12

Página 337

REFLEXIONA Y RESUELVE

Concepto de primitiva

■ NÚMEROS Y POTENCIAS SENCILLAS

1 a)

∫

1dx= x b)

∫

2dx= 2x c)

∫

dx= x

2 a)

∫

2x dx= x2 _b)

∫

_{x dx= c)}

∫

_{3x dx=}

3 a)

∫

7x dx= b)

∫

dx= c)

∫

x dx=

4 a)

∫

3x2_{dx= x}3 _b)

∫

_x2_{dx= c)}

∫

2x2_dx=

5 a)

∫

6x5dx= x6 b)

∫

x5dx= c)

∫

3x5dx= =

■ POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO

6 a)

∫

(–1)x–2dx= x–1=

b)

∫

x–2dx= =

c)

∫

dx=

7 a)

∫

dx=

∫

x–3dx= =

b)

∫

dx= 2

∫

dx= = –1

x2

–2 2x2

1

x3 2

x3

–1 2x2

x–2

–2

1

x3

–5

x

5

x2

–1

x x–1

–1

1

x

x6

2 3x6

6

x6

6

2x3

3

x3

3

√—2x2

2

√2

x2

6 x

3

7x2

2

3x2

2

x2

2

√2

8 a)

∫

dx=

∫

(x– 3)–3_{dx= =}

b)

∫

dx= 5

∫

dx=

■ LAS RAÍCES TAMBIÉN SON POTENCIAS

9 a)

∫

x1/2dx= x3/2=

b)

∫

dx=

∫

x1/2dx = x3/2=

10 a)

∫

dx=

∫

x1/2_{dx = x}3/2₌

b)

∫

7 dx= 7

∫

dx=

11 a)

∫

dx=

∫

· dx=

∫

dx=

∫

dx= =

b)

∫

dx=

∫

dx=

∫

dx= · = =

12 a)

∫

x–1/2_{dx= x}1/2₌ b)

∫

dx=

13 a)

∫

dx= 3

∫

dx = 3

b)

∫

5 dx= 5

∫

x3/2dx = 5 = 2

14 a)

∫

dx=

∫

· dx =

b)

∫

dx=

∫

dx= ■ ¿RECUERDAS QUE D(ln x) = 1/x?

15 a)

∫

dx= ln|x|

b)

∫

dx=

∫

dx= 1 ln |5x| 5

5 5x

1 5

1 5x

1

x

√7x5

2 5

√x3 √7

√7x3

√5x

6 5 1

√—x

3

√5

3 √5x

√x5 x5/2

5/2

√x3

√x

1 2√x

3 2√—x

√x

1 2√—x

√x

1 2

2√2x3

15

√x3

2√2 15

√x3

2 3

√2 5

√x

√2 5

√x

√2 5

√2x

5

2√3x3

3

√x3

2√3 3

√x

√3

√x

√3

√x

√3 √3x

√x3

14 3

√x

√x

√x3

2 3 2

3 3

2 2 3

√x

√x3

3 2

√x

3 2

√x3

3 2

–5 2 (x– 3)2

1 (x– 3)3 5

(x– 3)3

–1 2 (x– 3)2 (x– 3)–2

–2

16 a)

∫

dx= ln |x+ 5|

b)

∫

dx=

∫

dx= ln |2x+ 6| ■ ALGUNAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

17 a)

∫

cos x dx= sen x

b)

∫

2 cos x dx= 2 sen x

18 a)

∫

cos x+ dx= sen

(

x+

)

b)

∫

cos2x dx=

∫

2 cos2x dx= sen2x

19 a)

∫

(–sen x) dx= cos x

b)

∫

sen x dx= –cos x

20 a)

∫

sen(x– π) dx= –cos (x– π)

b)

∫

sen2x dx=

∫

2 sen2x dx= cos2x

21 a)

∫

(1 + tg22x) dx=

∫

2 (1 +tg22x) dx= tg2x

b)

∫

tg22x dx=

∫

(1 +tg2_{2x– 1) dx=}

∫

(1 +tg2_{2x) dx–}

∫

1 dx= tg2x– x

■ ALGUNAS EXPONENCIALES

22 a)

∫

ex_{dx= e}x

b)

∫

ex+ 1_{dx= e}x+ 1

23 a)

∫

e2xdx=

∫

2e2xdx = e2x

b)

∫

e2x+ 1dx=

∫

2e2x+ 1_dx= 1_e2x+ 1

2 1

2

1 2 1

2

1 2 1

2 1

2

–1 2 1

2

1 2 1

2

π

2

)

π 2

(

3 2 2

2x+ 6 3

2

3 2x+ 6

1

Página 339

1. Calcula las siguientes integrales:

a)

∫

7x4_{dx b)}

∫

dx

c)

∫

dx d)

∫

dx

e)

∫

dx f)

∫

dx

g)

∫

dx h)

∫

dx

i)

∫

dx j)

∫

dx

a)

∫

7x4dx= 7 · +k= +k

b)

∫

dx=

∫

x–2dx = +k= +k

c)

∫

dx =

∫

(

x3_{– 5x+ 3 –}

)

_{dx= – + 3x– 4 ln|x|+k}

d)

∫

dx =

∫

(

x2_{+ 2x+ 4 +}

)

_{dx= + x}2_{+ 4x+ 8 ln|x– 2|+ k}

e)

∫

dx=

∫

(

x3_{– x}2_{– 4x+ 7 –}

)

_dx=

= – – 2x2_{+ 7x– 11 ln|x+ 1|+k}

f)

∫

dx=

∫

x1/2_{dx= +k= +k}

g)

