RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO (págs. 114, 115 y 117)

(1)

MEDIDA DE ÁNGULOS(pág. 113)

3 600 60

1. a) 38°——— 136 800 ; 25 ——1 500

1° 1

38° 2512 136 800 1 500 12 138 312

3 600 60

b) 5°——— 18 000 ; 12 ——720

1° 1

5° 1223 18 000 720 23 18 743

2. a) 324 752 60

24752 5 412 60 0752 5012 90°

152 32

324 752 90° 1232

b) 124 568 60

04552 2 076 60 4562 5276 34°

368 5 236 08

124 568 34° 368

c) 45 563 60

3562 759 60 563 5276 12°

23 5 239

45 563 12° 3923

d) 5 652 60

252 94° 12

5652 94° 12

1° 1°

3. a) 15 —— 0,25° ; 32 ———— 0,0089°

60 3 600

57° 15 32 57°0,25°0,0089°57,2589°

2rad

57,2589°————0,9994 rad 360°

2rad

b) 45,84°————0,80 rad 360°

1° 1

c) 34 —— 0,5667 ; 2 ——— 0,0006°

60 3 600

65° 34 2 65°0,5667 0,0006 65,5673

2rad

65,5673°————1,1444 rad 360°

2rad

d) 15,65°————0,27 rad 360°

5 360°

4. a) —— rad ————300°

3 2rad

360°

b) 1,43 rad ————81,93° 2rad

60 60

0,93°——55,8 ; 0,8 ——48

1° 1

81,93°81° 5548

360°

c) — rad ————22,5°

8 2rad

60 0,5°——30

1°

22,5°22° 30

5 360°

d) —— rad ————150°

6 2rad

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

DE UN ÁNGULO AGUDO(págs. 114, 115 y 117)

5. Utilizamos el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa.

h2₉2₅2₁₀₆_⇒_h

√

₁₀₆_cm

Aplicamos las definiciones de las razones trigonomé-tricas:

5 9

sen ——— cos ; cos ——— sen

√

106

√

106

(2)

5

√

106

tg — cotg ; cosec ——— sec

9 5

√

106 9

sec ——— cosec ; cotg —tg

9 5

6. Debemos dibujar un triángulo rectángulo tal que un cociente entre sus catetos sea 1,5; por ejemplo, si los

3

catetos miden 2 y 3, tg —1,5, luego será el 2

ángulo agudo opuesto al cateto que mide 3 y adya-cente al que mide 2:

α

2

3

7. — Dibujamos un triángulo rectángulo con un ángu-lo de 70° con la ayuda de un transportador de án-gulos.

— Medimos los catetos y la hipotenusa con la máxi-ma precisión posible.

En este caso los valores de a, b y c son:

a288 mm ; c271 mm ; b97,5 mm

— Aplicamos las definiciones de las razones trigono-métricas para hallar su valor:

c 271

sen — —— 0,94

a 288

b 97,5

cos — —— 0,34

a 288

c 271

tg — —— 2,78

b 97,5

1

cosec ———1,06

sen

1

sec ———2,94

cos

1

cotg —— 0,36

tg

a = 288

70°

c = 271

b = 97,5

C A

B

C a

b

c

— Comprobamos nuestros resultados con los valores que nos da la calculadora:

sen 70°0,93969262

cos 70°0,342020143

tg 70° 2,747477419

Observamos que el seno y el coseno coinciden si aproximamos por redondeo el valor de la calcula-dora a la centésima; pero, sin embargo, el valor de la tangente difiere ligeramente, debido a errores de precisión de la construcción geométrica.

8.

a) c a2_b2 ₅2₂2

√

₂₁

2

cosC^— _⇒C^66,42° 5

^

B90°C^90°66,42°23,58°

(3)

b) C^90°50°40°

ba senB^3 sen 50°2,30

ca cosB^3 cos 50°1,93

c) a b2_c2₇2₂2

√

₅₃

7

tgB^— _⇒B^74,05° 2

^

C90°B^90°74,05°15,95°

d) B^ 90°C^90°30°60°

b 5 10

√

3

a——— ———————

cosC^ cos 30° 3

5

√

3

cb tgC^5 tg 30°——— 3

e) B^90°C^90°25°65°

c 6

a———————14,20

senC^ sen 25°

c 6

b—————— 12,87

tgC^ tg 25°

Consideremos los triángulos rectángulos de la figura y utilizamos el método de doble observación. En el triángulo ACM se cumple:

h

tg 18°————

150 d

En el triángulo BCM se cumple:

h

tg 36°—

d

Resolvemos el sistema formado por ambas ecuacio-nes.

h

tg 18°———— ⇒ h(150 d ) tg 18°

150 d _⇒

h

tg 36°— _⇒ hd tg 36°

d

⇒ d121,36 m ; h88,17 m

ÁNGULOS ORIENTADOS(pág. 119)

11. Los ejes de coordenadas forman ángulos rectos, lue-go considerando como origen el semieje positivo de las abscisas y girando en sentido antihorario, tene-mos:

0°, 90°, 180°, 270° y 360°

12.

√



√



9.

20 m

50°

h

18° 36°

150 m d

C A

M h B

h

tg 50°— ⇒ h20 tg 50°23,84 m 20

10.

90_°

180_°

270° 360°

El segundo cuadrante está limitado por 90° y 180°, luego:

90° 180°

El tercer cuadrante está limitado por 180° y 270°, luego:

180° 270°

El cuarto cuadrante está limitado por 270° y 360°, luego:

270° 360°

13. a) 85° pertenece al primer cuadrante.

85°

(4)

14. a) Si es del 2.o_{cuadrante, verifica 90°}_180°.

90° 180°

180°90°180° 180°180°

90°180° 0°

0°180° 90°

luego 180° es un ángulo del primer cuadrante.

b) Si es del 2.o_{cuadrante, verifica 90°} _180°.

90° 180°

180°90°180° 180°180°

270°180° 360°

luego 180° es un ángulo del cuarto cuadrante.

c) Si es del segundo cuadrante verifica:

90° 180°

360°90°360° 360°180°

270°360° 180°

luego 360° es un ángulo del tercer cuadrante.

d) Puesto que 360°360° , del apar-tado anterior deducimos que es un ángulo del tercer cuadrante.

15. a) 385 360

⇒ 385°1 360°25°

025 1

El ángulo de 385° es equivalente al de 25°, luego 385° pertenece al primer cuadrante.

b) 105° pertenece al tercer cuadrante.

–105_°

c) 160° pertenece al segundo cuadrante.

160_°

d) 240° pertenece al tercer cuadrante.

240°

e) 300° pertenece al cuarto cuadrante.

300_°

f) 250° pertenece al segundo cuadrante.

–250_°

g) 350° pertenece al cuarto cuadrante.

350°

h) 300° pertenece al primer cuadrante.

