Universidad de Santiago de Compostela Asignatura de Física Nuclear
Curso académico 2012/2013
Tema 4
Reacciones directas
Indice
La familia de las reacciones directas
Nociones básicas de teoría cuántica de la difusión - Función de onda incidente y difundida
- Sección eficaz diferencial y amplitud de difusión
- Ecuación de Schrödinger: solución integral y aproximación de Born - Desarrollo en ondas parciales
- Sección eficaz y teorema óptico
Difusión elástica
- Descripción fenomenológica - Potenciales ópticos
- Solución a alta energía: aproximación eikonal
Difusión inelástica
- excitaciones colectivas
Son reacciones binarias.
Estas reacciones tienen lugar en un sólo paso, por tanto el canal de salida está directamente determinado por el canal de entrada.
El momento transferido no es muy grande y su distribución angular está picada a ángulos pequeños.
Son reacciones muy rápidas: el tiempo que el nucleo o nucleón proyectil tarda en recorrer una distancia equivalente al diámetro del núcleo blanco (~ 10-22s)
Son reacciones periféricas, intervienen pocos nucleones y el número de grados de libertad que se excita es finito, por tanto podemos utilizar descripciones microscópicas.
Estas reacciones nos permiten obtener información sobre el potencial de interacción, pero también sobre la estructura de los núcleos participantes.
Reacciones directas: características
Información experimental:
-
Naturaleza de las partículas difundidas- Espectro de energía de las partículas difundidas - Distribución angular
Reacciones directas: estudio experimental
p
3/2p
1/2f
7/2f
5/2Reacciones directas: clasificación
Direct reactions
D. Bazin RIA school 2006
Difusión elástica
La reacción no altera el estado interno de los núcleos participantes (estado fundamental)
Ambos núcleos pueden considerarse como partículas sin estructura
Proporcionan información sobre el potencial de interacción: `potencial óptico
Difusión inelástica
La naturaleza de projectil y blanco no sealtera pero si su energía interna (estados excitados)
Dependiendo del núcleo se pueden excitar estados de partícula independientes o modos colectivos
Reacciones directas: clasificación
Reacciones de transferencia
Uno o varios nucleones son transferidos entre el proyectil y el blancoLos nucleones transferidos ocupan estados de partícula independiente y por tanto proporcionan información sobre la estructura del núcleo receptor
Las características del canal de entrada determinan la selectividad de la reacción. Los valores de espín paridad determinan los estados finales que pueden ocuparse
Algunos ejemplos de reacciones de transferencia (d,p) (p,d) (t,p) (t,3He) (d,2He) (6Li,6He)La familia de las reacciones directas
Reacciones de intercambio de carga
Son reacciones en las que se intercambia un protón por un neutrón o viceversa Son análogas a las desintegraciones +o - , pero no están limitadas por el Q: por tanto pueden poblar estados excitados de mayor energía..
Reacciones de ruptura o arranque de nucleones
Uno o varios nucleones son arrancados del proyectil o blanco. El canal de salida está definido por tres cuerpos
Es un proceso dominante a energías intermedias y grandes (E>100 A MeV).
