3.7 DERIVADA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Por ser combinación de funciones exponenciales, las funciones hiperbólicas son derivables para todo x (Para cothx y para cschx, x debe ser no nula).
El siguiente teorema resume las fórmulas de derivación de las funciones hiperbólicas:
TEOREMA 4. (Derivada de las funciones hiperbólicas). i. R.D.27. Dx
(
senhu( )
x)
=coshu( ) ( )
x ⋅u' xii. R.D.28. Dx
(
coshu( )
x)
=senhu( ) ( )
x ⋅u' xiii. R.D.29. Dx
(
tanhu( )
x)
=sech2u( ) ( )
x ⋅u' xR.D.30. Dx
(
cothu( )
x)
=−csch2u( ) ( )
x ⋅u' xR.D.31. Dx
(
sechu( )
x)
=−sechu( )
x ⋅tanhu( ) ( )
x ⋅u' xR.D.32. Dx
(
cschu( )
x)
=−cschu( )
x ⋅cothu( ) ( )
x ⋅u' xPrueba:
ii.
(
( )
)
( ) ( )
+
= −
2
cosh
e
e
x u x u
x
x u x D
D
(
u( )x u'( )
x u( )x u'( )
x)
2
1
e
e
⋅ −
⋅ −
=
(
u( )x u( )x)
u'( )
x2
1
e
−e
− ⋅=
=senhu
( ) ( )
x ⋅u' xiv.
(
( )
)
( )
x u( )
x u( ) ( )
x u xu D
x hu
Dx x senh '
cosh 1 cosh
1
sec = −2 ⋅ ⋅
=−sechu
( )
x ⋅tanhu( ) ( )
x ⋅u' xFUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS Y SUS DERIVADAS
Puesto que la función
2
e
e
x xx
−
− =
senh es continua y creciente en los reales, entonces existe su inversa (sección 1.2), la cual se denota . En el caso de la función
es necesario restringir su dominio (intervalo donde sea continua y monótona) para que exista la función inversa. La función toma todos sus valores en el intervalo y por tanto su inversa tiene por dominio a dicho intervalo. Con las anotaciones anteriores, la definición de las funciones hiperbólicas inversas es la siguiente:
x 1
senh−
tanhx x
cosh
(
−1,1)
DEFINICIONES:
i. y=senh−1 x⇔x=senhy ; y∈R ii. y=cosh−1 x⇔ x=coshy ; y≥0 iii. y=tanh−1x⇔x=tanhy ; y∈R
Se deja al lector considerar la definición de las demás funciones hiperbólicas inversas. Las funciones hiperbólicas inversas figuran en algunas calculadoras y tablas. Mientras las funciones hiperbólicas se expresan en términos de exponenciales, las inversas se expresan mediante logarítmos.
Comencemos por ejemplo con la inversa de senhx. y=senh−1 x⇔x=senhx
2
e
e
y yx
−
− =
2 1 0 2
1
e
e
e
e
2 − ⇔ 2 − − == y y
y y
x x
⇔
( )
e
y 2 −2x( )
e
y −1=0 (1)
(
1)
24 4
2 ± 2 + = ± 2 +
= x x x x
y
e
Como
e
y >0 y x< x2 +1 el signo – debe descartarse.Así que:
e
y =x+ x2 +1⇔ y=ln(
x+ x2 +1)
⇔senh−1 x=ln
(
x+ x2 +1)
Si se quiere por ejemplo, calcular la derivada de senh , se hace uso de la identidad (2) y la R.D.26.
x 1
−
De manera similar, se pueden expresar las demás funciones hiperbólicas inversas, en términos de logaritmos, los cuales aparecen en la tabla adjunta, con sus respectivos dominio y la regla correspondiente de derivación.
