Análisis dinámico modal aplicando el método del elemento finito utilizando mallas híbridas para determinar el tamaño crítico de las grietas en la brida de la maza de rueda portadora de los vagones del metro

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE PROGRADO E INVESTIGACIÓN

ANÁLISIS DINÁMICO MODAL APLICANDO EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO UTILIZANDO MALLAS HÍBRIDAS PARA DETERMINAR EL TAMAÑO CRÍTICO DE LAS GRIETAS EN LA BRIDA DE LA MAZA DE RUEDA PORTADORA DE LOS VAGONES DEL METRO

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS CON

ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA MECÁNICA

PRESENTA:

ING. FELIPE DE JESÚS RESÉNDIZ NÚÑEZ

DIRECTORA:

DRA. RITA AGUILAR OSORIO

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AGRADECIMIENTOS

Un especial agradecimiento a mi asesora y directora de tesis Dra. Rita Aguilar Osorio, por brindarme las enseñanzas dentro y fuera del aula para crecer tanto profesionalmente como personalmente, por el nivel y la metodología de las clases impartidas, por su disposición para dirigir en todo momento este trabajo de tesis y sobre todo por mostrarme que la base del éxito es la organización y la dedicación.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT), por el apoyo económico que se me brindó durante el tiempo de realización de mis estudios de maestría.

Al Programa Institucional de Formación de Investigadores (PIFI) del Instituto Politécnico Nacional (IPN) por el apoyo económico brindado para la realización de este trabajo de tesis.

A la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación (SEPI) de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco, en donde tuve la oportunidad de realizar la maestría.

A los miembros del jurado: Dr. Jesús Alberto Meda Campaña, Dr. Eduardo Oliva López, Dr. Francisco Manuel Sánchez Arévalo y M. en C. Eustorgio Heredia Meza.

También agradezco a los ingenieros del Taller de Mantenimiento Mayor Ticomán del Sistema de Transporte Colectivo Metro (STCM), Alejandro Olvera de la Rosa y Antonio Tapia Lugo por la información proporcionada de la pieza de maza de rueda portadora.

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DEDICATORIAS

Dedico el presente trabajo con todo mi amor y admiración a:

Mis padres

Josefina Núñez Hurtado

y

Felipe Jesús Reséndiz Novoa

por darme la oportunidad de vivir, la ambición del estudio y la preparación para ser cada día un mejor ser humano.

A mis abuelos

Alicia, Nicolás, Ma. del Carmen y José

por todas sus enseñanzas y sobre todo por su inmenso cariño.

A mi hermana

Belem Reséndiz Núñez

por escucharme y alentarme en los momentos más difíciles

A mi hermano

Gustavo Mata Bautista

por el gran aprecio y confianza que siempre ha tenido en mi

A mis familiares y amigos

por todo el apoyo incondicional que me han brindado y por compartir sus vidas después de tanto tiempo.

(6)

Índice

ÍNDICE

LISTA DE TABLAS 4

LISTA DE FIGURAS 5

NOMENCLATURA 7

RESUMEN 9

ABSTRACT 10

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 11

1.1 La Mecánica de Fractura 11

1.2 Importancia de la realización de estudios de Mecánica de Fractura en México. 14

1.3 Alcances 17

1.4 Objetivos 18

1.5 Aportaciones 20

1.6 Metodología General 21

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS BIBLIOGRÁFICO 23

2.1 Introducción 23

2.2 Métodos para determinar el factor de intensidad de esfuerzos en elementos mecánicos agrietados 23

2.2.1 Método Analítico 24

2.2.2Métodos Experimentales 25

2.2.2.1 Método de Fotoelasticidad 25

2.2.2.2Método de Moiré 26

2.2.2.3Método de Extensometría 27

2.2.2.4 Método de Holografía Digital 28

2.2.2.5 Método de Complianzas 29

2.2.3 Métodos Numéricos 30

CAPÍTULO 3. APLICACIÓN DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO EN LA

DETERMINACIÓN DEL FACTOR DE INTENSIDAD DE ESFUERZOS 44

3.2 Métodos para la determinación del factor de intensidad de esfuerzos (K) 44

3.2.1 Métodos Analíticos 44

3.2.2 Métodos Experimentales 46

3.2.3 Métodos Numéricos 48

3.3 Aplicación del Método del Elemento Finito para la determinación de K 52

3.4 Procedimiento para el análisis de los esfuerzos principales en la brida mayor de la maza de rueda

portadora aplicando el MEF 53

3.4.1 Metodología para la simulación numérica 55

CAPÍTULO 4. FORMULACIÓN MATEMÁTICA 60

(7)

Índice

CAPÍTULO 5 ANÁLISIS NUMÉRICO PARA DETERMINAR LOS ESFUERZOS PRINCIPALES

EN LA BRIDA MAYOR DE LA MAZA DE RUEDA PORTADORA. 97

5.2 Simulación numérica para determinar los esfuerzos principales en la brida de la maza de rueda

portadora 98

5.3 Modelo Numérico 98

5.4 Determinación de la geometría de la brida de maza de rueda portadora 104

5.5 Selección del tipo de elemento de Malla 106

5.6 Generación de las Mallas 108

5.6 Propiedades del material de la pieza de maza de rueda portadora 110

5.7 Condiciones y datos para las simulaciones. 111

5.8 Selección del módulo de trabajo. 122

CAPÍTULO 6. DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO CRÍTICO DE GRIETAS EN LA BRIDA

MAYOR DE LA PIEZA DE MAZA DE RUEDA PORTADORA 123

6.2 Obtención del tamaño crítico de grietas en la brida de la maza de rueda portadora 123 6.3 Determinación del factor de intensidad de esfuerzos 126

6.4 Determinación del tamaño de la zona plástica 128

6.5 Análisis del tipo de fractura en función del tamaño de la zona plástica 129

6.6 Determinación del tamaño crítico de grietas 130

CAPÍTULO 7. RESULTADOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS 131

7.2 Número de elementos y nodos 131

7.3 Resultados del primer análisis estático 134

7.3.1 Esfuerzo de von Mises máximo 134

7.3.2 Esfuerzo cortante máximo 136

7.4 Resultados del segundo análisis estático 136

7.4.2 Esfuerzo de cortante máximo 137

7.5 Resultados del tercer análisis estático 138

7.5.3 Desplazamientos máximos 140

7.6 Resultados del análisis modal 141

7.6.1 Frecuencias naturales 141

7.7 Resultados del primer análisis dinámico 142

7.8 Resultados del segundo análisis dinámico 144

7.8.3 Desplazamientos máximos 145

7.9 Comparación de los resultados obtenidos con los reportados en el documento SINTRA (09/95) 146 7.10 Comparación de los resultados estáticos y dinámicos 148 7.11 Esfuerzos principales en la zona de nucleación de grietas 150

(8)

Índice

CONCLUSIONES 166

TRABAJOS FUTUROS 168

REFERENCIAS 169

Anexo 1 Plano STCM No. 213741-L3 175

Anexo 2 Participaciones en congresos 176

(9)

Índice

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2.1. Resumen de las publicaciones del método del elemento finito con un solo tipo de malla. ... 37

Tabla 2.2. Resumen de las publicaciones del método del elemento finito con mallas hibridas. ... 38

Tabla 3.1. Ventajas y desventajas de los métodos para la determinación del factor de intensidad de esfuerzos. ... 49

Tabla 5.2. Propiedades Mecánicas de los distintos aceros que componen la pieza de maza de rueda portadora. ... 110

Tabla 5.3. Condiciones y datos para las simulaciones. ... 112

Tabla 5.4. Selección del tipo de solución para cada uno de los análisis realizados a la brida de la maza. ……….122

Tabla 6.1. Medición de las grietas en la brida de la maza según el Memorándum GMR‐92/1241 [94]. .. 124

