo del eje X con una velocidad de propagación v. Queremos averiguar el valor de la magnitud Y en un punto P situado a una distancia x del foco. La onda emplea un tiempo x/v en recorrer la distancia x. Por tanto, podemos calcular la Y en el punto x, usando la expresión de la vibración en el origen, pero considerando como tiempo de vibración t-x/v, si t es el tiempo que ha estado vibrando el foco. En resumen, lo que sucedía en el foco en el instante t = 0 ocurre en el punto x en el instante posterior t = x/v.
Y(x,t) = A·cos((t-x/v))
Si la onda viaja hacia la izquierda, el punto de coordenada x (negativa) vibra durante un tiempo t+x/v (menos tiempo que el foco), mientras que el foco lo hace un tiempo t:
Y(x,t) = A·cos((t+x/v))
La ecuación de la onda armónica que viaja en el sentido positivo del eje X se suele transformar del siguiente modo:
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5
-1 -0.5 0.5 1
-17.5 -15 -12.5 -10 -7.5 -5 -2.5
) x k t cos( A ) t , x ( Y ) x 2 t cos( A ) v x T 2 t cos( A ) v x t cos( A ) t , x ( Y
Llamamos a vT= "longitud de onda" de la onda. Observa que la longitud de onda es el espacio recorrido por la onda en un tiempo igual al período. La ecuación de la onda queda, por tanto, de la siguiente forma:
) x k t cos( A ) t , x (
Y
Ahora bien, de acuerdo con esa ecuación, resulta que en el foco (x = 0) y en el instante inicial(t = 0) la magnitud perturbada toma el valor máximo positivo. Evidentemente esto no será siempre así; para permitir otras condiciones iniciales se añade una cierta fase inicial , quedando la ecuación completa de la onda como sigue:
) x k t cos( A ) t , x (
Y
A todo el argumento de la función coseno se le llama fase de la onda. Observa que una onda es un fenómeno doblemente periódico: es periódico en el tiempo y en el espacio. Es decir, si consideramos un punto determinado x, la magnitud Y varía periódicamente con el tiempo con periodicidad T. Por otra parte, si consideramos un instante determinado t, podemos observar que cada longitud de onda se repite el valor de la magnitud Y. El intervalo de repetición temporal es el período y en el espacio la longitud de onda.
En la ecuación anterior la magnitud "Y" perturbada puede ser de naturaleza variada:
MAGNITUD ONDA
Presión: sonido
Posición: onda en cuerda o superficie de agua Campo eléctrico: onda electromagnética (luz)
5. Propagación de ondas; reflexión, refracción y difracción
Una de las características más importantes de las ondas es la posibilidad de que puedan reflejarse y refractarse. Llamamos reflexión al cambio de la dirección de propagación de la onda al incidir en la superficie de separación de dos medios, sin que la onda cambie de medio físico de propagación. Por el contrario, llamamos refracción al cambio en la dirección de propagación de la onda, como consecuencia de un cambio en el medio físico de propagación. Para estudiar estos fenómenos vamos a comenzar dando unas definiciones:
Rayo: Es cada una de las direcciones de propagación de la onda. Es siempre perpendicular al frente de onda.
Un principio muy importante de toda la Óptica es el conocido como Principio de Huygens, el cual afirma lo siguiente:
"Todo punto de un frente de ondas se comporta, a su vez, como foco emisor de ondas esféricas elementales; de modo que el nuevo frente de ondas al cabo de un tiempo t es la envolvente de estos frentes de onda elementales"
Así, si para el instante t = 0 el frente de onda es el A, al cabo de cierto tiempo t las ondas elementales esféricas se han propagado una distancia R, y el nuevo frente de ondas será el B.
Para estudiar la reflexión, vamos a considerar ondas planas (frentes de onda planos), que inciden con una cierta inclinación sobre la superficie de separación de los medios 1 y 2:
-2
0
2
-2 0
2 -10
-5 0 5 10
-2
0
2
-5
0
5
-5 0
5
-10 -5 0 5 10
-5
0
5
En cuanto a la refracción debe tenerse en cuenta que la velocidad de propagación será diferente en ambos medios. Supongamos que es menor en el 2 que en el 1:
En el caso de la luz, la ley de Snell de la refracción se puede expresar, usando los índices de refracción de los dos medios n1 y n2 como:
n1sen (i) = n2sen (r)
Siendo n el índice de refracción de un medio determinado, n = c/v. Donde c es la velocidad de la luz en el vacío y v la velocidad de propagación en el medio considerado.