Función Fórmula Derivada Dominio
x 1
senh− ln
(
x+ x2 +1)
1 1 2 + x
Eje x
x 1
cosh− ln
(
x+ x2 −1)
1 1 2 − x
1
≥
x
x tanh−1
− + x x
1 1 ln 2 1
2 1
1 x
−
1
<
x
x 1
coth−
− +
1 1 ln 2 1
x x
2 1
1 x
−
1
>
x
x h 1
sec −
+ −
x x2
1 1
ln 1 2
1 x x −
− 0< x≤1
x h 1
csc −
+ + 1 12 1
ln
x
x 1 2
1 x x +
− x≠0
La Regla de L’Hopital
En la sección 2.2. se ilustró con ejemplos el tratamiento de algunos límites que presentaban las formas indeterminadas:
(
∞−∞)
∞ ∞
y , 0 0
.
En esta sección, se enuncia, sin demostrar un teorema, conocido como LA REGLA DE L’HOPITAL, (descubierta en 1694 por el matemático suizo John Berroulli, pero los derechos del descubrimiento fueron adquiridos por el marqués de L’Hopital)* que permite calcular límites que presentan la forma
∞ ∞
ó 0 0
y se verá como es posible reducir las otras formas indeterminadas a una de estas dos.
TEOREMA 5. (Regla de L’Hopital).
Sean f y g dos funciones que satisfacen las siguientes condiciones:
i. f y g son diferenciables, g'
( )
x ≠0 cerca del punto a (excepto posiblemente en a).ii.
( )
=0 y lim→ f x
lim
a
x x→ag
( )
x =0
0
0 ind. forma
ó
( )
=±∞ y→ f x
lim
a
x limx→ag
( )
x =±∞
∞
∞
ind. forma
.
Si además:
( )
( )
x g
x f
a
x '
'
→
lim existe (ó es ±∞), entonces:
( )
( )
( )
( )
x g
x f lim x g
x f lim
a x a
x '
'
→
→ = .
Observaciones:
i. La regla de L’Hopital afirma que si un cociente presenta la forma indeterminada
∞ ∞
ó 0 0
, entonces el límite del cociente es igual al límite del cociente de las derivadas (NO ES LA DERIVADA DE UN COCIENTE).
ii. La regla de L’Hopital puede aplicarse de manera reiterada cuando sea necesario. Es decir, si
( )
( )
x g
x f
' '
es de la forma ind.
∞ ∞
ó 0 0
y si
( )
( )
x g
x f
a
x ''
''
→
lim existe (ó es
), entonces:
∞
±
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x g
x f lim x g
x f lim x g
x f
a x a
x a
x ''
'' '
'
→ →
→ = =
lim y de esta manera se puede
proceder reiteradamente.
iii. La regla de L’Hopital es también válida para todos los tipos de límites vistos hasta ahora. Es decir: x→a
+∞ → x
, puede reemplazarse por cualquiera de los símbolos:
−∞ → →
→a+ x a− x
x , , , .
iv. Cuando el límite que se desea calcular, presenta una cualquiera de las formas ind. , debe transformarse previamente a cualquiera de las formas
∞ − ∞ ∞
∞ , 0. , 1∞,
, 00 0
∞ ∞
ó 0 0
para aplicar luego la regla de L’Hopital.
El tratamiento de estas formas es como sigue:
a) Si
( )
=( )
=±∞→
→a f x limx ag x
x 0 y
lim , entonces f
( ) ( )
x g xa x
lim ⋅
→ presenta la forma ind.
. En este caso se puede usar cualquiera de las formas equivalentes antes de aplicar la regla de L’Hopital:
∞
. 0
( ) ( )
( )
( )
x gx f lim x g x f
a x a
x→ ⋅ = → 1
lim
0
0 ind. forma
ó
( ) ( )
( )
( )
x fx g lim x g x f lim
a x a
x→ ⋅ = → 1
∞ ∞
ind.
forma .
b) Las indeterminaciones : 00, ∞0, 1∞ que resultan de calcular,
[
( )
]
g( )x ax f x
lim
→
pueden reducirse a algunas de las formas anteriores utilizando la siguiente igualdad:
[
( )
]
( ) g( )x f( )x limg( )x f( )xa x x g a x
a x
lim x
f
e
⋅lne
⋅ln→ →
→
= =
lim .
c) La forma indeterminada
(
∞−∞)
( )
se puede reducir a una de las anteriores empleando
la identidad:
( ) ( )
( )
( ) ( )
x g x fx f x g x g x f
1 1 1
− =
−
0 0 ind.