Tabla 6.2. Medición de las grietas en las piezas seleccionadas para realizar el análisis del tamaño crítico de grietas. ... 125

Tabla 7.1 Datos de la Malla del modelo de la maza realizado en ANSYS ... 131

Tabla 7.2. Datos del refinamiento de la malla del modelo de la maza realizado en ANSYS. ... 132

Tabla7.3. Datos de la Malla del Análisis Dinámico ... 133

Tabla 7.4. Datos del refinamiento de la malla del análisis dinámico. ... 133

Tabla 7.5 Esfuerzos principales en la brida mayor de la maza de rueda portadora. ... 134

Tabla 7.8Modos de frecuencia de la maza de rueda portadora. ... 141

Tabla 7.10 Esfuerzos principales en la brida de la maza de rueda portadora. ... 144

Tabla 7.11. Resumen de resultados del análisis estático. ... 146

Tabla 7.12 Resumen de los resultados estáticos y dinámicos ... 148

Tabla 7.13. Valores de esfuerzos en la zona de generación de grietas en la brida de la maza de rueda portadora. ... 150

Tabla 7.14. Resultados Obtenidos del Análisis de Mecánica de Fractura ... 151

Tabla 7.15. Factores de intensidad de esfuerzos de las piezas analizadas caso con cargas dinámicas. ... 153

Tabla 7.16. Valores obtenidos con las simulaciones con cargas dinámicas ... 151

(10)

Índice

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 3.1. Diagrama de Flujo del Proceso General del Análisis Numérico. ... 56

Figura 3.2. Diagrama de Flujo del Análisis Estático. ... 57

Figura 3.3. Diagrama de Flujo de un Análisis Modal. ... 58

Figura 3.4. Diagrama de Flujo de un Análisis Dinámico. ... 59

Figura 4.2. Elemento diferencial en donde se muestran las fuerzas y su variación con respecto a su posición. [93] ... 61

Figura 4.4. Placa delgada con grieta central de dimensiones infinitas cargada biaxialmente. [1] ... 87

Figura 4.5. Campo de esfuerzos alrededor de la punta de la grieta. [7] ... 88

Figura 4.6. Comparación del tamaño de una grieta con respecto a la longitud del elemento. [1] ... 89

Figura 4.8. Gráfica de los valores del factor geométrico de acuerdo a la geometría de la pieza y el número de grietas. [101] ... 95

Figura 5.1. Partes de la Maza de Rueda Portadora. ... 104

Figura 5.2. Modelo de la maza de rueda portadora utilizado en el primer análisis estático. ... 105

Figura 5.3. Modelo de la maza de rueda portadora utilizado en los análisis dinámicos y modal. ... 105

Figura5.5.ElementoSOLID95. ... 108

Figura 5.6. Mallado de la maza de rueda portadora para el análisis estático... 109

Figura 5.7. Mallado de la pieza de maza de rueda portadora para el análisis dinámico. ... 109

Figura 5.10. Casos de carga analizados en la maza de rueda portadora en la segunda simulación estática. ... 114

Figura 5.11. Casos de carga analizados en la brida de la maza de rueda portadora en el caso estático. . 115

Figura 5.12. Análisis Modal. ... 116

Figura 5.13. Casos de carga analizados en la maza de rueda portadora en el primer análisis dinámico. 117 Figura 5.14. Casos de carga dinámicas analizados en la maza de rueda portadora. ... 117_Toc327316910 Figura 6.1. Diagrama de localización de las grietas en la brida mayor de la maza de rueda portadora. .. 123

Figura 7.1. Esfuerzos de von Mises en la brida de maza de rueda portadora en el primer análisis estático. ... 135

Figura 7.2. Zona de formación de grietas en la brida mayor de la maza de rueda portadora. ... 135

Figura 7.3. Esfuerzo cortante máximo en la maza de rueda portadora en el primer análisis estático. .... 136

(11)

Índice

Figura 7.6. Esfuerzo cortante máximo en la maza de rueda portadora en el segundo análisis estático. . 138

Figura 7.7. Esfuerzos de von Mises en la brida de maza de rueda portadora en el tercer análisis estático. ... 139

Figura 7.8. Esfuerzo cortante máximo en la maza de rueda portadora en el tercer análisis estático. ... 139

Figura 7.9. Desplazamientos nodales máximos de la brida de la maza de rueda portadora en el análisis estático. ... 140

Figura 7.10. Deformación máxima en la maza de rueda portadora en el análisis modal. ... 141

Figura 7.11. Esfuerzos de von Mises en la brida de maza de rueda portadora en el primer análisis dinámico. ... 143

Figura 7.12. Esfuerzo cortante máximo en la maza de rueda portadora en el primer análisis dinámico. 143 Figura 7.13. Esfuerzos de von Mises en la brida de maza de rueda portadora en el segundo análisis dinámico. ... 144

Figura 7.14. Esfuerzo cortante máximo en la maza de rueda portadora en el segundo análisis dinámico. ... 145

Figura 7.15. Desplazamientos nodales máximos de la brida de la maza de rueda portadora en el análisis dinámico. ... 145

Figura 7.16. Comparación de los resultados de las simulaciones con cargas estáticas. ... 147

Figura 7.17. Comparación de los resultados de las simulaciones con cargas estáticas y dinámicas. ... 148

Figura 7.18. Comparación de los resultados de las simulaciones con cargas dinámicas. ... 149

(12)

Nomenclatura

NOMENCLATURA

a Tamaño de grieta

Tamaño crítico de grieta

Tamaño crítico de grieta total

B Espesor del material

E Módulo de elasticidad

G Módulo de esfuerzo cortante

K Factor de intensidad de esfuerzos

Tenacidad a la fractura crítica

Kg Kilogramo

kN Kilo Newton

m Metro

MEF Método del elemento finito

mm Milímetro

MPa Mega Pascales

N Newton

Nm Newton metro

PMRP Pieza de maza de rueda portadora

Pa Pascales

Tamaño de zona plástica

U Energía de distorsión

Uh Deformación hidrostática

Desplazamientos nodales

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Nomenclatura

Coeficiente de expansión térmica

Γ Deformación cortante

Cambio de temperatura

Ε Deformaciones

Deformación total

Μ Relación de Poisson

Esfuerzo de cedencia

Esfuerzo promedio

, , Esfuerzos principales

σ´ Esfuerzo de von Mises

, , Esfuerzos cortantes

Φ Función de Airy Operador de Laplace

Matriz de amortiguamiento

Matriz de masa

Matriz de rigidez

Matriz de la Ley de Hooke

N Matriz de las Funciones de forma

Vector de desplazamiento nodal

Vector de velocidad nodal

Vector de aceleración nodal

Vector de cargas

(14)

Resumen

RESUMEN

En este trabajo se presenta el análisis del tamaño crítico de grietas en la brida mayor de la PMRP de los

vagones del Metro, aplicando el MEF, utilizando mallas híbridas, para establecer un criterio de retiro de la

pieza. Para esto se siguió una metodología, ésta consistió en el desarrollo de un análisis bibliográfico, la

selección de las piezas con la distribución de grietas más representativas del memorándum GMR-92/1241

del STCM, la formulación de los modelos matemáticos y numéricos de la PMRP, la simulación numérica

de los esfuerzos normal y cortante aplicando el MEF en la PMRP con cargas estáticas y dinámicas, la

determinación del esfuerzo máximo de von Mises en la zona de nucleación de grietas, la obtención de los

valores del factor de intensidad de esfuerzos, el tamaño de la zona plástica y del tamaño crítico de grietas

en la brida mayor de la PMRP. Se utilizó el programa comercial de elementos finitos ANSYS, con el que

se realizaron seis simulaciones numéricas, tres de éstas con cargas estáticas, una simulación modal y dos

simulaciones con cargas dinámicas. En la primera simulación se analizaron las cargas de impacto por

cambio de vía con la finalidad de corroborar el estudio realizado por la empresa SINTRA, en el cual no se

consideran todas las cargas que afectan a la maza, ni la forma en se aplican en la brida. La segunda

simulación que se realizó fue considerando las nervaduras de la pieza conforme al plano 213741-L3 del

STCM. En la tercera simulación se aplicaron las cargas de impacto por cambio de vía de 36600 N, las del

frenado del vagón de 5908 N y las del peso del vagón incluyendo los usuarios en horas pico de 52790 N.