(Figuras de difracción producidas por un obstáculo y por una rendija, tomadas de http://ngsir.netfirms.com )
6. Superposición de ondas; interferencia de dos ondas.
resultado de la interferencia va a depender de cómo se superpongan las ondas en el punto. En el gráfico se indica lo que sucede cuando las ondas interfieren en fase y en oposición de fase.
Suponiendo que interfieren ambas ondas en P vamos a analizar la vibración resultante en dicho punto. Las distancias de éste a los focos son, respectivamente x1 y x2, la pulsación de ambas ondas suponemos que es la misma, al igual que la longitud de onda. Las ecuaciones de las ondas en el punto P son:
Y1(x1,t)= A1cos (t-kx1+1) Y2(x2,t)= A2cos(t-kx2+2)
Si agrupamos la parte de la fase que no depende del tiempo, resulta:
Y1(x1,t)= A1cos(t-1) con 1= kx1-1
Y2(x2,t)= A2cos(t-2) con 2= kx2-2
En el punto P la vibración resultante será la suma de ambas vibraciones:
Y(P,t)=A1cos(t-1)+A2cos(t-2)
En el punto P, las vibraciones de cada onda son función armónica del tiempo y podemos suponer que la suma de ambas será también una vibración armónica, del tipo:
Y(P,t)= Acos(t-)
Donde A es la amplitud resultante de la interferencia, y es la fase no temporal de la vibración resultante. Se puede demostrar que la amplitud y la fase espacial de la onda resultante son:
) cos( A
) cos( A
) sen( A
) sen( A ) ( tag
2 2
1 1
2 2
1 1
) cos(
A A 2 A A
A2 12 22 1 2 12
Si los focos emiten en fase 1 = 2 y entonces la diferencia de fase entre ambas ondas es
1-2 = k(x1-x2) y las interferencias son estables, ya que la amplitud resultante es independiente del tiempo para cada punto. Vamos a estudiar las variaciones de la amplitud resultante. El cos (1-2) vale +1 para 1-2 = 2n, con n = 0, 1, 2, 3,4,.... Esto ocurre para los puntos que cumplen:
k(x1-x2) = 2n, es decir, x1-x2 = n
Por otra parte el cos(1-2) = -1 para 1-2 = (2n+1), con n = 0, 1, 2, 3,... Esto sucede para puntos P para los que x1-x2 = (2n+1)/2. La amplitud resultante en estos puntos es mínima y vale :
A2 = A12+ A22+ 2A1A2(-1) = (A1-A2)2; es decir, A = |A1-A2|
Por tanto, como resultado de la interferencia de dos ondas obtenemos la aparición de unos máximos y mínimos en la amplitud resultante. Observa que en los puntos de mínimo, si las amplitudes son iguales, se obtiene un resultado sorprendente: la amplitud resultante de la suma de dos ondas puede ser la ausencia de toda vibración. Si realizamos la interferencia con luz coherente obtendremos puntos en los que luz + luz nos da oscuridad. Este comportamiento es típico de las ondas y parece impensable con partículas: Y(p,t) = Acos(t-) = 0cos(t-) = 0
A continuación puede verse el resultado de la interferencia de las dos ondas planas anteriores:
7. Energía e intensidad de una onda.
Una onda es la propagación de una vibración y, dado que la vibración tiene una cierta cantidad de energía y cantidad de movimiento, la onda propaga a su vez energía y cantidad de movimiento. Supongamos una onda mecánica, como el sonido, que se propaga en todas direcciones con igual velocidad, es decir, se trata de una onda con frentes de ondas esféricos. En este caso, la energía que transmite la onda se reparte en frentes de onda cada vez mayores. Si la energía de un frente de onda se mantiene constante, en el supuesto de que no haya absorción de la energía por el medio material, entonces vamos a demostrar que la amplitud de la onda va
-4 -2
0 2
4 -2
0 2 -10-5
0 5 10
-4 -2
0 2
4
-4 -2
0 2
4 -2
0 2 -10-5
0 5 10
-4 -2
0 2
4
-4 -2
0 2
4 -2
0 2 -10-5
0 5 10
-4 -2
0 2
vibración armónica. Consideremos dos frentes de onda de espesor x, a distancias r1 y r2 del foco, puesto que la energía del frente 1 y del 2 debe ser la misma se debe cumplir lo siguiente:
𝐸 =1 2· 𝑘 · 𝐴
2=1
2· 𝑚 · 4𝜋
2· 𝑓2· 𝐴2
𝐸1= 1
2· 𝑚1· 4𝜋
2· 𝑓2· 𝐴
12; 𝐸2= 1
2· 𝑚2· 4𝜋
2· 𝑓2· 𝐴 22
Si E1= E2 está claro que las masas de los frentes de onda serán distintas ( m2 > m1) y sus amplitudes también (A2 < A1). Se cumplirá entonces lo siguiente:
𝑚1· 𝐴12= 𝑚2· 𝐴22
La masa del frente de onda la calculamos con la densidad del medio d:
𝑚 = 𝑑 · 𝑆 · 𝑥 = 𝑑 · 4 · 𝜋 · 𝑟2· 𝑥
Por tanto se cumple que:
𝑚1· 𝐴12= 𝑚2· 𝐴22 𝑟12· 𝐴12= 𝑟22· 𝐴22
Es decir, que el producto r1·A1 es constante y, por tanto, la amplitud es inversamente proporcional a la distancia al foco: 𝐴 =𝐾
𝑟. Esto sucede así simplemente por el hecho de que la
misma cantidad de energía se reparte en frentes de onda cada vez de mayor superficie, a medida que nos alejamos del foco.