Pueblan estados de partícula independiente
A gran energía se habla de difución elástica cuasi-libre (p,2p) (e,e'p)
La familia de las reacciones directas
Teoría cuántica de la difusión: generalidades
Función de onda de los proyectiles incidentes: onda plana : descripción cuántica de los procesos de difusión
- densidad de probabilidad y flujo:
- expresión independiente de la elección del eje z:
Función de onda de las partículas del blanco: onda plana
a< 10
-12cm
z
Sistema proyectil+blanco
ra
rA r R
A a
A a A
A a
a r r r M m m
M r m r
R m
M k m k
k m k
k
K a A A a a A - reducción del problema de dos cuerpos
- teniendo en cuenta la conservación de la energía y momento del CM y los estados internos:
Teoría cuántica de la difusión: generalidades
Partículas difundidas: onda plana+onda esférica
Sección eficaz diferencial
- amplitud de difusión:
- flujo de partículas difundidas en un elemento de ángulo sólido:
- flujo de partículas incidentes:
Teoría cuántica de la difusión: generalidades
(Ec. 4.1)
Una partícula sin grados de libertad internos difundida por un potencia V(r)
Difusión entre dos partículas con masa y grados de libertad internos
- si el potencial tiene simetría esférica:
- En el caso de la difusión elástica podemos utlizar la misma ecuación pero con coordenadas relativas:
Teoría cuántica de la difusión: ecuación de Schrodinger
) /(
m mamA ma mA r
r
Hamiltonianos que describen el - Para describir los canales inelásticos hay que tener en cuenta el estado interno de los núcleos:
Solución integral de la ecuación de Schrodinger:
- Esta ecuación tiene una solución general de la forma:
- Comparando con la ecuación (4.1) obtenemos la forma integral de la amplitud de difusión:
Teoría cuántica de la difusión: ecuación de Schrodinger
- Cuya forma asintótica es:
r
Aproximación de Born:
- Reorganizando la ecuación obtenemos:
Teoría cuántica de la difusión: ecuación de Schrodinger
-Si el potencial de interacción V es débil se puede aproximar la onda difundida a una onda plana -(la misma que utilizo para describir la onda incidente)
- Esta ecuación corresponde a la transformada de Fourier del potencial evaluada en q=k-k’, donde q es el cambio de momento de la partícula difundida:
- Si el potencial U(r) tiene simetría esférica:
Teoría cuántica de la difusión: ecuación de Schrodinger
- Suponemos que el potencial puede escribirse como
Aproximación de Born de ondas distorsionadas (DWBA): Inclusion de canales inelásticos
Conocemos además la solución para U1
puede presentar una solución general
una onda plana + una onda difundida saliente
una onda plana + una onda difundida entrante
Teoría cuántica de la difusión: ecuación de Schrodinger
Aproximación de Born de ondas distorsionadas (DWBA):
A partir de una generalización del comportamiento asistótico para la solución integral de la ecuación de Schrödinger para la generalización de
La amplitud de difusión total corresponde a la debida a y la obtenida en la solucion generalizada para
De nuevo no conoceos pero suponiendo que U2 <<U1 pudede considerarse como buena aproximacion que
Interpretación de las ondas parciales:
Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales
- Como la fuerza nuclear es de corto alcance, sólo las partículas o núcleos proyectiles con un valor del momento angular relativo inferior a un determinado valor crítico interaccionarán con el blanco.
- La ecuación de Schrodinger tridimensional puede reducirse a una suma de ecuaciones radiales monodimensionales.
2 1/2 11
22
, 0
fm E
k
fm R
R kR R
700
20
, 1000
, 25
20 10
, 100
, 1
6 10
, 10
, 1
0 10
, 1 , 1
fm R
MeV E
fm R
MeV E
fm R
MeV E
fm R
MeV E
Desarrollo en ondas parciales:
Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales
Puesto que las funciones propias de l son los armónicos esféricos : la fdo se expresa como suma de todas f.d.o con momento angular definido que participan en la colisión
Amplitud asociada a cada onda parcial
Para potenciales esféricos perdemos la dependencia en Polinomios de Legendre
La parte radial de la onda parcial l debe verificar la ecuación
Como el potencial es de corte alcance cuando r
Desarrollo en ondas parciales:
Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales
A partir de este resultado y recordando que
Obtenemos la forma asintótica de la fdo
La solución de esta ecuación diferencial es de la forma
Ondas incidentes y difundidas:
Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales
Una función de onda incidente plana puede expresar en ondas parciales como
Debido a la simetría sólo contribuye la proyección m=0 y en consequencia la parte angular de la fdo es Independiente de Esta expresión puede expresarse como
Para valores pequeños de kr
Ondas incidentes y difundidas:
Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales
x x x x
x x j
x x x
x x j
x x x
j
3 cos 1 sin
) 3 (
cos ) sin
( ) sin (
2 2 2
1 2 0
Dependencia radial de las funciones de onda
Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales
Teniendo en cuenta el comportamieto asintótico de la funciones de Bessel podemos dar el comportamiento asimptótico de la función de onda incidente
La expresión de las ondas difundidas para el canal elástico e inelástico
Ambas expresiones pueden escribirse de la forma
Expresión de la amplitud de difusión en ondas parciales:
Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales
La expresión asintótica de la onda difundida en función de la amplitud de difusión puede obtenerse sustituyendo en la expresión anterior la expresión asintótica del desarrollo en ondas parciales de una onda plan
Este resultado puede compararse con la expresión asintótica de la función de onda desarrollada en ondas parciales
Obteniendo:
Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales
De forma generalizada
donde
Para el caso elástico
Desfasaje de la onda parcial l Forma una matriz:
Amplitud transición a+A b+B
Sección eficaz en término de ondas parciales:
Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales
Tal y como vimos la sección eficaz diferencial de difusión elástica se obtiene a partir del módulo al cuadrado de la amplitud de difusión
Sustitutendo la expresión que hemos obtenido para la amplitud de difusión en el desarrollo en ondas parciales
Utilizando las propiedades de los polinomios de Legendre, obtenemos la seccion eficaz como integral de la Expresión que hemos obtenido para la sección eficaz diferencial
Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales
Definimos de la sección de absorción total (sección eficaz de reacción) como la suma de las secciones eficaces sobre todos los canales no elásticos.
Aplicando la condición de unitariedad de la matriz de colisión
toma todos los valores, incluido el elástico
En ausencia de canales inelásticos
La sección eficaz de difusión elástica viene dada por la expresión
Límites de las secciones eficaces parciales:
Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales
Tanto la sección eficaz de reacción como la de difusión elástica se
expresan como suma da cada una de las contribuciones de onda parcial.
En cualquier caso se verifica siempre
El máximo de sección eficaz corresponde a l
En este caso la sección eficaz de absorción es cero El máximo de sección eficaz de absorción corresponde a l
Y en este punto
Teoría cuántica de la difusión: teorema óptico
Solamente los valores comprendidos en el área rayada son posibles
El rango de los valores permitidos de la sección eficaz elastica permitidos para cada valor de la sección de reacción se obtienen como l= Clexp(il)
En otras palabras para cada valor abs,llos posibles valores de el,l están limitados por
1 cos
1
l
Podemos tener difusión elástica sin absorción pero nunca el caso contrario
Sección eficaz total:
Teoría cuántica de la difusión: teorema óptico
La suma de la sección eficaz elástica y la de reacción nos da la sección eficaz total
como
El máximo de la sección eficaz total se dará para solo tenemos sección elástica Podemos evaluar la amplitud de difusión para =0
Haciendo uso de las propiedades de los polinomios de Legendre
Teorema óptico: la sección eficaz total se expresa en función de la parte maginaria de la amplitud de difusión elástica a ángulo cero
cos 0o
1P
Teoría cuántica de la difusión: teorema óptico
Recordando que
Y aplicando el terorema óptco llegamos a la conocida como desigualdad de Wick
Todos los resultados presentados hasta ahora sólo son validos para partículas sin carga.
Cuando las consideramos tenemos que tener en cuenta la debido al alcance de la interacción Electromagnética el teorema óptico en este caso se generaliza como
Es la amplitud de difusión adicional debida a la fuerza nuclear
Teoría cuántica de la difusión: teorema óptico
Cuando la sección eficaz de absorción es grande como por ejemplo cuando hablamos de reacciones entre iones pesados
Esta relación se entiende con la imagen clásica que se muestra en la figura.
