Capítulo V Matemática V (739)
Objetivo 4. Resolver problemas referentes a funciones analíticas, continuidad y derivabilidad de funciones de variable compleja.
Antes de comenzar a desarrollar este objetivo, veremos algunas definiciones.
NÚMERO COMPLEJO
Un número complejo es un par ordenado de la forma
( )
x y, , donde x e y son números reales.Los números reales quedaran representados como:
( )
x, 0 .Los números imaginarios puros quedaran representados como:
( )
0,y .Si denotamos z=
( )
x y, , se definirá: Rex= z y=Im z Re z: Parte real del número complejo zeta
Im z: Parte imaginaria del número complejo zeta Hay 3 números importantes, a saber:
( )
0= 0, 0 1=
( )
1, 0 i=( )
0,1Los números complejos además de escribirse z=
( )
x y, , también se pueden escribir:z= +x iy
Las operaciones básicas de números complejos son: SUMA: z1+ =z2
(
x y1, 1) (
+ x y2, 2) (
= x1+x y2, 1+y2)
PRODUCTO: z z1. 2 =
(
x y1, 1) (
. x y2, 2) (
= x1+iy1) (
. x2+iy2)
=x x1 2+x iy1 2+iy x1 2+iy iy1 2 Pero: i i. = = −i2 1, entonces:(
)
2(
)
(
) (
)
1. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z =x x + x y +y x i i+ y y =x x + x y +y x i− y y
(
)
1. 2 1 2 1 2, 1 2 1 2 z z = x x −y y x y +y x
Siendo así las cosas, es procedente mencionar el módulo y argumento de un número complejo, así:
Módulo o magnitud de
( )
2 2 ,z= x y → =z x +y
Argumento o ángulo de z
( )
x y, arg( )
z arctg y xα
= → = =
, − < ≤
π α π
.Esta situación nos permite escribir el número z=
( )
x y, , además de z= +x iy, en forma polar, así:(
cos)
z= z
α
+isenα
Un número complejo, tiene su conjugado, y se define así: z= −x iy
Algunas propiedades importantes de la conjugada compleja son:
• z1+ = +z2 z1 z2
• z z1. 2 =z z1. 2
• 1 1
2 2
z z
z z
=
• Re Re 1
( )
2z= z= z+z
• Im Im 1
( )
2z z z z
i
= − = −
La desigualdad triangular conserva su validez para números complejos, es decir:
1 2 1 2 z +z ≤ z + z
FÓRMULA DE EULER
Considerando los siguientes desarrollos de Maclaurin (Taylor alrededor de cero) de las siguientes funciones obtenida en el objetivo 1:
• 1 2 3 4 5 6 7 ...
2! 3! 4! 5! 6! 7! !
n
x x x x x x x x
e x
n
= + + + + + + + + +
•
( )
(
)
2 1
3 5 7 1
...
3! 5! 7! 2 1 !
n n
x
x x x
senx x
n
+
−
= − + − + +
+
•
( )
( )
2 2 4 61
cos 1 ...
2! 4! 6! 2 !
n n
x
x x x
x
n
−
= − + − + +
Sustituyendo en el primer desarrollo x=i
α
, se tiene: 2 3 4 5 6 71 ...
2! 3! 4! 5! 6! 7! !
n
x x x x x x x x
e x
n
= + + + + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 4 5 6 71 ...
2! 3! 4! 5! 6! 7!
i i i i i i i
eα = + +i
α
α
+α
+α
+α
+α
+α
+ Tomando en cuenta:2 1 i = −
3 2 1 i =i i= − ⋅ = −i i
( )
4 3 2
1 1 i =i i= − ⋅ = − = − − =i i i
5 4 1 i =i i= ⋅ =i i
6 5 2
1 i =i i= ⋅ = = −i i i
( )
7 61
i =i i= − ⋅ = −i i Entonces:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 71 ...
2! 3! 4! 5! 6! 7!
i i i i i i i
eα = + +i
α
α
+α
+α
+α
+α
+α
+2 3 4 5 6 7
1 ...
2! 3! 4! 5! 6! 7!
i
eα = + −i
α
α
−iα
+α
+iα
−α
−iα
+ Agrupando términos:2 4 6 3 5 7
1 ...
2! 4! 6! 3! 5! 7!
i
eα = −
α
+α
−α
+ −iα
iα
+iα
−iα
+2 4 6 3 5 7
1 ...
2! 4! 6! 3! 5! 7!
i
eα = −
α
+α
−α
+iα
−α
+α
−α
+Observa que: 2 4 6
1 ... cos
2! 4! 6!