Intensidad de una onda: Llamamos intensidad de una onda a la potencia que transmite la onda por unidad de superficie:
𝐼 =𝑃𝑜𝑡 𝑆
La unidad de medida será, por tanto, W/m2,y si suponemos que la onda se propaga mediante frentes de onda esféricos y la potencia transmitida se mantiene constante resultará que la intensidad disminuye con el inverso del cuadrado de la distancia al foco:
𝐼 = 𝑃𝑜𝑡 4 · 𝜋 · 𝑟2
En las situaciones reales la potencia transmitida no es constante, sino que se va reduciendo a medida que la onda se propaga. En muchos casos la absorción de la energía de la onda sigue una reducción exponencial, con lo cual la intensidad varía con la distancia al origen de la siguiente forma:
𝐼 =𝑃0· 𝑒 −𝛽·𝑟
4 · 𝜋 · 𝑟2
8.-El sonido.
El sonido es una onda mecánica que se produce cuando se propagan las vibraciones que producimos en un medio material determinado. El sonido se puede propagar en gases, líquidos y
x
x
r1
11
Tono: Es una cualidad relacionada directamente con la frecuencia. Nuestro oído es capaz de percibir ondas sonoras de frecuencia comprendida entre 20 Hz y 20000 Hz, aproximadamente. Los sonidos de baja frecuencia —entre los 20 Hz y los 1000Hz— se consideran tonos graves. Los sonidos de unos pocos kHz se consideran medios, y los de altas frecuencias, agudos.
Timbre: Esta cualidad tiene que ver con las ondas sonoras (armónicos) que acompañan al tono fundamental. Esto está relacionado con las ondas estacionarias que se generan en un instrumento musical, y se estudiará más adelante en este mismo tema. Según el acompañamiento de armónicos que tenga la frecuencia fundamental, resultará un timbre u otro. Esta cualidad permite distinguir una misma nota ( un do, por ejemplo) producida por instrumentos distintos.
Sonoridad: Esta cualidad está relacionada con la intensidad de la onda sonora y con la forma en que nuestro oído percibe la “fuerza” de un sonido. Por ejemplo, nuestro oído no percibe de igual forma todas las frecuencias, por lo que una intensidad de 1 W/m2 se puede percibir como más o menos fuerte según su frecuencia. En términos generales, nuestro oído percibe mejor los tonos medios que los graves y agudos. Nuestro oído puede funcionar aceptablemente entre dos límites que llamamos umbral de audición y el umbral del dolor. Para una frecuencia de 1000 Hz el umbral de audición es de 10-12 W/m2 y el umbral del dolor es de 1 W/m2. Como se ve, entre estos límites de la intensidad sonora hay una enorme variación. La sonoridad percibida por nuestro oído varía en una unidad cuando la potencia se multiplica por 10, razón por la cual, para medir la sonoridad utilizamos una escala logarítmica que transforma las variaciones del exponente de 10 de la intensidad en variaciones lineales del exponente de dicha intensidad. La unidad utilizada es el decibelio (dB), y la escala se define de la siguiente forma:
𝐷 = 10 · log (𝐼
𝐼0)
I0 es la intensidad umbral (10-12 W/m2). I es la intensidad dl sonido y D su sonoridad en dB. Se observa que si I es 10 veces mayor que la intensidad umbral, la sonoridad es de 10 dB. El nivel 0 dB corresponde a una intensidad de I0. El umbral del dolor corresponde con una sonoridad de 120 dB, como se puede comprobar fácilmente.