la sección eficaz elástica disminuye drásticamente y alcanza valores muy por debajo de la sección eficaz de Rutherford para ángulos cuya órbita de Rutherford correspondiente permite el contacto entre la partícula incidente y la difundida. A partir de este ángulo la absorción aumenta
Entonces:
Difusión elástica: descripción fenomenológica
Modelo del disco negro:
Interés de las reacciones de difusión elástica caracterización del potencial de interacción Modelo más simple: disco negro: el núcleo difusor se aproxima a una superficie opaca
- la distribución elástica será puramente coulombiana : sólo ocurre cuando el b>R1+R2
El limite de la difusión elástica lo determina un bmax asociado a l ángulo de difusión máx
Difusión elástica: descripción fenomenológica
Difusión elástica: descripción fenomenológica
Limitaciones del modelo del disco negro
- las secciones eficaces no caen siempre de forma
tan abrupta los límites del núcleo no son abruptos sino difusos -las secciones eficaces presentan en muchos casos oscilaciones
Manifestaciones de los efectos cuánticos que no se consideran En absoluto en el modelo del disco opaco
Se trata de patrones de difracción que surgen como consecuencia De la naturaleza ondulatoria de los proyectiles incidentes
Difusión elástica: descripción fenomenológica
a
b
c
La distribución angular de las colisiones elásticas normalizada a la distribución angular de la difusión Rutherford sigue tres
Patrones en función del tamaño del núcleo difusor:
a) Para núcleos difusores grandes a ángulos pequeños la distribución angular coincide con la de la difusión Rutherford y a partir de un cierto ángulo disminuye suavemente.
b) En el caso de núcleos de tamaño medio se reduce el rango angular en el que coinciden la dispersión elástica y la Rutherford y al caer la distribución manifiesta un comportamiento oscilante
c) Para núcleos difusores pequeños la sección eficaz elástica es menor que la Rutherford incluso a ángulos pequeños presentando una fuerte dependencia oscilatoria con el ángulo.
Ondas parciales y absorción fuerte:
Según el desarrollo en ondas parciales
Difusión elástica: descripción fenomenológica
El modelo del disco opaco en el formalismo de ondas parciales corresponde a:
Máximo de sección eficaz de absorción
La aproximación es más válida cuanto mayor sea el número de ondas parciales por esta razón se adapta mejor al caso de difusión de núcleos pesados
Efectos coulombianos:
Difusión elástica: descripción fenomenológica
El efecto del campo coulombiano modifica el ángulo de roce el valor del parámetro de impacto disminuye y por lo tanto también lo hace el valor de l máximo asociado a ese ángulo de roce
Clásicamente podemos asociar el valor del momento (k) de na partícula con la distancia de mínima aproximación d en un campo Coulombiano a partir de la expresión
Parámetro de Sommerfeld :
-pequeño para núcleos ligeros solo serán importantes los efectos coulombianos para ángulos pequeños
Modelos de difracción
Según el model del disco negro, el proceso de difusión de las ondas correspondientes a los proyectiles sobre el cuerpo negro debería dar lugar a procesos de difracción caracterizados por un patrón de interferencias producido por las ondas difundidas. Podemos distinguir dos patrones de difracción extremos el de Fraunhöfer y el de Fresnel
Modelos de difracción:
La ecuación de Schrödinger que describe la difusión debida a un potencial tiene la misma forma que la expresión de Helmholtz que describe la propagación de una onda de luz en un medio donde el índice de refracción juega el papel del potencial difusor.
- Cuando la imagen se forma lejos (en términos relativos a la longitud de onda) del obstáculo se puede
considerar que los frentes de onda vuelven a ser planos y en ese caso hablamos de difracción de Fraunhöfer - Si las distancias entre la fuente(obstáculo) y la pantalla no son suficientemente grandes entonces hablamos de
Modelos de difracción
Si E >> barrera coulombiana
Modelos de difracción:
El caso nuclear únicamente debería dar patrones de difracción de tipo Fraunhöfer (los detectores siempre se encuentran a gran distancia del punto difusor)
En presencia del campo coulombiano esto no es siempre así el campo electromagnético puede ser tan intenso que las ondas difundidas parecen proceder de un punto virtual de interacción (mucho mas próximo de lo que en realidad se encuentra)
Si E~ barrera coulombiana
Si E << barrera coulombiana
Modelos de difracción
Modelos de difracción
Modelos de difracción
Modelos de difracción
Difusión elástica: descripción fenomenológica
Difracción de Fraunhofer:
En este caso podemos considerar que los efectos del campo coulombiano pueden despreciarse y vamos a tratar de explicar el patrón de difracción a partir de la expresión de la amplitud de difusión que obtuvimos anteriormente
Sustituyendo los polinomios de Legendre por funciones de Bessel de orden cer:o Sustituyendo la suma por
integrales
Obtenemos la dependencia angular de la amplitud de difusión y a partir de ella la sección eficaz
Teniendo en cuenta el comportamiento de esta función para valores pequeños y grandes de
Difusión elástica: descripción fenomenológica
para x 0 para x oo
Teniendo en cuenta el comportamiento asintótico:
- La sección eficaz presenta máximos y picos consecutivos que se van atenuando (disminuye la amplitud)
- La separación entre picos (o ceros) ~ /kR
Difusión elástica: descripción fenomenológica
Las posiciones de los mínimos aparecen a valores constantes e independientemente de la energía a la que se produzca la colisión nos da información acerca del radio de interacción proyectil-blanco.
