Derivadas de funciones trigonométricas
Aprenderás a calcular la derivada de funciones trigonométricas y sus inversas.
Las funciones trigonométricas se de nen a partir de un triángulo rectángulo como sigue:
Como puedes ver, estas funciones que caracterizan a un ángulo dado . Sin embargo, al de nirlas así, da la impresión que el dominio de estas funciones, es decir, los valores de los ángulos que pueden tomar como argumento estas funciones está en el intervalo
. Esto no es así.
Las funciones trigonométricas se de nen más correctamente a través de una circunferencia de radio , de manera que podemos dar a cualquier valor real.
Observa que, en el caso particular para , las funciones y son iguales a e respectivamente. En esta lección nuestra tarea consiste en encontrar las reglas de
derviación para las seis funciones trigonométricas.
Ejemplo 1
Calcula la regla de derivación para la función:
Debemos aplicar la regla de los cuatro pasos para deducir la regla.
Paso 1:
Paso 2:
donde hemos utilizado una identidad trigonométrica (puedes buscarla en cualquier libro
de trigonometría: ).
Paso 3:
Paso 4:
Ya sabemos que el primer límite de la expresión anterior es igual a 1. Pero el otro límite:
no. Así que vamos a calcularlo. Aquí también usamos otra identidad: .
Ejemplo 2
Pero el límite de un producto se puede expresar como el producto de los límites, entonces:
Cuando tiende a cero, también tiende a cero, mientras que tiende a 1. Entonces,
Y la regla para derivar la función es:
Entonces,
Calcula la regla de derivación para la función:
Paso 1: Utilizamos otra identidad trigonométrica:
Paso 2:
Paso 3:
Ejemplo 3
Paso 4:
Entonces,
Calcula la regla de derivación para la función:
Aquí usaremos la identidad trigonométrica:
y la regla para derivar el cociente de dos funciones. Para eso de nimos: , y . Sus derivadas son conocidas ahora, , y .
Sustituyendo estos valores en la regla para derivar al cociente obtenemos:
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Calcula la derivada de la función: . Usaremos la identidad trigonométrica:
y la regla para derivar el cociente de dos funciones. Para eso de nimos: , y . Luego, , y . Sustituyendo estos valores en la regla para derivar el cociente obtenemos:
Entonces,
Calcula la derivada de la función: . Ahora utilizaremos la identidad:
De niendo y , tenemos que y . Sustituyendo en
la regla para la derivada de un cociente de dos funciones, obtenemos:
Ejemplo 6
Calcula la derivada de la función:
Utilizaremos la identidad:
De niendo: , , se sigue: , . Sustituyendo
en la regla de derivación correspondiente obtenemos:
Luego,
Más adelante utilizaremos las reglas de derivación que hemos deducido en esta sección para derivar funciones trigonométricas. Por ahora solamente es importante que sepas que existen.
Hay otras funciones que se llaman trigonométricas inversas. Por ejemplo es la función inversa de . Algunas veces se escribe también como para enfatizar que se trata de la función inversa
de la función seno. Es importante hacer notar que el super-índice no es un exponente, sino un índice
para aclarar que se trata de la función inversa. Es decir:
En palabras, es la medida del ángulo (en radianes) en el intervalo de cuyo seno es . Por ejemplo, el seno de radianes es . Entonces,
. De manera semejante se de nen las otras funciones trigonométricas
Las reglas para derivar las funciones trigonométricas inversas se dan enseguida sin demostración:
