Transferencia de Calor Cap. 2

32  30  Descargar (0)

Texto completo

(1)

Transferencia de Calor

Cap. 2

Juan Manuel Rodriguez Prieto

(2)
(3)

Ecuación de la conducción de calor.

Objetivos

Entender la multidimensionalidad y la dependencia

de la transferencia de calor respecto al tiempo.

Estudiáremos las condiciones en las cuales se puede

realizar una aproximación de una problema de

transferencia de calor al caso unidimensional.

Identificar las condiciones térmicas en las

superficies y expresarlas en forma matemática

Obtener las distribuciones de temperaturas y flujo

(4)

Ecuación de la conducción de calor.

Objetivos

Estudiar la conductividad de calor en sólidos

con conductividad dependiente de la

temperatura.

Analizar la generación interna de calor en

(5)
(6)

Conducción de calor.

Conducción de calor: transferencia de energía

térmica de las partículas más energéticas de un

medio hacia las menos energéticas adyacentes.

La conducción de calor tiene lugar en sólidos,

líquidos y gases, siempre y cuando el medio no

tenga un movimiento masivo.

La temperatura es un escalar.

El flujo de calor es una cantidad vectorial: tiene

(7)

Conducción de calor.

Se recomienda trabajar con un sistema de

coordenadas e indicar la dirección con los signos

más o menos.

Una cantidad positiva indica que la transferencia de calor

es en la dirección positiva.

Una cantidad negativa indica que la transferencia de

calor es en la dirección negativa.

La fuerza impulsora para cualquier forma de

(8)
(9)

Conducción de calor.

Conocer la distribución de temperatura en un

medio sirve para estimar la transferencia de

calor, la expansión térmica del medio y el

esfuerzo térmico.

En coordenadas cartesianas la temperatura en un

(10)

Transferencia de calor.

Estacionaria vs. transitoria

El término estacionario implica que no hay cambio

con el tiempo de cualquier variable (ej.

Temperatura) en cualquier punto del medio.

El término transitorio implica variación con el

tiempo o dependencia con respecto al tiempo.

La mayoría de problemas de transferencia de calor

(11)

Transferencia de calor.

Fenómeno multidimensional

Transferencia de calor tridimensional: la

temperatura varia a lo largo de las tres direcciones

primarias dentro del medio.

En el caso tridimensional, la temperatura se expresa

como T(x,y,z,t).

En algunos casos la temperatura varia

principalmente en dos direcciones primarias, la

variación de la temperatura en la tercera dirección es

despreciable.

(bidimensional)

Si la temperatura en el medio varia en una sola

dirección y, la variación de temperatura y el flujo

calor en las otras dirección es despreciable.

(12)

Transferencia de calor.

Ley de Fourier

Considere un medio en el cual la distribución de

temperatura es tridimensional

!

Q

=

k

∂T

x

A

x

,

∂T

y

A

y

,

∂T

∂z

A

z

(13)

Transferencia de calor.

Generación de calor.

La energía eléctrica que pasa a través de una

resistencia.

Reactores nucleares: fisión nuclear.

(14)

Transferencia de calor.

Ecuación unidimensional de calor.

Pared plana de una casa.

El vidrio de una ventana de una sola hoja.

La placa metálica de una plancha.

La pared de un recipiente esférico.

Una bola metálica que está siendo templado por

inmersión revenida.

(15)

Transferencia de calor.

Conducción de calor en una pared

plana grande.

La pared tiene densidad

El calor especifico de la

pared es

El área perpendicular a la

dirección de transferencia

de calor es A.

El espesor de la pared es L

ρ

(16)

Transferencia de calor.

Conducción de calor en una pared

plana grande.

Razón de conducción del calor en x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ − Razón de conducción del calor en x+Δx ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + Velocidad de generación de calor en el interior del elemento ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =

Razón de cambio del contenido de energía en el elemento ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ !

QxQ!xx +E!gen = ΔEelemento Δt

ΔEelemento =Et+Δt −EΔt =mc(Tt+Δt −Tt) =ρAΔxc(Tt+Δt −Tt)

!