(5)

b) 1 820 360

⇒ 1 820°5 360°20°

1 820 5

El ángulo de 1 820° es equivalente al de 20°, luego 1 820° pertenece al primer cuadrante.

c) 740 360

⇒ 740° 2 360°20°

020 2

El ángulo de 740° es equivalente al de 20°. Por otra parte, 20° es equivalente a 20°360° 340°, luego 740° pertenece al cuarto cua-drante.

d) 1 100 360

⇒ 1 100° 3 360°20°

1120 3

El ángulo de 1 100° es equivalente al de 20°, luego 1 100 pertenece al cuarto cuadrante.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

DE UN ÁNGULO CUALQUIERA(págs. 120 y 121) 16.

Puesto que el punto P(2, 3) del lado extremo del ángulo pertenece al cuarto cuadrante, dicho ángulo es del cuarto cuadrante.

Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar r :

r 22₍₃₎2

√

₁₃

Por tanto,

y 3 x 2

sen — ——— ; cos — ———

r

√

13 r

√

13

y 3

tg — ——

x 2

17. Respuesta sugerida:

Dibujamos una circunferencia, consideramos el valor del radio igual a la unidad, representamos los ángulos indicados y medimos la ordenada y la abscisa de los puntos del lado extremo de cada ángulo situado so-bre la circunferencia.

P = ( 2 , – 3 )

2 1

– 2 – 1

– 3 – 1

Y

X

O α

√



60° 135°

245° ₂₉₀_°

Los cálculos están realizados utilizando una circunfe-rencia cuyo radio mide 2 cm.

1,7 cm

a) sen 60°————0,85 2 cm

1 cm cos 60°———0,5

2 cm

1,7 cm

tg 60°———— 1,7

1 cm

1,4 cm

b) sen 135°———— 0,7 2 cm

1,4 cm

cos 135°———— 0,7

2 cm

1,4 cm

tg 135°———— 1

1,4 cm

1,8 cm

c) sen 245°———— 0,9 2 cm

0,9 cm

cos 245°———— 0,45

2 cm

1,8 cm

tg 245°—————2

0,9 cm

1,9 cm

d) sen 290°———— 0,95 2 cm

0,65 cm

cos 290°———— 0,33 2 cm

1,9 cm

tg 290°———— 2,92

(6)

PROPIEDADES Y RELACIONES DE LAS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (pág. 123 y 125) 18. Por el teorema fundamental de la trigonometría,

sen2 _cos2 ₁

cos 1sen2₁₍_0,5)2 _0,86 Como es del cuarto cuadrante, el coseno debe ser positivo, luego cos 0,86.

Finalmente, calculamos tg :

sen 0,5

tg ——— ——— 0,58

cos 0,86

19. Puesto que el coseno de es negativo y la tangente es positiva, pertenece al tercer cuadrante.

Sustituimos el valor de cos en la expresión:

sen2 _cos2 ₁

sen 1cos2 ₁₍_0,75)2 _0,66

Como pertenece al tercer cuadrante, sen 0, lue-go sen 0,66.

Finalmente

sen 0,66

tg ——— ——— 0,88

cos 0,75

20. Sustituimos el valor de sen en la expresión:

sen2 _cos2 ₁

√

3 1

cos 1 sen2 ₁

冢

_——

冣

2 _—

2 2

Por tanto, las razones trigonométricas de un ángulo

√

3

tal que sen —— pueden ser: 2

√



√



√



√



√



√



sen cos tg ———sen _cos

3 ——

2

1 —

2

1

— 2

3 ——

2

—— 3

1 —

2

3 ——

2

√

3 ——

2

——— 3

1

— 2

√

21. Las razones trigonométricas de deben satisfacer el siguiente sistema:

sen2_cos2₁

√

3

√

3 tg —— _⇒sen —— cos

3 3

₁₄₂₄₃

cos sen —— cos 3 tg 3

3 ——

2

3 ——

3

3 ——

3 1

— 2

1 —

2 3

—— 2

√

√ √

√

22. • Puesto que 137° es del segundo cuadrante:

180°

180°137°43°

Por tanto:

sen 137°sen (180°43°) sen 43°

cos 137°cos (180°43°) cos 43°

tg 137°tg (180°43°) tg 43°

• Puesto que 192° es del tercer cuadrante:

180°

180°192°180°12°

Por tanto:

sen 192°sen (12°180°) sen 12°

cos 192°cos (12°180°) cos 12°

tg 192°tg (12°180°) tg 12°

• Puesto que 264° es del tercer cuadrante:

180°

180°264°180°84° Sustituyendo en la primera ecuación el valor de sen :

√

3

冢

—— cos

冣

2cos2 ₁ 3

1

— cos2 _cos2 ₁ 3

4

— cos2₁ 3

3 cos2_—

4

√

3

cos ——

2

Así, las razones trigonométricas de un ángulo tal que

√

3

(7)

Por tanto:

sen 264°sen (84°180°) sen 84°

cos 264°cos (84°180°) cos 84°

tg 264°tg (84°180°) tg 84°

• Puesto que 384° es del cuarto cuadrante:

360° 360°384°12°

Por tanto:

sen 348°sen (360°12°) sen 12°

cos 348°cos (360°12°) cos 12°

tg 348°tg (360°12°) tg 12°

• Utilizando las relaciones que existen entre un án-gulo y su opuesto y ya que 53° es un ánán-gulo del pri-mer cuadrante tenemos:

sen (53°) sen 53°

cos (53°) cos 53°

tg (53°) tg 53°

23. • 135°:

√

2 sen 135°sen (180°45°) sen 45°——

2

√

2 cos 135°cos (180°45°) cos 45°——

2

tg 135°tg (180°45°) tg 45° 1

• 210°:

1

sen 210°sen (180°30°) sen 30° —

2

√

3

cos 210°cos (180°30°) cos 30° ——

2

√

3 tg 210°tg (180°30°) tg 30°——

3

• 240°:

√

3

sen 240°sen (180°60°) sen 60° ——

2

1

cos 240°cos (180°60°) cos 60° —

2

tg 240°tg (180°60°) tg 60°

√

3

• 300°:

√

3

sen 300°sen (360°60°) sen 60° ——

2

1 cos 300°cos (360°60°) cos 60°—

2

tg 300°tg (360°60°) tg 60°

√

3

• 315°:

√

2

sen 315°sen (360°45°) sen 45° ——

2

√

2 cos 315°cos (360°45°) cos 45°——

2 tg 315°tg (360°45°) tg 45° 1

•30°:

1

sen (30°) sen 30° —

2

√

3 cos (30°) cos 30°——

2

√

3

tg (30°) tg 30° ——

3

•45°:

√

2

sen (45°) sen 45° ——

2

√

2 cos (45°) cos 45°——

2

tg (45°) tg 45° 1

•60°:

√

3

sen (60°) sen 60° ——

2 1 cos (60°) cos 60°—

2

tg (60°) tg 60°

√

3

• 945°:

Reducimos 945° al primer giro:

945 360 ⇒ 945°2 360°225° 225 2

luego:

sen 945°sen 225°

√

2

sen (180°45°) sen 45° ——

2

cos 945°cos 225°

√

2

cos (180°45°) cos 45° ——

2

tg 945°tg 225°

tg (180°45°) tg 45°1

• 1 230°:

Reducimos 1 230° al primer giro:

1 230 360 ⇒ 1 230°3 360°150° 150 3

luego:

sen 1 230°sen 150°

1 sen (180°30°) sen 30°—

(8)

cos 1 230°cos 150°

√

3

cos (180°30°) cos 30° ——

2

tg 1 230°tg 150°

√

3

tg (180°30°) tg 30° ——

3

• 1 575°:

Reducimos 1 575° al primer giro:

1 575 360 ⇒ 1 575°4 360°135° 135 4

luego:

sen 1 575° sen 135°

√

2 sen (180°45°) sen 45°——

2

cos 1 575°cos 135°

√

2

cos (180°45°) cos 45° ——

2

tg 1 575°tg 135°

tg (180°45°) tg 45° 1

24. Las razones trigonométricas de deben ser solucio-nes del sistema:

sen2 _cos2 ₁

tg 2 ⇒ sen 2 cos

Sustituyendo el valor de sen en la primera ecuación:

(2 cos )2_cos2 ₁

4 cos2 _cos2 ₁

1 5 cos2 ₁_⇒ _cos2 _—_⇒

5

√

5 ⇒ cos —— 5

√

5 como es del primer cuadrante, cos —— . Por

5 tanto:

√

5 2

√

5

sen 2 cos 2 —— ———

5 5

Así, las razones trigonométricas de son:

2

√

5

√

5

sen ——— , cos —— , tg 2

5 5

Ahora podemos hallar las razones trigonométricas de los ángulos que están en función de :

• 360° :

2

√

5

sen (360° ) sen ———

5

√

5

cos (360° ) cos ——

5

123 √

3

b) Los ángulos cuyo coseno es —— son 30° y 330°.

2

tg (360° ) tg 2

• 180° :

2

√

5

sen (180° ) sen ———

5

√

5

cos (180° ) cos ——

5

tg (180° ) tg 2

• 180° :

2

√

5

sen (180° ) sen ———

5

√

5

cos (180° ) cos ——

5

tg (180° ) tg 2

25. Observamos la circunferencia goniométrica para de-ducir qué ángulos tienen segmentos representativos del seno, coseno o tangente del mismo valor.

a) Vemos que hay dos ángulos cuyo segmento

repre-1

sentativo del seno es —, que son 210° y 330°. 2

1 2

330° 210_°

–

330° 30°

(9)

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS

(págs. 126 y 127)

cos 1

冢

———

冣

2

1 cotg2 _sen

26. a) sen2 _{——————}_sen2 _{———————}

cos cos

sen2 _cos2 ———————

sen2

sen2 _{————————}

cos

1 1

sen2 _{———————}_———_sec

sen2 _cos _cos ↑

sen2 _cos2 ₁

1 1

b) —————————— 1 tg2 ₁_tg2

1 1

——————————————

sen sen

1

冢

———

冣

2 1

冢

———

冣

2

cos cos

1 1

————————————————

cos2 _sen2 _cos2 _sen2

——————— ———————

cos2 _cos2

1 1

———— ———— cos2 _cos2

1 1

——— ———

cos2 _cos2

sen2 _cos2 ₁

(1 sen2₎₍₁_sen2 ₎_sen2 _sen2 ↑

sen2 _cos2 ₁

1 sen cos

27. a) ——————————

cos 1 sen

(1sen )(1sen ) cos cos cos2 1 sen2 _cos2

cos2 _sen2 ₁

䉱

c) Los ángulos cuya tangente es

√

3 son 60° y 240°.

240° ₆₀_°

3

lo cual es cierto en virtud del teorema fundamen-tal de la trigonometría.

b) cos4 _sen4 _(cos2₎2_(sen2₎2

(cos2 _sen2₎_(cos2 _sen2₎

1 (cos2 _sen2₎ ↑

sen2 _cos2 ₁

cos2 ₍₁_cos2₎_{2 cos}2 ₁ ↑

sen2 _cos2 ₁

tg (90° ) tg (180° )

28. —————————————cos

sen (90° )

cotg (tg ) 1

———————cos —— (tg ) 1

cos tg

1cos2 _{tg (}₎_{tg (}₎_cos2

冢

_—

冣

2

29. ——————————————————————

tg2₍₂ ₎_tg2

冢

_—

冣

2

(1 cos2₎_tg ₍_tg₎_sen2

—————————————————

(tg )2_(cotg₎2 sen2 _tg₍_tg₎_sen2

——————————————

tg2 _cotg2 ↑

sen2 _cos2 ₁

tg2 ₁ ₁

——————— ——— ———— tg2

tg2 _cotg2 _cotg2 ₁

——— tg2

30.

Sea hCD y xDB, entonces AD500 x.

En el triángulo ADC se cumple:

h

tg 35°————

500 x C

A B

500 m – x x

52_°

35_°

h

(10)

4 4

sen 12°— _⇒ l————

l sen 12°

4 4

tg 12°— ⇒ h————

h tg 12°

Luego el perímetro del triángulo es:

4

P2 l8 2 ————8 46,48 cm sen 12°

y el área del triángulo

8 h 4

A———4 h4 ——— 75,27 cm2

2 tg 12°

En el triángulo DBC se cumple:

h

tg 52°—

x

Resolviendo el sistema formado por ambas ecuacio-nes:

h

tg 35°———— _⇒ h(500 x ) tg 35° 500 x

⇒

h

tg 52°— _⇒ htg 52°x

x

⇒ x 176,81 m , h 226,30 m

31.

12°

4 cm h

l

14243

α

a

B

A O

M 4 cm

a) Consideremos uno de los triángulos equiláteros

en que se descompone el hexágono. M es el pun-to medio de AB y el ángulo es la mitad del án-gulo central AOB del polígono.

360° 60°

—— 60° ⇒ ——30°

6 2

Si consideramos el triángulo MOA :

2,5 2,5

tg 30°—— _⇒a————2,5

√

3 cm

a tg 30°

Luego el área del hexágono es:

Pa 30 2,5

√

3

A—————————64,95 cm2

2 2

b)

α

5 cm

A M B

O

a

32. a)

Consideremos uno de los triángulos isósceles en que se descompone el octógono. M es el punto medio de AB y el ángulo es la mitad del ángulo central AOB del polígono.

