• No se han encontrado resultados

Direct reactions

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Direct reactions"

Copied!
95
0
0

Texto completo

(1)

Universidad de Santiago de Compostela Asignatura de Física Nuclear

Curso académico 2012/2013

Tema 4

Reacciones directas

(2)

Indice

 La familia de las reacciones directas

 Nociones básicas de teoría cuántica de la difusión - Función de onda incidente y difundida

- Sección eficaz diferencial y amplitud de difusión

- Ecuación de Schrödinger: solución integral y aproximación de Born - Desarrollo en ondas parciales

- Sección eficaz y teorema óptico

 Difusión elástica

- Descripción fenomenológica - Potenciales ópticos

- Solución a alta energía: aproximación eikonal

 Difusión inelástica

- excitaciones colectivas

(3)

Son reacciones binarias.

Estas reacciones tienen lugar en un sólo paso, por tanto el canal de salida está directamente determinado por el canal de entrada.

El momento transferido no es muy grande y su distribución angular está picada a ángulos pequeños.

Son reacciones muy rápidas: el tiempo que el nucleo o nucleón proyectil tarda en recorrer una distancia equivalente al diámetro del núcleo blanco (~ 10-22s)

Son reacciones periféricas, intervienen pocos nucleones y el número de grados de libertad que se excita es finito, por tanto podemos utilizar descripciones microscópicas.

Estas reacciones nos permiten obtener información sobre el potencial de interacción, pero también sobre la estructura de los núcleos participantes.

Reacciones directas: características

(4)

 Información experimental:

-

Naturaleza de las partículas difundidas

- Espectro de energía de las partículas difundidas - Distribución angular

Reacciones directas: estudio experimental

p

3/2

p

1/2

f

7/2

f

5/2

(5)

Reacciones directas: clasificación

Direct reactions

D. Bazin RIA school 2006

(6)

Difusión elástica

 La reacción no altera el estado interno de los núcleos participantes (estado fundamental)

Ambos núcleos pueden considerarse como partículas sin estructura

 Proporcionan información sobre el potencial de interacción: `potencial óptico

Difusión inelástica

 La naturaleza de projectil y blanco no sealtera pero si su energía interna (estados excitados)

 Dependiendo del núcleo se pueden excitar estados de partícula independientes o modos colectivos

Reacciones directas: clasificación

(7)

Reacciones de transferencia

Uno o varios nucleones son transferidos entre el proyectil y el blanco

Los nucleones transferidos ocupan estados de partícula independiente y por tanto proporcionan información sobre la estructura del núcleo receptor

Las características del canal de entrada determinan la selectividad de la reacción. Los valores de espín paridad determinan los estados finales que pueden ocuparse

Algunos ejemplos de reacciones de transferencia (d,p) (p,d) (t,p) (t,3He) (d,2He) (6Li,6He)

La familia de las reacciones directas

Reacciones de intercambio de carga

Son reacciones en las que se intercambia un protón por un neutrón o viceversa

 Son análogas a las desintegraciones +o - , pero no están limitadas por el Q: por tanto pueden poblar estados excitados de mayor energía..

(8)

Reacciones de ruptura o arranque de nucleones

Uno o varios nucleones son arrancados del proyectil o blanco.

 El canal de salida está definido por tres cuerpos

 Es un proceso dominante a energías intermedias y grandes (E>100 A MeV).

 Pueblan estados de partícula independiente

A gran energía se habla de difución elástica cuasi-libre (p,2p) (e,e'p)

La familia de las reacciones directas

(9)

Teoría cuántica de la difusión: generalidades

 Función de onda de los proyectiles incidentes: onda plana : descripción cuántica de los procesos de difusión

- densidad de probabilidad y flujo:

- expresión independiente de la elección del eje z:

 Función de onda de las partículas del blanco: onda plana

a

< 10

-12

cm

z

(10)

 Sistema proyectil+blanco

ra

rA r R

A a

A a A

A a

a r r r M m m

M r m r

Rm    

M k m k

k m k

k

KaA A aa A - reducción del problema de dos cuerpos

- teniendo en cuenta la conservación de la energía y momento del CM y los estados internos:

Teoría cuántica de la difusión: generalidades

(11)

 Partículas difundidas: onda plana+onda esférica

 Sección eficaz diferencial

- amplitud de difusión:

- flujo de partículas difundidas en un elemento de ángulo sólido:

- flujo de partículas incidentes:

