f ( x)= Indica el dominio y recorrido de estas funciones: a) f(x)= 2x-1; b) g(x)= 3x²; c) h(x)=1/x

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(1)

F U N C I O N E S R E A L E S D E V A R I A B L E R E A L

1 . C O N C E P T O D E F U N C I Ó N

Una función f del conjunto A en el conjunto B es una relación de dependencia entre dos magnitudes A y B, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Cuando cada una de estas magnitudes se representa con números reales, la función se dice real de variable real. Se simboliza mediante la siguiente notación:

)

(

:

x

f

y

x

B

A

f

Para la determinación completa de una función real de variable real es necesario conocer: 1- El conjunto inicial en el que se define la correspondencia (A).

2- El conjunto final (B).

3- La regla que permite asociar a cada número real del conjunto inicial un único valor del conjunto final.

Esta regla puede darse por medio de una fórmula matemática (expresión analítica), una gráfica, una tabla de valores, o por cualquier otro método que determine la función.

Si un elemento x del conjunto A se corresponde con un elemento y del conjunto B, decimos que y es la imagen de x por la función f, o que x es una antiimagen de y por la función f.

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio, campo de definición de la función o campo de existencia. Se designa por Df o D(f). Está formado, por tanto, por los valores de x que

tienen imagen. Para calcularlo tenemos que tener en cuenta que:

 Las fracciones con denominador nulo no tienen sentido.

 Las raíces de índice par no se pueden calcular cuando el radicando es negativo.

 Los logaritmos de números negativos o cero no existen.

En la expresión y=f(x), x recibe el nombre de variable independiente. El número y asociado por f se llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego y = f(x).

Se llama recorrido de una función al conjunto de valores reales que toma la variable y; es decir, es el conjunto formado por las imágenes de los elementos del dominio. Se representa por R(f). Ejemplo 1:

Calcula el dominio de definición de la función

f

(

x

)=

1

x

2

5

x

.

El denominador no puede ser cero, por lo que si igualamos y resolvemos la ecuación x²-5x=0, tendremos los puntos donde no existe la función, es decir, x=0 y x=5. Entonces el dominio será

Ejemplo 2:

Indica el dominio y recorrido de estas funciones: a) f(x)= 2x-1; b) g(x)= 3x²; c) h(x)=1/x

a) Podemos multiplicar cualquier número por 2 y restarle 1, por lo que su dominio son todos los números reales. El recorrido también es todo

.

(2)

b) El dominio y recorrido son todos los números reales.

c)

D

(

f

)=ℝ

− {

0

}

, pues no se puede dividir entre cero, y recorrido

R

(

f

)=ℝ

−{

0

}

, pues el resultado de esa operación puede ser cualquier número menos el cero.

2 . T A B L A D E V A L O R E S D E U N A F U N C I Ó N

En ocasiones, una función se puede describir mediante su expresión analítica. Sin embargo, hay situaciones en las que esto no es así. Entre otras, cabe destacar las siguientes:

-

La expresión analítica no existe.

-

La expresión analítica existe, pero es muy complicada, por lo que no proporciona ninguna información útil sobre el fenómeno que describe la función.

-

De entre todos los valores del dominio y el recorrido de la función, en la práctica basta con conocer sólo unos cantos significativos.

En estas circunstancias, una función se suele expresar mediante una tabla de valores. Veamos algún ejemplo:

1.- La siguiente tabla refleja la evolución del número anual de trasplantes de hígado en España (y), en función del año (x), entre 2009 y 2013 :

x (años) 2009 2010 2011 2012 2013

y (trasplantes) 1099 971 1137 1084 1093 a) Demuestra que la tabla define una función.

b) Razona por qué se expresa en este caso la función en forma de tabla y no en forma analítica. a) A cada año le corresponde un determinado número de trasplantes y sólo uno. Luego, la

relación de dependencia que define la tabla es una función. b) Se dan dos motivos para expresar esta función en forma de tabla:

i) No existe una expresión analítica conocida que defina la función.

ii) Aunque la expresión analítica existiera, y pudiéramos conocer más valores relacionados por la función, los que recoge la tabla permiten tener una idea suficiente de la evolución del fenómeno estudiado.