360° 45°

AOB———45° ⇒ ——22,5°

8 2

Si consideramos el triángulo MOA :

a

cos 22,5°— _⇒a4 cos 22,5°3,70 cm 4

l

— 2

sen 22,5°—— _⇒ l8sen 22,5°3,06 cm 4

Luego el área del octógono es:

pa (8 3,06) 3,70

A—————————— 45,29 cm2

2 2

EJERCICIOS Y PROBLEMAS (págs. 128 y 129) 1°

33. a) 43 ——0,7167°

60 1°

21 ———0,0058°

3 600

15° 4321 15°0,7167°0,0058°15,7225° Tomando uno de los

(11)

Sea el ángulo formado por la hipotenusa y el cateto de 4 cm y el ángulo formado por la hipotenusa y el cateto de 2 cm.

Para calcular las razones trigonométricas de y bas-ta con aplicar la definición:

4 2

√

5 2

√

5

sen —————— ; cos —————

2

√

5 5 2

√

5 5

4

tg — 2

2

√

5 4 2

√

5

sen ————— ; cos ——————

2

√

5 5 2

√

5 5

2 1

tg — —

4 2

1°

b) 34 ——0,5667° 60

1°

25 ———0,0069°

3 600

36° 3425 36°0,5667°0,0069°36,5736°

60

34. a) 0,1646°—— 9,876 1°

60

0,876 —— 53

1

25,1646°25° 953

60

b) 0,5216°—— 31,296 1°

60

0,296 —— 18

1

46,5216°46° 3118

35. 3 3 (25° 1210) 15° 210 75° 3630 15° 210 60° 3420

1°

36. a) 12 —— 0,2° 60

1°

45 ——— 0,01°

3 600

60° 1245 60°0,2°0,01° 60,21°

2rad

60,21°————1,05 rad 360°

1°

b) 56 —— 0,93° 60

1°

5 ——— 0,0014°

3 600

25° 565 25°0,93°0,0014° 25,93° 2rad

25,93°————0,45 rad 360°

1°

c) 12 —— 0,2° 60

1°

54 ——— 0,02°

3 600

126° 1254 126°0,2°0,02° 126,22°

2rad

126,22°————2,20 rad 360°

3 360°

37. a) —— rad ————270°

2 2rad

360°

b) 0,75rad ————135° 2rad

7 360°

c) —— rad ————105°

12 2rad

38. Calculamos la longitud de la hipotenusa utilizando el teorema de Pitágoras:

a 42₂2

√

₂₀₂

√

₅

β

α

2 cm

4 cm a

√



39. a) Dibujamos un triángulo rectángulo tal que el ca-teto opuesto a mida 2 unidades y la hipotenusa mida 3.

α

2 3

b) Dibujamos un triángulo rectángulo tal que la

pro-porción entre el cateto contiguo y la hipotenusa sea 0,8, por ejemplo, 4 y 5.

α

5

(12)

c) Calculamos el ángulo agudo: ^

C90°B^90°50°40° Calculamos los catetos:

ba senB^10 sen 50°7,66 cm

ca cosB^10 cos 50°6,43 cm

d) Calculamos el ángulo agudo: ^

B90°C^90°20°70° Calculamos los catetos:

ba cosC^7 cos 20°6,58 cm

ca senC^7 sen 20°2,39 cm

e) Calculamos el ángulo agudo: ^

C90°B^90°42°48° Calculamos los catetos:

b 5

a——— ————7,47 cm

senB^ sen 42°

b 5

c——— ————5,55 cm

tgB^ cos 42°

f) Calculamos el ángulo agudo: ^

B90°C^90°38°52° Calculamos los catetos:

b 6

a——— ————7,61 cm

cosC^ cos 38°

cb tgC^6 tg 38°4,69 cm

42. Dibujamos una circunferencia, representamos los án-gulos indicados y medimos la ordenada y la abscisa de los puntos del lado extremo de cada ángulo situado sobre la circunferencia.

Utilizamos para los cálculos una circunferencia de ra-dio 2 cm.

c) Dibujamos un triángulo rectángulo que tenga los

catetos de 2 y 3 unidades y consideramos el ángu-lo cuyo cateto opuesto sea el de 3 unidades.

α

3

2

40. Sabemos que las razones trigonométricas de deben verificar:

sen2 _cos2 ₁

tg 1,5 ⇒ sen 1,5 cos

Sustituyendo en la primera ecuación el valor de sen :

(1,5 cos )2_cos2 ₁ cos2 _0,3077

cos 0,5547 ⇒ cos 0,55

y como es agudo, su coseno debe ser positivo, luego

cos 0,55

sustituyendo el valor del coseno:

sen 1,5 cos 0,83

Aplicamos las definiciones:

1

sec ———1,80

cos 1

cosec ———1,20

sen 1

cotg ——0,67

tg

41. a) Calculamos el cateto:

c a2_b2₈2₆2_{5,29 cm} Calculamos los ángulos:

6 3

cosC^— — _⇒C^41,41°

8 4

^

B90°41,42°48,59°

b) Calculamos la hipotenusa:

a b2_c2₂₅₆₄_{9,43 cm} Calculamos los ángulos:

5

tgB^— ⇒ B^32,01° 8

^

C90°32,01°57,99°

123 √



√



√



√



70°

320°

250°

(13)

1,9 cm

a) sen 70°————0,95 2 cm

0,7 cm

cos 70°————0,35

2 cm

1,9 cm

tg 70°————2,71

0,7 cm

1,6 cm

b) sen 125°————0,8 2 cm 1,2 cm

cos 125°———— 0,6

2 cm

1,6 cm

tg 125°————— 1,4

1,2 cm 1,9 cm

c) sen 250°———— 0,95 2 cm

0,7 cm

cos 250°———— 0,35

2 cm 1,9 cm

tg 250°———— 2,71

0,7 cm 1,3 cm

d) sen 320°———— 0,65 2 cm

1,6 cm

cos 320°———— 0,8

2 cm 1,4 cm

tg 320°———— 0,88

1,6 cm

43. Sustituimos el valor de cos en la expresión:

sen2 _cos2 ₁

sen 1 cos2 ₁₍_0,4)2 _0,92

Por otra parte,

0,92

tg ——— 2,29

0,4

y como la tangente tiene que ser negativa, el seno debe ser positivo. Así, las razones trigonométricas de son:

sen 0,92 ; cos 0,4 ; tg 2,29

Por tanto, pertenece al segundo cuadrante.