Teoría cuántica de la difusión: generalidades

(Ec. 4.1)

(12)

 Una partícula sin grados de libertad internos difundida por un potencia V(r)

 Difusión entre dos partículas con masa y grados de libertad internos

- si el potencial tiene simetría esférica:

- En el caso de la difusión elástica podemos utlizar la misma ecuación pero con coordenadas relativas:

Teoría cuántica de la difusión: ecuación de Schrodinger

) /(

m mamA ma mA r

r

Hamiltonianos que describen el - Para describir los canales inelásticos hay que tener en cuenta el estado interno de los núcleos:

(13)

 Solución integral de la ecuación de Schrodinger:

- Esta ecuación tiene una solución general de la forma:

- Comparando con la ecuación (4.1) obtenemos la forma integral de la amplitud de difusión:

Teoría cuántica de la difusión: ecuación de Schrodinger

- Cuya forma asintótica es:

r  

(14)

 Aproximación de Born:

- Reorganizando la ecuación obtenemos:

Teoría cuántica de la difusión: ecuación de Schrodinger

-Si el potencial de interacción V es débil se puede aproximar la onda difundida a una onda plana -(la misma que utilizo para describir la onda incidente)

- Esta ecuación corresponde a la transformada de Fourier del potencial evaluada en q=k-k’, donde q es el cambio de momento de la partícula difundida:

- Si el potencial U(r) tiene simetría esférica:

(15)

Teoría cuántica de la difusión: ecuación de Schrodinger

- Suponemos que el potencial puede escribirse como

 Aproximación de Born de ondas distorsionadas (DWBA): Inclusion de canales inelásticos

Conocemos además la solución para U1

puede presentar una solución general

 una onda plana + una onda difundida saliente

 una onda plana + una onda difundida entrante

(16)

Teoría cuántica de la difusión: ecuación de Schrodinger

 Aproximación de Born de ondas distorsionadas (DWBA):

A partir de una generalización del comportamiento asistótico para la solución integral de la ecuación de Schrödinger para la generalización de 

La amplitud de difusión total corresponde a la debida a y la obtenida en la solucion generalizada para

De nuevo no conoceos pero suponiendo que U2 <<U1 pudede considerarse como buena aproximacion que  

(17)

 Interpretación de las ondas parciales:

Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales

- Como la fuerza nuclear es de corto alcance, sólo las partículas o núcleos proyectiles con un valor del momento angular relativo inferior a un determinado valor crítico interaccionarán con el blanco.

- La ecuación de Schrodinger tridimensional puede reducirse a una suma de ecuaciones radiales monodimensionales.

 

2 1/2 1

1

22

, 0

 

fm E

k

fm R

R kR R

700

20

, 1000

, 25

20 10

, 100

, 1

6 10

, 10

, 1

0 10

, 1 , 1

fm R

MeV E

fm R

MeV E

fm R

MeV E

fm R

MeV E

(18)

 Desarrollo en ondas parciales:

Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales

Puesto que las funciones propias de l son los armónicos esféricos : la fdo se expresa como suma de todas f.d.o con momento angular definido que participan en la colisión

Amplitud asociada a cada onda parcial

Para potenciales esféricos perdemos la dependencia en  Polinomios de Legendre

La parte radial de la onda parcial l debe verificar la ecuación

Como el potencial es de corte alcance cuando r 

(19)

 Desarrollo en ondas parciales:

Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales

A partir de este resultado y recordando que

Obtenemos la forma asintótica de la fdo

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma

(20)

 Ondas incidentes y difundidas:

Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales

Una función de onda incidente plana puede expresar en ondas parciales como

Debido a la simetría sólo contribuye la proyección m=0 y en consequencia la parte angular de la fdo es Independiente de Esta expresión puede expresarse como

Para valores pequeños de kr

(21)

 Ondas incidentes y difundidas:

Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales



 











 

x x x x

x x j

x x x

x x j

x x x

j

3 cos 1 sin

) 3 (

cos ) sin

( ) sin (

2 2 2

1 2 0

Dependencia radial de las funciones de onda

(22)

Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales

Teniendo en cuenta el comportamieto asintótico de la funciones de Bessel podemos dar el comportamiento asimptótico de la función de onda incidente

La expresión de las ondas difundidas para el canal elástico e inelástico

Ambas expresiones pueden escribirse de la forma

(23)

 Expresión de la amplitud de difusión en ondas parciales:

Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales

La expresión asintótica de la onda difundida en función de la amplitud de difusión puede obtenerse sustituyendo en la expresión anterior la expresión asintótica del desarrollo en ondas parciales de una onda plan

Este resultado puede compararse con la expresión asintótica de la función de onda desarrollada en ondas parciales

Obteniendo:

(24)

Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales

De forma generalizada

donde

Para el caso elástico

Desfasaje de la onda parcial l Forma una matriz:

Amplitud transición a+A  b+B

(25)

 Sección eficaz en término de ondas parciales:

Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales

Tal y como vimos la sección eficaz diferencial de difusión elástica se obtiene a partir del módulo al cuadrado de la amplitud de difusión

Sustitutendo la expresión que hemos obtenido para la amplitud de difusión en el desarrollo en ondas parciales

Utilizando las propiedades de los polinomios de Legendre, obtenemos la seccion eficaz como integral de la Expresión que hemos obtenido para la sección eficaz diferencial

(26)

Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales

Definimos de la sección de absorción total (sección eficaz de reacción) como la suma de las secciones eficaces sobre todos los canales no elásticos.

Aplicando la condición de unitariedad de la matriz de colisión

 toma todos los valores, incluido el elástico 

En ausencia de canales inelásticos

La sección eficaz de difusión elástica viene dada por la expresión

(27)

 Límites de las secciones eficaces parciales:

Teoría cuántica de la difusión: ondas parciales

Tanto la sección eficaz de reacción como la de difusión elástica se

expresan como suma da cada una de las contribuciones de onda parcial.

En cualquier caso se verifica siempre

El máximo de sección eficaz corresponde a l

En este caso la sección eficaz de absorción es cero El máximo de sección eficaz de absorción corresponde a l

Y en este punto

(28)

Teoría cuántica de la difusión: teorema óptico

Solamente los valores comprendidos en el área rayada son posibles

El rango de los valores permitidos de la sección eficaz elastica permitidos para cada valor de la sección de reacción se obtienen como l= Clexp(il)

En otras palabras para cada valor abs,llos posibles valores de el,l están limitados por

1 cos

1 

 l

Podemos tener difusión elástica sin absorción pero nunca el caso contrario

(29)

 Sección eficaz total:

Teoría cuántica de la difusión: teorema óptico

La suma de la sección eficaz elástica y la de reacción nos da la sección eficaz total

como

El máximo de la sección eficaz total se dará para solo tenemos sección elástica Podemos evaluar la amplitud de difusión para =0

Haciendo uso de las propiedades de los polinomios de Legendre

Teorema óptico: la sección eficaz total se expresa en función de la parte maginaria de la amplitud de difusión elástica a ángulo cero

cos 0o

1

P

(30)

Teoría cuántica de la difusión: teorema óptico

Recordando que

Y aplicando el terorema óptco llegamos a la conocida como desigualdad de Wick

Todos los resultados presentados hasta ahora sólo son validos para partículas sin carga.

Cuando las consideramos tenemos que tener en cuenta la debido al alcance de la interacción Electromagnética el teorema óptico en este caso se generaliza como

Es la amplitud de difusión adicional debida a la fuerza nuclear

(31)

Teoría cuántica de la difusión: teorema óptico

Cuando la sección eficaz de absorción es grande como por ejemplo cuando hablamos de reacciones entre iones pesados

Esta relación se entiende con la imagen clásica que se muestra en la figura.

la sección eficaz elástica disminuye drásticamente y alcanza valores muy por debajo de la sección eficaz de Rutherford para ángulos cuya órbita de Rutherford correspondiente permite el contacto entre la partícula incidente y la difundida. A partir de este ángulo la absorción aumenta

Entonces:

(32)

Difusión elástica: descripción fenomenológica

 Modelo del disco negro:

Interés de las reacciones de difusión elástica  caracterización del potencial de interacción Modelo más simple: disco negro: el núcleo difusor se aproxima a una superficie opaca

- la distribución elástica será puramente coulombiana : sólo ocurre cuando el b>R1+R2

El limite de la difusión elástica lo determina un bmax asociado a l  ángulo de difusión máx 

(33)

Difusión elástica: descripción fenomenológica

(34)

Difusión elástica: descripción fenomenológica

Limitaciones del modelo del disco negro

- las secciones eficaces no caen siempre de forma

tan abrupta  los límites del núcleo no son abruptos sino difusos -las secciones eficaces presentan en muchos casos oscilaciones