Para hacer una determinación más exacta es necesario considerar el efecto del campo coulombiano
Test de la validez del modelo de Fraunhöfer estimación de la sección eficaz diferencial Para varios periodos
Difusión elástica: descripción fenomenológica
Lo comparamos con Rutherford
Expresándolo en función del ángulo de roce
Difusión elástica: descripción fenomenológica
Por lo tanto, cerca del ángulo de roce
tomará valores mayores para valores pequeños de n
Potenciales ópticos
Modelo óptico para la difusión elástica:
La descripción cuántica del proceso de difusión mejora si en lugar del dico negro utilizamos un potencial
El potencial debe incluir las interacciones Coulombiana y nuclear
Por analogía al problema óptico: propagación de la luz en un medio absorbente
elástico inelástico
De forma análoga el vector de onda y la fdo
Potenciales ópticos
Modelo óptico para la difusión elástica:
En este caso, la fdo incidente se atenúa con un recorrido libre medio que se expresa como
y el vector de onda satisface la ecuación
Resolviendo para kr y km
Si
El uso del potencial complejo permite describir difusiones que corresponden a una
Potenciales ópticos
Existen dos opciones para definir un potencial óptico:
Potenciales ópticos
Potenciales fenomenológicos o macroscópicos:
Aproximación más simple
Pero pueden tener un dominio de aplicación reducido
De forma general: un término real describe el canal elástico
un término imaginario describe todos los canales inelásticos incluir la interacción coulombiana
describir las dependencias radiales y de espín de la interacción nuclear
La dependencia radial de la interacción (corto alcance) se caracteriza muy bien a partir de Woods-Saxon
Potenciales ópticos
Potenciales fenomenológicos o macroscópicos:
La dependencia de espín se incluye a partir de un término que se conoce como acoplamiento espín-órbita
Por analogía a los potenciales fenomenológicos que se utilizan en estructura nuclear, la dependencia radial se hace a través de un término (df/dr)
Normalmente el término coulombiano se obtiene aproximando el núcleo a una esfera cargada.