3 . G R Á F I C A D E U N A F U N C I Ó N

Si f es una función real, a cada par (x,y) = (x, f(x)) determinado por la función, le corresponde en el plano cartesiano un único punto P(x,y)=P(x,f(x)). El valor de x debe pertenecer obviamente al dominio de la función.

La gráfica o curva de la función f es el lugar geométrico de los puntos del plano que verifican la ecuación y=f(x).

Al representar gráficamente una función no siempre se obtiene un trazo continuo. En estos casos debemos indicar si los puntos donde el trazo se interrumpe pertenecen o no a la gráfica.

(3)

Determinación gráfica del dominio y el recorrido:

Nos fijamos en todos los pares de números reales de la forma (x,y) representados.

- Un número real x=a es del dominio de una función sí y sólo sí la recta vertical x=a corta a la gráfica en un punto.

- Un número real y=b es del recorrido de una función sí y sólo sí la recta horizontal y=b corta a la gráfica por lo menos en un punto.

4 . C A R A C T E R Í S T I C A S D E L A S F U N C I O N E S

a) Monotonía: Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Una función f es creciente en el intervalo (a,b) cuando para dos puntos cualquiera x, y del mismo, si x<y, entonces f(x) ≤ f(y).

Una función f es decreciente en el intervalo (a,b) cuando para dos puntos cualquiera x, y del mismo, si x<y, entonces f(x) ≥ f(y).

Observación: Si las desigualdades anteriores son estrictas, la función se dirá estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

b) Extremos: Máximos y mínimos.

Decimos que una función f presenta un máximo relativo en x=a, si existe un entorno del punto tal que, para todo x ≠ a, se verifica que f(x) < f(a). Se cumple además que en este punto, la función pasa de creciente a decreciente. Una función f presenta un máximo absoluto en x=a si para todo x del dominio se verifica que f(x)<f(a).

Decimos que una función f presenta un mínimo relativo en x=a, si existe un entorno del punto tal que, para todo x ≠ a, se verifica que f(x) > f(a). Se cumple además que en este punto, la función pasa de decreciente a creciente. Una función f presenta un mínimo absoluto en x=a si para todo x del dominio se verifica que f(x)>f(a).

(4)

c) Curvatura: Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión:

Se dice que una función f es convexa en un intervalo I, cuando la tangente a la gráfica en cualquiera de los puntos está por debajo de ella; y se dice que es cóncava, cuando la tangente a la gráfica en cualquier punto de I está por encima de ella. Una función f tiene en x=a un punto de inflexión, si en ese punto la función pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava.

d) Simetrías:

Decimos que una función

f

es simétrica respecto del eje Y, si para cualquier punto

x

del dominio de la función se cumple que:

)

(

)

(

x

f

x

f

. Estas funciones también se denominan funciones pares. Ejemplos:

f

(

x

)

x

4

1

;

g

(

x

)

x

2.

Decimos que una función es simétrica respecto del origen de coordenadas, si para cualquier punto x del dominio de la función se cumple que:

f

(

x

)

f

(

x

)

. Estas funciones también se denominan funciones impares. Ejemplo:

1

)

(

2

x

x

x

f

. e) Periodicidad:

Una función

f

es periódica de período

T

T

0

, si existe un número real positivo Ttal que, para cualquier valor

x

del dominio de la función se cumple que

)

(

)

(

x

T

f

x

f

. La función representada a la derecha es periódica de período T=4:

5 . F U N C I O N E S P O L I N Ó M I C A S

Funciones polinómicas de primer grado o funciones afines:

En sentido estricto, una función afín es una función polinómica de primer grado, es decir, de la forma y=mx+n, y si n = 0, se transforma en y = mx, en cuyo caso la función se llama lineal. Sin embargo, en el sentido amplio, se acostumbra a llamar funciones lineales a todas ellas, pues su representación gráfica es una línea recta.

(5)

La pendiente de la recta viene representada por la letra m (tangente del ángulo que forma la recta con el eje X), y n es la ordenada en el origen, que corresponde al valor que adquiere la función para x=0.

Funciones polinómicas de segundo grado o cuadráticas :

Las funciones cuadráticas vienen descritas por funciones polinómicas de segundo grado del tipo y=ax²+bx+c. Su representación gráfica es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de ordenadas. Si a>0 la parábola está abierta por arriba, y si a<0 se abre por abajo.

a<0

a >0

Para representar gráficamente la parábola es necesario conocer:

El vértice, cuya abscisa es x2ba. Para calcular la ordenada del vértice (y), se sustituye la abscisa en la ecuación de la parábola.