Manifestaciones de los efectos cuánticos que no se consideran En absoluto en el modelo del disco opaco

Se trata de patrones de difracción que surgen como consecuencia De la naturaleza ondulatoria de los proyectiles incidentes

(35)

Difusión elástica: descripción fenomenológica

a

b

c

La distribución angular de las colisiones elásticas normalizada a la distribución angular de la difusión Rutherford sigue tres

Patrones en función del tamaño del núcleo difusor:

a) Para núcleos difusores grandes a ángulos pequeños la distribución angular coincide con la de la difusión Rutherford y a partir de un cierto ángulo disminuye suavemente.

b) En el caso de núcleos de tamaño medio se reduce el rango angular en el que coinciden la dispersión elástica y la Rutherford y al caer la distribución manifiesta un comportamiento oscilante

c) Para núcleos difusores pequeños la sección eficaz elástica es menor que la Rutherford incluso a ángulos pequeños presentando una fuerte dependencia oscilatoria con el ángulo.

(36)

 Ondas parciales y absorción fuerte:

Según el desarrollo en ondas parciales

Difusión elástica: descripción fenomenológica

El modelo del disco opaco en el formalismo de ondas parciales corresponde a:

Máximo de sección eficaz de absorción

La aproximación es más válida cuanto mayor sea el número de ondas parciales  por esta razón se adapta mejor al caso de difusión de núcleos pesados

(37)

 Efectos coulombianos:

Difusión elástica: descripción fenomenológica

El efecto del campo coulombiano modifica el ángulo de roce  el valor del parámetro de impacto disminuye y por lo tanto también lo hace el valor de l máximo asociado a ese ángulo de roce

Clásicamente podemos asociar el valor del momento (k) de na partícula con la distancia de mínima aproximación d en un campo Coulombiano a partir de la expresión

Parámetro de Sommerfeld :

-pequeño para núcleos ligeros  solo serán importantes los efectos coulombianos para ángulos pequeños

(38)

Modelos de difracción

Según el model del disco negro, el proceso de difusión de las ondas correspondientes a los proyectiles sobre el cuerpo negro debería dar lugar a procesos de difracción caracterizados por un patrón de interferencias producido por las ondas difundidas. Podemos distinguir dos patrones de difracción extremos el de Fraunhöfer y el de Fresnel

 Modelos de difracción:

La ecuación de Schrödinger que describe la difusión debida a un potencial tiene la misma forma que la expresión de Helmholtz que describe la propagación de una onda de luz en un medio donde el índice de refracción juega el papel del potencial difusor.

- Cuando la imagen se forma lejos (en términos relativos a la longitud de onda) del obstáculo se puede

considerar que los frentes de onda vuelven a ser planos y en ese caso hablamos de difracción de Fraunhöfer - Si las distancias entre la fuente(obstáculo) y la pantalla no son suficientemente grandes entonces hablamos de

(39)

Modelos de difracción

 Si E >> barrera coulombiana

 Modelos de difracción:

El caso nuclear únicamente debería dar patrones de difracción de tipo Fraunhöfer (los detectores siempre se encuentran a gran distancia del punto difusor)

En presencia del campo coulombiano esto no es siempre así  el campo electromagnético puede ser tan intenso que las ondas difundidas parecen proceder de un punto virtual de interacción (mucho mas próximo de lo que en realidad se encuentra)

 Si E~ barrera coulombiana

 Si E << barrera coulombiana

(40)

Modelos de difracción

(41)

Modelos de difracción

(42)

Modelos de difracción

(43)

Modelos de difracción

(44)

Difusión elástica: descripción fenomenológica

 Difracción de Fraunhofer:

En este caso podemos considerar que los efectos del campo coulombiano pueden despreciarse y vamos a tratar de explicar el patrón de difracción a partir de la expresión de la amplitud de difusión que obtuvimos anteriormente

Sustituyendo los polinomios de Legendre por funciones de Bessel de orden cer:o Sustituyendo la suma por

integrales

Obtenemos la dependencia angular de la amplitud de difusión y a partir de ella la sección eficaz

(45)

Teniendo en cuenta el comportamiento de esta función para valores pequeños y grandes de

Difusión elástica: descripción fenomenológica

para x  0 para x oo

Teniendo en cuenta el comportamiento asintótico:

- La sección eficaz presenta máximos y picos consecutivos que se van atenuando (disminuye la amplitud)

- La separación entre picos (o ceros) ~ /kR

(46)

Difusión elástica: descripción fenomenológica

Las posiciones de los mínimos aparecen a valores constantes e independientemente de la energía a la que se produzca la colisión  nos da información acerca del radio de interacción proyectil-blanco.

