Sección 5 2 Funciones Trigonométricas de ángulos agudos(parte1)

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Las Funciones Trigonométricas

Sección 5.2 (parte 1)

Triángulos Rectos

uno de sus ángulos internos mide 90o_.

• La suma de las medidas de los 3 ángulos

internos de un triángulo recto es 180 grados.

• Si θ es un ángulo de la base del

triángulo, los lados del triángulo recto se nombran en forma

estándar como muestra la siguiente figura.

• Los lados de un triángulo recto

se relacionan según describe el teorema de pitágora:

Triángulos Rectos y

Ángulos Agudos

Lado opuesto a 

Lado adyacente a  

• Se puede nombrar cada lado

de un triángulo recto conforme a su posición respecto a un

ángulo agudo.

• La hipotenusa es el lado más

largo del triángulo recto y es el lado opuesto al ángulo recto.

• Si nombramos el ángulo de la

Triángulos Rectos y

Ángulos Agudos

• Nombre cada lado del triángulo recto conforme a su

Razones Trigonométricas

Para un ángulo agudo, θ, de un triángulo recto,

• se forman razones entre las longitudes de los

lados del triángulo recto que son únicas

• estas razones definen seis funciones llamadas las

funciones trigonométricas.

seno (sin)

coseno (cos) tangente (tan)

cosecante (csc) secante (sec)

cotangente (cot)

Lado opuesto a 

Lado adyacente a 

Sea



un ángulo agudo de un triángulo recto.

Las 6 funciones trigonométricas de



se

definen:

Razones Trigonométricas

sin 𝜃 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

cos 𝜃 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

tan 𝜃 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃

csc 𝜃 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃

sec 𝜃 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃

Ejemplo

En el triángulo que se muestra, hallar los valores de las 6 funciones trigonométricas de .

Solución:

_



13

5

Funciones Recíprocas

Deben notar que existe una relación recíproca entre algunas parejas de funciones trigonométricas.

csc





1

sin



1

sec

cos







sin 𝜃 =

1

csc 𝜃

𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝜽

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 𝐬𝐞𝐜 𝜽 =

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝜽

cos 𝜃 =

1

Funciones Recíprocas (cont)

cot  1

tan tan 𝜃 =

1 c𝑜𝑡 𝜃 𝐭𝐚𝐧 𝜽 = 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂 𝜽 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝜽 𝐜𝐨𝐭 𝜽 = 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝜽 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒂 𝜽

NOTA: Existen muchas otras relaciones entre las razones trigonométricas que se pueden descubrir si manipulamos las definiciones básicas. Por ejemplo:

sin (𝜃) ÷ cos (𝜃) ₌ 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 ÷ 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 ∙ ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑡𝑎𝑛𝜃

Por lo tanto: tan 𝜃 =𝑠𝑖𝑛𝜃

Ejemplo

Dado un triángulo recto, en el que

Solución

:

csc



_

1

sin





1

4

5



5

4

sec



_

1

cos





1

3

5

hallar los valores exactos de las demás funciones trigonométricas de .



5

3

cot





1

tan





1

4

3



3

Ejemplo

Solución

:

•

Si

𝐬𝐢𝐧 𝜷 =

𝟕

y



es un ángulo agudo, determinar

los demás valores trigonométricos de



. Su

respuesta debe ser exacta.

6

7



opp

hyp

Use la definición de la función del seno como una razón

y dibuje el triángulo recto.

7

a

6



Use la ecuación de Pitágora para hallar

a

.

a



b



c

a



6



7

a



36



49

a



49



36



13

Ejemplo (cont)

Solución (cont):

Ahora, use las longitudes de los 3 lados para

determinar las cinco razones restantes.

sin





6

7

cos





13

7

tan





6

13



6 13

13

csc





7

6

sec





7

13



7 13

13

Ejemplos

Hallar el valor de cada función trigonométrica a

continuación utilizando la calculadora. Redondee a 4 lugares decimales:

a) sin 84o _{b) sec 48}o _{c) cot 29.7}o

Solución

:

Ejemplos

Hallar el valor de cada función trigonométrica a

continuación utilizando la calculadora. Redondee a 4 lugares decimales:

a) sin 84o _{b) sec 48}o _{c) cot 29.7}o

Solución

:

Valores de las funciones trigonométricas

para ángulos especiales

θ

= 60°,

θ

= 30°,

θ

= 45°

Se enfatizan los valores de éstos ángulos por que son exactas y por que ocurren frecuentemente en trabajo que envuelve el uso de la trigonometría.