α
α
α
α
− + − + = y
3 5 7 ...
3! 5! 7! sen
α
α
α
α
− + − + =α
Entonces:
cos
i
eα =
α
+isenα
Esta fórmula se conoce como FÓRMULA DE EULER. De esta fórmula se obtiene la fórmula De Moivre:
( )
i n i n( ) cos( )
( )
eα =e α = n
α
+isen nα
Es decir:( )
eiα n =(
cosα
+isenα
)
n Así podemos escribir la fórmula de Moivre:(
cosα
+isenα
)
n =cos( )
nα
+isen n( )
α
También, de la fórmula de Euler, se obtiene la forma exponencial de un número complejo, y ésta forma de escribir el número complejo nos permitirá obtener potencias y raíces de números complejos, observa:
De la forma polar de un número complejo z= z
(
cosα
+isenα
)
, haciendo r = z , podemos escribir: z=r(
cosα
+isenα
)
, combinando esta forma polar con la de Euler eiα =cosα
+isenα
, se obtiene la forma exponencial:i
z
=
re
αPOTENCIA DE UN NÚMERO COMPLEJO:
( )
( )
nn i n n i n in
z
=
re
α=
r
e
α=
r e
αRAÍZ DE UN NÚMERO COMPLEJO:
( )
( )
( 2 )1 1 1 1 1
2
2
cos
k i
i
i i n n
n n n n n n n
k
k
z
re
r
e
r e
re
r
isen
n
n
α π α
α α +
α
+
π
α
+
π
=
=
=
=
=
+
Donde
k
es un entero que va desde0
hasta(
n
−
1
)
para obtener lasn
raíces diferentes dez
.Conseguir la raíz cubica del número complejo
z
= +
1
i
, es decir: 3z
=
31
+
i
.
Vamos a escribir el número
z
= +
1
i
en su forma exponencial, para ello necesitamos su magnitud y argumento, en este caso:( )
1
1,1
z
= + =
i
2 2 2 2
1
1
2
r
= =
z
x
+
y
=
+ =
yarg
( )
1
1
1
4
z
= =
α
arctg
=
arctg
=
π
Entonces:
2
1 4
3 6
3
3 3
2
2
4
4
1
2
2 cos
3
3
k
i
k
k
z
i
e
isen
π π
π
π
π
π
+
+
+
=
+ =
=
+
Para
k
entero entre0
y n− = − =1 3 1 2, es decir:0
1
2
k
=
Para k =0, la primera raíz es:
6 6
1
4
4
2 cos
2 cos
3
3
12
12
z
isen
isen
π
π
π
π
=
+
=
+
Para k =1, la segunda raíz es:
6 6 6
2
2
2
9
9
3
3
4
4
2 cos
2 cos
2 cos
3
3
12
12
4
4
z
isen
isen
isen
π
π
π
π
π
π
π
π
+
+
=
+
=
+
=
+
Para k =2, la tercera raíz es:
6 6
3
4
4
17
17
4
4
2 cos
2 cos
3
3
12
12
z
isen
isen
π
π
π
π
π
π
+
+
=
+
=
+
Es interesante conocer lo siguiente.
su son 4 raíces un cuadrado y así sucesivamente, obtienes figuras como pentágonos, hexágonos entre otras cuya característica principal es que tienen todos sus lados iguales.
Como ejemplo graficaré las 3 raíces anteriores, para que observes que ciertamente se trata de un triángulo equilátero.
Para 1 6
2 cos
12
12
z
=
π
+
isen
π
, se tiene:6 1
1
2
12
r
π
α
=
=
Para 2 6
3
3
2 cos
4
4
z
=
π
+
isen
π
, se tiene:6 2
2
2
3
4
r
π
α
=
=
Para 3 6
17
17
2 cos
12
12
z
=
π
+
isen
π
, se tiene:6 3
3
2
17
12
r
π
α
=
=
Los ángulos en grados son:
1
180º
90º
30º
15º
12
12
6
2
π
α
=
=
=
=
=
( )
2
3
180º
3
3 45º
135º
4
4
π
α
=
=
=
=
( )
3
17
180º
17
17 15º
255º
12
12
π
α
=
=
=
=
Observa que la diferencia entre los ángulos es igual:
255º 135º 135º 45º 120º
−
=
−
=
Y que esa diferencia por 3 (porque hay 3 raíces) es:
Es decir, la circunferencia completa, y esto se cumple por ser una figura regular la que se obtiene.