44. Las razones trigonométricas de deben verificar el siguiente sistema:

sen2 _cos2 ₁

tg 2 ⇒ sen 2 cos

sustituimos el valor de sen en la primera ecuación:

(2 cos )2_cos2 ₁ 5 cos2₁

1

cos2 _—

5

√

5

cos ——

5

como es del segundo cuadrante, el coseno debe ser negativo, luego:

√

5

cos ——

5

y por tanto:

2

√

5

sen 2 cos ———

5

Así,

2

√

5

√

5

sen ———0,89 ; cos —— 0,45

5 5

tg 2

Podemos calcular a continuación las razones trigono-métricas de 180° y de 360° relacionándolas con las de :

2

√

5

sen (180° ) sen ———0,89

5

√

5

cos (180° ) cos ——0,45

5

tg (180° ) tg 2

2

√

5

sen (360° ) sen ——— 0,89

5

√

5

cos (360° ) cos —— 0,45

5

tg (360° ) tg 2

sen ( ) cos

冢

—

冣

2

45. a) ———————————————————

(cos2 ₁₎_{tg (}₎_{cotg (2}₎

sen sen

———————————————

(cos2 _{1) (}_tg_{) (}_cotg₎ ↑

sen2 _cos2 ₁

sen2

———————————————

(sen2_{) (}_tg_{) (}_cotg₎ 1

—————————1

1 (tg )

冢

——

冣

tg

tg (180° )cotg (360° )

b) ——————————————

sec cos (180° )

(tg) (cotg)

————————

sec (cos)

1 (tg )

冢

———

冣

tg (1)2

———————————— 1

1 1

——— (cos) cos

√



√



(14)

46. En un triángulo equilátero, los tres lados y los tres án-gulos son iguales, por tanto:

36

P36 bbb3 b ⇒ b—12 cm 3

180° 180° 3 ⇒ —— 60°

3

30_°

12 cm h

Tomamos uno de los triángulos rectángulos que se forman al considerar la altura del triángulo equiláte-ro y aplicamos la definición de tangente, tenemos:

6 6

tg 30°— _⇒h——— 10,39 cm

h tg 30°

Finalmente, el área del triángulo es:

bh 12 10,39

A—————————62,35 cm2

2 2

47.

8 cm

24 cm

α

120°

D C

B A

E F

Aplicamos la definición de tangente al triángulo EDA :

8 8

tg 30°— ⇒ h———13,86 cm

h tg 30°

Finalmente, el área del trapecio es:

ab 24 8

A——— h————8

√

3 128

√

3

2 2

221,70 cm2

48. Consideremos uno de los triángulos isósceles en que se descompone el octógono. M es el punto medio de

AB y el ángulo es la mitad del ángulo central AOB del polígono.

360° 45°

AOB———45° ⇒ ——22,5°

8 2

Por ser un octógono regular, los 8 lados son iguales 48

y la medida de un lado es —6 cm. 8

Aplicamos la definición de seno en el triángulo MOA :

3 3

sen 22,5°— ⇒ r—————7,84 cm

r sen 22,5°

49. Consideremos uno de los triángulos equiláteros en que se descompone el hexágono. M es el punto me-dio de AB determinado por la altura del triángulo

ABO y que coincide con la apotema y el radio de la

cir-cunferencia inscrita, y el ángulo es la mitad del án-gulo central AOB del polígono.

360°

AOB——60°⇒ 30° 6

α

a B

A O

M r

6 cm

α

8 cm

A _M B

O

r Recordemos que el área de un trapecio coincide con

la semisuma de sus bases por su altura:

ab

Área ——— h

2

Escogemos uno de los triángulos rectángulos que se forman al considerar la altura del trapecio, por ejem-plo, la del vértice D. Por la simetría del trapecio isós-celes observamos que:

24 8

兩AE兩 ————8 cm

2

(15)

Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo

AMD :

l 82₁₅2_{17 cm}

luego el perímetro del rombo es:

P4 l68 cm

Calculamos el área del triángulo AMD :

15 8

AT——— 60 cm2 2

luego la del rombo es A4 60 240 cm2_.

Aplicamos la definición de tangente en el triángulo

AMD :

8

tg — _⇒ 28,0725° ⇒

15

⇒ 2 56,15°

Aplicamos la definición de tangente al triángulo MOA:

4 4

tg 30° — _⇒r———

r tg 30°

50. Un rombo es un cuadrilátero con los cuatro lados iguales y cuyas diagonales se cortan perpendicular-mente en su punto medio y son a su vez bisectrices de los ángulos del rombo.

Estas diagonales definen cuatro triángulos rectángu-los iguales en el rombo.

25°

50° M

6,5

B D

A C

l

Aplicando la definición de seno al triángulo MCD :

6,5 6,5

sen 25°—— _⇒ l————15,38 cm

l sen 25°

luego el perímetro del rombo es:

P4 l61,52 cm

51. Consideremos uno de los triángulos rectángulos en que se descompone un rombo y utilicemos las pro-piedades descritas en el ejercicio anterior:

15

tg — _⇒61,9275° ⇒ 8

⇒ 2 123,85°

luego los ángulos del rombo son:

56,15° y

123,85°

52. Consideramos el triángulo rectángulo que forman el ciprés, su sombra y el rayo de sol que la delimita.

√



6 m 15 m

α

8 cm

15 cm

8 cm 15 cm

β

α' α

β' M

B D

A C

Aplicamos la definición de tangente al ángulo :

15

tg — _⇒ 68,20

6

53.

60°

h

350 m

Consideramos el triángulo rectángulo que forman la cuerda del globo cautivo, la distancia a la que se en-cuentra el observador del anclaje del globo y la visual desde este punto de observación.

Aplicamos la definición de tangente al ángulo de 60°:

h

tg 60°—— _⇒h350 tg 60°606,22 m 350

54.

65_°

d 125 m

(16)

1,5 m

50°

46°

x

d O

B C

A

Consideramos el triángulo rectángulo formado por la altura sobre el nivel del mar de la cúpula del faro, la distancia a la que se encuentra el barco y la visual des-de el faro al barco.

Aplicamos la definición de coseno al ángulo de 25°:

125 125

cos 25°—— ⇒ d————137,92 m

d cos 25°

55.

Consideramos los triángulos rectángulos formados por la calle, el edificio y la visual a la base de la ante-na, y por la calle, el edificio con la antena y la visual al extremo de la antena.

Utilizamos el método de doble observación.

En el triángulo OAB se cumple:

x

tg 46°—

d

En el triángulo OAC se cumple:

x1,5

tg 50°————

d

Resolvemos el sistema formado por ambas ecuaciones

x1,5

tg 50°———— ⇒ x d tg 50°1,5

d

⇒

x

tg 46°— _⇒ x d tg 46°

d

⇒ d9,60 ; x9,94 m

14243

56.

470 km 470 km ₃₉_°_54'

C

A M B

Consideramos el triángulo isósceles formado por las visuales a ambos satélites y la distancia que les separa. Tomamos la altura correspondiente al lado desigual, que es bisectriz del ángulo opuesto, y obtenemos dos triángulos rectángulos.

En el triángulo ACM se cumple:

d

—

2 d

sen 19° 57 —— —— ⇒ d320,728 km

470 940

57.

100 m – x

35_° 30_°

100 m

x

L C

A

B p

Consideramos los dos triángulos rectángulos en que podemos descomponer el triángulo de la figura y em-pleamos el método de doble observación.