Entre las aplicaciones tecnológicas del sonido, se puede citar el uso de ultrasonidos de alta frecuencia (de 2 MHz a 10 MHz) y baja intensidad para obtener imágenes con un impacto mínimo sobre los seres vivos, tal y como se hace en las ecografías. La imagen se forma a partir de las ondas sonoras reflejadas por el órgano del que se quiere hacer la ecografía. También se emplean ondas sonoras de muy baja frecuencia (1 Hz-2 Hz) y alta intensidad para romper cálculos renales mediante la litotricia.
9.-El efecto Doppler.
Si el observador se acerca al foco, que está en reposo emitiendo ondas de frecuencia f, la velocidad que aparenta tener la onda para el observador es de v’= v+v0, siendo v la velocidad de la onda para un observador en reposo y v0 la velocidad del observador. Por tanto se cumple lo siguiente:
𝑓′=𝑣 ′
𝜆 = 𝑣 + 𝑣0
𝜆 = 𝑣 + 𝑣0
𝑣 𝑓
= 𝑓 · (1 +𝑣0 𝑣)
Por tanto, se produce un aumento de la frecuencia percibida por el observador, se percibe un sonido más agudo. Si el observador se aleja del foco, la velocidad aparente de la onda es de v’= v+v0. Repitiendo el mismo razonamiento vemos que solo cambia un signo en la fórmula final, de manera que el resultado es ahora
𝑓′=𝑣 ′
𝜆 = 𝑣 − 𝑣0
𝜆 = 𝑣 − 𝑣0
𝑣 𝑓
= 𝑓 · (1 −𝑣0 𝑣)
La frecuencia percibida por el observador es ahora menor, más grave.
Se puede hacer un estudio parecido suponiendo que el observador está quieto y es el foco el que se mueve. No vamos a hacer el desarrollo, pero indicamos el resultado obtenido.
Si el foco se acerca con una velocidad vf:
𝑓′= 𝑓 · ( 1 1 −𝑣𝑣𝑓
)
Si el foco se aleja con una velocidad vf:
𝑓′= 𝑓 · ( 1 1 +𝑣𝑣𝑓
)
El efecto Doppler tiene varias aplicaciones prácticas muy interesantes. Por ejemplo, se utiliza para medir la velocidad de objetos en movimiento tal y como se hace con los radares de carretera. Desde el punto de vista científico, la aplicación práctica más importante tuvo lugar cuando se comprobó que los espectros atómicos de elementos químicos situados en estrellas lejanas presentaban un desplazamiento hacia el rojo, es decir, hacia frecuencias menores. Esto solo puede explicarse suponiendo que esas estrellas se estén alejando de nosotros. Por este método se puede calculas la velocidad con la que las estrellas se alejan de nosotros. Esto fue la confirmación experimental de que todos los cuerpos del universo se alejan unos de otros, lo que, a su vez, era la confirmación de la teoría del big-bang y de la expansión del universo.
10.-Ondas estacionarias.
La ecuación de una onda es diferente, según el sentido de propagación de la misma:
Propagación en el sentido + del eje x: Y(x,t)= Acos (t-kx) Propagación en el sentido - del eje x: Y(x,t)= Acos (t+k.x)
Veamos cuál es el resultado de la interferencia de dos ondas idénticas, que viajan en sentido contrario. La onda que viaja en el sentido positivo tiene de ecuación Y1(x,t) = Acos (t-kx), mientras que la que lo hace en el sentido negativo está representada por la ecuación Y2(x,t) = A'cos(t+kx). Hemos supuesto una amplitud A' para la onda reflejada por si fuese diferente de la de la onda incidente. Por tanto:
Y(x,t)=Acos(t-kx) + A'cos(t+k·x)
Si suponemos que, como resultado de la interferencia, el otro extremo de la cuerda (el O) tampoco vibra, es decir, que ambos extremos están fijos, resulta que Y = 0 para x = 0 en cualquier instante. Por tanto: 0 =Acos(t)+A'cos(t) = (A+A')cos(t) . Es decir, A= -A'. La suma de ambas ondas da como resultado:
Y(x,t) = Acos(·t-k·x)-Acos(·t+k·x) = A(cos(·t-k·x) - cos(t+k·x))
Haciendo uso de la relación: cos A - cos B= 2 sen((A+B)/2) sen((B-A)/2) , resulta que:
Y(x,t) = 2 A sen(t)sen(kx) = (2 A sen(kx))sen(t) = A0sen(t).
A0 = 2 A sen(kx)
El resultado Y(x,t) = 2 Asen(kx)sen(t) indica claramente que lo obtenido no es una onda, ya que no existe propagación. Se han separado las variaciones en el tiempo y en el espacio. Realmente, el resultado es una vibración en el tiempo, con una amplitud variable para cada punto de la cuerda: Amplitud = 2Asen(kx).