Graficando:
Para comenzar a hablar de funciones complejas, debemos desarrollar el siguiente comentario, para entender el concepto de DOMINIO de una función en el campo complejo.
REGIONES EN EL PLANO COMPLEJO
Para abordar este comentario, es importante la interpretación geométrica de:
0 z−z =r
Y la interpretación es que la ecuación anterior es una circunferencia de centro en z0 y radio r.
Para que lo entiendas mejor, desarrollemos la ecuación z−z0 =r.
( )
,z= x y , z0 =
(
x y0, 0)
, entonces:( ) (
) (
)
0 , 0, 0 0, 0 z− =z x y − x y = −x x y−y Luego: z−z0 =
(
x−x y0, −y0)
=(
x−x0) (
2+ −y y0)
2 De manera que z−z0 =r, es:(
) (
2)
2(
) (
2)
2 20 0 0 0
Que es, como ya mencione, una circunferencia de centro en z0 =
(
x y0, 0)
y radio r.• Se entenderá como entorno de z0, a los puntos interiores de z−z0 <
ε
.• Se entenderá como entorno reducido de z0, a los puntos interiores de
0
z−z <
ε
, excepto el propio z0, y esto se representa así: 0< −z z0 <ε
.• Se dice que un punto z0 es interior a un conjunto S, siempre que exista un entorno de z0 cuyos puntos sean todos de S.
• Si el punto z0, no es interior ni exterior, entonces es un punto frontera de S, es decir, todo entorno contiene puntos internos y externos.
La totalidad de todos los puntos fronteras se denomina frontera de S.
• Un conjunto es abierto si no contiene a ninguno de sus puntos frontera. Equivalente a esta definición es, que el conjunto S contiene a todos sus puntos interiores, esta situación se representa con una línea punteada que indica que los puntos fronteras no pertenecen al conjunto S.
• Existen conjuntos que no son abiertos ni cerrados, es decir, no son abiertos, porque no contienen todos sus puntos interiores (el punto z0 no pertenece al conjunto S) y no son cerrados porque no contiene todos sus puntos frontera, por ejemplo:
• Un conjunto abierto es conexo si cada par de puntos z1 y z2 en él se puede unir por medio de una línea poligonal consistente en un número finito de segmentos sucesivos, que está por completo contenida en el conjunto S.
• Un conjunto que es abierto y conexo se llama dominio.
reciproco de esta afirmación, en general no es cierta, es decir, no toda región es necesariamente un dominio.
• Un conjunto S es acotado si todo punto de S esta dentro de algún circulo z =R, en caso contrario, no es acotado.
• Un punto z0 se dice que es un punto de acumulación de un conjunto S si cada entorno punteado de z0 contiene al menos un punto de S. De aquí se desprende que todo punto frontera es de acumulación, pertenezca o no a la frontera, asi como los puntos interiores, todos ellos son de acumulación, pero los puntos externos o aislados no son de acumulación.
• Un conjunto S es compacto cuando es cerrado y acotado. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
Sea S un conjunto de números complejos. Una función f definida sobre S es una regla que asigna a cada z en S un número complejo w. El número w se llama la imagen o valor de f en z y se denota por f z
( )
, es decir:( )
w= f zLa expresión z= +x iy, permite expresar la función f z
( )
como un par de funciones con valores reales en las variables x e y, es decir:( ) ( )
,( )
, f z =u x y +iv x yFUNCIONES COMPLEJAS ELEMENTALES MÁS IMPORTANTES
• f z
( )
=zTomando z= +x iy, se tiene:
( )
f z = = +z x iy Por lo tanto:
( )
( )
, , u x y x
v x y y
=
=
• f z
( )
1 z=
( )
1 f zx iy
= +
Efectuando algunas operaciones, en este caso, conjugando el denominador:
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2( )
2 2 2 2 2 2 21
1
x iy x iy x iy x iy x iy x y
f z i
x iy x iy x iy x i y x y x y x y x y
− − − − −
= = = = = = −
+ − − − − − + + +
Por lo tanto:
( )
( )
2 2
2 2 ,
,
x u x y
x y
y v x y
x y
=
+
= −
+
•
( )
zf z
=
e
Tomando z= +x iy, se tiene:
( )
x iyf z
=
e
+Podemos escribir utilizando las propiedades de potenciación:
( )
x iy x iyf z
=
e
+=
e e
Aplicando Euler en:
e
iy=
cos
( )
y
+
isen y
( )
, se tiene:( )
x iy x(
cos
( )
( )
)
xcos
( )
x( )
f z
=
e e
=
e
y
+
isen y
=
e
y
+
ie sen y
Por lo tanto:
( )
( )
( )
( )
, cos
,
x x
u x y e y
v x y e sen y
=
=
• f z
( )
=log( )
zTomando z= +x iy, se tiene:
( )
log(
)
f z = x iy+Como no podemos separar el logaritmo de la suma, utilizamos la forma
exponencial de zeta, es decir:
z
=
z e
iα, entonces:( )
log( )
log(
i)
f z = z = z eα
Aplicando la propiedad del logaritmo del producto, se tiene:
( )
log log if z = z + eα
( )
log log f z = z +iα
eSi la función hubiese sido de logaritmo natural o neperiano, se tendría:
( )
ln( )
ln lnf z = z = z +i
α
e Y como lne=1, se tiene:( )
ln( )
ln f z = z = z +iα
Recuerda que el ángulo es multivaluado, es decir, el logaritmo de un complejo tiene varios valores, es decir:
( )
ln( )
ln(
2)
f z = z = z +i
α
+ kπ
, con k=0,1, 2, 3,... El valor principal para logaritmo de zeta es para k=0, así:( )
ln( )
ln f z = z = z +iα
Por lo tanto:( )
(
)
( )
2 2 1 2 2
, ln ln ln
2 ,
u x y z x y x y
y v x y arctg
x
α
= = + = +
= =
•
( )
zf z
=
z
Tomando logaritmo:
( )
ln( )
zzf z
=
e
Podemos escribir:
( )
ln( )
zz zlnzf z
=
e
=
e
Como ln
( )
z =ln z +iα
, se tiene:( )
z(
lnz i)
f z
=
e
+αTomando z= +x iy, se tiene:
( )
( ) ( )(
2 2)
ln2 ln
x y y
x iy iarctg
x z z i
f z e α e
+
+ +
+
= =
Desarrollando el exponente:
(
2 2)
( )
( )
(
2 2)
( )
2ln ln
2 2
x x y y i y x y y
i x arctg i y arctg
x x
+ +
+ + +
(
2 2)
( )
( )
(
2 2)
( )
ln ln
2 2
x x y y i y x y y
i x arctg y arctg
x x
+ +
+ + −
Agrupando:
(
2 2)
( )
( )
( )
(
2 2)
ln ln
2 2
x x y y y i y x y
y arctg i x arctg
x x
+ +
− + +
(
2 2)
( )
( )
( )
(
2 2)
ln ln
2 2
x x y y y y x y
y arctg x arctg i
x x + + − + + Por ende:
( )
(
2 2)
( ) ( ) ( )(
2 2)
ln ln
2 2
x x y y y y x y
y arctg x arctg i
x x
f z
e
+ + − + +
=
Podemos escribir utilizando las propiedades de potenciación:
(
2 2)
( ) ( ) ( )(
2 2)
(
2 2)
( ) ( ) ( )(
2 2)
ln ln ln ln
2 2 2 2
x x y y y y x y x x y y y y x y
y arctg x arctg i y arctg x arctg i
x x x x
e
e
e
+ + + + − + + − +
=
Aplicando Euler en:
e
iy=
cos
( )
y
+
isen y
( )
, se tiene:(
)
( )( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
2 2
ln
2 2 2 2
2
ln
ln
cos
2
2
x x y y
y arctg
x
y
y
x
y
y
y
x
y
e
x arctg
isen
x arctg
x
x
+ −
+
+
+
+
+
Por lo tanto:
( )
(
)
( )( )
( )
(
)
( )
(
)
( )( )
( )
(
)
2 2 2 2 ln 2 2 2 ln 2 2 2ln
,
cos
2
ln
,
2
x x y y
y arctg x
x x y y
y arctg x
y
x
y
y
u x y
e
x arctg
x
y
x
y
y
v x y
e
sen
x arctg
x
+ − + −
+
=
+
+
=
+
A continuación desarrollare algunas funciones trigonométricas, pero antes debo utilizar las siguientes igualdades:
Se sabe que:
( )
2
iz ize
e
sen z
i
−−
=
cos
( )
( )
2
z z
e
e
senh z
−
−
=
cosh
( )
2
z z
e
e
z
−
+
=
Observa lo que sucede cuando en las igualdades
( )
2
iz iz
e
e
sen z
i
−−
=
y( )
cos
2
iz iz
e
e
z
−
+
=
, se sustituyez
poriz
:( )
2 2 ( )12
2
2
2
2
2
z
iz iz iiz iiz i z i z z z z z z
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
sen z
i
i
i
i
i
i
− −
− − − − − −
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=
= −
Eliminando
i
del denominador, se tiene:( )
2( )
( )
2
2
2
1
2
z z z z z z z z
e
e
i
e
e
e
e
e
e
sen z
i
i
i
isenh z
i
i
i
− − − −
−
−
−
−
= −
= −
= −
=
=
−
Ahora sustituyendo
z
poriz
en la siguiente relación:( )
2 2 ( )1( )
cos
cosh
2
2
2
2
2
2
z
iz iz iiz iiz i z i z z z z z z
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
z
z
− −
− − − − − −
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
En resumen:
( )
( )
( )
( )
cos
cosh
sen z
isenh z
z
z
=
=
Ahora continuemos con las funciones complejas.
