Métodos Numéricos

Una de las técnicas más utilizadas actualmente para determinar los esfuerzos en componentes mecánicos agrietados, son los métodos numéricos. Estos métodos utilizan herramientas computacionales para la obtención de los resultados del análisis de esfuerzos del componente. El Método del Elemento Finito (MEF) [23,34-37], es el método numérico más utilizado con este propósito. El MEF tiene como objetivo la discretización de un problema continuo, es decir, dado un componente con una geometría y propiedades mecánicas definidas se divide en un número finito de elementos. Cada uno de estos elementos tiene un comportamiento específico debido al estado de esfuerzos que tiene el componente en cada punto, denominados nodos.

El MEF resuelve las ecuaciones diferenciales parciales que gobiernan el comportamiento de cada uno de estos nodos sometidos a cargas estáticas y variables. La solución de este sistema de nodos se forma por el ensamble de las soluciones de todos los nodos y con ello se determinan sus desplazamientos, para obtener las deformaciones y esfuerzos en los puntos críticos de los componentes.

El uso del MEF, alrededor de la punta de una grieta, requiere de realizar un refinamiento de la malla, con el propósito de evitar la singularidad de la punta de la grieta y obtener resultados confiables. Habitualmente se emplean dos formas de modelación del elemento para evitar este problema. La primera es la modelación de la punta de la grieta con una malla extremadamente fina, para simular el radio cercano a cero. Sin embargo, esto hace muy lentos los cálculos en algunas ocasiones. La segunda modelación tiene mayores ventajas, al utilizar elementos híbridos, es decir, mallas formadas por dos o más distintos tipos de elementos que modelan directamente la zona de nucleación de grietas. La mayoría de las ocasiones se utilizan elementos de tipo tetragonales en la zona de nucleación de grietas y elementos hexaédricos en el resto del componente. Después que se determinan los desplazamientos nodales y con esto los esfuerzos en la zona de nucleación de grietas por la aplicación de las cargas a las que está sometido el

Capítulo 2    Análisis Bibliográfico 

Existe una gran variedad de publicaciones donde se aplica el MEF, para el análisis del factor de intensidad de esfuerzos utilizando un solo tipo de mallas. A continuación se analizan las publicaciones más relevantes:

Antunes y colaboradores [38], utilizaron el criterio de liberación de energía de Irwin de materiales agrietados para determinar el factor de intensidad de esfuerzos, mediante el método del elemento finito. Para realizar esta investigación se propuso un modelo tridimensional de una placa rectangular con una grieta de 5 mm en la esquina del elemento, con carga estática y una

magnitud de 60 kN.

Para la solución del modelo se utilizó el programa comercial MODULEF INRIA, el cual se basa en el método del elemento finito. El elemento se dividió en mallas cuadrangulares con 20 nodos hexaédricos y 15 pentaédricos. La malla se refinó en la zona plástica utilizando mallas compuestas de anillos concéntricos con un total de 396 elementos. La propagación de la grieta fue simulada considerando un rango de desplazamiento de grieta del 0.03% al 6% del tamaño principal de grieta, graficando la propagación de la grieta con respecto a la energía potencial necesaria para lograr el desplazamiento, con la finalidad de obtener el factor de intensidad de esfuerzos. De los resultados de la simulación se observó que la grieta se desplazó siguiendo una trayectoria curva en la esquina del elemento, por la concentración de esfuerzos en esa parte del elemento. Los valores obtenidos del factor de intensidad de esfuerzos mediante este método, tienen errores abajo del 2%, comparado con otras investigaciones, por lo que el uso de la

velocidad de liberación de energía para determinar el factor de intensidad de esfuerzos de Modo I

tiene una mayor simplicidad con respecto a otros métodos.

En la simulación numérica realizada por Williamsom y colaboradores [39], se investigó el comportamiento de las grietas en la superficie de elementos cuadrangulares con una capa uniforme de recubrimiento de óxido de aluminio. Las esquinas del elemento fueron redondeadas y tienen grietas superficiales perpendiculares a la cara del recubrimiento. Se despreció el espesor del elemento considerando que sus dimensiones son más grandes en comparación del espesor, debido a esto se realizó un análisis bidimensional de esfuerzos con la finalidad de obtener el

Capítulo 2    Análisis Bibliográfico 

factor de intensidad de esfuerzos alrededor de la punta de la grieta y la propagación de la grieta con respecto a la temperatura y desplazamiento.