∫

dx=

∫

( )

dx–

∫

( )

dx+

∫

( )

dx–

∫

( )

dx =

=

∫

7x2_dx–

∫

_{5 dx+}

∫

_dx–

∫

_dx=

= – 5x+ 3ln|x|+ 4 + k x

7x3

3

4

x2

3

x

4

x2

3x x2

5x2 x2

7x4 x2

7x4_{– 5x}2_{+ 3x– 4}

x2

2√x3

3

x3/2

3/2

√x

x3

3

x4

4

11

x+ 1

x4– 5x2+ 3x– 4

x+ 1

x3

3 8

x– 2

x3 x– 2

5x2

2

x4

4 4

x x4_{– 5x}2_{+ 3x– 4}

x

–1

x x–1

–1 1

x2

7x5

5

x5

5

√5x3 3

√3x 3

√—x+ √—5x3

3x

3

√5x2

7x4– 5x2+ 3x– 4

x2

√x x4– 5x2+ 3x– 4

x+ 1

x3 x– 2

x4– 5x2+ 3x– 4

x

1

h)

∫

dx=

∫

x2/3dx= · +k= +k

i)

∫

dx=

∫

dx+

∫

dx=

∫

x–2/3dx+

∫

x1/2dx=

= · + · +k= + +k

j)

∫

dx =

∫

dx =

∫

x7/6 dx = · + k = +k

Página 340

2. a)

∫

(3x– 5 tg x)dx= 3

∫

x dx– 5

∫

tg x dx= – 5 (– ln|cos x|) + k =

= + 5 ln|cos x|+ k

b)

∫

(5 cos x+ 3x_{)dx= 5}

∫

cos x dx+

∫

3x_{dx = 5 sen x+ + k}

c)

∫

(3tg x– 5 cos x)dx= 3

∫

tg x dx– 5

∫

cos x dx= 3 (– ln|cos x|) – 5 sen x+ k= = – 3 ln|cos x|– 5 senx+ k

d)

∫

(10x_{– 5}x_{)dx= – + k}

3. a)

∫

dx= 3 arctg x+ k

b)

∫

dx= ln|x2_{+ 1|+ k}

c)

∫

dx=

∫

(

1 +

)

dx= x– 2 arctg x+ k

d)

∫

dx=

∫

dx=

∫

(

1 + 2x

)

dx= x+ ln|x2_{+ 1| + k}

x2_{+ 1}

x2_{+ 2x+ 1}

x2_{+ 1} (x+ 1)2

x2_{+ 1}

– 2

x2+ 1 x2– 1

x2+ 1 2x x2_{+ 1}

3

x2+ 1

5x

ln 5 10x

ln 10

3x

ln 3 3x2

2

3x2

2

6√—5 6√—x13

133√—3

x13/6

13/6

√5

3 √3

√5

3 √3

√5 · x3/2 3

√3 · x1/3

√5x3 3 √3x

2√5x3

9

3 √x x3/2

3/2

√5 3

x1/3

1/3 1 3

√5 3 1

3

√—5x3/2

3x x1/3

3x

3

√—x+ √—5x3

3x

3 3√5x5

5

x5/3

5/3

3 √5

3 √5

Página 342

1. Calcula:

a)

∫

cos4_{x sen x dx b)}

∫

2sen x_{cos x dx}

a)

∫

cos4_{x sen x dx= –}

∫

_cos4_{x(–sen x)dx= – +k}

b)

∫

2sen x_{cos x dx=}

∫

2sen x_{cos x ·ln2 dx= +k}

2. Calcula:

a)

∫

cotg x dx b)

∫

dx

a)

∫

cotg x dx=

∫

dx = ln|sen x|+k

b)

∫

dx=

∫

dx= arc tg(x2_{) +k}

Página 343

1. Calcula:

∫

x sen x dx

Llamamos I=

∫

x sen x dx.

I= –x cos x+

∫

cos x dx = –x cos x+ sen x+k

2. Calcula:

∫

x arc tg x dx

Llamamos I=

∫

x arc tg x dx.

I= arc tg x–

∫

(

)

dx = arc tg x–

∫

(

1 –

)

dx =

= arc tg x– [x– arc tg x] +k= arc tg x– x+ arc tg x+k=

= arc tg x– 1x+k

2

x2+ 1 2

1 2 1 2

x2

2 1

2

x2

2

1 1 + x2

1 2

x2

2

x2

1 +x2

1 2

x2

2

° § ¢ § £

1

u= arc tg x, du= —dx

1 +x2

x2

dv= x dx, v= — 2

° ¢ £

u= x, du= dx

dv= sen x dx, v= –cos x

5 2 2x

1 + (x2₎2

5 2 5x

x4_{+ 1}

cos x sen x

5x x4_{+ 1}

2sen x

ln2 1

ln2

cos5x

Página 344

3. Calcula:

∫

x4ex_dx

I=

∫

x4ex_dx

Resolvámosla integrando por partes:

I= x4ex_–

∫

ex_4x3_{dx= x}4_ex_{– 4}

∫

x3ex_dx

I₁=

∫

x3_ex_{dx= x}3_ex_{– 3x}2_ex_{+ 6xe}x_{– 6e}x

(Visto en el ejercicio resuelto 2 de la página 344)

I= x4ex– 4[x3ex– 3x2ex+ 6xex– 6ex] + k = =x4_ex_{– 4x}3_ex_{+ 12x}2_ex_{– 24xe}x_{+ 24e}x_+k

4. Calcula:

∫

sen2x dx

I=

∫

sen2_{x dx}

Resolvámosla integrando por partes:

I= –sen x cos x–

∫

(–cos x)cos x dx= –sen x cos x+

∫

cos2_{x dx=}

= –sen x cos x+

∫

(1 – sen2_{x) dx= –sen x cos x+}

∫

_dx–

∫

_sen2_{x dx=}

= –sen x cos x+x–

∫

sen2x dx

Es decir:

I= –sen x cos x+x– I 8 2I= –sen x cos x+x 8 I= +k

Página 345

1. Calcula:

∫

dx

∫

dx =

∫

(

3x+ 7 +

)

dx= + 73x2 x+ 29 ln|x– 4|+k

2 29

x– 4 3x2_{– 5x+ 1}

x– 4

3x2– 5x+ 1

x– 4

x– sen x cos x

2

° ¢ £

u= sen x 8 du= cos x dx dv= sen x dx 8 v= –cos x

° ¢ £

u= x4 _{8 du= 4x}3_dx

2. Calcula:

∫

dx

∫

dx=

∫

(

x– +

)

dx=

= · – x– ln|2x+ 1|+k=

= – x– ln|2x+ 1|+k

Página 348

3. Calcula:

a)

∫

dx b)

∫

dx

a) Descomponemos la fracción:

= = + +

=

5x– 3 = A(x– 1) (x+ 1) + Bx(x+ 1) + Cx(x– 1) Hallamos A, B y C dando a x los valores 0, 1 y –1:

Así, tenemos que:

∫

dx=

∫

(

+ –

)

dx = 3 ln|x|+ ln|x– 1|– 4 ln|x– 1|+k

b) Descomponemos la fracción:

= + + =

x2– 2x+ 6 = A(x– 1)2+B(x– 1) +C

Dando a x los valores 1, 0 y 2, queda:

A= 1

B = 0

C= 5

° § ¢ § £

x= 1 ò 5 = C

x= 0 ò 6 = A– B+C x= 2 ò 6 = A+ B+C

A(x– 1)2_{+B(x– 1) +C}

(x– 1)3

C

(x– 1)3

B

(x– 1)2

A x– 1

x2– 2x+ 6 (x– 1)3

4

x+ 1 1

x– 1 3

x

5x– 3

x3– x

° § ¢ § £

x= 0 ò –3 = –A ò A= 3

x= 1 ò 2 = 2B ò B= 1

x= –1 ò – 8 = 2C ò C= – 4

A(x– 1) (x+ 1) + Bx(x+ 1) + Cx(x– 1)

x(x– 1) (x+ 1) 5x– 3

x3– x

C x+ 1

B x– 1

A x

5x– 3

x(x– 1) (x+ 1) 5x– 3

x3_{– x}

x2_{– 2x+ 6}

(x– 1)3

5x– 3

x3– x

17 8 13

4 3x2

4

17 8 13

4

x2

2 3 2

17/4 2x+ 1 13

4 3 2 3x2_{– 5x+ 1}

2x+ 1

3x2_{– 5x+ 1}

Por tanto:

∫

dx=

∫

(

+

)

dx= ln|x– 1|– +k

4. Calcula:

a)

∫

dx

b)

∫

dx

a)x4– 4x2= x2(x2– 4) = x2(x– 2) (x+ 2) Descomponemos la fracción:

= + + +

=

=

x3+ 22x2– 12x+ 8 = Ax(x– 2) (x+ 2) +B(x– 2) (x+ 2) + Cx2(x+ 2) +Dx2(x– 2) Hallamos A, B, C y D dando a x los valores 0, 2, –2 y 1:

Por tanto:

∫

dx=

∫

(

– + –

)

dx=

= 3 ln|x| + + 5 ln|x– 2| – 7 ln|x+ 2| +k

b) La fracción se puede simplificar:

= =

∫

dx=

∫

1 dx= ln|x+ 2| +k

x+ 2

x3_{– 4x}2_{+ 4x}

x4_{– 2x}3_{– 4x}2_{+ 8x}

1

x+ 2

x(x– 2)2

x(x– 2)2_{(x+ 2)}

x3_{– 4x}2_{+ 4x}

x4_{– 2x}3_{– 4x}2_{+ 8x}

2

x

7

x+ 2 5

x– 2 2

x2

3

x x3+ 22x2– 12x+ 8

x4– 4x2

° § § ¢ § § £

x= 0 ò 8 = – 4B ò B= –2

x= 2 ò 80 = 16C ò C= 5

x= –2 ò 112 = –16D ò D= –7

x= 1 ò 19 = –3A– 3B+ 3C– D ò –3A= –9 ò A= 3

Ax(x– 2) (x+ 2) +B(x– 2) (x+ 2) + Cx2(x+ 2) +Dx2(x– 2)

x2_{(x– 2) (x+ 2)}

x3+ 22x2– 12x+ 8

x2_{(x– 2) (x+ 2)}

D x+ 2

C x– 2

B x2

A x x3+ 22x2– 12x+ 8

x2_{(x– 2) (x+ 2)}

x3_{– 4x}2_{+ 4x}

x4_{– 2x}3_{– 4x}2_{+ 8x}

x3_{+ 22x}2_{– 12x+ 8}

x4_{– 4x}2

5 2(x– 1)2 5

(x– 1)3 1

x– 1

x2_{– 2x + 6}

Página 356

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

Integrales casi inmediatas

1 Calcula las siguientes integrales inmediatas:

a)

∫

(4x2– 5x+ 7)dx b)

∫

c)

∫

dx d)

∫

(x– sen x)dx

a)

∫

(4x2_{– 5x+ 7)dx= – + 7x+k}

b)

∫

=

∫

x–1/5dx= + k= +k

c)

∫

dx= ln|2x+ 7| +k

d)

∫

(x– sen x)dx= +cox x+k

2 Resuelve estas integrales:

a)

∫

(x2+ 4x) (x2– 1)dx b)

∫

(x– 1)3_dx

c)

∫

dx d)

∫

(sen x+ ex_)dx

a)

∫

(x2+ 4x) (x2– 1)dx =

∫

(x4+ 4x3– x2 – 4x) dx = + x4– – 2x2+k

b)

∫

(x– 1)3_{dx= +k}

c)