En el triángulo ABL se cumple:

p

tg 35°—

x

En el triángulo LBC se cumple:

p

tg 30°————

100 x

Resolviendo el sistema formado por ambas ecuacio-nes hallaremos la profundidad del lago.

p

tg 35°— _⇒ p x tg 35°

x

⇒

p

tg 30°————— _⇒ p (100 x ) tg 30°

100 x

⇒ x45,19 m ; p31,64 m

58. Determinamos los ángulos y de la figura:

218° 90°360°⇒ 360°218°90°52°

90° 126° ⇒ 126°90°36°

(17)

126°

218°

1200 km

dB

dA

B A

x 1200 – x

y

E

α β

C

Consideramos los dos triángulos rectángulos en que podemos descomponer el triángulo de la figura y em-pleamos el método de doble observación.

En el triángulo AEC se cumple:

y

tg 52°—

x

En el triángulo EBC se cumple:

y

tg 36°—————

1 200 x

Resolvemos el sistema formado por ambas ecuaciones:

y

tg 52°— _⇒ y x tg 52°

x

⇒

y

tg 36°—————— _⇒ y (1 200 x ) tg 36°

1 200 x

⇒ x434,52 km ; y765,48 km

Calculamos las distancias al epicentro.

Aplicamos la definición de coseno en el triángulo

AEC :

x x

cos 52°—— _⇒ dA————705,77 km

dA cos 52°

Aplicamos la definición de coseno en el triángulo

EBC :

1 200x 1 200x

cos 36°—————— _⇒ dB——————946,19 km

dB cos 36°

59.

14243

P

Q

h

30 m

17°

40°

x B

A

Consideramos los triángulos rectángulos de la figura y utilizamos el método de doble observación. En el triángulo APB se cumple:

h

tg 17°————

30 x

En el triángulo AQB se cumple:

h

tg 40°—

x

h

tg 17°———— _⇒ h (30 x ) tg 17°

30 x

⇒

h

tg 40°— _⇒ hxtg 40°

x

⇒ x17,20 m ; h14,43 m

60.

C

D A B

α β

d x

h

14243

Consideramos los triángulos rectángulos de la figura y utilizamos el método de doble observación. En el triángulo DBC se cumple:

h

tg ————

xd

En el triángulo DAC se cumple:

h

tg —

x

h

tg ——— _⇒ h (x10) tg 15°

xd

⇒

h

tg — _⇒ hx tg x

⇒ x27,91 m ; h10,16 m

61.

14243

50° 30°

350 m x

h

A B C

D

Epicentro

(18)

h

tg 30°———— _⇒ h (x350) tg 30°

x350

⇒

h

tg 50°— _⇒ hxtg 50°

x

⇒ x328,89 m ; h391,96 m

14243

Consideramos los triángulos rectángulos formados por la superficie horizontal del mar, la altura del he-licóptero y las visuales del portaaviones al helicópte-ro. Utilizamos el método de doble observación. En el triángulo ACD se cumple:

h

tg 30°————

x350 En el triángulo BCD se cumple:

h

tg 50°—

(19)

9 sen 26°

c ——————6,71

sen 36°

b) Debemos hallarB, a y c.^

Aplicamos las fórmulas:

^

B180°(35°70°) 75° 5 sen 35°

a ——————2,97

sen 75°

5 sen 70°

c ——————4,86

sen 75°

c) Debemos hallarA, a y b.^

^

A180°(40°60°) 80° 7 sen 80°

a ——————7,96

sen 60°

7 sen 40°

b ——————5,20

sen 60°

6. Los datos sonB^40°,C^43° y a100 m.

TEOREMA DEL SENO Y TEOREMA DEL COSENO

(págs. 132 a 137)

1. Aplicamos la segunda igualdad del teorema del seno:

b c

——— ———

senB^ senC^

Sustituimos los datos y despejamos c :

10 c sen 36°

———————— _⇒ c 10 ————11,76 cm

sen 30° sen 36° sen 30°

2. Aplicamos la primera igualdad del teorema del seno:

a b

——— ———

senA^ senB^

Sustituimos los datos, operamos y hallamosB :^

9 6

——————— ⇒

sen 62° senB^

6 sen 62°

⇒ senB ^—————— _⇒B^36,06° 9

3. Aplicamos la siguiente igualdad del teorema del co-seno:

a2_b2_c2_{2 b c}_cos_A^ sustituyendo los datos, obtenemos:

a 102₁₂2₂₁₀₁₂_{cos 26°}_{5,32 cm}

4. Aplicamos la siguiente igualdad del teorema del co-seno:

b2_c2_a2 ₂_c_a_cos_B^ sustituyendo los datos y operando, obtenemos:

32₆2₇2

cosB^———————_⇒B^25,21° 2 6 7

5. a) Debemos calcularA, b y c.^

^

A180°(118°26°) 36° 9 sen 118°

b ——————13,52

sen 36°

√



C

B A

43°

40°

a = 100 m

7

Trigonometría II

Debemos calcular A, b y c. Aplicamos las fórmulas:^ ^

A 180°(40°43°) 97°

100 sen 40°

b ———————64,76 m

sen 97°

100 sen 43°

c ———————68,71 m

(20)

7. a) Debemos calcular a,B y^ C. Aplicamos las fórmulas:^ a 102₉2₂₁₀₉_{cos 35°}_{5,79 cm}

92_5,792₁₀2

cosB^—————————0,1394 ⇒B^81,99° 2 9 5,79

Aunque B^ 278,01°360° 81,99° tiene el mismo coseno queB, no lo consideramos, pues^ ^

B 180°.

^

C 180°(35°81,99°) 63,01°

b) Debemos calcular b,A y^ C. Aplicamos las fórmulas:^

b 72₆2₂₇₆_{cos 60°}_{6,58 cm}

6,582₆2₇2

cosA^—————————0,3837 ⇒A^67,44° 2 6,58 6

Aunque A^ 292,56° 360°67,44° tiene el mismo coseno queA, no lo consideramos, pues^ ^

A 180°.

^

C 180°(67,44°60°) 52,56°

c) Debemos calcular c,A y^ B. Aplicamos las fórmulas:^

c 52₈2₂₅₈_{cos 40°}_{5,26 cm}

82_5,262₅2

cosA^—————————0,7922 ⇒A^37,61° 2 8 5,26

Aunque A^ 322,39° 360°37,61° tiene el mismo coseno queA, no lo consideramos, pues^ ^

A 180°.