 Puntos de corte con los ejes: Se calculan dando los valores x=0 e y=0.

Eje de simetría: es la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el vértice. La ecuación de la recta es

a

b

x

2

.

Funciones polinómicas de tercer grado:

Estas funciones tienen una expresión analítica de la forma d

cx bx ax x

f( ) 3 2  con

a , b , c ,d

números reales cualquiera y

0 

a .

Su representación gráfica es una curva con forma de s invertida.

Funciones polinómicas de tercer grado: cuarto grado

Estas funciones tienen una expresión analítica de la forma

f

(

x

)=

ax

4

+

bx

3

+

cx

2

+

dx

+

e

, con

a , b , c ,d , e

números reales cualquiera y a0

(6)

6 . F U N C I Ó N D E P R O P O R C I O N A L I D A D I N V E R S A

Una función racional es aquella cuya expresión analítica viene dada por un cociente de polinomios:

En las funciones racionales es posible calcular la imagen de cualquier número real, excepto cuando este anule el denominador, ya que una fracción de denominador cero no es un número real.

Por lo tanto, su dominio es:

La función de proporcionalidad inversa es una función racional donde P(x)=a y Q(x) = x. “a” se llama constante de proporcionalidad. Su dominio es el conjunto de los números reales que no anulen el denominador. Por lo tanto:

D

(

f

)=ℝ

− {

0

}

.

. Su recorrido es el conjunto de los números reales, excepto el cero, ya que f(x) no se anula para ningún valor de x. Por lo tanto,

R

(

f

)=ℝ

−{

0

}

También son funciones de este tipo las funciones racionales del tipo

f x cxax db

   )

(

que

están desplazadas con respecto a los ejes.

7. F U N C I O N E S R A D I C A L E S

Son aquellas cuya expresión analítica es de la forma . En el caso de las raíces de índice par, la raíz debe ir precedida del signo + o - para que se trate de una función. En el caso de

f

(

x

)=

P

(

x

)

Q

(

x

)

) 0 ( , ) (  xx x f

a

n

y

kx

(7)

funciones radicales de índice impar su dominio es todo , mientras que en el caso de funciones radicales de índice par su dominio se determinará resolviendo la inecuación “Radicando” 0.

Raíz par positiva Raíz par negativa Raíz impar

8 . F U N C I O N E S E X P O N E N C I A L E S

La expresión general de una función exponencial es y = k.a x, donde k y a son números reales

fijos con a>0, a ≠ 1. Todas estas funciones exponenciales tienen las siguientes propiedades: 1- El dominio está formado por todos los números reales.

2- El recorrido está formado por los números reales positivos.

3- f(0) = k. Por tanto, todas estas funciones pasan por el punto P(0,k). 4- La función es continua en su dominio.

5- Si a >1, la función es creciente. 6- Si a <1, la función es decreciente.

9 . F U N C I O N E S L O G A R Í T M I C A S

Se llama función logarítmica de base a, a la función cuya expresión analítica es del tipo y = logax, donde

a>0 y a≠1.

Cumple las siguientes propiedades:

1- El dominio es el conjunto de los números reales positivos.

2- El recorrido son todos los números reales. 3- Es continua en todo el dominio.

(8)

4- Si a> 1 es creciente. 5- Si a< 1 es decreciente.

6- Todas pasan por los puntos (1,0) y (a,1).

Si la función es de la forma y = log a u(x), el dominio lo

calcularemos resolviendo la inecuación u(x)>0.

Las funciones exponencial y logarítmica son inversas. Gráficamente esto se comprueba viendo que son simétricas respeto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

1 0 . F U N C I O N E S D E F I N I D A S A T R O Z O S

Una función definida a trozos es aquella con una expresión analítica que no es única, sino que depende del valor de la variable independiente.

Son de especial interés aquellos puntos donde cambia la definición de las funciones ya que en esos puntos es posible la aparición de discontinuidades.