(17)

Transferencia de calor.

Conducción de calor en una pared

plana grande.

!

QxQ!xx+E!gen = ΔEelemento Δt

ΔEelemento =Et+ΔtEΔt =mc(Tt+ΔtTt) =ρAΔxc(Tt+ΔtTt)

!

Egen =e!genAΔx

!

QxQ!x+Δx +e!genAΔx= ρAΔxc(TttTt) Δt

−1

A

!

Qx+ΔxQ!x

Δx +e!gen =

ρc(Tt+ΔtTt) Δt

Dividiendo entre AΔx

Al tomar el limite Δx→0 y Δt→0

1 A d dx kA dT dx

⎝⎜ ⎞⎠⎟+e!gen =

ρcdT

dt

Usando la Ley de Fourier

− 1

A dQ!x

dx +e!gen =

(18)

Transferencia de calor.

Conducción de calor en una pared

plana grande.

1 A d dx kA dT dx

⎝⎜ ⎞⎠⎟ +e!genc dT dt 1 A d dx kA dT dx

⎝⎜ ⎞⎠⎟+e!gen =0

1 A d dx kA dT dx

⎝⎜ ⎞⎠⎟ = ρcdTdt

1 A d dx kA dT dx

⎝⎜ ⎞⎠⎟ =0

Régimen estacionario

Régimen transitorio

(sin generación de calor)

(19)

Transferencia de calor.

Conducción de calor en una pared

plana grande.

Condiciones de frontera e iniciales 1 A d dx kA dT dx

⎝⎜ ⎞⎠⎟+e!gen = ρc dT

dt

Las anterior ecuación diferencial no incorporan información relacionada con las condiciones sobre las s u p e r f i c i e , c o m o l a temperatura de la superficie o un flujo especifico de calor.

La expresión matemática de las

condiciones térmicas en las f r o n t e r a s e l l a m a condiciones de frontera.

Es necesario fijar el valor de la temperatura o del flujo de calor para obtener una solución única de la ecuación

diferencial (condición de

frontera).

La temperatura en cualquier punto del medio depende de la condición del medio al inicio del proceso de c o n d u c c i ó n d e c a l o r

(20)

Transferencia de calor.

Conducción de calor en una pared

plana grande.

Condiciones de frontera de temperatura especifica

1 A

d

dx kA

dT dx

⎝⎜ ⎞⎠⎟+e!gen = ρc dT

dt

En el caso de una pared plana, con transferencia de calor unidimensional, las condiciones de frontera de temperatura se especifican como:

(21)

Transferencia de calor.

Conducción de calor en una pared

plana grande.

Condiciones de frontera de flujo especifico de calor

1 A

d dx kA

dT dx

⎝⎜ ⎞⎠⎟ +e!genc dT

dt

En el caso de una pared plana, con transferencia de calor unidimensional, las condiciones de frontera de flujo especifico de calor se expresan como:

kdT(0,t) dx =50

W m2

kdT(L,t) dx =50

(22)

Transferencia de calor.

Conducción de calor en una pared

plana grande.

Condiciones de frontera de flujo especifico de calor: frontera aislada.

1 A

d dx kA

dT dx

⎝⎜ ⎞⎠⎟ +e!genc dT

dt

En la practica , algunas superficies se aíslan con el fin de minimizar la perdida o ganancia de calor a través de ellas. Una superficie bien aislada se puede considerar como una con un flujo especifico de calor de cero.

−kdT(0,t) dx =0 T(L,t)=60ºC

(23)

Transferencia de calor.

Conducción de calor en una pared

plana grande.

Condiciones de frontera de flujo especifico de calor: frontera aislada.

1 A

d dx kA

dT dx

⎝⎜ ⎞⎠⎟ +e!genc dT

dt

Algunos problemas de transferencia de calor poseen simetría en las condiciones térmicas impuestas

kdT(L/ 2,t)

dx =0

(24)

Transferencia de calor.