• f z
( )
=sen z( )
Tomando z= +x iy, se tiene:
( )
(
)
( ) ( )
cos( ) ( )
cos f z =sen x iy+ =sen x iy +sen iy xComo
( )
( )
( )
( )
cos cosh sen iy isenh y
iy y
=
=
, se tiene:
( )
( )
cosh( )
( ) ( )
cos f z =sen x y +isenh y x Por lo tanto:( )
( )
( )
( )
( )
( )
, cosh
, cos
u x y sen x y
v x y x senh y
=
=
• f z
( )
=cos( )
zTomando z= +x iy, se tiene:
Como
( )
( )
( )
( )
cos cosh sen iy isenh y
iy y
=
=
, se tiene:
( )
cos( )
cosh( )
( )
( )
f z = x y −isen x senh y Por lo tanto:( )
( )
( )
( )
( )
( )
, cos cosh
,
u x y x y
v x y sen x senh y
=
= −
• f z
( )
=arcsen z( )
De
( )
( )
2
iz iz
e
e
w
f z
sen z
i
−−
=
=
=
, se obtiene la función inversa.Intercambiando variables:
2
iw iw
e
e
z
i
−
−
=
Ahora despejamos
w
en función de zeta:( )
2( )
2
1
1
2
2
2
1
2
iw
iw iw iw iw iw
iw iw
e
e
e
iz
e
iz
iz
e
ize
e
e
−
−
−
=
→
−
=
→
=
→
− =
( )
2( )
21 2
0
2
1
0
iw iw iw iw
e
− −
ize
= →
e
−
ize
− =
Aplicando la ecuación de segundo grado, con el cuidado de tomar un solo signo delante de la raíz, ya que se busca una función inversa, no una relación inversa:
( )
22
1
4
2
1
0
2
2
1
iw iw iw
a
b
b
ac
e
ize
b
iz
e
a
c
=
− +
−
−
− = →
= −
→
=
= −
(
)
( )( )
( )
( )
2 2 2
2
2
2
4 1
1
2
4
4
2
4 4
2 1
2
2
iw
iz
iz
iz
i
z
iz
z
e
=
+ −
−
−
=
+
+
=
+
−
2
2
2 1
2
2
iw
iz
z
e
=
+
−
=
iz
+
2
2
1
2
z
−
21
iz
z
= +
−
(
)
(
2)
(
2)
(
)
2 2
2
ln
1
ln
1
ln
1
ln
1
iz
z
i
i
iz
z
iw
iz
z
w
i
iz
z
i
i
i
+
−
+
−
Entonces:
( )
(
2)
ln
1
arcsen z
= −
i
iz
+
−
z
De la misma manera se tiene:
( )
(
2)
arccos
z
= −
i
ln
z
+
i
1
−
z
( )
arc
ln
2
i
i
z
tg z
i
z
+
=
−
( )
(
2)
ln
1
arcsenh z
=
z
+
+
z
( )
(
2)
arccos
h z
=
ln
z
+
z
−
1
( )
1
1
arc
ln
2
1
z
tgh z
z
+
=
−
FUNCIONES ANALITICAS DE VARIABLE COMPLEJA
Una función
f z
( )
definida en un conjuntoS
es una regla que asigna acada
z
∈
S
un número complejow
, es decir:w
=
f z
( )
. El conjuntoS
sedenomina dominio de definición de la función
f z
( )
. El límite de una función compleja:( )
0
0
lim
z→z
f z
=
w
Significa, que dado un
ε
>
0
, existe unδ
>
0
tal quef z
( )
−
w
0<
ε
siempre que
0
< −
z
z
0<
δ
.Si la función
f z
( )
se escribe:f z
( ) ( )
=
u x y
,
+
iv x y
( )
,
, entonces:( )
( ) ( )(
( )
( )
)
0 0 0
0 0 0
lim
lim
,
,
Si y solo sí:
( ) ( 0 0)
( )
0 ,lim
,,
x y → x y
u x y
=
u
y ( )x y,lim
→(x y0, 0)v x y
( )
,
=
v
0Una función
f z
( )
es continua en un puntoz
0 si se satisfacensimultáneamente las siguientes 3 condiciones:
•
f z
( )
0 Exista.•
( )
0
lim
z→z
f z
Exista.•
( )
( )
0
0
lim
z→z
f z
=
f z
.Evidentemente la tercera condición contiene las otras 2, por ello es un resumen para indicar la continuidad de una función en un punto.