1 1 . F U N C I Ó N V A L O R A B S O L U T O

Valor absoluto de un número real a (|a|) es el mismo número acuando es positivo o cero, y es el contrario de a , si es negativo. Es decir:



     0 0 | | x se x x se x x y

(9)

1 2 . F U N C I O N E S T R I G O N O M É T R I C A S D I R E C T A S

Una función trigonométrica es aquella que está asociada a una razón trigonométricas. Sus expresiones matemáticas son de la forma f(x)= senu(x) , cosu(x) , tgu(x), con u(x) una función de cualquiera de los tipos anteriores. Tienen en común que son funciones periódicas.

Función seno:

Es una función periódica de período 2

, continua y con dominio todo .

Como ejemplo representamos la función f(x)= senx.

Función coseno:

Es una función periódica de período 2

, continua y con dominio todo .

Como ejemplo representamos la función f(x)= cos x.

Función tangente:

Es una función periódica de período

, con dominio todo  excepto los múltiplos de

2 

, presentando, por lo tanto, discontinuidades en dichos puntos. Tiene infinitas asíntotas.

Como ejemplo representamos la función f(x)= tg x.

1 3 . O P E R A C I O N E S Y C O M P O S I C I Ó N D E F U N C I O N E S

Dadas dos funciones f y g, de dominios respectivos Df y Dg, se pueden definir las siguientes

operaciones entre ellas:

• Suma de funciones:

Definimos la función suma f+g como: (f+g)(x)= f(x) + g(x) , siendo Df+g = Df D g .

La función –f definida por (-f)(x) = -f(x) es la función opuesta de la función f respecto de la suma. Esta operación verifica las mismas propiedades que la suma de números reales.

(10)

• Producto de funciones:

Definimos la función producto f∙g como: (f∙g)(x)= f(x)∙g(x), siendo Df.g = Df D g .

En general, las funciones no siempre tienen inversa respecto del producto, pues si en un punto a se cumple que f(a) = 0, no existe ninguna función g del mismo dominio tal que f∙g = 1.

• Cociente de funciones:

Definimos la función cociente f/g como: ,

siendo el dominio la intersección de dominios del numerador y del denominador, exceptuando los valores que anulen el denominador. Es decir, Df/g= Df Dg – {xÎ / g(x) = 0}

• Composición de funciones:

Definimos la composición gf , que llamaremos f compuesta con g (al revés de como se escribe) a la función (gf)(x)=g(f(x)) . El dominio de estas funciones es el conjunto de valores que pertenecen a los dos dominios Df D g

Por ejemplo: Si g(x)=1

x y f(x)=+

x , la composición de f con g, gf , será:

La composición de funciones no es siempre conmutativa. En general,

g

f

f

g

Ejemplo:

Sean f(x)x2 5x y g(x) x. Calculemos las dos composiciones posibles: f compuesta con g :

g compuesta con f :

1 4 . F U N C I Ó N I N V E R S A O R E C Í P R O C A D E O T R A

Dadas las funciones f(x) x3 6 y g(x)3 x6, calculemos su composición:

x

x x f x g f x g f x x x g x f g x f g               6 6 ) 6 ( )) ( ( ) )( ( 6 ) 6 ( ) 6 ( )) ( ( ) )( ( 3 3 3 3 3 3  

El resultado de las dos composiciones de f y g es la función identidad, es decir, Id(x) x. En

(

f g

)

(x)= f(x) g(x) con g(x)≠0                             f g g f x x g x f g x x f x  1 ) ( )) ( ( ) (                                  f g g f f x x x g f x g x x x x x  5 ) 5 ( )) ( ( 5 ) ( 2 2 2                                         g f f g g x x f g x f x x x x x x  5 ) ( 5 ) ( ) ( )) ( ( ) ( 2

(11)

Veamos cómo calcular la inversa de una función directamente: Para ello hay que expresar la variable dependiente “y” en función de la variable independiente “x”:

1) Sea f(x) x3 6 yx36y6x3x3 y6. Entonces f1(x)3 x6 2) Sea 3 2 ) (   x x x f ( 3) 2 3 2 2 3 ( 2) 3 3 2 3 2                  y y x y y x y x yx x y yx x x y x x y Entonces 2 3 ) ( 1    x x x f Observaciones:

- Las gráficas de una función y de su inversa son simétricas respecto de la recta y =x (bisectriz del 1º y 3º cuadrante).