Existen puntos en los que la amplitud es nula, y, por tanto, no vibran en absoluto; son los nodos de la onda estacionaria:
2 Asen(kx) = 0 ; sen(kx) = 0; kx = n con n = 0,1,2....
Xnodo= n/2
También hay puntos que vibran con una amplitud máxima, son los llamados vientres de la onda estacionaria:
2 Asen(kx) = ± 2 A; sen(kx)= ± 1; kx = (2n+1)/2 con n = 0,1,2,...
Xvientre = (2n+1)/4
Por otra parte, se puede observar que para que en M la vibración sea nula en todo instante, si la longitud de la cuerda es L debe cumplirse que:
Y(L,t) = 0; 2 A sen(kL) = 0 ==> sen(kL) = 0 ==> kL = n; con n =1,2...
Por tanto, L = n /2 y = 2 L/n
Es decir, en la cuerda sólo pueden existir ondas estacionarias de longitudes de onda = 2L/n con n =1,2,3.... La longitud de la cuerda, L, debe ser un múltiplo de la mitad de la longitud de onda. Par una longitud de cuerda determinada, sólo determinadas ondas pueden dan lugar a ondas estacionarias. La onda correspondiente a n = 1 se llama fundamental y al resto se les llama armónicos.
En resumen, podemos decir que en realidad las ondas estacionarias no son propiamente ondas. Son más bien vibraciones cuya amplitud varía periódicamente en el espacio, pero no se produce la propagación del estado de vibración de unos puntos a otros. Un nodo es un punto que no vibra en ningún instante; la vibración de un vientre no se propaga a un nodo vecino.
1 2 3 4
3
-1 -0.5 0.5 1
1 2 3 4
4
-1 -0.5 0.5 1
1 2 3 4
1
-1 -0.5 0.5 1
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PROBLEMAS DEL TEMA II.VIBRACIONES Y ONDAS
1. Una barca en reposo produce ondas en la superficie de un río. Si realiza 12 oscilaciones en 20 segundos y cada cresta de ola tarda 6 segundos en llegar a la orilla, que dista 12m, calcula la longitud de onda de la onda generada, la frecuencia y el período. λ= 3,34 m. T = 1,67 s. f = 0,6 Hz
2. Una onda se propaga hacia la derecha, a lo largo de una cuerda con una velocidad de 5m/s. Su frecuencia es de 60 Hz y su amplitud 0,2 m. Escribe la ecuación de onda correcta. Y(x,t) = 0,2·cos(120π·t-24π·x).
3. El extremo de una cuerda tiene un movimiento vibratorio armónico simple, dado por la ecuación Y(0,t)= 2cos(30t), con la amplitud en cm y el tiempo en segundos. La velocidad de propagación de la onda es de 2 m/s. Halla la vibración de un punto situado a 10 cm del extremo de la cuerda. Y(t) = 2·10-2m·cos(30π·t-1,5π).
4. La ecuación de cierta onda es Y(x, t) =10cos(2(100t-2x)) en unidades S.I. Halla la amplitud, frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación de la onda. A=10 m, f = 100 Hz, λ = 0,5 m. v = 50 m/s.
5. Una onda en una cuerda, de 3 metros de amplitud, se propaga hacia la derecha a una velocidad de 100 m/s. La longitud de onda es de 10 m. Calcula la velocidad transversal máxima y la aceleración transversal máxima. v = 60π m/s. a = 1200π2 m·s-2.
6. Una onda tiene un período de 3·10-3 s. La distancia entre dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase es /2 es de 30 cm. Calcula: A) velocidad de la onda; B) longitud de onda; C) distancia entre dos puntos consecutivos con diferencia de fase 3/2. Vp = 400 m/s; λ = 1,2 m; Δx = 0,9 m.
7. Una onda transversal tiene una frecuencia de 40 Hz, y se desplaza con una velocidad de 28,8 cm/s. En el instante inicial la partícula situada en el origen tiene una elongación de 2cm, y su velocidad transversal es de -377 cm/s. Escribe la ecuación de la onda. Y(x,t) = 2,5 cm cos(80πt-277,8π·x+0,643).