La derivada de una función en el punto
z
0, perteneciente al dominio de la función se define como:( )
( ) ( )
0
0 '
0
0
lim
z z
f z
f z
f
z
z
z
→
−
=
−
Cuando este límite existe, se dice que la función
f z
( )
es diferenciableen
z
0.Tomando
∆ = −
z
z
z
0, podemos escribir:( )
(
0) ( )
0' 0
0
lim
z
f z
z
f z
f
z
z
∆ →+ ∆ −
=
∆
Vale destacar que SI UNA FUNCIÓN ES DERIVABLE EN UN PUNTO ENTONCES ES CONTINUA EN DICHO PUNTO.
DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN
Sabemos que una función f z
( )
es derivable en el punto z0 si existe ellímite:
( )
(
0) ( )
0' 0
0
lim
z
f z
z
f z
f
z
z
∆ →+ ∆ −
=
∆
Con z0 = +x0 iy0 y ∆ = ∆ + ∆z x i y, se tiene:( )
( ) ( )(
0) ( )
0 '0
, 0,0
Re
lim
Re
x y
f z
z
f z
f
z
z
∆ ∆ →+ ∆ −
=
∆
( )
( ) ( )(
0) ( )
0 '0
, 0,0
Im
lim
Im
x y
f z
z
f z
f
z
z
∆ ∆ →+ ∆ −
=
∆
Donde:(
0) ( )
0u x
(
0x y
,
0y
) (
u x y
0,
0)
i v x
(
0x y
,
0y
) (
v x y
0,
0)
f z
z
f z
z
x i y
+ ∆
+ ∆ −
+
+ ∆
+ ∆ −
+ ∆ −
=
∆
∆ + ∆
Ahora hagamos tender
(
∆ ∆x, y)
al origen horizontalmente, por los puntos(
∆x, 0)
, esto significa que ∆ =y 0, tal como se muestra en la siguiente figura:Entonces:
( )
(
) (
)
( 0 0)
0 0 0 0
' 0 0 ,
,
,
Re
lim
x x yu x
x y
u x y
u
f
z
x
x
∆ →+ ∆
−
∂
=
=
∆
∂
( )
(
) (
)
( 0 0)
0 0 0 0
' 0 0 ,
,
,
Im
lim
x x yv x
x y
v x y
v
f
z
x
x
∆ →+ ∆
−
∂
=
=
∆
∂
Recordando que f z
( ) ( )
=u x y, +iv x y( )
, , se puede escribir:( )
( 0 0) ( 0 0) '
0
, ,
x y x y
u
v
f
z
i
x
x
∂
∂
=
+
∂
∂
También se puede hacer tender
(
∆ ∆x, y)
al origen verticalmente, por los puntos(
0,∆y)
, esto significa que ∆ =x 0, y haciendo el trabajo anterior, se obtendría:( )
(
) (
)
( 0 0) ( 0 0) ( 0 0)
0 0 0 0
'
0 0 2
, , ,
,
,
1
Re
lim
y
x y x y x y
u x y
y
u x y
u
i
u
u
f
z
i
i y
i y
i
y
y
∆ →
+ ∆ −
∂
∂
∂
=
=
=
= −
∆
∂
∂
∂
( )
' 0 0Im
lim
xi
f
z
∆ →
=
(
0 0) (
0 0)
,
,
v x y
y
v x y
i
+ ∆ −
(x y0, 0)
Observa que después de hacer las operaciones anteriores, la parte real es imaginaria y la imaginaria real, por lo tanto:
( )
( 0 0) ( 0 0) '
0
, ,
x y x y
v
u
f
z
i
y
y
∂
∂
=
−
∂
∂
Luego, para que exista el límite '
( )
0(
0) ( )
0 0lim
z
f z z f z f z
z
∆ →
+ ∆ − =
∆ , es decir,
la derivada de f z
( )
, debemos igualar las partes imaginarias y real de:( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0
' 0
, ,
' 0
, ,
x y x y
x y x y
u
v
f
z
i
x
x
v
u
f
z
i
y
y
∂
∂
=
+
∂
∂
∂
∂
=
−
∂
∂
Es decir:
(x y0, 0) (x y0, 0)
u
v
x
y
∂
=
∂
∂
∂
y ( 0 0) ( )0 0
, ,
x y x y
v
u
x
y
∂
= −
∂
∂
∂
En forma resumida, estas ecuaciones pueden escribirse así:
x y
u
=
v
yv
x= −
u
yEstas ecuaciones son las llamadas, ecuaciones de Cauchy-Riemann que al cumplirse, solo hacen cumplir una CONDICIÓN NECESARIA para que la función f z