Esta simulación se utilizó como punto de partida realizar un análisis modal a la PMRP, con el que se

determinaron los modos de frecuencia del componente y se realizaron las simulaciones numéricas con

cargas dinámicas. En la primera simulación dinámica sólo se consideraron las cargas por impacto de

cambio de vía, para comparar estos resultados con los estáticos, la segunda simulación dinámica que se

realizó fue considerando las cargas de impacto, el peso del vagón en horas pico y las de frenado. Los

resultados muestran que los valores obtenidos de los esfuerzos en la simulación numérica con cargas

dinámicas tienen un porcentaje de diferencia del 76 % respecto a la simulación con cargas estáticas, en la

zona de nucleación de grietas, obteniendo un valor del esfuerzo máximo de von Mises de 107.850 MPa.

Utilizando los parámetros de la Mecánica de Fractura se determinó el factor de intensidad de esfuerzos en

las 20 piezas seleccionadas. Se observó que los valores de los resultados exceden los 200 MPa √m a partir de los 300 mm de la suma total de las grietas. Finalmente, se determinó que el tamaño crítico de grietas en

la brida mayor de la maza es de 0.014 m. Al comparar estos resultados con la tenacidad crítica a la

fractura de la pieza se concluyó que la PMRP se debe de retirar de su funcionamiento antes de que la suma

total de sus grietas sumen 300 mm o cuando se detecte una grieta de 14 mm o mayor a éste tamaño para

(15)

Abstract

ABSTRACT

This work presents the analysis of the critical size of cracks in the flange of the PMRP of the cars of the

Metro, applying the FEM, using hybrid meshes, to establish a criterion for removal of the piece. For this

purpose, the structure of this work followed a methodology, it was consist in the development of a

literature review, the selection of the pieces with the distribution of cracks most representative of the

memorandum GMR-92/1241 of STCM, the formulation of PMRP´s mathematical and numerical models,

the numerical simulation of the normal and shear stresses using the FEM in PMRP with static and

dynamic loads, the determining of von Mises´ maximum stress in the nucleation of cracks, the obtaining

of the stress intensity factor values, the plastic zone size and the critical size of cracks in the flange of the

PMRP. This research used the commercial finite element program ANSYS, the numerical simulations

were six, three of them with static loads, one modal simulation and two simulations with dynamic loads.

In the first simulation were analyzed impact loads by changing the railway in order to corroborate the

study by the company SINTRA, which are not considered all charges affecting the hub, or how applied in

the flange. The second simulation was performed considering the ribs of the flat part as in the diagram

213741-L3 STCM. In the third simulation the loads that were applied were the impact loads of 36600 N,

the braking of the wagon of 5908 N and the weight of the car including peaking users of 52790 N. This

simulation was used as a starting point for the modal analysis to PMRP, with which it is determined

frequency modes of the component and the numerical simulations were carried out with dynamic loads. In

the first dynamic simulation only considered impact loads to compare these results with the static, the

second dynamic simulation was performed considering the impact loads, the weight of the car during peak

hours and the braking. The results show that the values obtained from the numerical simulation with

dynamic loads have a percentage difference of 76% compared to the static simulation, in the nucleation of

cracks, the value of the maximum stress of von Mises was 107,850 MPa. Using the parameters of fracture

mechanics were determined the stress intensity factor in the 20 selected pieces. It was observed that the

values of results exceeding 200 MPa √m from the 300 mm of the total amount of the cracks. Finally, was determined that the critical size of cracks in the hub flange is increased from 14 mm. Comparing these

results with the criticism of the fracture toughness of the work piece is concluded that the PMRP must be

removing from this operation before the sum total of their cracks add 300 mm or when there is a crack of

14 mm or greater that this size to prevent cracks from propagating in an unstable form and cause a total

(16)

Capítulo 1 Introducción

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 1.1 La Mecánica de Fractura

La capacidad de diseñar componentes mecánicos que sean capaces de resistir con seguridad las

cargas de servicio estáticas o dinámicas en un cierto periodo de tiempo, es el objetivo principal

del análisis en elementos mecánicos. Una de las partes fundamentales del proceso del diseño

mecánico es determinar que puede ocasionar una falla en el componente.

Existen varios factores para que ocurra una falla en un componente mecánico, como el tipo de

carga, las condiciones de operación, el tipo de ambiente al cual está expuesto el componente y el

tiempo de trabajo. Tomando en cuenta estos factores, en ocasiones es suficiente con determinar

los esfuerzos máximos de forma estática o dinámica que el material puede resistir y luego diseñar

el componente asegurando que los esfuerzos se mantengan por debajo de los límites aceptables.

Sin embargo, componentes mecánicos más complejos requieren de algún tipo de análisis de

tolerancia a defectos. En estos casos el material o el componente se considera que contiene

defectos y se debe de decidir cuándo se va a sustituir el componente o dejarlo en servicio bajo

una carga más tolerable para un periodo de tiempo determinado, si las condiciones de operación

lo permiten. Este tipo de decisiones se suelen hacer utilizando los fundamentos de la Mecánica de

la Fractura.

La Mecánica de Fractura [1-9] es una rama de la Mecánica de Sólidos que estudia el

comportamiento mecánico de componentes agrietados. C. E. Inglis [3], profesor de Arquitectura

Naval, fue el primer en dar un paso importante en la determinación de los efectos de una grieta en

una estructura.

En 1913 publicó un análisis de esfuerzos en una placa infinita con un agujero elíptico con cargas

biaxiales de tensión. Al deformarse la placa, el agujero elíptico cada vez comenzaba a

comportarse como una grieta, Inglis concluyó que alrededor de los focos de la elipse, la

(17)

A. A. Griffith [1-9], que se encontraba estudiando los efectos de las grietas en componentes de

motores de aviones, transformó el análisis de Inglis calculando el efecto de la grieta en la energía

de deformación almacenada en una placa agrietada de dimensiones infinitas. Griffith propuso que

esta energía debía de ser tomada como una medida de la forma en que se propaga una grieta.

Aunado a esto, realizó un paso fundamental en el desarrollo de la Mecánica de Fractura, al

analizar esferas de vidrio con grietas superficiales, demostrando que el análisis elástico simple

podría ser aplicado para describir la propagación de grietas de diferentes tamaños con diferentes

cargas.

La Mecánica de Fractura pasó de ser una simple curiosidad científica a una disciplina en el

campo de la ingeniería, sobre todo por lo ocurrido en la flota de los buques Liberty durante la

Segunda Guerra Mundial. Estos buques tenían un casco totalmente soldado a diferencia de los

que se construían tradicionalmente con remaches. De los aproximadamente 2700 buques que se

construyeron de esta forma, alrededor de 400 buques tuvieron algún tipo de falla, de los cuales 90

fueron considerados graves. En 20 buques la falla fue total y aproximadamente la mitad de estos

se rompió en dos.

Después de la Segunda Guerra Mundial, el grupo de Mecánica de la Fractura de investigación

Naval dirigido por G. R. Irwin [1-9], decidió analizar las causas de las fallas de los buques

Liberty. Después de haber estudiado los trabajos de Inglis y Griffith, Irwin utilizó por primera

vez las herramientas básicas para el análisis de fractura en una estructura.