Para obtener los esfuerzos en la punta de la grieta se aplicó el MEF utilizando el programa computacional comercial ABAQUS. Se modeló un cuarto del elemento, debido a su simetría, y se dividió en mallas rectangulares. La malla se refinó en la punta de la grieta usando anillos concéntricos de elementos y se simuló la propagación de la grieta mediante un análisis estático variando la longitud de la grieta en cinco tamaños diferentes de 0.125 a 0.75 mm. Adicionalmente, se realizó un estudio a diferentes temperaturas en la zona plástica para determinar la propagación de las grietas con respecto a la temperatura. La trayectoria de la grieta fue analizada refinando las mallas en la zona plástica para poder observar el desplazamiento de las grietas.

De los resultados de la simulación se observó que el factor de intensidad de esfuerzos varía con respecto a las distintas longitudes de las grietas en el recubrimiento superficial, mientras que al propagarse en el material el desplazamiento disminuyó, debido al cambio de resistencia del material. Finalmente del análisis de temperatura se observó que el gradiente de temperatura aumenta con altos valores del factor de intensidad de esfuerzos.

Yang [40] analiza el método de escala de frontera de elemento finito (SBFEM), una aplicación reciente de los métodos numéricos que combina las ventajas del método de elemento finito (MEF) y elemento frontera (BEM). Una de las mayores ventajas de este método es la capacidad de calcular el factor de intensidad de esfuerzos directamente de los esfuerzos del material, representando las singularidades en la punta de la grieta. El método SBFEM utiliza elementos de malla convencionales, tomando como el centro del dominio la punta de la grieta, llamado centro de escala y definiendo una frontera alrededor de este punto. Esto se hace dividiendo el dominio en subdominios con su propio centro de escala, obteniendo una función de forma para cada nodo que conforma la frontera.

Capítulo 2    Análisis Bibliográfico 

Yang, evaluó el factor de intensidad de esfuerzos utilizando el método SBFEM y el programa

ABAQUS para modelar dos casos de Modo I y Modo II estáticos, en placas rectangulares con

grietas laterales y un caso de Modo I dinámico en una placa rectangular con grieta central,

comparando los resultados con la información disponible en otras publicaciones.

En el primer caso el elemento fue dividido en cinco subdominios, teniendo un total de 111 nodos, de los cuales 79 fueron usados para modelar el subdominio en la zona plástica, el segundo caso también fue dividido en cinco subdominios con un total de 121 nodos, de los cuales 97 fueron usados para modelar la zona plástica, el último caso fue dividido en dos subdominios, debido a su simetría, con un total de 863 nodos. Los resultados demostraron que al utilizar el método SBFEM, el número de nodos es menor en comparación de otros análisis. Aunado a esto, los valores obtenidos del factor de intensidad de esfuerzo, son más precisos, debido a la correcta discretización de los elementos e inclusive es posible obtener buenos resultados en problemas de cargas dinámicas, como en el último de los casos.

En la investigación realizada por Razmi y Choupani [41] en los anillos de un pistón se encontró que estos se fracturaron en la línea de los cilindros y en la unión de la flecha, debido a las cargas generadas por la presión de la cámara de combustión del motor.

Para realizar esta investigación se propuso un modelo bidimensional del anillo con la finalidad de

obtener el factor de intensidad de esfuerzos para modos de carga I y II. Para la solución del

modelo se aplicó el MEF utilizando el programa computacional comercial ABAQUS. El anillo se dividió en ocho elementos cuadrilaterales y seis triangulares en la zona plástica haciendo un refinamiento de la malla para obtener mejores resultados, debido a que es la zona de mayor interés en el estudio. De los resultados se observa que el factor de intensidad de esfuerzos mayor se encontró en la punta de la grieta, debido a que hay una mayor concentración de esfuerzos.

Capítulo 2    Análisis Bibliográfico 

A continuación se analizan las publicaciones encontradas de la utilización del MEF con mallas híbridas.

Su y Sun [42] evaluaron el factor de intensidad de esfuerzos para una grieta central en elementos rectangulares, uno con material anisotrópico y tres con material ortotrópico, aplicando el MEF, con la finalidad de analizar el comportamiento de las orientaciones de los ejes de deformación de la grieta. El factor de intensidad de esfuerzos para cada uno de estos casos fue obtenido utilizando el método de interpolación global. Los elementos fueron discretizados con total de 686 nodos utilizando elementos hexaédricos y tetraédricos. Los resultados demostraron la influencia del tipo de material y la variación de los ángulos de los ejes de deformación de la grieta sobre el factor de intensidad de esfuerzos. La variación del factor de intensidad de esfuerzos con respecto a las propiedades del material fue muy pequeña, mientras que con la variación del eje de deformación los resultados del factor de intensidad de esfuerzos fueron mayores.