8. La función de onda correspondiente a una onda estacionaria en una cuerda, de longitud L, es Y = 0,5 sen(0,02x)cos(30t), en donde t se mide en segundos, x e y en cm. ¿Cuál es la longitud de onda? ¿Cuál es la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda? Si la ecuación corresponde a la onda fundamental, ¿cuál es la longitud de la cuerda? λ = 100π cm; vp = 15 m/s; L = 50π cm
9. Una onda sinusoidal se propaga a lo largo de una cuerda. El tiempo que transcurre entre el instante de elongación máxima y el de elongación nula siguiente en un punto de la cuerda es 0,017s. Calcula: a) período y frecuencia de la onda; b) la velocidad de propagación si la longitud de onda es 1,4m. T = 0,068 s; f = 14,7 Hz; v = 20,6 m/s.
10. Una onda longitudinal se propaga a lo largo de un resorte, en el sentido negativo del eje OX. La distancia entre dos puntos consecutivos que están en fase es de 20cm. El foco emisor, fijo en un extremo del resorte vibra con una amplitud de 3 cm y una frecuencia de 25 Hz. Calcula: a) velocidad de propagación de la onda; b) la expresión de la onda, sabiendo que la perturbación en el instante inicial en x = 0 es nula y se desplaza en el sentido positivo; c) velocidad y aceleración máximas de un punto del resorte. vp = 5 m/s; Δx = 3·10-2m·cos(50πt+10πx-π/2)
11. Calcula la perturbación resultante en el punto x = 0,4 m al superponerse las ondas: y1 = 0,04m cos(2t-0,5x) e y2 = 0,04m cos(2t-0,5x+/6). Y = 0,077 m ·cos(2πt-0,366)
c) la amplitud y velocidad de propagación de las ondas, cuya superposición podría generar la vibración. D = 6 cm; vy = 0; A =0,25 cm; vp = 120 cm/s.
13. La longitud de la cuerda de una guitarra es de 60 cm. Calcula:
a) la longitud de onda de la onda estacionaria fundamental y de los dos primeros armónicos. b) las frecuencias de las anteriores ondas, si la velocidad de propagación de la onda en la cuerda es de 2000 m/s. λ1 = 1,2 m; . λ2 = 0,6 m; λ3 = 0,4 m; f1 = 1666,7 Hz; f2 = 3333,3 Hz; f3 = 5000 Hz.
14. Una ambulancia se acerca a nosotros con una velocidad de 60 km/h, emitiendo un sonido de frecuencia f = 6000 Hz. Calcula la frecuencia que percibimos al acercarse y al alejarse, una vez que pase por donde estamos nosotros. Vsonido = 340 m/s
15. En un campo de fútbol hay 60000 personas gritando a la vez. Si la intensidad sonora producida por cada espectador es de 60 dB, calcula la intensidad sonora (en dB) si gritan todos los espectadores a la vez con la misma intensidad.
16. El nivel de ruido en el pasillo del aula es de 65 dB. Si la puerta está abierta y tiene un área de 2 m2, calcula la potencia sonora que entra por la puerta.
17. La alarma de un coche parado suena con una frecuencia de 800 Hz. Si nosotros vamos en un coche que se acerca al otro con una velocidad de 100 km/h, calcula la frecuencia del sonido que percibimos desde el coche en movimiento.
TEMA 4: VIBRACIONES Y ONDAS. SELECTIVIDAD
CUESTIONES.
1.
a) Explique las características de una onda estacionaria.
b) Razone por qué la frecuencia del sonido producido por una cuerda de guitarra puede modificarse variando la tensión de la cuerda o pisando diferentes trastes (variando su longitud).
2.
a) ¿En qué consiste la refracción de las ondas? Enuncie sus leyes. b) ¿Qué características de la onda varían al pasar de un medio a otro?
3.
a) Explique las características de un movimiento ondulatorio.
b) Un acróbata salta verticalmente en una cama elástica. Explique los tipos de energía que intervienen y sus transformaciones.
4.
a) ¿En qué consiste el fenómeno de polarización de las ondas? b) ¿Se puede polarizar el sonido? Razone la respuesta.
5.
a) ¿Qué representan los coeficientes A, b, c.? ¿Cuáles son sus unidades? ¿Cuál es el significado del factor A cos(bx)?
b) ¿Qué son los vientres y los nodos?, ¿qué distancia hay entre vientres y nodos consecutivos?
7. Considere la siguiente ecuación de una onda: y (x,t) = A sen (bt-cx) a) ¿Qué representan los coeficientes A, b, c.?; ¿cuáles son sus unidades?
b) ¿Qué interpretación tendría que la función fuera “coseno” en lugar de “seno”?; ¿y que el signo dentro del paréntesis fuera + en lugar de -?