Potenciales ópticos
Ejemplo de potenciales fenomenológicos o macroscópicos:
Potenciales ópticos
Ejemplo de potenciales fenomenológicos o macroscópicos:
CH89 parametrization
developed by Varner et al , Phys. Rep. 201 (1991) 57 Validity range A=40-209
E=10-65 MeV laboratory
Potenciales ópticos
Potenciales de microscópicos:
colisión
núcleo-núcleo
El potencial se construye convolucionando la interacción NN con la densidad de nucleones de los núcleos proyectil y blanco
Representan la conexión más directa entre el potencial de interacción NN y un potencial óptico
colisión nucleón-núcleo
Potenciales ópticos
Densidades nucleares
Parametrizaciones de tipo oscilador armónico del radio cuadrático medio
Potenciales ópticos
Potenciales microscópicos: aproximación t
El potencial de interacción se describe a partir de la amplitud de difusión NN fNN (=0º,E)
Recordando el teorema óptico
Definimos
Lo que permite re-escribir
Potenciales ópticos
Potenciales microscópicos: aproximación t
En esta expresión
• NN está afectada por el bloqueo de Pauli en el medio nuclear
• en el caso de reacciones directas la interacción es “superficial”
• el parámetro depende del potencial
• las densidades de materia deben parametrizarse adecuadamente
Potenciales ópticos
Potenciales microscópicos: Aproximación JLM
Brueckner-Hartree-Fock approximation and Reid hard core nucleon-nucleon interaction
) 1
) (
,
( E
ij i E jV
Improved Local Density Approx (by smearing the potential)
( , ) (
')
')
,
( r E V E f r r d r
U
) E , ( W i
) E , ( V )
E , (
U
p
v
p
w
p, :
-
microscopic complex optical potential - energy and density-dependent-
domain of validity : Ep < 160 MeVDifusión elástica: modelo eikonal
Aproximación eikonal
La teoría cuantica de la difusión permite expresamos la sección eficaz de difusión elástica
Para resolver la amplitud de difusión necesitamos resolver la ecuación de Schrödinger
La solución implica resolver un gran número de ecuaciones acopladas que representan los diferentes canales de reacción o hacer uso de aproximaciones
Los requisitos que garantizan la validez de esta aproximación son
La energía incidente es muy superior a la Los núcleos o nucleones que
Difusión elástica: modelo eikonal
La posición de la partícula difundida r se parametriza en función de z (dirección el la que se produce la difusión) y b (parámetro de impacto)
Si se cumplen estas condiciones podemos aproximar la solución a una onda plana modulada por una función que depende suavemente de z y b, para la que se verifica:
Planteando la ecuaciónde Scrödinger en coordenadas cilíndricas
Teniendo en cuenta las condiciones anteriores, el segundo y tercer término de esta ecuación pueden despreciarse y por tanto:
La ecuación tiene soluciones de la forma
Por lo que la función de onda puede expresarse
Siendo esta cantidad la conocida como fase eikonal
Si conozcemos el potencial, con una sola integral determino la función de onda del sistema
Difusión elástica: modelo eikonal
Si además tenemos en cuenta el potencial coulombiano:
Entonces la fase eikonal tendrá una componente adicional:
Puede demostrarse que la parte de la fase eikonal producida por el potencial coulombiano es de la forma:
Difusión elástica: modelo eikonal
La amplitud de difusión puede entonces obtenerse como:
Teniendo en cuenta las condiciones de la aproximación eikonal:
Difusión elástica: modelo eikonal
Si además tenemos en cuenta la simetría esférica del potencial
Difusión elástica: modelo eikonal
La expresión correspondiente para la amplitud de difusión es:
Donde la contribución elástica
Sección eficaz de reacción
Difusión elástica: modelo eikonal
Utilizando el teorema óptico:
Utilizando las expresiones
Resultando al final la expresión
Sección eficaz de reacción
Difusión elástica: modelo eikonal
La sección eficaz de absorción será por lo tanto
Difusión elástica: Técnica experimental (reacciones a 2 cuerpos)
Beam tracking
Ex: MUST2-like array Particle-spectroscopy
(d,p )
Identification : SPEG
(d,p)
A+1(d,p)
Gamma detectionA
Z(d,p)
A+1Z
AZ p CD2
Difusión elástica: Técnica experimental (reacciones a 2 cuerpos)
Identification of the heavy fragments Magnetic spectrometers
VAMOS
Difficult to measure unbound states
particle emmission
Bound states de-excite in-flight by photo-emmision
In general very forward focussing
Difusión elástica: Técnica experimental (reacciones a 2 cuerpos)
Identification of the light particle semiconductor telescope detector
VAMOS Si(Li)
4.5 mm
CsI 3 cm
4 x 4 segments Si strips
300 m
100 x 100 mm2 X, Y , T, E 128X128Y
E
MUST2
2004-6
Difusión elástica: Técnica experimental (reacciones a 2 cuerpos)
VAMOS
Identification of low enegy particles in the first stage
Higher energy (E-E method)
Identification of the light particle semiconductor telescope detector
Difusión elástica: Extracción e interpretación de observables
Ejemplo de potenciales fenomenológicos o macroscópicos:
Difusión elástica: Extracción e interpretación de observables
Ejemplo de potenciales fenomenológicos o macroscópicos:
Difusión inelástica
Generalidades
:Por tanto además de describir el movimiento relativo entre proyectil y blanco es necesario tener en cuenta los operadores de transición que modifican el estado interno de los núcleos participantes.