Xu y Yuan [43], utilizaron el MEF combinado con un modelo sometido a cargas cíclicas para analizar la propagación de grietas por fatiga bajo estas condiciones de carga. En este análisis se desarrollaron las ecuaciones de crecimiento de grietas de acuerdo a las condiciones de carga. Estas ecuaciones se resolvieron utilizando el programa comercial ABAQUS 6.6, con la finalidad de modelar los elementos a analizar. Los resultados obtenidos de este proceso demostraron que el MEF en combinación con un modelo sometido a cargas cíclicas utilizando el programa ABAQUS, son bastante aceptables, ya que se obtuvieron las curvas de propagación de grietas con un menor número de cálculos que con algún otro método.

Yu y colaboradores [44] realizaron una investigación en placas roladas de acero de fundición. Se encontró que estas se fracturan en las esquinas de las placas, debido a las cargas de compresión generadas por la presión del proceso de multipaso (vertical – horizontal) de los rodillos de rolado. Si las grietas no se cierran durante este proceso, estas comienzan a propagarse, provocando daños internos al material.

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Para realizar esta investigación se propuso un modelo tridimensional de la placa con la finalidad de obtener el factor de intensidad de esfuerzos en la zona plástica y su propagación. Para la solución del modelo se utilizó el programa computacional comercial LS-DYNA, el cual se basa en el método del elemento finito. Debido a la simetría de la placa y de los rodillos se modeló una cuarta parte del elemento, el cual se subdividió en ocho mallas de elementos hexaédricos de distintos tamaños. La malla se refinó en la zona de nucleación de grietas y se simuló la propagación de la grieta mediante un análisis dinámico empleando cuatro tamaños de grieta diferentes: 20-20-2mm, 15-15-1.2mm, 10-10-1mm y 5-5-0.5 mm, los cuales consideran la longitud, espesor y ancho de la grieta respectivamente y sometiendo al elemento a cargas horizontales y verticales. Adicionalmente se realizó un análisis experimental, utilizando cuatro placas con grietas transversales del tamaño descrito anteriormente, a cargas de compresión, como las usadas en el proceso de rolado.

De los resultados de la simulación se observó que el factor de intensidad de esfuerzos se incrementa conforme la grieta se desplaza hasta alcanzar una estabilidad, provocando que el factor de intensidad de esfuerzos crezca en esa zona hasta que el desplazamiento se vuelve inestable hacia el interior del material, los resultados del análisis experimental fueron congruentes con los resultados numéricos y se observó que ocurre un mayor desplazamiento de la grieta en condiciones de carga horizontal.

En el trabajo realizado por Jogdand y Murthy [45] se evaluó el factor de intensidad de esfuerzos

para modos de fractura mixtos estáticos (Modo I y Modo II) en cuatro elementos rectangulares

con distinta configuración de grietas cargados uniaxialmente. Las configuraciones de grietas fueron: grieta central, doble grieta central en los extremos, grieta central inclinada en uno de los extremos y grieta central inclinada. Para este análisis se aplicó el método del elemento finito utilizando cinco diferentes opciones de colocación de nodos alrededor de la punta de la grieta.

Para la solución de los distintos modelos propuestos se utilizó el programa comercial ANSYS, basado en el método del elemento finito. Los cuatro distintos modelos se dividieron en mallas cuadrangulares bidimensionales utilizando un total de 6948 elementos utilizando en cada configuración de grieta las diferentes opciones de colocación de nodos. Opción 1: nodos del

Capítulo 2    Análisis Bibliográfico 

primer anillo y nodos de las esquinas del segundo anillo, opción 2: nodos de las esquinas del segundo y tercer anillo, opción 3: nodos del primer anillo y nodos de las esquinas del segundo y tercer anillo, opción 4: nodos del primer y segundo anillo, opción 5: nodos del primer, segundo y tercer anillo.

De los resultados de la investigación se observa que las cinco opciones de colocación de nodos mostraron una buena aproximación a los valores del factor de intensidad de esfuerzos mostrados en otras publicaciones. La opción 3 mostró un error máximo del 1.75%. Sin embargo, la opción 2 en donde se utilizan los nodos de las esquinas del segundo y tercer elemento alrededor de la punta de la grieta tiene los mejores resultados y es una de las opciones que brindan un menor tiempo de cálculo. El método propuesto de colocación de nodos es eficiente en casos de geometrías y grietas simples. Sin embrago, en casos en donde la geometría sea compleja o la distribución de los nodos alrededor de la punta de la grieta no sea de forma simétrica, es recomendable trabajar con todos los nodos para obtener una buena aproximación del factor de intensidad de esfuerzos.

Capítulo 2    Análisis Bibliográfico 

Tabla 2.1. Resumen de las publicaciones del método del elemento finito con un solo tipo de malla.

