Transferencia de Calor
Cap. 2
Juan Manuel Rodriguez Prieto
Ecuación de la conducción de calor.
Objetivos
•
Entender la multidimensionalidad y la dependencia
de la transferencia de calor respecto al tiempo.
•
Estudiáremos las condiciones en las cuales se puede
realizar una aproximación de una problema de
transferencia de calor al caso unidimensional.
•
Identificar las condiciones térmicas en las
superficies y expresarlas en forma matemática
•
Obtener las distribuciones de temperaturas y flujo
Ecuación de la conducción de calor.
Objetivos
•
Estudiar la conductividad de calor en sólidos
con conductividad dependiente de la
temperatura.
•
Analizar la generación interna de calor en
Conducción de calor.
•
Conducción de calor: transferencia de energía
térmica de las partículas más energéticas de un
medio hacia las menos energéticas adyacentes.
•
La conducción de calor tiene lugar en sólidos,
líquidos y gases, siempre y cuando el medio no
tenga un movimiento masivo.
•
La temperatura es un escalar.
•
El flujo de calor es una cantidad vectorial: tiene
Conducción de calor.
•
Se recomienda trabajar con un sistema de
coordenadas e indicar la dirección con los signos
más o menos.
–
Una cantidad positiva indica que la transferencia de calor
es en la dirección positiva.
–
Una cantidad negativa indica que la transferencia de
calor es en la dirección negativa.
•
La fuerza impulsora para cualquier forma de
Conducción de calor.
•
Conocer la distribución de temperatura en un
medio sirve para estimar la transferencia de
calor, la expansión térmica del medio y el
esfuerzo térmico.
•
En coordenadas cartesianas la temperatura en un
Transferencia de calor.
Estacionaria vs. transitoria
•
El término estacionario implica que no hay cambio
con el tiempo de cualquier variable (ej.
Temperatura) en cualquier punto del medio.
•
El término transitorio implica variación con el
tiempo o dependencia con respecto al tiempo.
•
La mayoría de problemas de transferencia de calor
Transferencia de calor.
Fenómeno multidimensional
•
Transferencia de calor tridimensional: la
temperatura varia a lo largo de las tres direcciones
primarias dentro del medio.
•
En el caso tridimensional, la temperatura se expresa
como T(x,y,z,t).
•
En algunos casos la temperatura varia
principalmente en dos direcciones primarias, la
variación de la temperatura en la tercera dirección es
despreciable.
(bidimensional)
•
Si la temperatura en el medio varia en una sola
dirección y, la variación de temperatura y el flujo
calor en las otras dirección es despreciable.
Transferencia de calor.
Ley de Fourier
•
Considere un medio en el cual la distribución de
temperatura es tridimensional
!
Q
=
−
k
∂T
∂
x
A
x,
∂T
∂
y
A
y,
∂T
∂z
A
z⎛
⎝
⎜
⎞
Transferencia de calor.
Generación de calor.
•
La energía eléctrica que pasa a través de una
resistencia.
•
Reactores nucleares: fisión nuclear.
Transferencia de calor.
Ecuación unidimensional de calor.
•
Pared plana de una casa.
•
El vidrio de una ventana de una sola hoja.
•
La placa metálica de una plancha.
•
La pared de un recipiente esférico.
•
Una bola metálica que está siendo templado por
inmersión revenida.
Transferencia de calor.
Conducción de calor en una pared
plana grande.
La pared tiene densidad
El calor especifico de la
pared es
El área perpendicular a la
dirección de transferencia
de calor es A.
El espesor de la pared es L
ρ
Transferencia de calor.
Conducción de calor en una pared
plana grande.
Razón de conducción del calor en x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ − Razón de conducción del calor en x+Δx ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + Velocidad de generación de calor en el interior del elemento ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =Razón de cambio del contenido de energía en el elemento ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ !
Qx −Q!x+Δx +E!gen = ΔEelemento Δt
ΔEelemento =Et+Δt −EΔt =mc(Tt+Δt −Tt) =ρAΔxc(Tt+Δt −Tt)
!
Transferencia de calor.
Conducción de calor en una pared
plana grande.
!
Qx−Q!x+Δx+E!gen = ΔEelemento Δt
ΔEelemento =Et+Δt −EΔt =mc(Tt+Δt −Tt) =ρAΔxc(Tt+Δt −Tt)
!
Egen =e!genAΔx
!
Qx −Q!x+Δx +e!genAΔx= ρAΔxc(Tt+Δt −Tt) Δt
−1
A
!
Qx+Δx −Q!x
Δx +e!gen =
ρc(Tt+Δt −Tt) Δt
Dividiendo entre AΔx
Al tomar el limite Δx→0 y Δt→0
1 A d dx kA dT dx ⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟+e!gen =
ρcdT
dt
Usando la Ley de Fourier
− 1
A dQ!x
dx +e!gen =
Transferencia de calor.
Conducción de calor en una pared
plana grande.
1 A d dx kA dT dx ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ +e!gen =ρc dT dt 1 A d dx kA dT dx ⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟+e!gen =0
1 A d dx kA dT dx ⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟ = ρcdTdt
1 A d dx kA dT dx ⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟ =0
Régimen estacionario
Régimen transitorio
(sin generación de calor)
Transferencia de calor.
Conducción de calor en una pared
plana grande.
Condiciones de frontera e iniciales 1 A d dx kA dT dx ⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟+e!gen = ρc dT
dt
Las anterior ecuación diferencial no incorporan información relacionada con las condiciones sobre las s u p e r f i c i e , c o m o l a temperatura de la superficie o un flujo especifico de calor.
La expresión matemática de las
condiciones térmicas en las f r o n t e r a s e l l a m a condiciones de frontera.
