Considere el siguiente problema de programación entera

Programación entera y

El supuesto de que

x

es una variable continua

no siempre es adecuado al momento de

construir un modelo. Un decisor necesita que el

modelo:

•

_{Tome en cuenta que las actividades se refieren}

a entidades indivisibles.

•

_{Represente un objeto (ruta, secuencia,}

segmentación, agrupamiento).

Considere el siguiente problema de programación entera

2 1

5

8

x

x

Z





Max. Sujeta a:

entero y , 0 45 5 9 6 2 1 2 1      i x x x x x 45 5

9x₁  x₂ 

6

2

1



x



Ejemplo 2

Se tienen los siguientes datos de dos tipos de

hospitales que se proyecta construir. Se cuentan

con 650 equipos médicos y con 50,000 toneladas de

material.

Formule el problema de programación

lineal-entera para determinar cuantos hospitales de cada

tipo se deben construir para atender al

máximo

Ejemplo 3

Un artesano fabrica dos tipos de productos: mesas de centro y esquineros. Los datos de producción se muestran en la siguiente tabla. El artesano no desea trabajar más de 40 horas a la semana y además, sus recursos no le permiten gastar más de $1000 en materiales a la semana; entonces, ¿cuántas mesas se cada tipo deberá fabricar para obtener la máxima utilidad semanal?

Tipo horas Fabr costo mat prim.

Utilidad ($)

Mesas de

centro 6 200 240

Problema de la mochila

Decisiones tipo si-no

Suponga que sale de campamento y ha construido una lista de cosas que puede llevar cargando en una mochila. Por

cuestiones de peso, lo máximo que puede cargar en la mochila son 15 libras. Formule un modelo de

programación lineal entera que le permita determinar los productos que llevará al campamento, sujeto a la

restricción de peso y que maximice el beneficio.

Artículo 1 2 3 4 5 6 7 8

Selección de proyectos

Una empresa debe tiene una cartera de proyectos para los próximos 3 años. En la tabla se muestra el gasto para cada proyecto, el dinero disponible por año y el ingreso esperado de cada proyecto. Construya un modelo de optimización para seleccionar aquellos proyectos de tal manera que se maximice el ingreso total, sujeto a la restricción de la disponibilidad de dinero cada año.

Proyecto Año 1 Año 2 Año 3 Ingreso ($)

1 5 1 8 20

2 4 7 10 40

3 3 9 2 20

4 7 4 1 15

5 8 6 10 30

Restricciones

En ocasiones es necesario en algunos

problemas

de

minimización

de

costo

(problemas de localización o producción)

tomar en cuenta los costos fijos.

•

_{Abrir una planta.}

•

_{Utilizar un almacén.}

•

_{Utilizar una máquina.}

Localización de servicios

Una compañía ampliará sus operaciones abriendo centros de distribución que se encargarán de satisfacer la demanda de ciertas regiones. El costo estimado por la apertura de

cada centro se muestra en la tabla 1.

De la misma forma, se han obtenido los costos de envío desde los centros hacia cada región así como la demanda de cada una de ellas. Las capacidades de almacenamiento son las mismas para cada centro. Sólo deben abrirse

algunos centros de distribución.

Centro de distribución

Costo apertura

1 2 3 4 Capacidad

(x 1000)

Celaya _{6000 206 225 230 290 150}

Querétaro _{5500 225 206 221 270 150}

Guadalajara _{5800 230 221 208 262 150}

DF _{6200 290 270 262 215 150}

Demanda

Región 1

Región 2

Localización de servicios

(Problema general)

Una compañía tiene m puntos que son candidatos para colocar instalaciones (fábrica) y n puntos de demanda. Se conoce la capacidad

Ci de cada instalación así como el costo fijo que se genera por la instalación /operación.

Se conoce la demanda de cada cliente así como los costos de transporte desde cada instalación. se debe determinar qué instalaciones deben abrirse y así como la cantidad que debe enviarse hacia cada cliente para satisfacer la demanda

Minimizar









i

y

c

x

F

Z

Sujeto a:

Problemas combinatorios

Es un tipo de problemas donde existe un

conjunto finito de alternativas o soluciones

factibles (combinaciones).

Cada alternativa es un objeto.

Ruta.

2 ₄

1

5

6

Problemas combinatorios

Tarea Tiempo A T1

B T2 C T3 D T4

A,D,C,B

Secuencia/Progra

ma (Schedule)

A

C

E

I

G

D

B

F

H

Formación de

grupos o conjuntos

Partición

(Construcción de

distritos

Problemas combinatorios

A

C

E

I

G

D

B

F

H

Formación de grupos

o conjuntos

Cubrimiento

(Asignación de

servicios de

emergencia,

Problemas de cubrimiento

El departamento de policía cuenta con 15 patrullas a su disposición para vigilar una pequeña ciudad. En el mapa de la derecha se muestran los sectores (15) en los que se ha dividido. Si dos sectores comparten frontera entonces se dice que son adyacentes.

El jefe de policía considera que una patrulla vigilará (cubrirá) el sector asignado así como los adyacentes a dicho sector.

Como se aprecia, el sector 1 es adyacente con los sectores 2, 9, 10 y 11. Si se asigna una patrulla al sector 1 entonces cubrirá además los sectores 2, 9, 10 y 11.

Modelo matemático







n

i

i

y

Z

1

1

1







n

j

ji

ij

y

c

Cantidad de patrullas

utilizadas

Un sector puede ser

vigilado por mas de una

patrulla.

c

: ponderación

Minimizar

Problema de coloreo de gráficas

Problema de coloreo de gráficas

1

2 3 4

1

2 3 4

Se deben colorear los nodos de la gráfica de tal manera que se utilice el mínimo número de colores.

El gerente de una empresa debe solucionar el siguiente problema: la fabrica produce 5 materiales distintos, sin embargo, dadas sus propiedades químicas, algunos de ellos no deben entrar en contacto entre sí por el riesgo de una reacción violenta.

La tabla muestra los materiales, donde 1 indica incompatibilidad. ¿Cuál es el mínimo número de secciones en las que se debe dividir el almacén de tal manera que los reactivos incompatibles queden en secciones distintas?

Un color indicará una sección de almacenamiento

Materiales que son compatibles podrán almacenarse en la misma sección.

Material 1 2 3 4 5

1 0 1 0 1 1 2 1 0 1 0 1 3 0 1 0 1 1 4 1 0 1 0 0 5 1 1 1 0 0

1

2

3

Programación de horarios

Una de las actividades administrativas en las

universidades es la programación de horarios de

clases y horarios de exámenes.

Suponga que se deben programar los exámenes de 6

materias. Hay disponibles 7 horarios.

Se sabe que hay alumnos inscritos en al menos dos

materias.

¿Cuál es el mínimo número de bloques (colores) que

se requieren para programar los exámenes de tal

Materia 1 2 3 4 5 6

1 0 0 1 1 0 1 2 0 0 1 1 1 0 3 1 1 0 0 0 1 4 1 1 0 0 1 0 5 0 1 0 0 0 1 6 1 0 1 0 1 0

Taba de conflictos. Si un par de materias