Artículo Estudio Tipo de

Carga Tipo y tamaño de Grieta Tipo de elemento mecánico Análisis

“Stress intensity factor calculation based on the work of external forces”. 1999. Antunes [33]

Utilización del MEF y de la velocidad de liberación de energía para determinar K. Estática de 60kN. Grieta superficial en la esquina del elemento de tamaño de 5mm. Placa rectangular.

Es particularmente ventajosa su utilización cuando las cargas son aplicadas lejos de la punta de la grieta, debido a que los desplazamientos nodales alrededor de la punta de la grieta son muy pequeños. Sin embargo, solo se recomienda su aplicación en elementos con una sola configuración de grieta. “Numerical analysis of surface cracks of regions of curvature in oxide scales” 2003 Williamsom [34] Análisis bidimensional utilizando el MEF para determinar K y la propagación de la grieta con respecto a distintas temperaturas. Estática Grietas superficiales variando sus longitudes de 4.0125mm a 4.75mm. Placa cuadrangular con recubrimientos de óxido de aluminio.

Cuando se tiene una pieza con un recubrimiento superficial, se requiere de realizar dos análisis de la grieta, primeramente uno en el recubrimiento y otro cuando la grieta se propaga en el material. Para ello K se debe de comparar con el KIC de cada

material y con ellos determinar la propagación de la grieta.

“Application of scaled boundary finite element method in static and dynamic fracture problems”. 2006 Yang [35]

Utilización del MEF y del Método de Escala de Frontera SBFEM para determinar K y KIC. Estática y variable Tres distintos tipos de configuración de grieta: central de 4.8 mm, inclinada 45° en un extremo de 2.5mm y central en el extremo del elemento de 3.2mm. Placa cuadrangular.

El método de SBFEM, tiene buenos resultados en piezas con grietas centrales. Esto se debe la simple configuración de los nodos, reduciendo el número de elementos en el cuerpo de la pieza. Sin embargo, se tiene que realizar un buen refinamiento de la malla en la zona plática, es especial en piezas de geometrías complejas para obtener buenos resultados.

“2D Fracture Analysis of the First

Compression Ring”. 2007 Razmi y Choupani [36]

Utilización del MEF

para determinar K. Estática.

Grieta superficial central de tamaño de 0.3mm.

Anillo de pistón.

La utilización del MEF con un elemento de malla, tiene buenos resultados en piezas de geometrías simples. Sin embargo, en geometrías complejas, y con diferentes configuraciones de grietas el tiempo de cómputo y el análisis del elemento tienen un mayor grado de complejidad.

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Tabla 2.2. Resumen de las publicaciones del método del elemento finito con mallas hibridas.

Artículo Estudio Tipo de Carga Tipo y tamaño de _Grieta Tipo de elemento _mecánico Análisis

“Experimental and finite element analyses on stress intensity factors of an elliptical surface crack in a circular shaft under tension and bending”. 2004 Shin [37]

Utilización del MEF y mallas hibridas para determinar K. Estática (Tensión y Flexión) Grieta superficial central de longitud de 1mm. . Eje circular. La utilización de mallas hibridas para determinar

K, tuvo resultados más precisos que el MEF con un solo tipo de malla en comparación de los resultados experimentales. Esto se debe a los desplazamientos nodales en la zona plática de los distintos elementos de las mallas híbridas.

“3D fracture mechanics in ANSYS”. 2004.

Chandawi [38]

Utilización del MEF y mallas hibridas para determinar K y la velocidad de desplazamiento de las grietas. Estática y variable. Grietas superficiales variando su longitud de 0.3mm a 0.6mm. Barra oblicua a 43°. Barra en forma de conector pin. Disco de compresor. El uso de mallas hibridas para determinar la velocidad de propagación de las grietas, reduce el tiempo de computo debido a la separación de la zona plástica y del cuerpo de la pieza.

Capítulo 2    Análisis Bibliográfico 

Artículo Estudio Tipo de Carga Tipo y tamaño de

Grieta

Tipo de elemento

mecánico Análisis

“A Brief Note on Elastic T Stress for Centered Crack in Anisotropic Plate”. 2005 Su y Sun [39]

Utilización del MEF y mallas hibridas para determinar K. Estática. Grieta central superficial de 0.5mm de longitud. Placa rectangular

Los modos de fractura I, II y III pueden ser descritos con una buena precisión con la utilización de mallas hibridas.

“Computational Modeling of Mixed Mode Fatigue Crack Growth Using Extended Finite Element Method” 2009 Xu y Yuan [40]

Utilización del MEF y mallas hibridas para determinar Ky la propagación de grietas.

Variables. Grieta superficial de

0.5mm. Placa circular.

La utilización del MEF con mallas hibridas en presencia de cargas cíclicas, tiene buenos