Para hacer una determinación más exacta es necesario considerar el efecto del campo coulombiano

(47)

Test de la validez del modelo de Fraunhöfer  estimación de la sección eficaz diferencial Para varios periodos

Difusión elástica: descripción fenomenológica

Lo comparamos con Rutherford

Expresándolo en función del ángulo de roce

(48)

Difusión elástica: descripción fenomenológica

Por lo tanto, cerca del ángulo de roce

tomará valores mayores para valores pequeños de n

(49)

Potenciales ópticos

 Modelo óptico para la difusión elástica:

 La descripción cuántica del proceso de difusión mejora si en lugar del dico negro utilizamos un potencial

El potencial debe incluir las interacciones Coulombiana y nuclear

Por analogía al problema óptico: propagación de la luz en un medio absorbente

elástico inelástico

De forma análoga el vector de onda y la fdo

(50)

Potenciales ópticos

 Modelo óptico para la difusión elástica:

En este caso, la fdo incidente se atenúa con un recorrido libre medio que se expresa como

y el vector de onda satisface la ecuación

Resolviendo para kr y km

Si

El uso del potencial complejo permite describir difusiones que corresponden a una

(51)

Potenciales ópticos

Existen dos opciones para definir un potencial óptico:

(52)

Potenciales ópticos

 Potenciales fenomenológicos o macroscópicos:

Aproximación más simple

Pero pueden tener un dominio de aplicación reducido

De forma general: un término real  describe el canal elástico

un término imaginario  describe todos los canales inelásticos incluir la interacción coulombiana

describir las dependencias radiales y de espín de la interacción nuclear

La dependencia radial de la interacción (corto alcance) se caracteriza muy bien a partir de Woods-Saxon

(53)

Potenciales ópticos

 Potenciales fenomenológicos o macroscópicos:

La dependencia de espín se incluye a partir de un término que se conoce como acoplamiento espín-órbita

Por analogía a los potenciales fenomenológicos que se utilizan en estructura nuclear, la dependencia radial se hace a través de un término (df/dr)

Normalmente el término coulombiano se obtiene aproximando el núcleo a una esfera cargada.

(54)

Potenciales ópticos

 Ejemplo de potenciales fenomenológicos o macroscópicos:

(55)

Potenciales ópticos

 Ejemplo de potenciales fenomenológicos o macroscópicos:

CH89 parametrization

developed by Varner et al , Phys. Rep. 201 (1991) 57 Validity range A=40-209

E=10-65 MeV laboratory

(56)

Potenciales ópticos

 Potenciales de microscópicos:

colisión

núcleo-núcleo

El potencial se construye convolucionando la interacción NN con la densidad de nucleones de los núcleos proyectil y blanco

Representan la conexión más directa entre el potencial de interacción NN y un potencial óptico

colisión nucleón-núcleo

(57)

Potenciales ópticos

Densidades nucleares

Parametrizaciones de tipo oscilador armónico del radio cuadrático medio

(58)

Potenciales ópticos

 Potenciales microscópicos: aproximación t

El potencial de interacción se describe a partir de la amplitud de difusión NN fNN (=0º,E)

Recordando el teorema óptico

Definimos

Lo que permite re-escribir

(59)

Potenciales ópticos

 Potenciales microscópicos: aproximación t

En esta expresión

• NN está afectada por el bloqueo de Pauli en el medio nuclear

• en el caso de reacciones directas la interacción es “superficial”

• el parámetro  depende del potencial

• las densidades de materia  deben parametrizarse adecuadamente

(60)

Potenciales ópticos

 Potenciales microscópicos: Aproximación JLM

Brueckner-Hartree-Fock approximation and Reid hard core nucleon-nucleon interaction

) 1

) (

,

( E

ij i E j

V

  

Improved Local Density Approx (by smearing the potential)

 ( , ) (

'

)

'

)

,

( r E V E f r r d r

U   

) E , ( W i

) E , ( V )

E , (

U 

p

 

v

p

 

w

p

, :  

-

microscopic complex optical potential - energy and density-dependent

-

domain of validity : Ep < 160 MeV

(61)