∫

dx =

∫

x1/2_{dx= +k= +k}

d)

∫

(sen x+ ex_{) dx= –cos x+e}x_+k

2√3x3

3

x3/2

3/2

√3

√3

√3x

(x– 1)4

4

x3

3

x5

5

√3x

x2

2 1 2 1

2x+ 7

5 5√x4

4

x4/5

4/5

dx

5 √x

5x2

2 4x3

3

1 2x+ 7

dx 5

√x

s3 Calcula las integrales siguientes:

a)

∫

dx b)

∫

sen(x– 4)dx

c)

∫

dx d)

∫

(ex_{+ 3e}–x_)dx

a)

∫

dx=

∫

x1/3_{dx= +k=} 3 _+k

b)

∫

sen(x– 4)dx= –cos(x– 4) +k

c)

∫

dx= 7 tg x+k

d)

∫

(ex_{+ 3e}–x_{)dx= e}x_{– 3e}–x_+k

s4 Halla estas integrales:

a)

∫

dx b)

∫

c)

∫

dx d)

∫

dx

a)

∫

dx= 2 ln|x| +k

b)

∫

= ln|x– 1| +k

c)

∫

dx=

∫

(

+ x–3/2

)

_{dx= ln|x| – +k}

d)

∫

dx= 3 arc tg x+k

5 Resuelve las siguientes integrales:

a)

∫

b)

∫

c)

∫

(x– 4)2dx d)

∫

a)

∫

= ln|x– 4| + k

b)

∫

= + k

c)

∫

(x– 4)2_{dx= + k}

d)

∫

=

∫

(x– 4)–3_{dx = +k= +} –1 _k

2 (x– 4)2

(x– 4)–2 –2

dx

(x– 4)3

(x– 4)3 3 –1 (x– 4)

dx

(x– 4)2

dx x– 4

dx

(x– 4)3

dx

(x– 4)2

dx x– 4

3 1 + x2

2

√x

1

x x+ √x

x2

dx x– 1 2

x

3 1 +x2 x+ √x

x2 dx

x– 1 2

x 7

cos2_x

√

x4

2 3 4

x4/3

4/3 1

3 √2 1

3 √2

3 _x

√

2

7

cos2x

3 _x

6 Halla las siguientes integrales del tipo exponencial:

a)

∫

ex– 4_{dx b)}

∫

e–2x+ 9_dx

c)

∫

e5x_{dx d)}

∫

(3x_{– x}3_)dx

a)

∫

ex– 4_{dx= e}x– 4_+k

b)

∫

e–2x+ 9_dx=

∫

–2e–2x+ 9_{dx = e}–2x+ 9_+k

c)

∫

e5xdx=

∫

5e5xdx= e5x+k

d)

∫

(3x_{– x}3_{)dx= – +k}

7 Resuelve las siguientes integrales del tipo arco tangente:

a)

∫

b)

∫

c)

∫

d)

∫

a)

∫

=

∫

= arc tg(3x) +k

b)

∫

=

∫

= arc tg(2x) +k

c)

∫

=

∫

=

∫

= arc tg x+k

d)

∫

=

∫

dx=

∫

dx= arc tg +k

8 Expresa el integrando de las siguientes integrales de la forma:

= cociente +

y resuélvelas:

a)

∫

dx b)

∫

dx c)

∫

dx

a)

∫

dx=

∫

(

x– 6 +

)

dx= – 6x+ 10 ln|x+ 1| +k

b)

∫

dx=

∫

(

x+ 1 +

)

dx= + x2 x+ 3 ln|x+ 1| +k

2 3

x+ 1

x2_{+ 2x+ 4}

x + 1

x2

2 10

x+ 1

x2– 5x+ 4

x + 1

x3– 3x2+ x– 1

x– 2 2x2+ 2x+ 4

x+ 1

x2– 5x+ 4

x+ 1

resto divisor dividendo

divisor

)

x

2

(

1 2 1/2

1 + (x/2)2 1

2 1/4

1 + (x/2)2

dx

4 +x2

4 3

dx

1 +x2

4 3 4 dx

3(1 +x2₎

4 dx

3 + 3x2

5 2 2 dx

(2x)2_{+ 1}

5 2 5 dx

4x2_{+ 1}

2 3 3 dx

1 + (3x)2 2

3 2 dx

1 + 9x2

dx

4 +x2

4 dx

3 + 3x2

5 dx

4x2+ 1 2 dx

1 + 9x2

x4

4 3x

ln3 1 5 1

5

–1 2 –1

c)

∫

dx=

∫

(

x2_{– x– 1 –}

)

_{dx =}

= – – x– 3 ln|x– 2| +k

9 Halla estas integrales sabiendo que son del tipo arco seno:

a)

∫

b)

∫

c)

∫

dx d)

∫

(*)

a)

∫

=

∫

= arc sen(2x) +k

b)

∫

=

∫

= arc sen +k

c)

∫

dx=

∫

dx = arc sen(ex_{) +k}

d) (*) En el libro debería decir:

∫

∫

=

∫

= arc sen(ln|x|) +k

Integrales de la forma

_∫

f(x)n_{· f'(x)dx}

10 Resuelve las integrales siguientes:

a)

∫

cos x sen3x dx b)

∫

dx

c)

∫

d)

∫

ln3x dx

a)

∫

cos x sen3x dx= +k

b)

∫

dx= 3

∫

(x+ 1)–2_{dx= 3 · = +k}

c)

∫

=

Ú

2x(x2_{+ 3)}–5_{dx = · +k= +k}

d)