8. Una partícula describe un movimiento armónico simple de amplitud A y frecuencia f.
a) Represente gráficamente la posición y la velocidad de la partícula en función del tiempo y explique las analogías y diferencias entre ambas representaciones.
b) Explique cómo variarían la amplitud y la frecuencia del movimiento y la energía mecánica de la partícula al duplicar el período de oscilación.
9. La ecuación de una onda armónica en una cuerda tensa es: y (x,t) = A sen (·t-k·x) a) Indique el significado de las magnitudes que aparecen en dicha expresión.
b) Escriba la ecuación de una onda que se propaga en la misma cuerda, en sentido opuesto, de amplitud mitad y frecuencia doble que la anterior.
10. Un bloque de masa m cuelga del extremo inferior de un resorte de masa despreciable, vertical y fijo por su extremo superior.
a) Indique las fuerzas que actúan sobre la partícula explicando si son o no conservativas.
b) Se tira del bloque hacia abajo y se suelta, de modo que oscila libremente. Analice las variaciones de energía cinética y potencial del bloque y del resorte en una oscilación completa.
11. Un movimiento armónico simple viene descrito por la expresión: x (t) = A sen (·t-) a) Indique el significado físico de cada una de las magnitudes que aparecen en ella.
b) Escriba la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo y explique si ambas magnitudes pueden anularse simultáneamente.
12.
a) Explique las variaciones energéticas que se dan en un oscilador armónico durante una oscilación. ¿Se conserva la energía del oscilador? Razone la respuesta.
b) Si se duplica la energía mecánica de un oscilador armónico, ¿cómo varía la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones? Razone la respuesta.
13.
a) Explique las características de una onda estacionaria.
b) ¿Varía la amplitud de la perturbación en los puntos comprendidos entre dos nodos consecutivos? ¿Y la frecuencia?
14.
a) Un cuerpo de masa m, unido a un resorte horizontal de masa despreciable, oscila con movimiento armónico simple. Si su energía mecánica es E, analice las variaciones de energía cinética y potencial durante una oscilación completa.
b) Si el cuerpo se sustituye por otro de masa m/2, ¿qué le ocurre al período de oscilación? Razone la respuesta.
15.
a) Explique las diferencias entre ondas longitudinales y ondas transversales. Cite un ejemplo de cada una de ellas.
16.
a) Explique las diferencias entre ondas longitudinales y ondas transversales y ponga algún ejemplo de cada tipo.
b) ¿Qué es una onda estacionaria? Comente sus características.
PROBLEMAS.
1. La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda es: y (x,t) = 0,5 sen (8t-4x) (S.I.)
a) Determine la velocidad de propagación de la onda y la velocidad de un punto de la cuerda y explique el significado de cada una de ellas. vp = 2 m/s; vy = 4π·cos (8t-4x)
b) Represente gráficamente la posición de los puntos de la cuerda en el instante t = 0, y la elongación en x = 0 en función del tiempo.
2. Sobre una superficie horizontal se dispone un cuerpo de 0,5 kg, unido a uno de los extremos de un muelle que está fijo por el otro. Cuando se tira del cuerpo hasta alargar el muelle 10 cm y se suelta, comienza a oscilar con un período de 2 s.
a) Haga un análisis energético del problema y calcule los valores de las energías cinética y potencial en los puntos extremos de la oscilación y en el punto de equilibrio. Epmax = 0,0247 J.
b) Represente la posición del cuerpo en función del tiempo. ¿Cómo cambiaría dicha representación si la masa del cuerpo fuera de 2 kg?
3. La ecuación de una onda en una cuerda es: y (x,t) = 10 cos ((/3)x)·sen (2t) (S.I.)
a) Explique las características de la onda y calcule su período y su longitud de onda. ¿Cuál es la velocidad de propagación? vp = 6 m/s
b) Determine la velocidad de una partícula situada en el punto x = 1,5 m, en el instante t = 0,25 s. Explique el resultado. V = 0 (nodo)
4. Al suspender un cuerpo de 0,5 kg del extremo libre de un muelle que cuelga verticalmente, se observa un alargamiento de 5 cm. Si, a continuación, se tira hacia abajo del cuerpo, hasta alargar el muelle 2 cm más, y se suelta, comienza a oscilar.
a) Haga un análisis energético del problema, escriba la ecuación del movimiento de la masa y calcule la velocidad máxima que tendrá. Y = 2·10-2 m ·cos(14t+π). vmax = 0,28 m/s.
b) Si, en lugar de estirar el muelle 2 cm, se estira 3 cm, ¿cómo se modificaría la ecuación del movimiento del cuerpo?