Es necesario fijar el valor de la temperatura o del flujo de calor para obtener una solución única de la ecuación
diferencial (condición de
frontera).
La temperatura en cualquier punto del medio depende de la condición del medio al inicio del proceso de c o n d u c c i ó n d e c a l o r
Transferencia de calor.
Conducción de calor en una pared
plana grande.
Condiciones de frontera de temperatura especifica
1 A
d
dx kA
dT dx
⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟+e!gen = ρc dT
dt
En el caso de una pared plana, con transferencia de calor unidimensional, las condiciones de frontera de temperatura se especifican como:
Transferencia de calor.
Conducción de calor en una pared
plana grande.
Condiciones de frontera de flujo especifico de calor
1 A
d dx kA
dT dx
⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟ +e!gen =ρc dT
dt
En el caso de una pared plana, con transferencia de calor unidimensional, las condiciones de frontera de flujo especifico de calor se expresan como:
−kdT(0,t) dx =50
W m2
−kdT(L,t) dx =50
Transferencia de calor.
Conducción de calor en una pared
plana grande.
Condiciones de frontera de flujo especifico de calor: frontera aislada.
1 A
d dx kA
dT dx
⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟ +e!gen =ρc dT
dt
En la practica , algunas superficies se aíslan con el fin de minimizar la perdida o ganancia de calor a través de ellas. Una superficie bien aislada se puede considerar como una con un flujo especifico de calor de cero.
−kdT(0,t) dx =0 T(L,t)=60ºC
Transferencia de calor.
Conducción de calor en una pared
plana grande.
Condiciones de frontera de flujo especifico de calor: frontera aislada.
1 A
d dx kA
dT dx
⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟ +e!gen =ρc dT
dt
Algunos problemas de transferencia de calor poseen simetría en las condiciones térmicas impuestas
−kdT(L/ 2,t)
dx =0
Transferencia de calor.
Conducción de calor en una pared
plana grande.
Condición de convección en la frontera
1 A
d
dx kA
dT dx
⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟+e!gen = ρc dT
dt
La condición de convección de frontera se basa en un balance de energía superficial expresado como: conducción de calor en la superficie en una dirección seleccionada = convección de calor en la superficie en la misma dirección
−kdT(0,t)
dx =h1(T∞1−T(0,t))
−kdT(L,t)
Transferencia de calor.
Conducción de calor en una pared
plana grande.
Condición de radiación de frontera
1 A
d
dx kA
dT dx
⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟ +e!gen =ρc dT
dt
En las aplicaciones espaciales y criogénicas, una superficie de transferencia de calor está rodeada por un espacio vacío y, por tanto, no tiene transferencia p o r c o nve c c i ó n e n t r e l a superficie y el medio radiante.
−kdT(0,t)
dx =ε1σ(Talred,1
4 −
T(0,t)4)
−kdT(L,t)
dx =ε2σ(T(L,t)
4 −
Transferencia de calor.
Conducción de calor en una pared
plana grande.
Condiciones de frontera en la interface
1 A d dx kA dT dx ⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟ +e!gen =ρc dT
dt
Algunos cuerpos están formados por capas de materiales diferentes y la resolución de un problema de transferencia de calor en un medio de ese tipo requiere determinar la transferencia en cada capa.
Las siguientes condiciones se deben satisfacer en la interface
1) Los dos cuerpos en contacto deben tener la misma temperatura en el área de contacto.
2) El flujo de calor sobre ambos lados de la interface debe ser el mismo.
TA(x0,t)=TB(x0,t)
−kAdT(x0,t) dx =−kB
dT(x0,t)
Resolución de problemas
Transferencia de calor.
Resolución de problemas
Resolución de problemas
unidimensionales de conducción de
calor en régimen estacionario
1
A d
dx kA
dT dx
⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟ =0
d2T dx2 =0
T(0)=120ºC T(L)=50ºC
T(x)=C1x+C2
T(0)=C2 =120 T(L)=C1L+120=50
C1= 50−120 L =
−70 L
T(x)= −70
L x+120=50
!
Qpared =−kAdT dx =
Conducción de calor en la placa base
de una plancha
d2T dx2 =0
−kdT(0) dx =q!0
−kdT(L)
dx =h T
[
(L)−T∞]
T(x)=C1x+C2
−kC1=q!0
−kC1=h C
[
1L+C2−T∞]
C1=−q!0 k
C2 = q!0
h +T∞ +
!
q0L k
T(x)=C1x+C2
=−q!0 k x+
!
q0
h +T∞ +
!
Conducción del calor en una pared
calentada por radiación solar
d2T
dx2 =0
T(0)=T1
−kdT(L)
dx =εσ T(L)
4−
Tespacio4
⎡⎣ ⎤⎦−αq!solar
T(x)=C1x+C2
C2 =T1
−kC1=εσ⎡⎣(C1L+T1)4−Tespacio4 ⎤⎦−αq!solar
T(x)=C1x+C2 =C1x+T1
−kC1=εσ⎡⎣(C1L+T1)4−Tespacio4 ⎤⎦−αq!solar
Donde C1 es la constante que resuelve la
Conducción del calor en una pared
plana con generación de calor
d2T
dx2 +
! egen
k =0 T(−L)=T1 T(L)=T2
T(x)=−e!gen
k x
2+
C1x+C2
T(L)=−e!gen k L
2+
C1L+C2
T(−L)=−e!gen k L
2−
C1L+C2
C1= T2−T1 2L
C2 = e!gen 2k L
2+T2+T1 2
−kC1=εσ⎡⎣(C1L+T1)4−Tespacio4 ⎤⎦−αq!solar T(x)= e!genL
2
2k (1− x2 L2)+
T2−T1 2L x+