La primera contribución importante de Irwin fue ampliar el enfoque de Griffith a los metales

mediante el análisis de la energía de deformación plástica. En 1956, Irwin desarrolló el concepto

de liberación de energía, que está relacionado con la teoría de Griffith pero de una forma más

adecuada para resolver problemas de ingeniería.

Posteriormente Irwin, utilizó el enfoque de Westergaard [1-9] para demostrar que los esfuerzos y

desplazamientos cercanos a la punta de una grieta pueden ser descritos por un único parámetro

que se relaciona con la velocidad de liberación de energía. Este parámetro que caracteriza a la

zona alrededor de la punta de la grieta, más tarde se le conoció como factor de intensidad de

(18)

Todo este trabajo fue ignorado en gran medida por los ingenieros, debido a que parecían simples

desarrollos matemáticos y así fue hasta la década de 1970, que la Mecánica de la Fractura, como

se conoce hoy en día, llegó a ser aceptada como un útil e inclusive herramienta esencial en el

diseño de componentes mecánicos. Existen muchas razones para esto, por ejemplo, el desarrollo

de pruebas no destructivas, que revelaron grietas ocultas en estructuras planteó el problema de

qué hacer con ellas, el constante desarrollo de la industria aeroespacial y de transportes, exigió el

análisis de componentes con una alta resistencia. Otros factores como el uso cada vez mayor de la

soldadura en construcciones marinas, ha hecho que el mayor desarrollo de la Mecánica de la

Fractura se ha producido en los últimos 30 años.

Aunado a esto, el análisis de componentes mecánicos sometidos a distintas cargas y en

condiciones de falla ha sido trascendente a lo largo de la historia. Esto se debe a los problemas

que conlleva una falla catastrófica de un componente mecánico en operación, no solo causando

pérdidas materiales, inclusive pérdidas humanas.

En 1983 el Instituto Nacional para la Ciencia y la Tecnología de Estados Unidos estimó los

costos por fallas debidas a fracturas en 119 billones de dólares por año. Es por esta razón que hoy

en día los estudios de Mecánica de Fractura en estructuras y componentes mecánicos se vuelven

(19)

1.2 Importancia de la realización de estudios de Mecánica de Fractura en México.

La falta de una política en ciencia, tecnología e innovación en México provoca que se tenga una

dependencia tecnológica con países del extranjero. Como es el caso de los estudios de Mecánica

de Fractura que se realizan por parte de empresas extranjeras, es por esta razón que se tiene muy

poco desarrollo en cuanto a los estudios que se le realizan a componentes mecánicos con las

condiciones de operación que se tienen en nuestro país.

A raíz de esta problemática, algunas instituciones en nuestro país han decidido establecer

programas que fortalezcan el desarrollo tecnológico de México. Como por ejemplo el Sistema de

Transporte Colectivo Metro (STCM), que es uno de los medios de transporte más importante en

la Ciudad de México que desde su construcción en el año de 1967, se ha utilizado tecnología

francesa para su construcción y servicio.

Es por esta razón que desde el año de 2008 se puso en marcha el programa de desarrollo

tecnológico del Metro, dirigido a mejorar su capacidad tecnológica, mediante la gestión de la

tecnología para disminuir la dependencia, vincularse con las universidades e impulsar la

formación y capacitación de talentos.

Debido al constante crecimiento de la Ciudad de México, el Metro es el transporte público más

usado y ocupa el cuarto lugar mundial de pasajeros transportados, aproximadamente 4.35

millones de usuarios al día, después del Metro de Tokio, Nueva York y Paris. Aunado a esto,

registra la tarifa más barata en el mundo.

Por consiguiente el número de usuarios se ha ido incrementado año con año, al igual que el

número de recorridos del Metro. Esto ha ocasionado que el periodo de vida de los componentes

disminuya, incrementándose las cargas de impacto por cambio de vías y por frenado. Aunado a

esto, las vibraciones generadas, por el asentamiento continuo del suelo de la Ciudad de México,

(20)

Todos estos factores, han impulsado la necesidad de realizar estudios e investigaciones en los

componentes mecánicos con las condiciones de operación que se tienen en el Metro de la Cuidad

de México, debido a que todos los sistemas de control de energía y mecánico de trenes,

automatización, señalización e instalaciones fijas son productos de tecnología e ingeniería

extranjera.

Como por ejemplo, la pieza de maza de rueda portadora, que es el soporte principal del vagón

sobre las vías y órgano de seguridad en el tren, que según el análisis realizado por la empresa

SINTRA [10] tiene un periodo de vida útil de veinte años, sin que haya problemas de falla en el

material. Sin embargo, ésta presenta problemas de fatiga entre los cinco y seis años, lo que causa

la formación de grietas en la brida de la pieza. Ésta se retira aproximadamente a los ocho años.

En el STCM, se utiliza el método de partículas magnéticas (MT) [11-19], para la detección de las

grietas que se forman en la unión entre la brida y el cuerpo de la maza. Estas grietas son

evaluadas utilizando un criterio empírico de retiro de las piezas establecido en el Metro, con la

finalidad de determinar si las piezas pueden continuar en operación o se retiran para ser reparadas

o eliminadas de forma permanente. Este criterio de retiro, establece que la maza de rueda

portadora se debe retirar si en la unión de la brida con el cuerpo de la maza el total de las grietas

suman 300 mm.

Es de vital importancia realizar esta investigación en la brida mayor de la maza de rueda

portadora, a fin de verificar el tamaño crítico de grietas, es decir, la longitud máxima de grieta

que puede tolerar la pieza, con la finalidad de determinar su eficiencia de acuerdo a la operación

del Metro de la Ciudad de México. Con lo que se garantizará la seguridad de que no fallará de

manera catastrófica afectando a los trenes y a los más de mil 467 millones de usuarios que

(21)

Por esta razón, es necesario desarrollar proyectos de investigación que estén enfocados en las

necesidades reales de la industria mexicana, ya que el desarrollo de tecnología proporciona

nuevas oportunidades de crecimiento en una nación. Aunado a esto, las escuelas de ingeniería

deben impulsar la formación de personal capacitado en innovación tecnológica para el desarrollo

de las empresas mexicanas y enseñar la cultura de la propiedad industrial, las normas y

metodologías, además del registro de los desarrollos y de la patente de la propia tecnología.

Considerando la relevancia de este tipo de investigaciones para la industria en nuestro país y en

este caso específico para el STCM, pero sobre todo para los usuarios de este transporte, se

propone realizar el análisis numérico para determinar el tamaño de crítico de grietas en la brida

mayor de la maza de rueda portadora de los vagones del Metro y con ello obtener un criterio de

(22)

1.3 Alcances

Los alcances propuestos para este trabajo de tesis consisten en la determinación del tamaño

crítico de grietas en la brida mayor de maza de rueda portadora de los vagones del Metro,

mediante un análisis modal de las cargas dinámicas que afectan a la pieza aplicando el método

(23)

1.4 Objetivos

El objetivo general de esta investigación es:

 Determinar el tamaño crítico de grietas de la brida mayor de la maza de rueda portadora

de los vagones del Metro, mediante un análisis modal de las cargas dinámicas que afectan

el componente utilizando el método del elemento finito con mallas híbridas.

Objetivos Particulares:

 Realizar un análisis bibliográfico sobre normas, artículos y trabajos de investigación,

relacionados conlos métodos para la detección y medición de grietas, así como para la

determinación de esfuerzos y del tamaño crítico de grietas en componentes mecánicos

agrietados.

 Realizar la formulación matemática de las ecuaciones que representan el estado de

esfuerzos en la brida mayor de la maza de rueda portadora.

