Probabilidad y Estadística Conceptos importantes – Unidad 1: Cálculo de probabilidades Índice:

Probabilidad y Estadística

Conceptos importantes – Unidad 1: Cálculo de probabilidades

Índice:

1. Propósito del documento ... 1

2. Conceptos importantes de la unidad 1. ... 2

Una introducción… ... 2

Hablemos de experimentos…... 2

Ahora, asociemos los sucesos y la probabilidad…... 4

La probabilidad condicional y su relación con la intersección de sucesos… ... 6

La independencia de sucesos… ... 7

La probabilidad total… ... 7

La regla de Bayes… ... 8

3. Errores comunes de la unidad 1 ... 10

Primero, algunas cosas que consideramos importantes más allá de los temas: ... 10

Sobre la unidad 1:... 10

1.

Propósito del documento

2.

Conceptos importantes de la unidad 1.

Una introducción…

 ¿Para qué me puede servir la probabilidad? Vamos a trabajar durante toda la materia con esto, por lo que consideramos vital no perder de vista el por qué y para qué trabajamos con la probabilidad. Utilizaremos la probabilidad ya que nos brinda las herramientas matemáticas necesarias para comprender y analizar situaciones de incertidumbre y poder tomar decisiones.

 ¿Y qué es la probabilidad? La probabilidad es un número real entre 0 y 1. Es incorrecto dar como resultado una probabilidad expresada como porcentaje.

 ¿Alguna recomendación para estudiar y resolver los ejercicios? Si, escribir y explicar los pasos que se dan para resolver un ejercicio. Esto es vital para cualquier ejercicio o problema en cualquier ámbito, explicar lo que se hace, lo que se piensa para deducir y calcular resultados es una recomendación que consideramos sumamente importante.

Hablemos de experimentos…

 ¿Qué es un espacio muestral? El espacio muestral será el conjunto de todos los resultados posibles que puede dar una experiencia aleatoria. Una experiencia puede analizarse de distintas formas y, según lo que me interese mirar, voy a definir un espacio muestral diferente.

Suele definirse con la letra S. Ejemplos:

Experiencia: Tirar un dado.

Si me interesa ver solamente el número que salió, entonces puedo definir: S1 = {1,

2, 3, 4, 5, 6}.

Si me interesa ver si el número resultante es par o impar, entonces puedo definir: S2 = {Número par, Número impar}.

Si me interesa ver si el número es inferior a 3 o como mínimo 3, entonces puedo definir: S3 = {resultado menor a 3, resultado mayor o igual a 3}.

Y así podemos seguir…

 ¿Qué es un suceso o evento? Es un subconjunto del espacio muestral. Siguiendo el ejemplo del dado con el espacio muestral S1, podemos definir los sucesos:

A = Sale el número 1.

B = Sale el número 2 o el número 4. C = Sale un número mayor a 3. Y así podemos seguir…

 ¿Es necesario definir sucesos? SI, lo consideramos absolutamente necesario para poder llegar a buen puerto en cualquier ejercicio. Más allá de la materia, una correcta

 ¿Cómo vamos a trabajar con los espacios y sucesos? Los vamos a estar trabajando como conjuntos y subconjuntos, por lo que tenemos que recordar algunas operaciones que realizamos con ellos.

 ¿Qué significa la UNION de sucesos? La unión de dos sucesos A y B indica la ocurrencia solo de A, o solo de B, o la ocurrencia de ambos. Se escribe como A ∪ B. Lo podemos llevar a tantos sucesos como queramos.

Se puede ver fácilmente mediante un diagrama de Venn:

¿Cómo lo podemos interpretar al diagrama? Tomamos a la “Caja” que contiene a los sucesos A y B como el “espacio muestral” S. Los sucesos A y B están totalmente

sombreados, tanto la parte que es solo de A, como la que es solo de B, como la parte que se solapan. De esta manera estamos representando la unión de los sucesos A y B.

 ¿Qué significa la INTERSECCION de sucesos? La intersección de dos sucesos A y B indica la ocurrencia de ambos sucesos al mismo tiempo. Se escribe como A ∩ B. Lo podemos llevar a la cantidad de sucesos que queramos.

Lo podemos visualizar fácilmente mediante un diagrama de Venn:

 ¿Qué significa el suceso contrario a un suceso A? Se simboliza 𝐴̅ y es el suceso que consiste en que no ocurre A al realizar la experiencia. En un diagrama de Venn:

¿Cómo lo podemos interpretar al diagrama? Notemos que el suceso A no está

sombreado, sino que toda el área restante quedó sombreada. Esto indica lo contrario a A, A no sucede en la experiencia.

 ¿Qué implica que dos sucesos sean disjuntos o excluyentes? Significa que dos sucesos no pueden ocurrir al mismo tiempo. Por lo tanto, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.