Conducción de calor en una pared

plana grande.

Condición de convección en la frontera

1 A

d

dx kA

dT dx

⎝⎜ ⎞⎠⎟+e!gen = ρc dT

dt

La condición de convección de frontera se basa en un balance de energía superficial expresado como: conducción de calor en la superficie en una dirección seleccionada = convección de calor en la superficie en la misma dirección

kdT(0,t)

dx =h1(T∞1−T(0,t))

kdT(L,t)

(25)

Transferencia de calor.

Conducción de calor en una pared

plana grande.

Condición de radiación de frontera

1 A

d

dx kA

dT dx

⎝⎜ ⎞⎠⎟ +e!gen =ρc dT

dt

En las aplicaciones espaciales y criogénicas, una superficie de transferencia de calor está rodeada por un espacio vacío y, por tanto, no tiene transferencia p o r c o nve c c i ó n e n t r e l a superficie y el medio radiante.

kdT(0,t)

dx =ε1σ(Talred,1

4

T(0,t)4)

kdT(L,t)

dx =ε2σ(T(L,t)

4

(26)

Transferencia de calor.

Conducción de calor en una pared

plana grande.

Condiciones de frontera en la interface

1 A d dx kA dT dx

⎝⎜ ⎞⎠⎟ +e!gen =ρc dT

dt

Algunos cuerpos están formados por capas de materiales diferentes y la resolución de un problema de transferencia de calor en un medio de ese tipo requiere determinar la transferencia en cada capa.

Las siguientes condiciones se deben satisfacer en la interface

1) Los dos cuerpos en contacto deben tener la misma temperatura en el área de contacto.

2) El flujo de calor sobre ambos lados de la interface debe ser el mismo.

TA(x0,t)=TB(x0,t)

kAdT(x0,t) dx =−kB

dT(x0,t)

(27)

Resolución de problemas

(28)

Transferencia de calor.

Resolución de problemas

(29)

Resolución de problemas

unidimensionales de conducción de

calor en régimen estacionario

1

A d

dx kA

dT dx

⎝⎜ ⎞⎠⎟ =0

d2T dx2 =0

T(0)=120ºC T(L)=50ºC

T(x)=C1x+C2

T(0)=C2 =120 T(L)=C1L+120=50

C1= 50−120 L =

−70 L

T(x)= −70

L x+120=50

!

Qpared =−kAdT dx =

(30)

Conducción de calor en la placa base

de una plancha

d2T dx2 =0

kdT(0) dx =q!0

kdT(L)

dx =h T

[

(L)−T

]

T(x)=C1x+C2

kC1=q!0

kC1=h C

[

1L+C2T

]

C1=−q!0 k

C2 = q!0

h +T∞ +

!

q0L k

T(x)=C1x+C2

=−q!0 k x+

!

q0

h +T∞ +

!

(31)

Conducción del calor en una pared

calentada por radiación solar

d2T

dx2 =0

T(0)=T1

kdT(L)

dx =εσ T(L)

4−

Tespacio4

⎡⎣ ⎤⎦−αq!solar

T(x)=C1x+C2

C2 =T1

kC1=εσ⎡⎣(C1L+T1)4−Tespacio4 ⎤⎦−αq!solar

T(x)=C1x+C2 =C1x+T1

kC1=εσ⎡⎣(C1L+T1)4−Tespacio4 ⎤⎦−αq!solar

Donde C1 es la constante que resuelve la

(32)

Conducción del calor en una pared

plana con generación de calor

d2T

dx2 +

! egen

k =0 T(−L)=T1 T(L)=T2

T(x)=−e!gen

k x

2+

C1x+C2

T(L)=−e!gen k L

2+

C1L+C2

T(−L)=−e!gen k L

2

C1L+C2

C1= T2−T1 2L

C2 = e!gen 2k L

2+T2+T1 2

kC1=εσ⎡⎣(C1L+T1)4−Tespacio4 ⎤⎦−αq!solar T(x)= e!genL

2

2k (1− x2 L2)+

T2T1 2L x+

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...