 Obtener la expresión característica del factor de intensidad de esfuerzos para la brida

mayor de la maza de rueda portadora.

 Proponer una metodología para realizar las simulaciones numéricas de acuerdo al análisis

estático, modal y dinámico.

 Realizar el modelo numérico de los esfuerzos principales de la brida mayor de la maza de

rueda portadora y del esfuerzo de von Mises.

 Analizar numéricamente los esfuerzos en la brida de la maza de rueda portadora para

(24)

 Analizar los resultados numéricos.

(25)

1.5 Aportaciones

 Determinación del tamaño crítico de grietas de la maza de rueda portadora utilizando el

MEF con mallas híbridas.

 Desarrollo de la formulación matemática para determinar los esfuerzos principales en la

brida mayor de la maza de rueda portadora.

 Determinación de una expresión característica del factor de intensidad de esfuerzos para

la brida mayor de la maza de rueda portadora.

 Desarrollo de una metodología para la simulación numérica de acuerdo al análisis que se

le realice al componente, estático, modal y dinámico.

 Desarrollo del modelo numérico de los esfuerzos principales en la brida mayor de la maza

de rueda portadora con las cargas principales que afectan a la maza. Las cargas de

impacto por cambio de vías, las cargas del peso del vagón en horas pico y las cargas de

frenado.

 Realización de un análisis numérico dinámico modal de las principales cargas que afectan

a la maza de rueda portadora con las condiciones de operación que se tienen en la Ciudad

(26)

1.6 Metodología General

La metodología general utilizada para la realización de esta investigación se compone de los

siguientes pasos principales:

1) Análisis Bibliográfico relacionado con los métodos para determinar esfuerzos y el tamaño

crítico de grietas en componentes mecánicos agrietados.

2) Selección del método para determinar el factor de intensidad de esfuerzos.

3) Selección de las grietas más representativas en la brida mayor de la PMRP. Se utilizó el

registro de medición de grietas del Memorándum GMR-92 / 1241 del STCM.

4) Formulación de los modelos matemáticos de los siguientes parámetros:

 De los esfuerzos normal y cortante en la brida mayor de la PMRP sin la presencia de

grietas.

 De los esfuerzos principales en la brida mayor de la PMRP utilizando los esfuerzo

normales y cortantes del desarrollo anterior.

 De los esfuerzos máximos y mínimos.

 Del esfuerzo de von Mises.

 Del factor de intensidad de esfuerzos.

5) Determinación del modelo numérico a partir de las formulaciones matemáticas realizadas

anteriormente.

6) Simulación numérica con cargas estáticas para determinar los esfuerzos normal y cortante

aplicando el MEF en la PMRP sin la presencia de grietas.

7) Determinación de los esfuerzos normal y cortante máximo utilizando los valores que se

obtuvieron de la simulación numérica con cargas estáticas en la PMRP sin la presencia de

grietas.

8) Determinación del esfuerzo de von Mises utilizando los valores obtenidos anteriormente

del esfuerzo normal y cortante máximo en la brida mayor de la PMRP.

9) Simulación numérica con cargas dinámicas para determinar los esfuerzos normal y

cortante aplicando el MEF utilizando mallas híbridas en la PMRP sin la presencia de

(27)

10)Determinación de los esfuerzos normal y cortante máximo utilizando los valores que se

obtuvieron de la simulación numérica con cargas dinámicas en la PMRP sin la presencia

de grietas.

11)Determinación del esfuerzo de von Mises utilizando los valores obtenidos anteriormente

del esfuerzo normal y cortante máximo en la brida mayor de la PMRP.

12)Obtención de los factores de intensidad de esfuerzos alrededor de las puntas de las grietas

seleccionadas para el análisis de la brida mayor de la PMRP.

13)Obtención del tamaño de la zona plástica a partir de los valores del factor de intensidad de

esfuerzos.

14)Determinación del criterio de fractura lineal-elástico o elasto-plástico de acuerdo al

tamaño de zona plástica.

15)Determinación del tamaño crítico de grietas.

(28)

Capítulo 2 Análisis Bibliográfico

CAPÍTULO 2. ANÁLISIS BIBLIOGRÁFICO

2.1 Introducción

En este capítulo se presenta un análisis bibliográfico de las normas, códigos y manuales

relacionados con los métodos y aplicaciones para determinar el factor de intensidad de esfuerzos

y el tamaño crítico de grietas en elementos mecánicos agrietados bajo la aplicación de cargas

externas estáticas y dinámicas.

2.2Métodos para determinar el factor de intensidad de esfuerzos en elementos mecánicos agrietados

La mecánica de fractura se basa en el cálculo del campo de esfuerzos y deformaciones alrededor

de la punta de una grieta. Estos esfuerzos provocan el desplazamiento de la grieta. Para realizar el

análisis de un elemento agrietado, es necesario determinar el campo de esfuerzos en la zona de

nucleación de grietas. El factor de intensidad de esfuerzos (K) [1-9], representa la magnitud de

estos esfuerzos y determina el efecto de una grieta en alguna estructura o elemento mecánico.

Una vez conocido K, el campo de esfuerzos alrededor de la punta de la grieta queda definido por

completo.

Existen diferentes métodos para determinar el campo de esfuerzos en las zonas de nucleación de

grietas para determinar K. Estos métodos se clasifican como sigue:

I. Método Analítico

II. Método Experimental

III. Método Numérico

El método analítico es el método más antiguo de análisis de esfuerzos en un componente

mecánico. Este método permite realizar una aproximación al valor real de los esfuerzos que

actúan alrededor de una grieta, con lo cual se puede comprender mejor su comportamiento. El

método numérico es el más empleado en la actualidad para la determinación de esfuerzos

alrededor de grietas, debido al uso de equipos de cómputo cada vez más eficaces y la

(29)

complejidad de la geometría del elemento agrietado y las cargas hacen que las soluciones

analíticas para determinar el campo de esfuerzos alrededor de la grieta sean muy difíciles de

resolver.

2.2.1 Método Analítico

El método analítico [20-23] es un método de investigación que consiste en el análisis del

componente mecánico, descomponiéndolo en elementos para observar las causas, la naturaleza y

los efectos de los esfuerzos en la zona de nucleación de grietas. El análisis se basa en cálculos

matemáticos en donde se consideran las variables significativas que intervienen en el problema y

se apoya en herramientas como gráficos y manuales de distintas geometrías de piezas.

Existen distintos métodos analíticos para determinar K, el método analítico de Irwin [1-9], el

método de Wigglesworth [24] y el método de superposición.

El método de Irwin, se basa en el desarrollo del criterio de energía en una pieza agrietada, es

decir a partir de la carga aplicada a la pieza se calcula el incremento que tienen los esfuerzos

cerca de la punta de la grieta, este método se utiliza principalmente en placas con un solo tipo de

grieta. El método de Wigglesworth, se utiliza para determinar la concentración de esfuerzos en

placas con grietas laterales, utilizando una serie de coeficientes de expansión de la distribución de

esfuerzos y con estos coeficientes se determina el factor de intensidad de esfuerzos. Sin embargo,

el método analítico más utilizado para determinar los esfuerzos en componentes agrietados es el

de superposición. Este método utiliza el principio de superposición de la teoría de la elasticidad

lineal, el cual consiste en dividir el elemento mecánico pequeños volúmenes para calcular los

esfuerzos en el componente, que sumados o "superpuestos" son equivalentes al elemento original.