La colisión da lugar a una transferencia de energía entre el proyectil y el blanco
Pb p
p
Pb
208208
( , ')
Difusión inelástica: formalismo de canales acoplados
Formalismo de canales acoplados
:El hamiltoniano que describe la difusión inelástica tiene la forma general:
) , ( )
( V r h
T
H
Donde T es la energía cinética, h() describe los estados internos de los dos núcleos que participan en la colisión y V(r,) representa la interacción entre núcleos que depende tanto de la coordenada de posición relativa r como de los estados internos de cada núcleo . La función de onda asociada tendrá la forma:
r ,
( )
( r )
'( )
'( r )
La ecuación de Schrodinger asociada da lugar a un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas:
'
' '
,
,
( r ) ( r ) V ( r ) ( r )
V T E
Se define el potencial de acoplo como:
cada término del sumatorio corresponde a un estado excitado de los núcleos participantes
Difusión inelástica: excitaciones colectivas
Excitación electromagnética:
-
excitación vibracional:Las longitudes de deformación en carga y masa , están
El potencial de acoplo es debido tanto a la interacción nuclear como a la coulombiana. En ambos casos, los términos no esféricos del potencial son responsables de la excitación de estados colectivos.
, 0
1
2 *
( )
1 2
) , ( ) 4
, ( )
( )
,
( r
r E Y
M Ze
r r Zze
r V r
V
o o
o
Excitación nuclear:
( ) ( , )
) (
) ,
( Y
*dr r r r dV
r V r
V
o o o o-
excitación rotacional:Difusión inelástica: solución aproximada
Podemos obtener una solución aproximada de la difusión inelástica utilizando la aproximación eikonal.
Para ello describimos la sección eficaz diferencial de la difusión inelástica respecto del ángulo como:
kfy kison los vectores de onda de los canales de entrada y salida
Potencial de la interacción
fdo estado interno de los núcleos fdo movimiento relativo Utilizando la aproximación eikonal
Difusión inelástica: solución aproximada
Por lo tanto
Y el elemento de matriz
q = ki - kf V(r,) r= r,
coordenadas internas de A y a
Difusión inelástica: solución aproximada
Considerando interacciones con un valor de momento trasferido l, podemos calcular la matriz de transición como
Para evaluar esta integral es interesante cambiar el sistema de coordenadas a coordenadas cilíndricas z,b,
ángulo de difusión entre kfy ki
Los armónicos esféricos en coordenadas cilíndricas se transforman como:
Difusión inelástica: solución aproximada
Con lo que la matriz de transición en coordenadas cilíndricas resulta
Donde la integral sobre podemos evaluarla como:
La integral en z puede resolverse haciendo las siguientes aproximaciones:
- el momento transferido es pequeño (aproximación eikonal)
- utilizamos un modelo de absorción fuerte para describir la dependencia radial del potencial f(r) =0 salvo r~R (reacciones periféricas)
Por lo tanto sólo contribuye la parte de la integral alrededor de z ~0 parte de la superficie del blanco perpendicular a la dirección incidente, verificándose:
Difusión inelástica: solución aproximada
La matriz de transición se reduce a:
La dependencia angular de la integral en z es relativamente débil. El término exp(i
(b)) se anula para valores de b pequeños y se aproxima a la unidad para b=R y la función de Bessel también es máxima para b=R, por tanto podemos aproximar la matriz de transición por:Teniendo en cuenta que el polinomio de Legendre no se anula cuando l+m=par, los elementos de matriz Que describen la interacción podrán describirse como combinaciones lineales de:
J0,J2, Jlcuando l es par J1,J3,...Jl cuando l es impar
Difusión inelástica: solución aproximada
Varía en oposición de fase a la sección eficaz elástica
Varía en fase con la sección eficaz elástica La dependencia angular de estos elementos de matriz será:
Difusión inelástica: sección eficaz diferencia
Sección eficaz diferencial
:Generalizando los resultados anteriores podemos llegar a la siguiente expresión para la sección eficaz diferencial inelásticas respecto del ángulo:
Difusión inelástica: excitación coulombiana
Excitación Coulombiana: baja energía incidente o parámetro de impacto grande
La partícula incidente sigue una trayectoria de Rutherford clásica.