- Para poder hablar de inversa de una función “en el sentido estricto”, la función tiene que ser inyectiva, o lo que es lo mismo, que cada “y” sólo sea imagen de una sola “x”.

Por ejemplo, f(x) x2, no es inyectiva pues f(1)=1 y f(1)=1 , por lo que para hablar de inversa habrá que ajustar el dominio adecuadamente. En este caso:

1 5 . F U N C I O N E S T R I G O N O M É T R I C A S I N V E R S A S

No debemos confundir las funciones definidas a partir de las razones trigonométricas inversas con las funciones trigonométricas inversas denominadas como tal. Por lo tanto debemos distinguir entre las funciones cosec u(x)= 1

sen u(x) , sec u(x)=

1

cos u(x) , cotg u(x)=

1 tg u(x) , funciones de las razones trigonométricas inversas, y las funciones trigonométricas inversas que definimos a continuación.

f

(

x

)=

x

2

{

f

1

(

x

)=

x

2

si x

0

f

1 −1

(

x

)

=+

x

f

2

(

x

)=

x

2

si x

<

0

f

21

(

x

)=

x

(12)

Función arcoseno:

Es la función trigonométrica inversa del seno, por lo tanto tiene que cumplir que: arc senx = y ⇔ x=seny

Para poder hablar de inversa en sentido estricto debemos ajustar el dominio de definición y el recorrido de estas funciones. Por lo tanto la función f(x)= arc senx tendrá como dominio el intervalo [-1,1] y como recorrido el intervalo [

π

2

,

π

2

].

Función arcocoseno:

Es la función trigonométrica inversa del coseno. Por lo tanto, tiene que cumplir que: arc cosx=y⇔ x=cosy

Debemos ajustar el dominio de definición y el recorrido. Por lo tanto la función f(x)=arccosx tendrá como dominio el intervalo [-1,1] y como recorrido el intervalo [

0,

π

].

Función arcotangente:

Es la función trigonométrica inversa de la tangente. Por lo tanto tiene que cumplir que: arc tgx =y ⇔ x= tgy

Debemos ajustar el dominio de definición y el recorrido. Por lo tanto la función f(x)=arctgx tendrá como dominio el conjunto de los números reales y como recorrido

(

π2

2

)

.

y= arc senx

(13)

16. F U N C I Ó N D E O F E R T A Y D E M A N D A

Para un producto de precio p, se llama:

Función demanda d(p) a la función que dice el número de unidades que están dispuestos a comprar los consumidores de dicho producto al precio p.

Función oferta o (p) a la función que dice el número de unidades que están dispuestos a producir los fabricantes a un precio p.

Se llama cantidad de equilibrio al número de unidades que hay que producir para que la oferta y la demanda se igualen, d(p)=o(p).

El precio con el cual se consigue este equilibrio se llama precio de equilibrio.

Ejemplo:

Si las funciones de oferta y demanda de un determinado producto son, respectivamente, o(p)=200+2p, y d (p)=500–p, para determinar la cantidad y el precio de equilibrio se igualan ambas funciones:

200 + 2p = 500 – p 2p + p = 500 – 200 3p = 300 p = 100

El precio de equilibrio es p = 100 euros y la cantidad de equilibrio 500 – 100 = 400 unidades Las funciones de oferta y demanda son muchas veces funciones lineales o cuadráticas.

• Funciones lineales.

La oferta tiene pendiente positiva para indicar que si el precio aumenta también lo hará la oferta.

La pendiente negativa de la demanda indica que cuando el precio aumenta las ventas disminuyen.

Funciones cuadráticas.

La demanda se ajusta a la función d(p)= ap²+bp+c, con a<0 (parábola cóncava). La oferta puede ajustarse por otra función cuadrática, o(p)= a'p²+b'p+c', con a>0 (convexa). La primera parábola tiene el vértice en el máximo; la segunda, en el mínimo.

También pueden darse modelos mixtos con la función de oferta lineal y la de demanda cuadrática, o viceversa.