Para los casos más sencillos existen tablas, fórmulas y gráficos de componentes agrietados al

descomponer el problema original como combinaciones de los casos más simples. La solución

(30)

La parte más importante del método de superposición, consiste en la correcta división del

componente en una sumatoria de componentes simples. La ecuación (1) representa la solución

del factor de intensidad de esfuerzos para un componente superpuesto:

⋯ (1)

En donde KT, es el factor de intensidad de esfuerzo total del componente, Ka, Kb y Kn

representan los factores de intensidad de esfuerzos para cada división del componente. Es

importante mencionar que cada valor de K debe ser sustituido en la ecuación (1) por la expresión

que le corresponda del factor de intensidad de esfuerzos de acuerdo a la geometría de cada

división del componente.

2.2.2 Métodos Experimentales

En los casos en donde la complejidad de la geometría del elemento mecánico y las cargas que se

le aplican al elemento hacen que las soluciones analíticas para determinar el factor de intensidad

de esfuerzos sean muy difíciles de resolver y las simulaciones numéricas se vuelven muy grandes

y costosas, se utilizan los métodos experimentales. Aunado a esto, cuando se inicia una

investigación por medio de métodos numéricos, lo recomendable es validar experimentalmente

los resultados obtenidos numéricamente, con la finalidad de confiar en los resultados presentes y

futuros.

Actualmente existen varios métodos experimentales para determinar los esfuerzos alrededor de la

punta de una grieta, con la finalidad de determinar el factor de intensidad de esfuerzos, entre los

principales se pueden mencionar el de extensometría, fotoelasticidad, Moiré, complianzas y el de

holografía digital. A continuación se describen brevemente estos métodos.

2.2.2.1Método de Fotoelasticidad

El método de fotoelasticidad [13-19,25-26] es una técnica experimental para determinar la

distribución de esfuerzos en un material, que se basa en la aplicación de principios ópticos como

la reflexión y refracción de la luz, bajo la influencia de cargas externas en el material. Para la

aplicación de éste método se utiliza un polariscopio y materiales birrefringentes, es decir,

(31)

berilio, fluoruro de magnesio y nitrato de sodio, materiales epóxicos o poliéster, estos materiales

modelan el comportamiento de los materiales reales.

Cuando se incide un haz de luz polarizada sobre el material birrefringente, el efecto óptico del

polarizador permite obtener una imagen de los elementos modelados superficialmente, en donde

se observan franjas continuas que su forma, color y posición corresponden al campo completo de

esfuerzos que se tienen en los elementos modelados. El número de franjas sobre el elemento

indican los esfuerzos, entre mayor sea el número de franjas mayor será la concentración de

esfuerzos.

En elementos agrietados estas franjas se orientan hacia la punta de la grieta en forma de anillos,

debido a la concentración de esfuerzos, lo que permite realizar un análisis bidimensional para

determinar el factor de intensidad de esfuerzos. Actualmente se pueden hacer análisis

tridimensionales del elemento mecánico para determinar el factor de intensidad de esfuerzos,

aplicando el método de fotoelasticidad de foto-esfuerzo [25-27]. Este método se basa en la

aplicación de recubrimientos de material birrefringente para la obtención de un modelo del

elemento mecánico para después someterlo a las cargas de trabajo y mediante la utilización de un

polariscopio de reflexión mostrar el sistema de franjas del elemento.

2.2.2.2Método de Moiré

El método de Moiré [13-19,28-30] es una técnica experimental para determinar la deformación

de un elemento mecánico bajo la influencia de cargas externas, que se basa en la aplicación del

principio óptico de la difracción de la luz. Para la aplicación de éste método se utiliza una fuente

de luz que se proyecta sobre el elemento mecánico y una rejilla de líneas uniformemente

espaciadas y paralelas sobre el elemento que se ensaya. Estas rejillas generalmente están hechas

del mismo material que el elemento mecánico o de algún material plástico que modele el

comportamiento real del material.

Cuando se incide un haz de luz sobre la rejilla sobrepuesta al elemento mecánico sometido a un

sistema de fuerzas, este se deformará y como consecuencia la rejilla también se deformará. La

(32)

oscuras y claras que su forma y posición corresponden a la deformación del elemento mecánico.

A este patrón se le conoce como cuadro de Moiré.

En elementos agrietados el cuadro de Moiré se produce cuando se sobreponen dos rejillas con la

misma orientación de líneas. Mientras que la grieta no se propague, las líneas de ambas rejillas

coincidirán. Sin embargo, en el momento de que la grieta comience a desplazarse la franja se

deformará ocasionando que las líneas de la primera rejilla se desplacen con respecto a la segunda

y se produzca un patrón de franjas oscuro debido al desplazamiento de la grieta.

2.2.2.3Método de Extensometría

El método de extensometría [13-19,31-33], es una técnica experimental que tiene como finalidad

la determinación de las deformaciones de un elemento mecánico bajo la acción de cargas

externas, utilizando las variaciones de resistencia de dispositivos especializados denominados

galgas extensométricas. Una galga extensométrica es un transductor eléctrico que convierten

deformaciones mecánicas en variaciones de corriente eléctrica por medio del cambio de su

resistencia. Éstas se utilizaron por primera vez en 1856 por Lord Kelvin [33], quien utilizó cables

de acero y cobre para medir los esfuerzos y posteriormente determinar las deformaciones de un

elemento cargado a tensión. En el año de 1957 Irwin [1-9,23] utilizó este mismo principio para

determinar el factor de intensidad de esfuerzos alrededor de la punta de una grieta.

Actualmente existen tres distintos tipos de galgas extensométricas para la medición de

deformaciones en un punto específico del material, las de alambre y las semiconductoras,

constituidas por un alambre arreglado en forma de espiral, y las de hoja de metal constituidas por

una lámina conductora grabada sobre el material aislante y de soporte, generalmente resinas

epóxicas, materiales dieléctricos y fibras de vidrio. Las más utilizadas para determinar el factor

de intensidad de esfuerzos son las galgas de hoja de metal debido a la precisión que registran en

comparación con los otros tipos de galgas.

Para esto la galga debe ser montada correctamente cerca de la punta de la grieta adhiriéndola al

elemento mecánico mediante una capa delgada de material de soporte. Cuando el elemento

(33)

deformación que la que se produce en la punta de la grieta. Si la lámina conductora de la galga

extensométrica sufre una deformación, la longitud aumenta y la resistencia varia dando lugar a

cambios de su valor inicial. Para medir esta resistencia se utiliza un instrumento eléctrico llamado

puente de Wheatstone [31-33] constituido de cuatro resistencias que forman un circuito cerrado,

siendo la galga extensométrica la resistencia bajo medida.

2.2.2.4Método de Holografía Digital

El método de holografía digital [16-19], es una técnica experimental para determinar las

deformaciones en un elemento mecánico sometido a cargas externas variables y estáticas. Para la

aplicación de este método se utiliza un interferómetro, el cual consiste de un láser, generalmente

de helio-neón (He-Ne), de un arreglo de espejos para reflejar el haz del láser y de un sistema de

cómputo para registrar la fase y amplitud de onda.

Existen diversos tipos de interferómetros, los cuales se dividen en interferómetros de división de

frente de onda e interferómetros de división de amplitud de onda. En todos ellos, se utiliza el

mismo principio de funcionamiento, éste consiste en dividir el haz del láser, formando dos haces

de luz, que toman trayectorias distintas en su recorrido, determinadas por el arreglo de espejos.

Una de estas trayectorias es en dirección del elemento mecánico que será analizado, mientras que

la otra es de referencia en dirección de un material de registro fotográfico. El haz dispersado por

el objeto se superpone con el de referencia y forman un patrón de interferencia que corresponde a

las deformaciones del elemento mecánico. A este patrón de interferencia se le conoce como

registro holográfico u holograma.