( )
sea derivable en z0.La CONDICIÓN SUFICIENTE, garantiza la existencia de la derivada de la función f z
( )
en z0, ésta condición suficiente consiste en que las primerasderivadas parciales
u v u
x,
x,
yy
v
y existan y sean CONTINUAS en z0.En ocasiones, una forma alternativa de representar las ecuaciones de Cauchy-Riemann, es en coordenadas polares, para ello procedemos así:
Se sabe que se puede escribir: f z
( ) ( )
=u x y, +iv x y( )
, ; en coordenadas polares se tiene:cos x r
y rsen
θ
θ
=
=
Observa entonces que nuestra función compleja depende de u x y
( )
, y( )
,v x y , pero éstas a su vez dependen de r y θ, debido a las ecuaciones en coordenadas polares, por ende, debemos aplicar derivada en cadena, así:
u u x u y r x r y r
∂ =∂ ∂ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
u u x u y
x y
θ
θ
θ
∂ =∂ ∂ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
v v x v y r x r y r
∂ =∂ ∂ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
v v x v y
x y
θ
θ
θ
∂ =∂ ∂ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
De x rcos x rsen
θ
θ
= = , se tiene:
cos x r y sen r
θ
θ
∂ = ∂ ∂ = ∂ cos x rsen y rθ
θ
θ
θ
∂ = − ∂ ∂ = ∂ Entonces: cosu u u
sen
r x
θ
yθ
∂ =∂ +∂
∂ ∂ ∂ cos
u u u
rsen r
x
θ
yθ
θ
∂ = −∂ +∂
∂ ∂ ∂
cos
v v v
sen
r x
θ
yθ
∂ =∂ +∂
∂ ∂ ∂ cos
v v v
rsen r
x
θ
yθ
θ
∂ = −∂ +∂
∂ ∂ ∂
Suponiendo que la función f z
( ) ( )
=u x y, +iv x y( )
, satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, es decir:v
u
y
x
∂ =
∂
∂
∂
yu
v
y
x
∂
= −
∂
∂
∂
Entonces las ecuaciones:
cos
v v v
x ysen
r
θ
∂ = +∂
∂
∂
∂
∂ cos
v
rsen r
v v
x
θ
yθ
θ
∂ ∂
∂
∂ =− +
∂ ∂
Pasan a ser:
cos u u y se r x v n
θ
∂ = + ∂ ∂ ∂ −∂ ∂ cos
v
rsen
u u
y
θ
xrθ
θ
∂ ∂
∂ ∂
∂ = +
∂
Combinando las ecuaciones:
cos
u u u
sen
r x
θ
yθ
∂ =∂ +∂
∂ ∂ ∂ cos
u u u
rsen r
x
θ
yθ
θ
∂ = −∂ +∂
∂ ∂ ∂
Con las que se acaban de obtener:
cos
v u u
sen
r y
θ
xθ
∂ = −∂ +∂
∂ ∂ ∂ cos
v u u
rsen r
y
θ
xθ
θ
∂ =∂ +∂
Se obtiene por un lado, combinando: u ucos usen
r x
θ
yθ
∂ = ∂ +∂
∂ ∂ ∂ con
cos
v u u
rsen r
y
θ
xθ
θ
∂ = ∂ +∂
∂ ∂ ∂ :
cos cos cos
v u u u u
rsen r r rsen r
y x
u u
sen
x y
x y
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
∂ =∂ +∂ = ∂ +∂ =
∂ ∂ ∂
∂ ∂
+
∂ ∂
∂ ∂
Pero lo encerrado entre paréntesis rojos es u ucos usen
r x
θ
yθ
∂ = ∂ +∂
∂ ∂ ∂ , por lo
tanto:
v r u
r
θ ∂ = ∂
∂ ∂
De donde: u 1 v r r θ
∂ = ∂
∂ ∂
Y por otro lado, combinando: u ursen urcos
x θ y θ
θ
∂ = −∂ +∂
∂ ∂ ∂ con
cos
v u u
sen
r y θ x θ
∂ = −∂ +∂
∂ ∂ ∂ :
cos cos cos
u u u u u
rsen r r rsen r
x y
u u
sen y
x x
y θ θ
θ θ θ θ
θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− +
∂ ∂
= − + = − = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Pero lo encerrado entre paréntesis azules es v ucos usen
r y θ x θ
∂ = −∂ +∂
∂ ∂ ∂ ,
por lo tanto:
v
u
r
r
θ
∂ = − ∂ ∂
∂
De donde: v 1 u r r θ
∂ = − ∂
∂ ∂
En resumen, las ecuaciones en coordenadas cartesianas de Cauchy-Riemann son:
u
v
x
y
∂
=
∂
∂
∂
yv
u
x
y
∂
= −
∂
∂
∂
Y en coordenadas polares son: 1
u v
r r θ
∂ = ∂
∂ ∂ y
1
v u
r r θ
∂ = − ∂
Una función f z
( )
es analítica en un conjunto abierto S si tiene derivada en todo punto de ese abierto.FUNCIONES HARMÓNICAS Considerando las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
u
v
x
y
∂
=
∂
∂
∂
yu
v
y
x
∂
= −
∂
∂
∂
Al derivarlas parcialmente respecto a equis y ye, cada una de las ecuaciones anteriores, se tiene:
2 2
2
v
u
y
u
v
x
x
x
x
x y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
→
=
∂
∂
∂
∂ ∂
Y
2 2
2
u
v
y
x
u
v
y
y
y
y x
∂
∂
∂
∂
∂ −
∂
∂
∂
=
→
= −
∂
∂
∂
∂ ∂
El Teorema de Schwarz se cumple en estas condiciones e indica que se cumple:
2 2
v v
x y y x
∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Por lo tanto, sumando las ecuaciones:
2 2
2
u
v
x
x y
∂
=
∂
∂
∂ ∂
y2 2
2
u
v
y
y x
∂
= −
∂
∂
∂ ∂
, se tiene:2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
0
u
u
v
v
u
u
x
y
x y
y x
x
y
∂
+
∂
=
∂
−
∂
→
∂
+
∂
=
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂
Esta ecuación
2 2
2 2
0
u
u
x
y
∂
+
∂
=
∂
∂
es conocida como ecuación diferencial de Laplace.Es importante destacar, que toda función
u x y
( )
,
, con sus segundas derivadas parciales contínuas y que satisface la ecuación de Laplace en su dominio, se dice que es harmónica allí.Ejercicio 1 Sea f :ℂ→ℂ, definida por:
( )
2 1
si 4 si
z
z i f z z i
i z i
+
≠
= −
=
Estudie la continuidad de la función f z
( )
en todo el plano complejo. SoluciónJustificación: Sabemos que una función
f z
( )
es continua en un punto0
z
si se satisfacen simultáneamente las siguientes 3 condiciones:•
f z
( )
0 Exista.•
( )
0
lim
z→z
f z
Exista.•
( )
( )
0
0
lim
z→z
f z
=
f z
.En este caso, la función f z
( )
es racional, por ser cociente de dos polinomios, por ende, es continua en todo punto del plano complejo, excepto donde se anula el denominador, en este caso:0
z i− = → =z i
Por ende, el único punto del plano complejo, donde la función f z
( )
pudiera ser discontinua es z=i, analicemos las 3 condiciones de continuidad en dicho punto:•
f z
( )
0=
f i
( )
=
4
i
, existe.•
2
1
lim
z i
z
z i
→+
−
, factorizando con la fórmula:(
)(
)
2 2a
−
b
=
a b
+
a b
−
se tiene:( )
( )
(
)(
)
2 2 2 2 2
1
+
z
= + = − − = −
z
1
z
1
z
i
= +
z
i
z i
−
Entonces:
(
) (
)
2
1
lim
lim
z i z i
z
i
z i
z
z i
→ →
+
−
+
=
−
z i
−
=
lim
z→i(
z
+ = + =
i
)
i i
2
i
El
2
1
lim
z i