∫

ln3_{x dx= +} ln4|x| _k

4 1

x

–1 8 (x2_{+ 3)}4

(x2+ 3)– 4 – 4 1

2 1

2

x dx

(x2_{+ 3)}5

–3

x+ 1 (x+ 1)–1

–1 3

(x+ 1)2

sen4_x

4

1

x x dx

(x2+ 3)5

3 (x+ 1)2

1/x dx

√1 – (ln x)2

dx x√1 – (ln x)2

dx x√1 – (ln x)2

ex √1 – (ex₎2

ex √1 – e2x

)

x

2

(

1/2 dx

√1 – (x/2)2

dx

√4 – x2

1 2 2 dx

√1 – (2x)2 1

2

dx

√1 – 4x2

dx

√1 – (ln x)2

ex

√1 – e2x dx

√4 – x2 dx

√1 – 4x2

x2

2

x3

3

3

x– 2

x3– 3x2+ x– 1

11 Resuelve las siguientes integrales:

a)

∫

sen x cos x dx b)

∫

c)

∫

d)

∫

a)

∫

sen x cos x dx= +k

b)

∫

= –

∫

(–sen x) · cos–5_{x dx= + k= +k}

c)

∫

= –

∫

–2x(9 – x2)–1/2dx= – +k= –2 +k

d)

∫

=

∫

2x(x2_{+ 5)}–1/2_{dx= = +k}

12 Resuelve las siguientes integrales:

a)

∫

(x– 1)dx b)

∫

dx

c)

∫

dx d)

∫

sen x dx

a)

∫

(x– 1)dx=

∫

(2x– 2) dx=

=

∫

(x2– 2x)1/2(2x– 2) dx =

= +k= +k

b)

∫

dx=

∫

arc sen x dx= +k

c)

∫

dx=

∫

(1 +ln x)2· dx= +k

d)

∫

sen x dx= –

∫

(1 +cos x)3/2_{(–sen x)dx =}

= – +k = +–2√(1 +cos x) k

5

5 (1 +cos x)5/2

5/2

√(1 + cos x)3

(1 +ln x)3

3 1

x

(1 + ln x)2

x

arc sen2x

2 1

√1 – x2

arc sen x

√1 – x2

√(x2_{– 2x)}3

3 (x2_{– 2x)}3/2

3/2 1

2 1 2

√x2– 2x

1 2

√x2– 2x

√(1 + cos x)3

(1 + ln x)2

x

arc sen x

√1 – x2

√x2– 2x

√x2_{+ 5}

(x2_{+ 5)}1/2

1/2 1

2 1

2

x dx

√x2_{+ 5}

√9 – x2

(9 – x2₎1/2

1/2 2x dx

√9 – x2

1 4 cos4_x

–cos– 4x

– 4

sen x dx cos5_x

sen2x

2

x dx

√x2+ 5 2x dx

√9 – x2

Página 357

Integración por partes

s13 Aplica la integración por partes para resolver las siguientes integrales:

a)

∫

x ln x dx b)

∫

x e2x _dx

c)

∫

3x cos x dx d)

∫

ln(2x– 1) dx

e)

∫

dx f)

∫

arc tg x dx

g)

∫

arc cos x dx h)

∫

x2ln x dx

a)

∫

x ln x dx

∫

x ln x dx= ln x–

∫

dx= ln|x| – +k

b)

∫

x e2x_dx

∫

xe2xdx= e2x–

∫

e2xdx= e2x– e2x+k

c)

∫

3x cos x dx= 3

∫

x cos x dx

3

∫

x cos x dx= 3x sen x–

∫

sen x dx = 3[x sen x+cos x] +k= = 3x sen x+ 3cos x+k

d)

∫

ln(2x– 1) dx

2

u= ln2x– 1 8 du= — 2x– 1

dv= dx 8 v= x

° § ¢ § £

]

[

u= x 8 du= dx

dv= cos x dx 8 v= sen x

° ¢ £

1 4

x

2 1

2

x

2

u= x 8 du= dx

1

dv= e2x_{dx 8v= —e}2x

2

° § ¢ § £

x2

4

x2

2

x

2

x2

2

1

u= ln x 8 du= —dx x x2

dv = x dx 8 v= —

2

° § ¢ § £

∫

ln(2x– 1) dx= x ln(2x– 1) –

∫

dx=

= x ln(2x– 1) –

∫

1 + dx=

= x ln(2x– 1) – x– ln(2x– 1) +k

e)

∫

dx

∫

dx= –xe–x₊

∫

e–x_{dx = –xe}–x_{– e}–x_+k

f)

∫

arc tg x dx

∫

arc tg x= x arc tg x–

∫

dx= x arc tg x–

∫

dx=

= x arc tg x– ln(1 +x2_{) +k}

g)

∫

arc cos x dx

∫

arc cos x dx= x arc cos x+

∫

dx= x arc cos x– +k

h)

∫

x2ln x dx

∫

x2_{ln x dx= –}

∫

dx= – x3 +k

9

x3ln x

3

x2

3

x3ln x

3

1

u= ln x 8 du= —dx x

x3

dv = x2_{dx 8 v= —}

2

° § ¢ § £

√1 – x2 x

√1 – x2

–1

u= arc cos x 8 du= —

√—1 – x2

dv = dx 8 v= x

° § ¢ § £

1 2

2x

1 +x2

1 2 1

1 +x2

1

u= arc tg x 8 du= — dx

1 +x2 dv = dx 8 v= x

° § ¢ § £

x ex

u= x 8 du= dx

dv= e–x dx 8 v= –e–xdx

° ¢ £

x ex

1 2

)

1 2x– 1

(

2x

14 Resuelve las siguientes integrales aplicando dos veces la integración por partes:

a)

∫

x2sen x dx b)

∫

x2e2xdx

c)

∫

ex_{sen x dx d)}

∫

(x+ 1)2ex_dx

a)