(14)

E J E R C I C I O S

1. Dada la función f(x) = , calcula: a) las imágenes de -4, -1, 2 y 3. b) las antiimágenes de 0, -2, 3, 1.

2. Indica cuáles de las siguientes gráficas corresponden a una función. Justifica la respuesta.

3. ¿Puede haber una función con los siguientes valores? Justifica tu respuesta. x 0 1 2 1 3 2 4

y 3 4 3 5 2 4 5

4. Indica el dominio, recorrido, intervalos de monotonía y extremos de las funciones:

5. Calcula el período fundamental de las funciones: 2 2 1 1 x x  

(15)

6. Determina el dominio y el recorrido de cada una de las funciones siguientes a partir de su gráfica:

7. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a)

f

(

x

)=

5

x

3

2

x

2

+

3

h) f(x)= x+4 (x−2)2 b)

f

(

x

)=

3

x

2

+

x

i)

f

(

x

)

=+

x

2

c)

f

(

x

)=

1

x

2

+

2

x

+

3

j)

f

(

x

)=

x

2

4

x

5

d)

f

(

x

)=

1

+

4

x

k) 3 2

2

1

)

(

x

x

x

x

f

e)

f

(

x

)=

1

x

2

3

x

l)

f

(

x

)=

log

2

(

x

+

2

)

f) f(x)=+

x−3 +

x+2 m)

f

(

x

)=

log

(

x

2

9

)

g)

2

3

)

(

x

x

x

f

n) f(x)=e x−3 2x−4 8. Dibuja una función con las siguientes características:

a) Dominio:R-(-2,2) y Recorrido: (,4]

b) Pasa por los puntos: (-5,0), (-3,0), (-2,-3), (2,0) y (6,0). c) Tiene máximos en (-4,2) y (4,4)

d) Es creciente en el intervalo (,4] y es decreciente en el intervalo [4,)

9. Representa graficamente las siguientes parábolas, calculando previamente el vértice y los puntos de corte con los ejes:

a) f(x) = x² - 4x + 6 b) g(x) = -x²- 16 c) h(x) = -x²+3x d) i(x) = ¼ x² + x -2

10. Determina el tipo de simetría, si la hay, en las siguientes funciones:

(16)

d) 4 ) ( 2   x x x f e) 2 1 ) ( 2   x x f f) 1 ) (   x x x f

11. Define de manera explícita las siguientes funciones valor absoluto, y represéntalas gráficamente:

a) f(x) 2x4 b) f(x) x2 5x4

c) f(x) x2 4x5

12. Dadas las funciones f(x) x5, g(x) x y

2 1 ) (   x x h , calcula: a) gf b) fg c) hf d) fh e) hg f) gh

13. Dadas las funciones f(x)2x, g(x) x2 y

x x

h( ) 1, calcula:

a) gf b) fg c) hf d) fh e) hg f) gh

14. Halla la función inversa de las siguientes funciones:

a) f(x)=+

x−5 b) f(x)=x2−5 c) f(x)= 1

x+3 d) f(x)= 2x 4x−2

e) f(x)=x−3 f) f(x)=3⋅2x−1 g) f(x)=1+3x h)

15. Describe las siguientes gráficas indicando sus principales características:

16. Una empresa realizó un estudio para determinar las funciones de oferta y demanda de un producto en función del precio de venta, x. La función de oferta es o(x)= x - 2, y la de demanda es d(x)= -4x+18. Representa dichas funciones y calcula el punto de equilibrio.

17. La ecuación de oferta de un determinado bien está dado por 2p-3q=10, y la de demanda

(17)

18. Las funciones de oferta y demanda de un producto son: qs= –5+2p; qd=210–0,4p2, donde

p viene dado en euros y q en miles de unidades. Halla: a) Las cantidades de oferta y demanda a un precio de 8 euros. b) El precio y la cantidad de equilibrio para ese producto.

19. Halla el precio de equilibrio (en euros) y el número de unidades ofertadas y demandadas a ese precio, para las siguientes funciones de oferta y demanda:

a) qs= –70 + 2p, qd = 200 – p b) qs= –40 + p, qd = 500 – 2p

20. Determina la cantidad y el precio de equilibrio de un producto cuyas funciones de oferta y demanda son: o(p)=0,05p2 – 40; d(p)=800 – 2p

21. Si las funciones de oferta y demanda de un producto son

o

(

p

)=

200

+

1

4

p

2 y

d

(

p

)=

1000

1

2

p

²

, halla el precio y la cantidad de equilibrio.

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