En elementos mecánicos agrietados, el holograma se forma incidiendo el haz del láser en la punta

de la grieta formando la onda de referencia. Uno de los espejos del interferómetro debe estar

situado en la trayectoria de éste haz de luz y debe permitir desplazar la trayectoria óptica. Cuando

la trayectoria se desplaza una distancia igual a la mitad de la longitud de onda, se produce un

ciclo completo de cambios en las franjas de interferencia. La longitud de onda se calcula

midiendo el número de ciclos que se mueve la trayectoria del haz de luz una distancia

(34)

trayectoria óptica y la interferencia entre estos haz de luz, que resultan del desplazamiento de la

grieta y con ello determinar la deformación en alrededor de la punta de la grieta.

2.2.2.5Método de Complianzas

El método de complianzas [13-19,23,34] es una técnica experimental indirecta que se utiliza para

determinar el factor de intensidad de esfuerzos alrededor de la punta de una grieta en elementos

mecánicos sometidos a cargas estáticas. Para la aplicación de este método se utiliza una máquina

que controle automáticamente la carga al momento de realizar la prueba y de un método adicional

que permita medir la propagación de la grieta, en la mayoría de los casos se utilizan galgas

extensométricas o el método de holografía digital con este propósito.

Los valores del desplazamiento de la grieta en función de la carga, obtenidos en la prueba

experimental, se grafican para determinar la curva carga desplazamiento, con la que se puede

obtener la complianza, es decir, el inverso de la curva carga desplazamiento y obtener la

pendiente de esta curva en un punto correspondiente a un tamaño de grieta de interés.

La complianza varía con respecto al aumento del tamaño de grieta, para un incremento de la

longitud de la grieta, bajo condiciones de carga constante, el factor de intensidad de esfuerzos

puede ser determinado en forma general por la siguiente expresión:

(2)

Donde ∂C _∂a es la pendiente de la curva de complianza, P la carga, E el módulo de elasticidad, v

la relación de Poisson y B el espesor del elemento. Esta expresión se utiliza en el caso de una

placa cargada uniaxialmente a tensión con una grieta central de tamaño 2a, para otro caso, esta

ecuación se debe particularizar de acuerdo a las condiciones de carga, geometría y tamaño de

(35)

2.2.3 Métodos Numéricos

Una de las técnicas más utilizadas actualmente para determinar los esfuerzos en componentes

mecánicos agrietados, son los métodos numéricos. Estos métodos utilizan herramientas

computacionales para la obtención de los resultados del análisis de esfuerzos del componente. El

Método del Elemento Finito (MEF) [23,34-37], es el método numérico más utilizado con este

propósito. El MEF tiene como objetivo la discretización de un problema continuo, es decir, dado

un componente con una geometría y propiedades mecánicas definidas se divide en un número

finito de elementos. Cada uno de estos elementos tiene un comportamiento específico debido al

estado de esfuerzos que tiene el componente en cada punto, denominados nodos.

El MEF resuelve las ecuaciones diferenciales parciales que gobiernan el comportamiento de cada

uno de estos nodos sometidos a cargas estáticas y variables. La solución de este sistema de nodos

se forma por el ensamble de las soluciones de todos los nodos y con ello se determinan sus

desplazamientos, para obtener las deformaciones y esfuerzos en los puntos críticos de los

componentes.

El uso del MEF, alrededor de la punta de una grieta, requiere de realizar un refinamiento de la

malla, con el propósito de evitar la singularidad de la punta de la grieta y obtener resultados

confiables. Habitualmente se emplean dos formas de modelación del elemento para evitar este

problema. La primera es la modelación de la punta de la grieta con una malla extremadamente

fina, para simular el radio cercano a cero. Sin embargo, esto hace muy lentos los cálculos en

algunas ocasiones. La segunda modelación tiene mayores ventajas, al utilizar elementos híbridos,

es decir, mallas formadas por dos o más distintos tipos de elementos que modelan directamente la

zona de nucleación de grietas. La mayoría de las ocasiones se utilizan elementos de tipo

tetragonales en la zona de nucleación de grietas y elementos hexaédricos en el resto del

componente. Después que se determinan los desplazamientos nodales y con esto los esfuerzos en

la zona de nucleación de grietas por la aplicación de las cargas a las que está sometido el

(36)

Existe una gran variedad de publicaciones donde se aplica el MEF, para el análisis del factor de

intensidad de esfuerzos utilizando un solo tipo de mallas. A continuación se analizan las

publicaciones más relevantes:

Antunes y colaboradores [38], utilizaron el criterio de liberación de energía de Irwin de

materiales agrietados para determinar el factor de intensidad de esfuerzos, mediante el método

del elemento finito. Para realizar esta investigación se propuso un modelo tridimensional de una

placa rectangular con una grieta de 5 mm en la esquina del elemento, con carga estática y una

magnitud de 60 kN.

Para la solución del modelo se utilizó el programa comercial MODULEF INRIA, el cual se basa

en el método del elemento finito. El elemento se dividió en mallas cuadrangulares con 20 nodos

hexaédricos y 15 pentaédricos. La malla se refinó en la zona plástica utilizando mallas

compuestas de anillos concéntricos con un total de 396 elementos. La propagación de la grieta

fue simulada considerando un rango de desplazamiento de grieta del 0.03% al 6% del tamaño

principal de grieta, graficando la propagación de la grieta con respecto a la energía potencial

necesaria para lograr el desplazamiento, con la finalidad de obtener el factor de intensidad de

esfuerzos. De los resultados de la simulación se observó que la grieta se desplazó siguiendo una

trayectoria curva en la esquina del elemento, por la concentración de esfuerzos en esa parte del

elemento. Los valores obtenidos del factor de intensidad de esfuerzos mediante este método,

tienen errores abajo del 2%, comparado con otras investigaciones, por lo que el uso de la

velocidad de liberación de energía para determinar el factor de intensidad de esfuerzos de Modo I

tiene una mayor simplicidad con respecto a otros métodos.

En la simulación numérica realizada por Williamsom y colaboradores [39], se investigó el

comportamiento de las grietas en la superficie de elementos cuadrangulares con una capa

uniforme de recubrimiento de óxido de aluminio. Las esquinas del elemento fueron redondeadas

y tienen grietas superficiales perpendiculares a la cara del recubrimiento. Se despreció el espesor

del elemento considerando que sus dimensiones son más grandes en comparación del espesor,

(37)

factor de intensidad de esfuerzos alrededor de la punta de la grieta y la propagación de la grieta

con respecto a la temperatura y desplazamiento.

Para obtener los esfuerzos en la punta de la grieta se aplicó el MEF utilizando el programa

computacional comercial ABAQUS. Se modeló un cuarto del elemento, debido a su simetría, y

se dividió en mallas rectangulares. La malla se refinó en la punta de la grieta usando anillos

concéntricos de elementos y se simuló la propagación de la grieta mediante un análisis estático

variando la longitud de la grieta en cinco tamaños diferentes de 0.125 a 0.75 mm.

Adicionalmente, se realizó un estudio a diferentes temperaturas en la zona plástica para

determinar la propagación de las grietas con respecto a la temperatura. La trayectoria de la grieta

fue analizada refinando las mallas en la zona plástica para poder observar el desplazamiento de

las grietas.

De los resultados de la simulación se observó que el factor de intensidad de esfuerzos varía con

respecto a las distintas longitudes de las grietas en el recubrimiento superficial, mientras que al

propagarse en el material el desplazamiento disminuyó, debido al cambio de resistencia del

material. Finalmente del análisis de temperatura se observó que el gradiente de temperatura

aumenta con altos valores del factor de intensidad de esfuerzos.