∫

x2sen x dx

∫

x2sen x dx= –x2cos x+

∫

2x cos x dx= –x2cos x + 2

∫

x cos x dx

1442443

I₁

I₁= x sen x–

∫

sen x dx= x sen x+cos x

Por tanto:

∫

x2sen x dx= –x2cos x+ 2x sen x+ 2 cos x+k

b)

∫

x2_e2x_dx

∫

x2_e2x_{dx= e}2x_–

∫

x e2x_dx

14243

I₁

I₁= e2x–

∫

e2xdx= e2x– e2x

Por tanto:

∫

x2_e2x_{dx= e}2x_{– e}2x_{+ e}2x_{+k= – +} 1

)

_e2x_+k

4

x

2

x2

2

(

1 4

x

2

x2

2

1 4

x

2 1

2

x

2

u₁= x 8 du₁= dx

1

dv₁= e2x_{dx 8 v}

1= —₂e2x °

§ ¢ § £

x2

2

u= x2 _{8 du= 2x dx}

1

dv = e2x_{dx 8 v= —e}2x

2

° § ¢ § £

u₁= x 8 du₁= dx

dv₁= cos x dx 8 v₁= sen x

° ¢ £

u= x2 _{8 du= 2x dx}

dv= sen x dx 8 v= –cos x

c)

∫

ex_{sen x dx}

∫

ex_{sen x dx= –e}x_{cos x+}

∫

ex_{cos x dx}

1442443

I₁

I₁= ex_{sen x–}

∫

ex_{sen x dx}

Por tanto:

∫

ex_{sen x dx= –e}x_{cos x + e}x_{sen x–}

∫

ex_{sen x dx}

2

∫

ex_{sen x dx= e}x_{sen x–e}x_{cos x}

∫

ex_{sen x dx= +k}

d)

∫

(x+ 1)2_ex_dx

∫

(x+ 1)2exdx= (x+ 1)2ex – 2

∫

(x+ 1)exdx

1442443

I₁

I₁= (x+ 1)ex–

∫

exdx = (x+ 1)ex– ex= (x+ 1 – 1)ex= x ex

Por tanto:

∫

(x+ 1)2_ex_{dx= (x+ 1)}2_ex _{– 2x e}x_{+ k=}

= (x2_{+ 2x+ 1 – 2x) e}x _{+ k= (x}2_{+ 1)e}x _+k

u₁= (x+ 1) 8 du₁= dx dv₁= ex_{dx 8 v}

1= ex °

¢ £

u= (x+ 1)2 8 du= 2 (x+ 1)dx dv= ex_{dx 8 v= e}x

° ¢ £

ex_{sen x–e}x_{cos x}

2

u₁= ex _{8 du}

1= exdx

dv₁= cos x dx 8 v₁= sen x

° ¢ £

u= ex _{8 du= e}x_dx

dv= sen x dx 8 v= –cos x

Integrales racionales

15 Aplica la descomposición en fracciones simples para resolver las siguientes integrales:

a)

∫

dx b)

∫

dx

c)

∫

dx d)

∫

dx

e)

∫

dx f)

∫

dx

g)

∫

dx h)

∫

dx

a)

∫

dx

= +

∫

dx =

∫

dx+

∫

dx = – ln|x+ 3|+ ln|x– 2|+k

b)

∫

dx

3x3 x2– 4

–3x3+ 12x 3x = 3x+

12x

∫

dx =

∫

3x+ dx = + 6 ln|x2– 4| +k

c)

∫

x3_{– 4x}2_{– 25x+ 100 = 0}

x2_{+x– 20 = 0 8 x=}

= + + 8 A= , B = , C= –

∫

dx= ln|x– 5| + ln|x+ 5| – 1 ln|x– 4| + k

9 1

90 1

10 1

x3_{– 4x}2_{– 25x+ 100}

1 9 1

90 1

10

C x– 4

B x+ 5

A x– 5 1

x3_{– 4x}2_{– 25x+ 100}

x= –5

x= 4 –1 ±√1 + 80

2

1 – 4 –25 100

5 5 5 –100

1 1 –20 0

1

x3– 4x2– 25x+ 100

3x2

2

)

12x x2– 4

(

3x3

x2– 4

12x x2– 4 3x3

x2– 4 3x3

x2_{– 4}

1 5 1

5 1/5

x– 2 –1/5

x+ 3 1

x2_{+x– 6}

A= – 1/5

B= 1/5

B x– 2

A x+ 3 1

x2_{+x– 6}

1

x2_{+x– 6}

–16

x2_{– 2x– 15}

x3– 2x2+x– 1

x2_{– 3x+ 2}

x2 x2+ 4x+ 3 4

x2+x– 2

x2+ 1

x2+x

1

x3_{– 4x}2_{– 25x+ 100}

3x3 x2– 4 1

d)

∫

dx

Por el mismo procedimiento:

= 1 + = 1 + –

∫

dx= x+ln|x|– 2ln|x+ 1|+k

e)

∫

dx

= + 8 A= – , B=

∫

dx= – ln|x+ 2| + ln|x– 1| +k

f)

∫

dx

= 1 – = 1 – + 8 A= , B = –

∫

dx=

∫

1 – + dx=

= x– ln|x+ 3| + ln|x+ 1| +k

g)

∫

dx

= x+ 1 + = x+ 1 + +

∫

dx=

∫

x+ 1 + + dx =

= +x+ln|x– 2| +ln|x– 1| +k

h) Análogamente:

∫

dx=

∫

+ 2

])

dx= –2ln|x– 5| + 2ln|x+ 3| +k x+ 3

–2

x– 5

(

–16

x2_{– 2x– 15}

x2

2

)

1

x– 1 1

x– 2

(

x3– 2x2+x– 1

x2– 3x+ 2

A= 1

B = 1

B x– 1

A x– 2 2x– 3

(x– 2)(x– 1)

x3– 2x2+x– 1

x2– 3x+ 2

x3– 2x2+x– 1

x2_{– 3x+ 2}

1 2 9

2

])