^

B 180°(37,61°40°) 102,39°

√



√



√



72₄2₅2

cosA^————————0,7143 ⇒A^44,42° 2 7 4

42₅2₇2

cosB^———————— 0,2 ⇒ B^101,54° 2 4 5

^

C 180°(44,42°101,54°) 34,04°

b) Debemos calcularA,^B y^ C. Aplicamos las fórmulas:^

172₉2₉2

cosA^————————0,9444 ⇒ A^19,19° 2 17 9

92₉2₁₇2

cosB^———————— 0,7840⇒ B^141,62° 299

^

C 180°(19,19°141,62°) 19,19°

c) Debemos calcularA,^B y^ C. Aplicamos las fórmulas:^

102₁₂2₄2

cosA^—————————0,95 ⇒ A^18,19° 2 10 12

122₄2₁₀2

cosB^————————— 0,625 ⇒ B^51,32° 2124

^

C 180°(18,19°51,32°) 110,49°

8. Los datos son:

^

A120° ; b60 m ; c 50 m

C

B A

120°

b = 60 m

c = 50 m a

Debemos calcular a. Aplicamos la fórmula:

a 602₅₀2₂₆₀₅₀_{cos 120°}_{95,39 m}

9. a) Debemos calcularA,^B y^ C. Aplicamos las fórmulas:^

√



10. Los datos son:

a2 km ; b3 km ; c 2,5 km

C

B

A c = 2,5 km

b = 3 km a = 2 km

Debemos calcular A,^B y ^ C. Aplicamos las fórmulas:^

32_2,52₂2

cos A^————————0,75 ⇒ A^41,41° 2 3 2,5

2,52₂2₃2

cosB^———————— 0,125 ⇒ B^82,82° 2 2,5 2

^

C 180°(41,41°82,82°) 55,77°

11. a) Debemos calcularC,^B y b. Aplicamos las fórmulas:^

9 sen 50°

senC^———————1,1491 1 6

(21)

b) Debemos hallarA,^ C y a. Aplicamos las fórmulas:^

10 sen 30°

senC^———————1 ⇒ C^90° 5

^

A180°(30°90°) 60°

bsenA^ 5 sen 60°

a ————— ——————8,66 m

senB^ sen 30°

c) Debemos hallarB,^ C y c. Aplicamos las fórmulas:^ bsenA^ 12 sen 40°

senB^—————— ———————1,5427 1

a 5

Puesto que el seno de cualquier ángulo es menor o igual que 1, no hay solución; es decir, no existe un triángulo que cumpla los datos del enunciado.

12. Los datos son: ^

C32° ; b450 m ; c 300 m

32_°

b = 450 m c = 300 m B2

B1

C

A c = 300 m

cos 60°cos 45°sen 60°sen 45°

1

√

2

√

3

√

2

√

2

√

6

— ———————————

2 2 2 2 4

14. Aplicamos las correspondientes razones trigonomé-tricas del ángulo suma o el ángulo diferencia en cada caso.

a) sen 75°sen (45°30°)

sen 45°cos 30°cos 45°sen 30°

√

2

√

3

√

2 1

√

6

√

2

—— —— —— — —————

2 2 2 2 4

b) cos 135°cos (90°45°)

cos 90°cos 45°sen 90°sen 45°

√

2

√

2

√

2 0 —— 1 —— ——

2 2 2

c) tg 105°tg (60°45°)

tg 60°tg 45°

√

3 1

——————————————

1 tg 60°tg 45° 1

√

3 1

2

√

3

Debemos hallar a. Aplicamos las fórmulas:

bsenC^ 450 sen 32°

senB^————— ———————0,7949

c 300 Existen dos ángulos suplementarios,B^1y

^

B2, cuyo seno es 0,7949, que son:B^152,64° y

^

B2127,36°. Si B^152,64° ⇒

^

A180°(52,64° 32°) 95,36°. Por tanto:

csen A^1 300 sen 95,36°

a1————— ————————563,65 m

sen C^ sen 32°

SiB^2127,36°⇒ ^

A180°(127,36°32°)20,64°. Por tanto:

csen A^2 300 sen 20,64°

a2————— ————————199,56 m

sen C^ sen 32°

En este caso existen, pues, dos soluciones:

a1563,65 m y a2199,56 m

RAZONES DE LOS ÁNGULOS SUMA Y DIFERENCIA(pág. 139 y 140)

13. Aplicamos las razones trigonométricas del ángulo suma:

cos 105°cos (60°45°)

d) sen 120°sen (90°30°)

sen 90°cos 30°cos 90°sen 30°

√

3 1

√

3 1 ——0 — ——

2 2 2

15. Aplicamos la fórmula correspondiente:

sen 150°sen (90°60°) sen 90°cos 60°cos 90°sen 60°

1

√

3 1

1 — 0 ———

2 2 2

cos 150°cos (90°60°) cos 90°cos 60°sen 90°sen 60°

1

√

3

√

3

0 — 1 —— ——

2 2 2

tg 90° 1 tg 60°

tg 150°tg (90°60°) ————————

1 tg 90°tg 60°

No podemos calcularla como suma de estos dos án-gulos puesto que la tg 90° no está definida. Luego aplicamos la definición de tangente:

1 —

sen 150° 2

√

3

tg 150 ———— ——— ——

cos 150°

√

3 3

——— 2

(22)

4 3 cos 1 sen2 ₁

冢

_—

冣

2 _—

5 5

puesto que pertenece al segundo cuadrante,

3

cos —

5

12 5

cos 1 sen2 ₁

冢

_—

冣

2 _—

13 13

puesto que pertenece al segundo cuadrante,

5 cos —

13

Aplicamos la fórmula correspondiente:

cos ( ) cos cos sen sen

3 5 4 12 63

冢

—

冣

冢

—

冣

———

5 13 5 13 65

17. Utilizamos el teorema fundamental para hallar el cos y el sen .

cos 1 sen2

1 2

√

6

1

冢

—

冣

2 ———

5 5

√



√



√



√



√



√



Aplicamos las razones trigonométricas del ángulo doble:

sen 28°sen 2 14°2 sen 14°cos 14° 2 0,24 0,97 0,47

cos 28°cos 2 14°cos2_14°_sen2_14° (0,97)2_(0,24)2_0,88

2 tg 14° tg 28°tg 2 14°—————

1 tg2_14° 2 0,25

——————0,53

1 (0,25)2

sen 56°sen 2 28°2 sen 28°cos 28° 2 0,47 0,88 0,83

cos 56°cos 2 28°cos2_28°_sen2_28°

(0,88)2_(0,47)2_0,55 2 tg 28° tg 56°tg 2 28°—————

1 tg2_28° 2 0,53

——————1,47

1 (0,53)2

puesto que pertenece al cuarto cuadrante,

2

√

6

cos ———

5

2

√

5

sen 1 cos2 ₁

冢

_—

冣

2 _——

3 13

puesto que pertenece al cuarto cuadrante,

√

5

cos ——

3

Aplicamos la fórmula correspondiente:

sen ( ) sen cos cos sen

1 2 2

√

6

√

5 2 2

√

30

冢

—

冣

— ———

冢

——

冣

——————

5 3 5 3 15

18. Utilizamos el teorema fundamental para hallar cos 14° y cos 42° sabiendo que ambos pertenecen al primer cuadrante.

cos 14° 1 sen2_14° ₁_(0,24)2_0,97 cos 42° 1 sen2_42° ₁_(0,67)2 _0,74

Aplicamos la definición de tangente:

sen 14° 0,24

tg 14°———————0,25

cos 14° 0,97

sen 42° 0,67

tg 42°———————0,91

cos 42° 0,74

√



√



√



√



√



√



Aplicamos las razones trigonométricas del ángulo mitad:

42° 1 cos 42°

sen 21°sen —— ——————

2 2

1 0,74

———— 0,36

2

42° 1 cos 42°

cos 21°cos —— ——————

2 2

1 0,74

———— 0,93

2

42° 1 cos 42°

tg 21°tg —— ——————

2 1 cos 42°

1 0,74

———— 0,39

1 0,74

Como 21° pertenece al primer cuadrante, su seno, su coseno y su tangente son positivos. Luego:

sen 21°0,36, cos 21°0,93 y tg 21°0,39

19. Utilizamos el teorema fundamental para hallar cos 38° y sabiendo que 38° pertenece al primer cuadrante:

cos 38° 1 sen2_38° ₁_(0,62)2_0,78

Aplicamos la definición de tangente:

sen 38° 0,62

tg 38°———————0,79

cos 38° 0,78

√



√



√



√



√



√



(23)

1 0,78

———— 0,35

1 0,78

sen 76°sen 2 38°2 sen 38°cos 38° 2 0,62 0,78 0,97

cos 76°cos 2 38°cos2_38°_sen2_38°

(0,78)2_(0,62)2_0,22

2 tg 38°

tg 76°tg 2 38°——————

1 tg2_38° 2 0,79

—————4,20

1 0,79

√



√



√



√



√



√



TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS (pág. 141)

AB AB AB A B

20. a) cos A cos B cos

冤冢

———

冣

冢

———

冣冥

cos

冤冢

———

冣

冢

———

冣冥

2 2 2 2

AB AB AB A B AB AB AB A B

冤

cos

冢

———

冣

cos

冢

———

冣

sen

冢

———

冣

sen

冢

———

冣冥

冤

cos

冢

———

冣

cos

冢

———

冣

sen

冢

———

冣

sen

冢

———

冣冥

2 2 2 2 2 2 2 2

cos

冢

———

冣

cos

冢

———

冣

sen

冢

———

冣

sen

冢

———

冣

cos

冢

———

冣

cos

冢

———

冣

sen

冢

———

冣

sen

冢

———

冣

2 2 2 2 2 2 2 2

AB A B

2 cos

冢

———

冣

cos

冢

———

冣

2 2

AB AB AB A B b) cos A cos B cos

冤冢

———

冣

冢

———

冣冥

cos

冤冢

———

冣

冢

———

冣冥

2 2 2 2

冤

cos

冢

———

冣

cos

冢

———

冣

sen

冢

———

冣

sen

冢

———

冣冥

冤

cos

冢

———

冣

cos

冢

———

冣

sen

冢

———

冣

sen

冢

———

冣冥

2 2 2 2 2 2 2 2

cos

冢

———

冣

cos

冢

———

冣

sen

冢

———

冣

sen

冢

———

冣

cos

冢

———

冣

cos

冢

———

冣

sen

冢

———

冣

sen

冢

———

冣

2 2 2 2 2 2 2 2

AB A B

2 sen

冢

———

冣

sen

冢

———

冣

2 2

75°15° 75°15°

√

2

√

3

√

6

21. a) cos 75°cos 15°2 cos —————cos —————2 cos 45°cos 30°2 ——————

2 2 2 2 2

Aplicamos las razones trigonométricas del ángulo mi-tad, y como 19° pertenece al primer cuadrante, su seno, su coseno y su tangente son positivos:

38° 1 cos 38°

sen 19°sen —— ——————

2 2

1 0,78

———— 0,33

2

38° 1 cos 38°

cos 19°cos —— ——————

2 2

1 0,78

———— 0,94

2

38° 1 cos 38°

tg 19°tg —— ——————

2 1 cos 38°

30°

——15° es del primer cuadrante 2

60°30° 60°30° 30° ↓ 1 cos 30°

b) sen 60°sen 30°2 sen —————cos —————2 sen 45°cos ——2 sen 45° —————

2 2 2 2

√

3 1 ——

√

2 2 2

√

3

2 —— ————— ————

2 2 2

15° 75°

——, —— son del primer cuadrante 2 2

45°30° 45°30° 75° 15° ↓

c) sen 45°sen 30°2 cos —————sen —————2 cos ——sen ——

2 2 2 2

1 cos 75° 1 cos 15° 1 cos (90°15°) 1 cos 15°

2 —————— ——————2 ————————— ——————

2 2 2 2

√



√



√



√



√



√



(24)

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS(pág. 143) 22. a) tg x 2 sen2_x

sen x

———2 sen2_x cos x

sen x2 sen2_{cos x} 2 sen2_x_{cos x}_{sen x}₀ (2 sen xcos x1) sen x0

— De sen x0 x0°360° k , k ⺪

x180°360° k , k ⺪ que equivale a: x0°180° k, k ⺪ — De 2 sen xcos x1 ⇒ sen 2 x1 ⇒

⇒ 2 x90°360° k, k ⺪

x45°180° k, k ⺪

b) 4 tg x cos2_x

√

₃ sen x

4 ——— cos2_x

√

₃ cos x

4 sen xcos x

√

3

2 sen 2 x

√

3

√

3 2 x60°360° k , k ⺪ _⇒

sen 2 x——

2 2 x120°360° k , k ⺪

⇒ x30°180° k , k ⺪

x60°180° k , k ⺪

123

1 sen 15° 1 cos 15° (1 sen 15°) (1 cos 15°)

2 —————— ——————2 —————————————

2 2 4

1 cos 30° 1 cos 30° sen 30°

1 sen 15°cos 15°sen 15°cos 15° 1 —————— ——————————

2 2 2

√

3

√

3 1

1 —— 1 —— —

2 2 2 2

√

3 2

√

3 1

1 ————— ———— — 1 ———————————

2 2 2 2 2 4

3 2 2

√

3 2 2

√

3 3 2 2

√

3 2 2

√

3

————————————— ———————————————

4 2

√



√



√



√



√



√



√



√



√



√



√



√



√



√



√



√



√



√



√



3

c) cos x cotg x — 2

cos x 3

cos x ——— —

sen x 2

3 cos2_x_{— sen x}

2

3 1 sen2_x_{— sen x}

2

3

sen2_x_{— sen x}₁₀ 2

resolvemos como una ecuación de segundo grado:

3 9 1

— — 4 —

2 4 2

sen x—————————

2

1 x30°360° k , k ⺪

sen x—

2 x150°360° k , k ⺪

d) cos xsen 2 x cos x2 sen xcos x

2 sen xcos xcos x0

(2 sen x1) cos x0

— De cos x0 x90°360° k , k ⺪

x270°360° k , k ⺪ que equivale a: x90°180° k, k ⺪ — De 2 sen x1 0 ⇒

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