Probabilidad de transición integrada a lo largo de la trayectoria Si tenemos en cuenta el momento angular
Si V representa la interacción entre un núcleo de carga q y el blanco, la probabilidad de transición entre un estado inicial y final
será:
Difusión inelástica : excitación coulombiana
Excitación Coulombiana :
En esta expresión
Teniendo en cuenta que sólo los términos no esféricos del potencial contribuyen a la excitación, hacemos un desarrollo en término de armónicos esféricos del potencial de interacción electromagnética:
Difusión inelástica: excitación coulombiana
Excitación Coulombiana
Teniendo en cuenta las expresiones anteriores podemos determinar la probabilidad de transición como
donde el elemento de matriz está relacionado con la probabilidad de transición electromagnética para el caso de una transición eléctric =EM, de multipolaridad
El factor S incluye todas las dependencias temporales
Difusión inelástica: excitación coulombiana
Excitación Coulombiana
Ejemplo: excitación del primer estado excitado 2+ de una banda rotacional en un núcleo deformado Para una partícla incidente cargada difundida a 180°
El potencial V está originado por la interacción del campo eléctrico de la partícula incidente con el momento cuadrupolar del núcleo
Elemento de matriz de la transición cuadrupolar
la amplitud de difusión
Difusión inelástica: excitación coulombiana
Excitación Coulombiana
Si la difusión es a 180° el balance de energía determina la distancia de mínima aproximación cuando la velocidad de la energía incidente es 0 r=d
Una vez determinado d puedemos expresar v como
Si la distancia es r= 2d v=v0/2-1/2 el tiempo necesario para ir de d a 2d será 2-1/2d/v0 Volviendo a la amplitud de difusión vemos que la dependencia con la posición va con 1/r³ si la distancia aumenta (~r=7d o mayor) la duración de la interacción es del orden de 10d/v0
.
Difusión inelástica: excitación coulombiana
Excitación Coulombiana
Bajo estas circunstancias se verifica
Con lo que la amplitud de difusión
La sección eficaz de difusión elástica se expresa por lo tanto como
Difusión inelástica: excitación coulombiana
Excitación Coulombiana
Expresando A y d en función de su valor llegamos a la expresióm
uma MeV barns
La sección eficaz aumenta con la masa de la partícula incidente y su E los iones pesados
Reacciones de transferencia
Reacciones de pick-up : el proyectil coge un nucleón del blanco
Reacciones de stripping: el proyectil cede un nucleón al blanco
Reacciones de intercambio de carga: el proyectil y el blanco intercambian un protón y un neutrón.
De forma análoga a lo que hemos visto con la difusión inelástica
Si la interacción puede describirse con ondas planas y para potencial de corto alcance (ri=rf=r)
Reacciones de stripping
Tomamos como ejemplo la reacción
En este caso, las funciones de onda internas del sistema
Puesto que el deuterio está débilmente ligado podemos describirlo como
Simplificación, el p del deuterio es un espectador, la reacción de stripping se describe como la captura de un n
este neutrón se captura en un estado del núcleo blanco con mto angular lt la fdo del núcleo resultante
El elemento de matriz del proceso de stripping será:
Desarrollando el potencial en series de armónicos esféricos y considerando un modelo de absorción fuerte
Reacciones de stripping
Muy similar a la difusión
inelástica, q lleva la dependencia angular
-pico en =qR ~ l
- los otros máximos para valores de qR aumentados de