5. Una partícula de 0,5 kg, que describe un movimiento armónico simple de frecuencia 5/ Hz, tiene inicialmente una energía cinética de 0,2 J y una energía potencial de 0,8 J.
a) Calcule la posición y velocidad iniciales, así como la amplitud de la oscilación y la velocidad máxima. X = 0,179 m; v = 0,894 m/s.
b) Haga un análisis de las transformaciones de energía que tienen lugar en un ciclo completo. ¿Cuál sería el desplazamiento en el instante en que las energías cinética y potencial son iguales? X = 0,141 m
6. En una cuerda tensa se tiene una ecuación: y(x,t) = 5·10-2 cos (10x) sen (40t) (S.I.)
a) Razone las características de las ondas cuya superposición da lugar a la onda dada y escriba sus ecuaciones.
b) Calcule la frecuencia, el período, la longitud de onda y el número de onda, así como el módulo, dirección y sentido de la velocidad de propagación de la onda. F = 15,91 Hz; T = 0,0628 s; k = 5 m-1; v = 20 m/s.
8. La cuerda de una guitarra vibra de acuerdo con la ecuación :
y(x,t) = 0,01 sen(10x) cos(200t) (S.I.)
a) Indique de qué tipo de onda se trata y calcule la amplitud y la velocidad de propagación de las ondas cuya superposición puede dar lugar a dicha onda.
b) ¿Cuál es la energía de una partícula de la cuerda, de masa 0,01 g, situada en el punto x = 15 cm? Razone la respuesta. E = 1,97·10-4 J.
9. Una partícula de 2 g oscila con movimiento armónico simple de 4 cm de amplitud y 8 Hz de frecuencia y en el instante t = 0 se encuentra en la posición de equilibrio y se mueve hacia la derecha. a) Escriba la ecuación del movimiento y explique las variaciones de las energía cinética y potencial
de la partícula durante un período. X = 4·10-2 m ·cos(16πt+3π/2).
b) Calcule las energías cinética y potencial de la partícula cuando la elongación es 1 cm. Ep = 2,53·10-4 J; Ec = 3,79·10-3 J.
10. Una partícula describe un movimiento armónico simple, entre dos puntos A y B que distan 20 cm, con un período de 2 s.
a) Escriba la ecuación de dicho movimiento armónico simple, sabiendo que para t = 0 la partícula se encuentra en el punto medio del segmento AB y se mueve hacia la izquierda. X= 0,1 m·cos(πt+π/2)
b) Explique cómo varían las energías cinética y potencial durante una oscilación completa.
11. La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda tensa es: y (x,t) = 4 sen (50t – 4x) (S.I.)
a) Calcule la amplitud, la longitud de onda y el período de dicha onda. ¿Qué significado físico tiene el signo menos que aparece dentro del paréntesis? A 0 4 m; λ = 0,5 m; T = 0,04 s.
b) Determine la velocidad de propagación de la onda. ¿Se mueven los puntos del medio con esa velocidad? vp = 12,5 m/s
12. Una onda estacionaria tiene por ecuación:
y (x,t) = 10 cos (x/6) sen (10t) (S.I.)
a) Calcule las características de las ondas cuya superposición da lugar a la onda dada.
b) ¿Cuál sería la velocidad de la partícula situada en la posiciones x = 3 m y x = 1,5 m? Comente el resultado. vy (x=3) = 0; vy (x=1,5) =222,14·cos(100πt)
13. La ecuación de una onda transversal que se propaga por una cuerda es: y (x,t) = 0,06 cos 2(4t – 2x) (S.I.)
a) Calcule la diferencia de fase entre los estados de vibración de una partícula de la cuerda en los instantes t = 0,5 s y t = 1/16 s, respecto de la fase para t = 0. ΔΦ = 4π; ΔΦ = π/2
b) Haga una representación gráfica aproximada de la forma que adopta la cuerda en los instantes anteriores.
14. La ecuación de una onda es:
y (x,t) = 4 sen (6t – 2x + /6) (S.I.)
a) Explique las características de la onda y determine la elongación y la velocidad, en el instante inicial, en el origen de coordenadas. Y(0,0) = 2 m; vy (0,0) = 20,78 m/s.
b) Calcule la frecuencia y la velocidad de propagación de la onda, así como la diferencia de fase entre dos puntos separados 5 m, en un mismo instante.
a) Calcule la constante recuperadora del resorte y el período del movimiento. K = 4900 N/m; T = 0,28 s.
b) Haga un análisis de las transformaciones energéticas que tienen lugar en una oscilación completa y calcule el valor de las energías cinética y potencial elástica cuando el desplazamiento es de 1,3 cm. Ep = 0,414 J; Ec = 1,79 J