–1/2

x+ 1 9/2

x+ 3

(

[

x2 x2+ 4x+ 3

1 2 9

2

)

B x+ 1

A x+ 3

(

4x+ 3

x2_{+ 4x+ 3}

x2 x2_{+ 4x+ 3}

x2

x2_{+ 4x+ 3}

4 3 4

3 4

x2+x– 2

4 3 4

3

B x– 1

A x+ 2 4

x2_{+x– 2}

4

x2_{+x– 2}

x2+ 1

x2+x

2

x+ 1 1

x

–x+ 1

x2+x x2+ 1

x2+x x2_{+ 1}

16 Resuelve las siguientes integrales:

a)

∫

dx b)

∫

dx

c)

∫

dx d)

∫

dx

a)

∫

dx

Descomponemos en fracciones simples:

= + +

=

2x– 4 = A(x– 1) (x+ 3) + B(x+ 3) + C(x– 1)2

Hallamos A, B y C:

Por tanto:

∫

dx=

∫

dx+

∫

dx+

∫

dx=

= ln|x– 1| + · – ln|x+ 3| +k= ln

Ô

Ô

+ +k

b)

∫

dx

Descomponemos en fracciones simples:

= + =

2x+ 3 = A(x+ 5) + B(x– 2) Hallamos A y B:

Por tanto:

∫

dx=

∫

dx+

∫

dx=

= ln|x– 2| +ln|x+ 5| +k= ln|(x– 2)(x+ 5)| +k

1

x+ 5 1

x– 2 2x+ 3

(x– 2) (x+ 5)

° ¢ £

x= 2 8 7 = 7A 8 A= 1

x= –5 8 –7 = –7B 8 B = 1

A(x+ 5) + B(x– 2) (x– 2) (x+ 5)

B x + 5

A x– 2 2x+ 3

(x– 2) (x+ 5) 2x+ 3 (x– 2) (x+ 5)

1 2x– 2

x– 1

x+ 3 5

8 5

8 1 (x– 1) 1

2 5

8

–5/8

x+ 3 –1/2

(x– 1)2

5/8

x– 1 2x– 4

(x– 1)2_{(x+ 3)}

° § ¢ § £

x= 1 8 –2 = 4B 8 B= –1/2

x= –3 8 –10 = 16C 8 C= –5/8

x= 0 8 –4 = –3A+ 3B +C 8 A= 5/8

A(x– 1) (x+ 3) + B(x+ 3) + C(x– 1)2

(x– 1)2(x+ 3) 2x– 4

(x– 1)2_{(x+ 3)}

C x+ 3

B

(x– 1)2

A x– 1 2x– 4

(x– 1)2_{(x+ 3)}

2x– 4 (x– 1)2(x+ 3)

3x– 2

x2– 4 1

(x– 1)(x+ 3)2

2x+ 3 (x– 2)(x+ 5) 2x– 4

c)

∫

dx

Descomponemos en fracciones simples:

= + +

=

1 = A(x+ 3)2+ B(x– 1) (x+ 3) + C(x– 1) Hallamos A, B y C:

Por tanto:

∫

dx=

∫

dx+

∫

dx+

∫

dx=

= ln|x– 1| – ln|x+ 3| + · +k=

= ln + +k

d)

∫

dx=

∫

dx

Descomponemos en fracciones simples:

= + =

3x– 2 = A(x+ 2) + B(x– 2) Hallamos A y B:

Por tanto:

∫

dx=

∫

dx+

∫

dx=

= ln|x– 2| + 2ln|x+ 2| +k= ln

[

|x– 2|(x+ 2)2

_]

_+k

2

x+ 2 1

x– 2 3x– 2

x2_{– 4}

° ¢ £

x= 2 8 4 = 4A 8 A= 1

x= –2 8 – 8 = – 4B 8 B = 2

A(x+ 2) + B(x– 2) (x– 2) (x+ 2)

B x + 2

A x– 2 3x– 2

(x– 2) (x+ 2)

3x– 2 (x– 2) (x+ 2) 3x– 2

x2_{– 4}

1 4 (x+ 3)

|

x– 1

x+ 3

|

1 16

1 (x+ 3) 1

4 1

16 1

16

–1/4 (x+ 3)2 –1/16

x+ 3 1/16

x– 1 1

(x– 1) (x+ 3)2

° § ¢ § £

x= 1 8 1 = 16A 8 A= 1/16

x= –3 8 1 = – 4C 8 C= –1/4

x= 0 8 1 = 9A– 3B–C 8 B= –1/16

A(x+ 3)2_{+ B(x– 1) (x+ 3) + C(x– 1)}

(x– 1) (x+ 3)2

1 (x– 1) (x+ 3)2

C

(x + 3)2

B x+ 3

A x – 1 1

(x– 1) (x+ 3)2

17 Resuelve las siguientes integrales: a)

∫

x4_ex5

dx b)

∫

x sen x2_{dx c)}

∫

dx d)

∫

dx

a)

∫

x4_ex5

dx=

∫

5x4_ex5

dx= ex5

+k

b)

∫

x sen x2_dx=

∫

2x sen x2_{dx= cos x}2_+k

c)

∫

dx =

∫

(x+ 3)5/2_{dx= = +k}

d)

∫

dx=

∫

dx= ln|2 – 6x2_{| +k}

18 Resuelve estas integrales: a)

∫

x· 2–x_{dx b)}

∫

x3sen x dx c)

∫

excos x dx d)

∫

x5e–x3dx a)

∫

x· 2–x_dx

∫

x 2–xdx= +

∫

dx= +

∫

2–xdx=

= – +k

b)