Difusión elástica: modelo eikonal

 Aproximación eikonal

La teoría cuantica de la difusión permite expresamos la sección eficaz de difusión elástica

Para resolver la amplitud de difusión necesitamos resolver la ecuación de Schrödinger

La solución implica resolver un gran número de ecuaciones acopladas que representan los diferentes canales de reacción o hacer uso de aproximaciones

Los requisitos que garantizan la validez de esta aproximación son

La energía incidente es muy superior a la Los núcleos o nucleones que

(62)

Difusión elástica: modelo eikonal

La posición de la partícula difundida r se parametriza en función de z (dirección el la que se produce la difusión) y b (parámetro de impacto)

Si se cumplen estas condiciones podemos aproximar la solución a una onda plana modulada por una función que depende suavemente de z y b, para la que se verifica:

Planteando la ecuaciónde Scrödinger en coordenadas cilíndricas

Teniendo en cuenta las condiciones anteriores, el segundo y tercer término de esta ecuación pueden despreciarse y por tanto:

(63)

La ecuación tiene soluciones de la forma

Por lo que la función de onda puede expresarse

Siendo esta cantidad la conocida como fase eikonal

Si conozcemos el potencial, con una sola integral determino la función de onda del sistema

Difusión elástica: modelo eikonal

(64)

Si además tenemos en cuenta el potencial coulombiano:

Entonces la fase eikonal tendrá una componente adicional:

Puede demostrarse que la parte de la fase eikonal producida por el potencial coulombiano es de la forma:

Difusión elástica: modelo eikonal

(65)

La amplitud de difusión puede entonces obtenerse como:

Teniendo en cuenta las condiciones de la aproximación eikonal:

Difusión elástica: modelo eikonal

(66)

Si además tenemos en cuenta la simetría esférica del potencial

Difusión elástica: modelo eikonal

La expresión correspondiente para la amplitud de difusión es:

(67)

Donde la contribución elástica

 Sección eficaz de reacción

Difusión elástica: modelo eikonal

Utilizando el teorema óptico:

Utilizando las expresiones

(68)

Resultando al final la expresión

 Sección eficaz de reacción

Difusión elástica: modelo eikonal

La sección eficaz de absorción será por lo tanto

(69)

Difusión elástica: Técnica experimental (reacciones a 2 cuerpos)

Beam tracking

Ex: MUST2-like array Particle-spectroscopy

(d,p  )

Identification : SPEG

(d,p)

A+1

(d,p)

Gamma detection

A

Z(d,p)

A+1

Z

AZ p CD2

(70)

Difusión elástica: Técnica experimental (reacciones a 2 cuerpos)

Identification of the heavy fragments Magnetic spectrometers

VAMOS

Difficult to measure unbound states

particle emmission

Bound states de-excite in-flight by photo-emmision

In general very forward focussing

(71)

Difusión elástica: Técnica experimental (reacciones a 2 cuerpos)

Identification of the light particle semiconductor telescope detector

VAMOS Si(Li)

4.5 mm

CsI 3 cm

4 x 4 segments Si strips

300 m

100 x 100 mm2 X, Y , T, E 128X128Y

E

MUST2

2004-6

(72)

Difusión elástica: Técnica experimental (reacciones a 2 cuerpos)

VAMOS

Identification of low enegy particles in the first stage

Higher energy (E-E method)

Identification of the light particle semiconductor telescope detector

(73)

Difusión elástica: Extracción e interpretación de observables

 Ejemplo de potenciales fenomenológicos o macroscópicos:

(74)

Difusión elástica: Extracción e interpretación de observables

 Ejemplo de potenciales fenomenológicos o macroscópicos:

(75)

Difusión inelástica

 Generalidades

:

Por tanto además de describir el movimiento relativo entre proyectil y blanco es necesario tener en cuenta los operadores de transición que modifican el estado interno de los núcleos participantes.