 Una pequeña tarea: Interpretar los siguientes sucesos y graficarlos en diagramas de Venn:

𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 𝐴̅ ∩ 𝐵 ∩ 𝐶̅ (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)

Ahora, asociemos los sucesos y la probabilidad…

 ¿Cómo asociamos el concepto de “Probabilidad” con el de suceso y espacio muestral? Mediante una ley de probabilidad, la cual asigna a cada suceso, un número P(A) que llamamos “probabilidad de A”, que es una medida de la información que se tiene sobre la ocurrencia de A. Aquí vemos como se relaciona el concepto de probabilidad que

mencionamos al principio y como lo podemos especificar para un espacio muestral o suceso.

Tengamos en mente que, cómo dijimos antes, la probabilidad es un número entre 0 y 1. Entonces, cada vez que escribimos P(A), estamos hablando de un número entre 0 y 1 y no de un suceso. Por lo tanto, entre probabilidades, podremos hacer operaciones numéricas.

 La probabilidad sigue tres axiomas:

o P(A) ≥ 0 para cada suceso A de un espacio muestral.

o P(S) = 1. Esto significa que la probabilidad de todo el espacio muestral es 1, lo cual es lógico, ya que vimos que el espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.

 ¿Y si tengo uniones o intersecciones? ¿Cómo lo escribo? La notación será similar: Para una unión: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)

Para una intersección: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) Para una negación: 𝑃(𝐴̅)

 Una ley de probabilidad también tiene propiedades que se deducen de los axiomas. Referirse al capítulo 1 página 2 para leer las propiedades de una ley de probabilidad.

 Pero veo que las uniones e intersecciones son operaciones entre sucesos, ¿cómo puedo hallar estas probabilidades si no las tengo como un dato conocido?

Hablemos primero de las uniones. Recordemos el diagrama de Venn que hicimos antes:

Anteriormente estábamos viendo solo los sucesos con el diagrama de Venn. Ahora pensemos que cada área de suceso tiene asociado un número de probabilidad. Si tenemos como datos la P(A) y la P(B), ¿cómo podríamos llegar a tener la P(A U B)? Empecemos sumando P(A) con P(B). Miremos que implican ambas probabilidades en el diagrama:

2. Los sombreado es la P(B)

Entonces, si sumamos P(A) + P(B), notemos que la intersección (𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) la estamos sumando dos veces (una vez la tenemos dentro de P(A), y luego sumamos la que está dentro de P(B) ). Por lo tanto, la forma de obtener la probabilidad de una unión de sucesos A y B es la siguiente:

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

¿Y qué pasa con las intersecciones? Para esto necesitamos conocer otro concepto antes, el de probabilidad condicional. Más adelante lo trabajaremos.

 ¿Cómo calculo la probabilidad de un suceso contrario o negado? Si por ejemplo tenemos

𝑃(𝐴̅), simplemente podemos calcularlo mediante su complemento: 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴).

 ¿Cómo afecta a una probabilidad el hecho de que dos sucesos sean disjuntos o

excluyentes? Dijimos que si dos sucesos son disjuntos o excluyentes, esto significa que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Entonces, si queremos plantear las siguientes

probabilidades, veremos cómo afecta: En una unión: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) En una intersección: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0

La probabilidad condicional y su relación con la intersección de sucesos…

 ¿Cómo escribimos una probabilidad condicional? La notación que utilizamos para una probabilidad condicional es: 𝑃(𝐴 𝐵)⁄ , la cual interpretamos como “probabilidad de A sabiendo que ocurrió B”.

 Ahora que sé que es y cómo se escribe, ¿cómo calculo una probabilidad condicional? La expresión para calcular una probabilidad condicional es:

𝑃(𝐴 𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵) ⁄

Notemos que si queremos la probabilidad de B sabiendo que ocurrió A, quedaría:

𝑃(𝐵 𝐴⁄ ) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴)

Para revisar la deducción de esta expresión, referirse al capítulo 1 de la guía teórica, página 4.

 Volviendo, ¿cómo resuelvo la probabilidad de una intersección? Si vemos la probabilidad condicional, podemos despejar la probabilidad de intersección, quedando:

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴 𝐵⁄ )𝑃(𝐵)

Pero también podemos resolverla como:

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵 𝐴⁄ )𝑃(𝐴)

La independencia de sucesos…

 ¿Qué significa que dos sucesos A y B sean independientes?

Significa que la ocurrencia de B no proporciona información sobre la ocurrencia de A. ¿Qué significa que no proporciona información sobre A? Revisemos de nuevo el concepto de probabilidad condicional y volvamos aquí para seguir con la independencia.

Entonces, si lo relacionamos con una probabilidad condicional, esto significa que:

𝑃(𝐴 𝐵) = 𝑃(𝐴)⁄

Observemos lo que podemos interpretar. Como A y B son sucesos independientes, el que yo sepa que ocurrió B no me da ninguna información sobre la ocurrencia de A, entonces la probabilidad condicional de A sabiendo que ocurrió B es igual a la probabilidad de A sin tener información, porque no me cambia nada.

La independencia de sucesos implica que se den las siguientes igualdades:

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) = 𝑃(𝐴)

𝑃(𝐵 𝐴) = 𝑃(𝐵)⁄

Para un mayor detalle y desarrollo de este concepto, referirse al capítulo 1 de la guía teórica, página 6.

La probabilidad total…

Dónde:

Tenemos un suceso cualquiera llamado A.