Ejemplo

Hallar el valor de exacto para x & y en la figura:

Usando el ángulo de 60o _{que nos dan}

tenemos

Despejando para x tenemos:

a) sin 𝟔𝟎° = 𝟑 𝒙

a) x = 𝟑

sin 𝟔𝟎° → x = 𝟑

𝟑 𝟐

→ x = 𝟔

𝟑 → x =

𝟔 𝟑

𝟑 →

Solución:

𝑥 = 2 3 b) cos 𝟔𝟎° = 𝒚

𝒙 𝒚

b) 𝑦 = 𝒙 cos 𝟔𝟎° →

𝑦 = 𝟑

𝑦 = 2 3 1

Ejemplo

Desde 1990 a 1997, el letrero de publicidad más alto en el mundo era una letra gigante situada encima de un edificio de 73 pisos en Los Ángeles. 171 pies al frente de un punto que está directamente debajo del letreo, el ángulo entre el suelo y la parte superior del letrero era 80.81°. Aproxime la altura del letrero sobre el suelo al entero más cercano.

Solución:

tan 𝟖𝟎. 𝟖𝟏° = 𝒉 𝟏𝟕𝟏 Usamos_

• la altura, h, como la desconocida

• formamos un triángulo recto sobre la figura

• usamos la función del tangente ya que tenemos el lado adyacente y queremos el lado opuesto.

Aplicaciones: Ejemplo1

Solución

tan 30º



opp

adj



h

1.2

1.2 tan 30º



h

1.2

3

3

h















0.7



h

El globo está aproximadamente a 0.7 mi, or 3696 ft.

Decidir cuál función trigonométrica nos

Aplicaciones: Ejemplo 2

El supervisor de pintura ha comprado escaleras nuevas que se extienden hasta 30 pies. El

manufacturero dice que, para mayor seguridad, se debe extender la escalera 25 pies y colocarla de tal forma que la base este a 6.5 pies de la pared. ¿Qué ángulo debe hacer la base de la escalera con el

suelo?

Solución:

• Debe comenzar haciendo un esquema de la situación,

nombrando las partes y anotando la información que se tiene.

• Luego, decidir cuál función trigonométrica nos relaciona la

Solución (cont):

cos





adj

hyp



6.5 ft

25 ft



0.26





74.92993786º

Por lo tanto, la escalera está en su posición más seguara.

con un ángulo de 75º con el suelo.

Resolver un triángulo

•

Resolver el triángulo recto implica

determinar las longitudes de

todos

los lados y las medidas de

todos

los

ángulos.

•

Para este tipo de ejercicio el triángulo

Ejemplo

En el triángulo recto

ABC

, determinar

a

,

b

, y

B

si el triángulo se ha

nombrado de forma

estándar como se

muestra en el diagrama.

B

b

106.2

C

A

a

Ejemplo (cont.)

Solución:

Como la suma de los ángulos

internos de un triángulo es 180

_,

la suma de A y B debe ser 90

_.

Por lo tanto, las medidas de los

ángulos son:

B



90º



A



90º



61.7º



28.3º

B

b

106.2

C

A

a

61.7º

A



61.7º

B



28.3º

Ejemplo (cont.)

Solución (cont.):

a



106.2sin61.7º

a



93.5

B

b

106.2

C

A

a

61.7º

cos61.7º



adj

hyp



b

106.2

b



106.2cos61.7º

b



50.3

a



93.5

b



50.3

c



106.2

Identidades

Fundamentales

• Las identidades fundamentales que se presentan a

continuación envuelven el cuadrado de alguna función trigonométrica.

NOTA aclaratoria:

• En general, si n es un entero, diferente a –1,

entonces una potencia como (cos θ)n _{se escribe}

cosn_θ.

o Ejemplo:

• NOTE que

o Ejemplo sin 𝜋

6 𝟐

=

sin 𝒙 𝟐 = sin𝟐 𝒙 sin 𝒙 𝟐 ≠ sin 𝑥2

1 2 2 sin 𝜋 6 2

= sin 𝜋

2

36 →

Identidades

Fundamentales

NOTA: (contiuación)

• Los símbolos sin-1_{θ y cos}-1_{θ se reservan para las}

funciones inversas. Por lo tanto,

(sin 𝒙)−𝟏= 𝟏 sin 𝒙

sin-1_(x)

Identidades Fundamentales

•

Identitdades pitagóricas:

Identidades Fundamentales

De la identidad pitagórica anterior:

𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 = 𝟏

Podemos derivar otras.

o Si dividimos la ecuación anterior entre el cos2  en ambos

lados tenemos 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐_𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔𝟐_𝜽 = 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐_𝜽 𝒕𝒂𝒏𝟐𝜽 + 𝟏 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝜽

o Si dividimos la ecuación anterior entre el sin2  en ambos

lados tenemos 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝒔𝒊𝒏𝟐_𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒔𝒊𝒏𝟐_𝜽 = 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐_𝜽

Ejemplo

Sea θ un ángulo agudo. Expresar sin θ en términos de cos θ.

Ejemplo

Verifique la siguiente identidad transformando el lado izquierdo en el lado derecho.

Solución:

Ejemplo

Simplifique la siguiente expresión:

Ejemplo

Verifique la siguiente identidad.:

Solución:

Se rescribe sec2_{x en términos del cos}2_x..

Ejemplo (cont.)

Multiplicar por el recíproco del denominador.

Despejando la identidad pitagórica

cos2_{x + sin}2_{x = 1, encontramos que} sin2x = 1 - cos2x