La colisión da lugar a una transferencia de energía entre el proyectil y el blanco

Pb p

p

Pb

208

208

( , ')

(76)

Difusión inelástica: formalismo de canales acoplados

 Formalismo de canales acoplados

:

El hamiltoniano que describe la difusión inelástica tiene la forma general:

) , ( )

(  V rh

T

H   

Donde T es la energía cinética, h() describe los estados internos de los dos núcleos que participan en la colisión y V(r,) representa la interacción entre núcleos que depende tanto de la coordenada de posición relativa r como de los estados internos de cada núcleo . La función de onda asociada tendrá la forma:

 

r ,  

(  ) 

( r ) 

'

(  ) 

'

( r )

La ecuación de Schrodinger asociada da lugar a un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas:

 

 

'

' '

,

,

( r ) ( r ) V ( r ) ( r )

V T E

Se define el potencial de acoplo como:

cada término del sumatorio corresponde a un estado excitado de los núcleos participantes

(77)

Difusión inelástica: excitaciones colectivas

 Excitación electromagnética:

-

excitación vibracional:

Las longitudes de deformación en carga y masa , están

El potencial de acoplo es debido tanto a la interacción nuclear como a la coulombiana. En ambos casos, los términos no esféricos del potencial son responsables de la excitación de estados colectivos.



 

, 0

1

2 *

( )

1 2

) , ( ) 4

, ( )

( )

,

( r

r E Y

M Ze

r r Zze

r V r

V

o o

o

 Excitación nuclear:

 



 

 

 ( ) ( , )

) (

) ,

( Y

*

dr r r r dV

r V r

V

o o o o

-

excitación rotacional:

(78)

Difusión inelástica: solución aproximada

Podemos obtener una solución aproximada de la difusión inelástica utilizando la aproximación eikonal.

Para ello describimos la sección eficaz diferencial de la difusión inelástica respecto del ángulo como:

kfy kison los vectores de onda de los canales de entrada y salida

Potencial de la interacción

fdo estado interno de los núcleos fdo movimiento relativo Utilizando la aproximación eikonal

(79)

Difusión inelástica: solución aproximada

Por lo tanto

Y el elemento de matriz

q = ki - kf V(r,)  r= r,

  coordenadas internas de A y a

(80)

Difusión inelástica: solución aproximada

Considerando interacciones con un valor de momento trasferido l, podemos calcular la matriz de transición como

Para evaluar esta integral es interesante cambiar el sistema de coordenadas a coordenadas cilíndricas z,b,

  ángulo de difusión entre kfy ki

Los armónicos esféricos en coordenadas cilíndricas se transforman como:

(81)

Difusión inelástica: solución aproximada

Con lo que la matriz de transición en coordenadas cilíndricas resulta

Donde la integral sobre  podemos evaluarla como:

La integral en z puede resolverse haciendo las siguientes aproximaciones:

- el momento transferido es pequeño (aproximación eikonal)

- utilizamos un modelo de absorción fuerte para describir la dependencia radial del potencial f(r) =0 salvo r~R (reacciones periféricas)

Por lo tanto sólo contribuye la parte de la integral alrededor de z ~0  parte de la superficie del blanco perpendicular a la dirección incidente, verificándose:

(82)

Difusión inelástica: solución aproximada

La matriz de transición se reduce a:

La dependencia angular de la integral en z es relativamente débil. El término exp(i

(b)) se anula para valores de b pequeños y se aproxima a la unidad para b=R y la función de Bessel también es máxima para b=R, por tanto podemos aproximar la matriz de transición por:

Teniendo en cuenta que el polinomio de Legendre no se anula cuando l+m=par, los elementos de matriz Que describen la interacción podrán describirse como combinaciones lineales de:

J0,J2, Jlcuando l es par J1,J3,...Jl cuando l es impar

(83)

Difusión inelástica: solución aproximada

Varía en oposición de fase a la sección eficaz elástica

Varía en fase con la sección eficaz elástica La dependencia angular de estos elementos de matriz será:

(84)

Difusión inelástica: sección eficaz diferencia

 Sección eficaz diferencial

:

Generalizando los resultados anteriores podemos llegar a la siguiente expresión para la sección eficaz diferencial inelásticas respecto del ángulo:

(85)

Difusión inelástica: excitación coulombiana

 Excitación Coulombiana: baja energía incidente o parámetro de impacto grande

La partícula incidente sigue una trayectoria de Rutherford clásica.