Tenemos las distintas particiones de un espacio muestral S que llamaremos An (no

confundir las An con el suceso que llamamos A).

Ahora, queremos conocer la P(A), pero vemos que A interactúa con las distintas particiones del espacio muestral. Entonces, si quisiéramos la probabilidad total de A, debemos calcular:

𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝑆) =

𝑃(𝐴 ∩ 𝐴₁) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐴2) + ⋯ + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐴𝑛) =

𝑃(𝐴 𝐴⁄ ₁) ∗ 𝑃(𝐴₁)+ 𝑃(𝐴 𝐴⁄ ₂) ∗ 𝑃(𝐴₂)+ ⋯ + 𝑃(𝐴 𝐴⁄ _𝑛) ∗ 𝑃(𝐴_𝑛)

Una forma de pensarlo cuando nos preguntan “¿Cuál es la probabilidad de A?” es: ¿Sé de qué partición viene A en esa pregunta? No, entonces tengo que considerar todas. Y ahí comienzo a trabajar la probabilidad total.

La regla de Bayes…

 ¿Qué es la regla de Bayes? Es un resultado conocido que me permite actualizar la información sobre la ocurrencia de un suceso a partir del resultado de una experiencia. Relaciona probabilidades condicionales y totales.

 ¿Qué significa actualizar la información sobre la ocurrencia de un suceso?

particiones del espacio (las que llamamos P(Ai) ). Estas probabilidades las llamamos “a

priori”, término importante, significa “antes de realizar la experiencia”.

Luego de realizar la experiencia, observamos la ocurrencia del suceso cualquiera A (ver el apartado “Probabilidad total”) y nos preguntamos “sabiendo que ocurrió A, cuál es la probabilidad de que haya ocurrido el suceso partición Ai?” (notemos que es una pregunta

sobre una probabilidad condicional).

Así, una vez calculada esta probabilidad, actualizamos la información sobre la ocurrencia de las particiones, con probabilidades que llamamos “a posteriori” (luego de la

experiencia).

 ¿Cómo se aplica la regla de Bayes?

Es una probabilidad condicional. Consideremos la misma situación que la descripta en “Probabilidad total”.

𝑃(𝐴𝑖 𝐴⁄ ) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐴𝑖) 𝑃(𝐴)

A partir de aquí, con lo que vimos de probabilidad de intersecciones, condicional y total, podemos deducir la expresión final:

Para profundizar sobre Bayes y su aplicación, leer el capítulo 1 de la guía teórica, página 13.

Es la

probabilidad total de A que resolvimos antes Es la

probabilidad de una

3.

Errores comunes de la unidad 1

Primero, algunas cosas que consideramos importantes más allá de los

temas:

 No definir sucesos.

 No explicar los pasos que se dan o las ideas para resolver un problema.

 Solo escribir cálculos.

 No interpretar resultados.

 No dibujar. El dibujo siempre ayuda a visualizar la situación del problema, ya sea dibujos del problema en sí como gráficos y diagramas de venn.

 No considerar que es posible asumir valores. Hay muchas situaciones donde hay algún dato que falta o determinada característica (como la independencia) que no se menciona en el enunciado de un problema o en una situación laboral. En estos casos debemos asumir ciertos valores o características que necesitemos, pero siempre con criterio y dejando explicito el criterio adoptado.

Sobre la unidad 1:

 Expresar el resultado de una probabilidad como porcentaje.

 Confundir conjuntos y números. Las operaciones entre sucesos deben ser operaciones

entre conjuntos, y las operaciones entre probabilidades son operaciones numéricas. Es incorrecto escribir P(A) ∪ P(B), por ejemplo.

 Confundir las uniones con intersecciones.

 Confundir la probabilidad de una intersección de sucesos con una probabilidad

condicional.

La probabilidad de una intersección indica la probabilidad de ocurrencia de dos sucesos al mismo tiempo, mientras que la probabilidad condicional me pregunta sobre la

probabilidad de ocurrencia de un suceso pero ya sabiendo que ocurrió otro.

 Confusión entre sucesos independientes y sucesos disjuntos.

No son lo mismo. La independencia me dice si el contar con información sobre la ocurrencia de un suceso me aporta a la probabilidad de ocurrencia de otro suceso, mientras el decir que dos sucesos son disjuntos me indica que estos no pueden ocurrir al mismo tiempo, por lo tanto la probabilidad de su intersección es 0.

Pensemos el siguiente caso: Si dos sucesos son disjuntos, ¿esto indica que son

independientes? Respuesta: no, ya que sí sé que son disjuntos, entonces sé que si ocurre uno, el otro suceso no puede ocurrir, lo cual me aporta información sobre la ocurrencia del suceso.

 No saber cómo resolver una probabilidad de intersección. Siempre es válido considerar:

Pero recordemos que si estamos ante dos sucesos independientes, podemos aplicar: P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

 Olvidarse que existe la probabilidad total.

Hay veces que ante problemas con espacio muestral particionado nos olvidamos que la probabilidad total es una herramienta que es muy probable que deba usarse en el ejercicio.

 Miedo a la regla de Bayes.