Yang [40] analiza el método de escala de frontera de elemento finito (SBFEM), una aplicación

reciente de los métodos numéricos que combina las ventajas del método de elemento finito

(MEF) y elemento frontera (BEM). Una de las mayores ventajas de este método es la capacidad

de calcular el factor de intensidad de esfuerzos directamente de los esfuerzos del material,

representando las singularidades en la punta de la grieta. El método SBFEM utiliza elementos de

malla convencionales, tomando como el centro del dominio la punta de la grieta, llamado centro

de escala y definiendo una frontera alrededor de este punto. Esto se hace dividiendo el dominio

en subdominios con su propio centro de escala, obteniendo una función de forma para cada nodo

(38)

Yang, evaluó el factor de intensidad de esfuerzos utilizando el método SBFEM y el programa

ABAQUS para modelar dos casos de Modo I y Modo II estáticos, en placas rectangulares con

grietas laterales y un caso de Modo I dinámico en una placa rectangular con grieta central,

comparando los resultados con la información disponible en otras publicaciones.

En el primer caso el elemento fue dividido en cinco subdominios, teniendo un total de 111 nodos,

de los cuales 79 fueron usados para modelar el subdominio en la zona plástica, el segundo caso

también fue dividido en cinco subdominios con un total de 121 nodos, de los cuales 97 fueron

usados para modelar la zona plástica, el último caso fue dividido en dos subdominios, debido a su

simetría, con un total de 863 nodos. Los resultados demostraron que al utilizar el método

SBFEM, el número de nodos es menor en comparación de otros análisis. Aunado a esto, los

valores obtenidos del factor de intensidad de esfuerzo, son más precisos, debido a la correcta

discretización de los elementos e inclusive es posible obtener buenos resultados en problemas de

cargas dinámicas, como en el último de los casos.

En la investigación realizada por Razmi y Choupani [41] en los anillos de un pistón se encontró

que estos se fracturaron en la línea de los cilindros y en la unión de la flecha, debido a las cargas

generadas por la presión de la cámara de combustión del motor.

Para realizar esta investigación se propuso un modelo bidimensional del anillo con la finalidad de

obtener el factor de intensidad de esfuerzos para modos de carga I y II. Para la solución del

modelo se aplicó el MEF utilizando el programa computacional comercial ABAQUS. El anillo se

dividió en ocho elementos cuadrilaterales y seis triangulares en la zona plástica haciendo un

refinamiento de la malla para obtener mejores resultados, debido a que es la zona de mayor

interés en el estudio. De los resultados se observa que el factor de intensidad de esfuerzos mayor

(39)

A continuación se analizan las publicaciones encontradas de la utilización del MEF con mallas

híbridas.

Su y Sun [42] evaluaron el factor de intensidad de esfuerzos para una grieta central en elementos

rectangulares, uno con material anisotrópico y tres con material ortotrópico, aplicando el MEF,

con la finalidad de analizar el comportamiento de las orientaciones de los ejes de deformación de

la grieta. El factor de intensidad de esfuerzos para cada uno de estos casos fue obtenido utilizando

el método de interpolación global. Los elementos fueron discretizados con total de 686 nodos

utilizando elementos hexaédricos y tetraédricos. Los resultados demostraron la influencia del tipo

de material y la variación de los ángulos de los ejes de deformación de la grieta sobre el factor de

intensidad de esfuerzos. La variación del factor de intensidad de esfuerzos con respecto a las

propiedades del material fue muy pequeña, mientras que con la variación del eje de deformación

los resultados del factor de intensidad de esfuerzos fueron mayores.

Xu y Yuan [43], utilizaron el MEF combinado con un modelo sometido a cargas cíclicas para

analizar la propagación de grietas por fatiga bajo estas condiciones de carga. En este análisis se

desarrollaron las ecuaciones de crecimiento de grietas de acuerdo a las condiciones de carga.

Estas ecuaciones se resolvieron utilizando el programa comercial ABAQUS 6.6, con la finalidad

de modelar los elementos a analizar. Los resultados obtenidos de este proceso demostraron que el

MEF en combinación con un modelo sometido a cargas cíclicas utilizando el programa

ABAQUS, son bastante aceptables, ya que se obtuvieron las curvas de propagación de grietas con

un menor número de cálculos que con algún otro método.

Yu y colaboradores [44] realizaron una investigación en placas roladas de acero de fundición. Se

encontró que estas se fracturan en las esquinas de las placas, debido a las cargas de compresión

generadas por la presión del proceso de multipaso (vertical – horizontal) de los rodillos de

rolado. Si las grietas no se cierran durante este proceso, estas comienzan a propagarse,

(40)

Para realizar esta investigación se propuso un modelo tridimensional de la placa con la finalidad

de obtener el factor de intensidad de esfuerzos en la zona plástica y su propagación. Para la

solución del modelo se utilizó el programa computacional comercial LS-DYNA, el cual se basa

en el método del elemento finito. Debido a la simetría de la placa y de los rodillos se modeló una

cuarta parte del elemento, el cual se subdividió en ocho mallas de elementos hexaédricos de

distintos tamaños. La malla se refinó en la zona de nucleación de grietas y se simuló la

propagación de la grieta mediante un análisis dinámico empleando cuatro tamaños de grieta

diferentes: 20-20-2mm, 15-15-1.2mm, 10-10-1mm y 5-5-0.5 mm, los cuales consideran la

longitud, espesor y ancho de la grieta respectivamente y sometiendo al elemento a cargas

horizontales y verticales. Adicionalmente se realizó un análisis experimental, utilizando cuatro

placas con grietas transversales del tamaño descrito anteriormente, a cargas de compresión, como

las usadas en el proceso de rolado.

De los resultados de la simulación se observó que el factor de intensidad de esfuerzos se

incrementa conforme la grieta se desplaza hasta alcanzar una estabilidad, provocando que el

factor de intensidad de esfuerzos crezca en esa zona hasta que el desplazamiento se vuelve

inestable hacia el interior del material, los resultados del análisis experimental fueron congruentes

con los resultados numéricos y se observó que ocurre un mayor desplazamiento de la grieta en

condiciones de carga horizontal.

En el trabajo realizado por Jogdand y Murthy [45] se evaluó el factor de intensidad de esfuerzos

para modos de fractura mixtos estáticos (Modo I y Modo II) en cuatro elementos rectangulares

con distinta configuración de grietas cargados uniaxialmente. Las configuraciones de grietas

fueron: grieta central, doble grieta central en los extremos, grieta central inclinada en uno de los

extremos y grieta central inclinada. Para este análisis se aplicó el método del elemento finito

utilizando cinco diferentes opciones de colocación de nodos alrededor de la punta de la grieta.

Para la solución de los distintos modelos propuestos se utilizó el programa comercial ANSYS,

basado en el método del elemento finito. Los cuatro distintos modelos se dividieron en mallas

cuadrangulares bidimensionales utilizando un total de 6948 elementos utilizando en cada

(41)

primer anillo y nodos de las esquinas del segundo anillo, opción 2: nodos de las esquinas del

segundo y tercer anillo, opción 3: nodos del primer anillo y nodos de las esquinas del segundo y

tercer anillo, opción 4: nodos del primer y segundo anillo, opción 5: nodos del primer, segundo y

tercer anillo.

De los resultados de la investigación se observa que las cinco opciones de colocación de nodos

mostraron una buena aproximación a los valores del factor de intensidad de esfuerzos mostrados

en otras publicaciones. La opción 3 mostró un error máximo del 1.75%. Sin embargo, la opción 2

en donde se utilizan los nodos de las esquinas del segundo y tercer elemento alrededor de la punta

de la grieta tiene los mejores resultados y es una de las opciones que brindan un menor tiempo de

cálculo. El método propuesto de colocación de nodos es eficiente en casos de geometrías y

grietas simples. Sin embrago, en casos en donde la geometría sea compleja o la distribución de

los nodos alrededor de la punta de la grieta no sea de forma simétrica, es recomendable trabajar

con todos los nodos para obtener una buena aproximación del factor de intensidad de esfuerzos.