Probabilidad de transición integrada a lo largo de la trayectoria Si tenemos en cuenta el momento angular

Si V representa la interacción entre un núcleo de carga q y el blanco, la probabilidad de transición entre un estado inicial y final

será:

(86)

Difusión inelástica : excitación coulombiana

 Excitación Coulombiana :

En esta expresión

Teniendo en cuenta que sólo los términos no esféricos del potencial contribuyen a la excitación, hacemos un desarrollo en término de armónicos esféricos del potencial de interacción electromagnética:

(87)

Difusión inelástica: excitación coulombiana

 Excitación Coulombiana

Teniendo en cuenta las expresiones anteriores podemos determinar la probabilidad de transición como

donde el elemento de matriz está relacionado con la probabilidad de transición electromagnética para el caso de una transición eléctric =EM, de multipolaridad 

El factor S incluye todas las dependencias temporales

(88)

Difusión inelástica: excitación coulombiana

 Excitación Coulombiana

Ejemplo: excitación del primer estado excitado 2+ de una banda rotacional en un núcleo deformado Para una partícla incidente cargada difundida a 180°

El potencial V está originado por la interacción del campo eléctrico de la partícula incidente con el momento cuadrupolar del núcleo

Elemento de matriz de la transición cuadrupolar

la amplitud de difusión

(89)

Difusión inelástica: excitación coulombiana

 Excitación Coulombiana

Si la difusión es a 180° el balance de energía determina la distancia de mínima aproximación cuando la velocidad de la energía incidente es 0  r=d

Una vez determinado d puedemos expresar v como

Si la distancia es r= 2d  v=v0/2-1/2 el tiempo necesario para ir de d a 2d será 2-1/2d/v0 Volviendo a la amplitud de difusión vemos que la dependencia con la posición va con 1/r³ si la distancia aumenta (~r=7d o mayor)  la duración de la interacción es del orden de 10d/v0

.

(90)

Difusión inelástica: excitación coulombiana

 Excitación Coulombiana

Bajo estas circunstancias se verifica

Con lo que la amplitud de difusión

La sección eficaz de difusión elástica se expresa por lo tanto como

(91)

Difusión inelástica: excitación coulombiana

 Excitación Coulombiana

Expresando A y d en función de su valor llegamos a la expresióm

uma MeV barns

La sección eficaz aumenta con la masa de la partícula incidente y su E  los iones pesados

(92)

Reacciones de transferencia

Reacciones de pick-up : el proyectil coge un nucleón del blanco

Reacciones de stripping: el proyectil cede un nucleón al blanco

Reacciones de intercambio de carga: el proyectil y el blanco intercambian un protón y un neutrón.

De forma análoga a lo que hemos visto con la difusión inelástica

Si la interacción puede describirse con ondas planas y para potencial de corto alcance (ri=rf=r)

(93)

Reacciones de stripping

Tomamos como ejemplo la reacción

En este caso, las funciones de onda internas del sistema

Puesto que el deuterio está débilmente ligado podemos describirlo como

Simplificación, el p del deuterio es un espectador, la reacción de stripping se describe como la captura de un n

este neutrón se captura en un estado del núcleo blanco con mto angular lt la fdo del núcleo resultante

El elemento de matriz del proceso de stripping será:

(94)

Desarrollando el potencial en series de armónicos esféricos y considerando un modelo de absorción fuerte

Reacciones de stripping

Muy similar a la difusión

inelástica, q lleva la dependencia angular

-pico en =qR ~ l

- los otros máximos para valores de qR aumentados de 

(95)

Reacciones de stripping

Referencias

Documento similar

Una de estas limitaciones es el bajo ritmo de deposición alcanzado Ello es debido a que la sección eficaz de ionización por impacto es realmente pequeiia Por

La campaña ha consistido en la revisión del etiquetado e instrucciones de uso de todos los ter- mómetros digitales comunicados, así como de la documentación técnica adicional de

You may wish to take a note of your Organisation ID, which, in addition to the organisation name, can be used to search for an organisation you will need to affiliate with when you

Products Management Services (PMS) - Implementation of International Organization for Standardization (ISO) standards for the identification of medicinal products (IDMP) in

This section provides guidance with examples on encoding medicinal product packaging information, together with the relationship between Pack Size, Package Item (container)

La sección tipo cajón no solo es la más eficaz desde el punto de vista resistente tanto para puentes metálicos como para puentes de hormigón , sino que además, para estos últimos,

Y tendiendo ellos la vista vieron cuanto en el mundo había y dieron las gracias al Criador diciendo: Repetidas gracias os damos porque nos habéis criado hombres, nos

E Clamades andaua sienpre sobre el caua- 11o de madera, y en poco tienpo fue tan lexos, que el no sabia en donde estaña; pero el tomo muy gran esfuergo en si, y pensó yendo assi