∫

x3_{sen x dx}

∫

x3_{sen x dx= –x}3_{cos x+ 3}

∫

x2_{cos x dx} 14243

I₁

I₁= x2sen x – 2

∫

x sen x dx

14243

I₂

I₂= –x cos x +

∫

cos x dx= –x cos x+ sen x u₂= x 8 du₂= dx

dv₂= sen x dx 8 v₂= –cos x

° ¢ £

u₁= x2 8 du₁= 2x dx dv₁= cos x dx 8 v₁= sen x

° ¢ £

u= x3 _{8 du= 3x}2_dx

dv= sen x dx 8 v= –cos x

° ¢ £

2–x

(ln2)2

–x· 2–x

ln2

1

ln2 –x· 2–x

ln2 2–x

ln2 –x· 2–x

ln2

u= x 8 du= dx

–2–x

dv = 2–x_{dx 8 v= —}

ln 2

° § ¢ § £

1 4 –12x

2 – 6x2

1 4 –3x

2 – 6x2

√(x+ 3)7

2 7 (x+ 3)7/2

7/2

√(x+ 3)5

–1 2 1

2

1 5 1

5

–3x

2 – 6x2

√(x+ 3)5

Así: I₁= x2_{sen x + 2x cos x– 2 sen x}

Por tanto:

∫

x3_{sen x dx= –x}3_{cos x+ 3x}2_{sen x+ 6x cos x– 6 sen x+k}

c)

∫

ex_{cos x dx}

I= ex_{sen x–}

∫

ex_{sen x dx}

1442443

I₁

I₁= –cos x ex+

∫

excos x dx I= exsen x– (–cos x ex+I) 2I= ex_{sen x+ e}x_{cos x}

I= +k

d)

∫

x5_e–x3_dx=

∫

x3_{· x}2_e–x3_dx

∫

x5_e–x3_{dx = e}–x3₊

∫

x2_e–x3_{dx= e}–x3_{– e}–x3_+k=

= e–x3_+k

19 Calcula las integrales racionales siguientes:

a)

∫

dx b)

∫

dx

c)

∫

dx d)

∫

dx

a)

∫

dx(1)=

∫

dx+

∫

dx= ln(x2+ 1) + 2 arc tg x+k

(1) Hacemos

∫

=

∫

+ 2

)

dx

x2+ 1

x x2+ 1

(

(x+ 2)dx x2+ 1

1 2 2

x2+ 1 2x

x2+ 1 1

2

x+ 2

x2+ 1

2x2+ 5x– 1

x3+ x2– 2x

2x2+ 7x– 1

x3+ x2– x– 1

1 (x2– 1)2

x+ 2

x2+ 1

(–x3– 1) 3

1 3 –x3

3 –x3

3

u= x3 _{8 du= 3x}2_dx

–1

dv = x2e–x3dx 8 v= —e–x3

3

° § ¢ § £

exsen x+excos x

2

u= ex _{8 du= e}x_dx

dv= sen x dx 8 v= –cos x

° ¢ £

u= ex 8 du= exdx dv= cos x dx 8 v= sen x

b)

∫

dx=

∫

dx

Descomponemos en fracciones simples:

= + + +

=

1 = A(x– 1) (x+ 1)2+ B(x+ 1)2+ C(x+ 1) (x– 1)2+ D(x– 1)2 Calculamos A, B, C y D, dando a x los valores 1, –1, 0 y 2:

∫

dx=

∫

dx+

∫

dx+

∫

dx+

∫

dx=

= ln|x– 1| – · + ln|x+ 1| – · + k=

= ln|x– 1| + – ln|x+ 1| + +k=

= ln + +k

c)

∫

dx =

∫

dx

Descomponemos en fracciones simples (para ello, encontramos las raíces del denominador):

= + +

=

2x2+ 7x– 1 = A(x+ 1)2+ B(x– 1) (x+ 1) + C(x– 1) Hallamos A, B y C:

° § ¢ § £

x= 1 8 8 = 4A 8 A= 2

x= –1 8 – 6 = –2C 8 C= 3

x= 0 8 –1 = A– B– C 8 B= 0

A(x+ 1)2_{+ B(x– 1) (x+ 1) + C(x– 1)}

(x – 1) (x + 1)2

2x2_{+ 7x– 1}

(x – 1) (x + 1)2

C

(x+ 1)2

B x+ 1

A x– 1 2x2_{+ 7x– 1}

(x – 1) (x + 1)2

2x2_{+ 7x– 1}

(x – 1) (x + 1)2

2x2_{+ 7x– 1}

x3_{+ x}2_{– x– 1}

]

2x x2– 1

|

x– 1

x+ 1

|

[

–1 4

]

1

x+ 1 1

x– 1

[

–1 4

1 (x+ 1) 1

4 1

4 1 (x+ 1) 1

4 –1

4

1/4 (x+ 1)2

1/4 (x+ 1) 1/4

(x– 1)2

–1/4 (x– 1) 1

(x2– 1)2

A= –1/4

B= 1/4

C= 1/4

D= 1/4

° § § ¢ § § £

x= 1 8 1 = 4B 8 B= 1/4

x= –1 8 1 = 4D 8 D= 1/4

x= 0 8 1 = –A+B+C+D 8 1/2 = –A+C

x= 2 8 1 = 9A+ 9B+ 3C+D 8 –3/2 = 9A + 3C 8 –1/2 = 3A + C

A(x– 1) (x+ 1)2_{+ B(x+ 1)}2_{+ C(x+ 1) (x– 1)}2_{+ D(x– 1)}2

(x– 1)2(x + 1)2 1

(x – 1)2(x+ 1)2

D

(x+ 1)2

C

(x+ 1)

B

(x– 1)2

A

(x– 1) 1

(x – 1)2(x+ 1)2

1 (x – 1)2_{(x + 1)}2