Fundamentos Matemáticos

Tema 1:

Tema 1:

Fundamentos Matemáticos

ández

Antonio González Fernández

nzález Ferná

Departamento de Física Aplicada III Universidad de Sevilla

Antonio Gon

Universidad de Sevilla

© 2009, A

Índice

Introducción Introducción

I. Sistemas de coordenadas

II. Campos escalares. Gradiente III. Campos vectoriales

ández

p

IV. Flujo, divergencia y teorema de Gauss V Ci l ió t i l t d St k

nzález Ferná

V. Circulación, rotacional y teorema de Stokes VI. Otros operadores vectoriales

Antonio Gon

VII. Teoremas de unicidad

A

Introducción: el electromagnetismo se ib l j t áti

escribe en lenguaje matemático

Todo el electromagnetismo se resumen en las Todo el electromagnetismo se resumen en las ecuaciones de Maxwell y la fuerza de Lorentz

0

· 

 E  ^{F q}



 

  

ández t

   

 E B

¿Qué tipo de entes son E(r) y B(r)?

nzález Ferná t

 B 0

¿Qué significa ·? ¿Y ×?

Antonio Gon · 0 B

E

Necesitamos dominar el lenguaje de la teoría de

© 2009, A

3

0 0 0

t

       

 B J E

g j campos

Parte I

Sistemas de coordenadas

ández

Sistemas de coordenadas

nzález FernáAntonio GonA

Para identificar los puntos del espacio

it ti t

necesitamos etiquetas

Para estudiar funciones Para estudiar funciones que dependen de la posición debemos posición debemos

distinguir un punto de otro

ández

otro Las etiquetas literales

nzález Ferná

q

no dan idea de la proximidad entre

Antonio Gon

p

puntos

Se requieren etiquetas

© 2009, A

5

Se requieren etiquetas numéricas

Un sistema de coordenadas asigna

ú d t d l i

números a cada punto del espacio

A cada punto del espacio tridimensional se le A cada punto del espacio tridimensional se le asigna una terna de números (q

, q

, q

)

Deben identificar cada punto de forma unívoca

No puede haber dos puntos con las mismas coordenadas

ández

Deben ser funciones continuas

No puede haber dos puntos con las mismas coordenadas

nzález Ferná

A puntos vecinos le corresponden

coordenadas próximas

(1,2,-1) (1.01,1.99,-0.98)

(q q q ) ( d d d )

Antonio Gon p

Deben ser funciones derivables

(q₁,q₂,q₃) (q₁+dq₁,q₂+dq₂,q₃+dq₃)

A Deben ser funciones derivables

Coordenadas cartesianas (x,y,z)

C ( ,y, )

Las coordenadas cartesianas o rectangulares Las coordenadas cartesianas o rectangulares (x, y, z) asignan a cada punto del espacio las distancias (con signo) a tres planos ortogonales

x: Distancia al plano YZ

distancias (con signo) a tres planos ortogonales

ández

x: sta c a al pla o y: Distancia al plano XZ

nzález Ferná

L t d d ti i

z: Distancia al plano XY

Antonio Gon Las tres coordenadas tienen signo

y pueden variar entre −∞ y +∞

© 2009, A

El vector de posición se escribe r = xi + yj + zk 7

Coordenadas cilíndricas (ρ,,z) (ρ,, )

Generalización a 3 dimensiones de las coordenadas Generalización a 3 dimensiones de las coordenadas polares del plano

( d d di l) di i l ρ (coordenada radial): distancia al eje Z

ández

φ (c. acimutal): ángulo que la

proyección sobre el plano XY forma con el eje X

nzález Ferná con el eje X

z (c. vertical): distancia al plano XY

Antonio Gon

Rangos de variación ^ρ es siempre positiva. Si reducimos ρ hasta atravesar el eje Z, a partir

0    0    2 ^X

Y φ+π ρφ

A

8

ρ j , p

de ahí ρ vuelve a aumentar, pero el valor de φ pasa a ser φ ± π

0 0 2π

z

      

   

Z X φ φ

ρ

Dos ejemplos de uso de coordenadas ilí d i

cilíndricas

C C:ρ H:z

ández

H:z S:φ

nzález Ferná

φ

Antonio Gon

Grúa Disco duro

© 2009, A

9

Coordenadas esféricas (r,θ,φ)

C ( , ,φ)

Otra generalización a 3 dimensiones de las Otra generalización a 3 dimensiones de las coordenadas polares del plano

r (coordenada radial): distancia al θ ( l ) á l l t d r (coordenada radial): distancia al origen

ández

( i t l) á l l

θ (c. polar): ángulo que el vector de posición forma con el eje Z

nzález Ferná

φ (c. acimutal): ángulo que la

proyección sobre el plano XY forma con el eje X

Antonio Gon con el eje X

Rangos de variación ^θvaría desde 0 (en el polo norte) hasta π (en el polo sur). Al pasar

0   r 0    π

Z θ θ = 0

A ( p ) p

del polo sur θ vuelve a disminuir,

0   r 0    π

  

Ejemplos de uso de coordenadas fé i

esféricas

ández nzález Ferná

: R + altura

Antonio Gon

Coordenadas geográficas

r : R

+ altura

θ : colatitud Brazo robótico polar

© 2009, A

11

g g

 : longitud

p

Relación entre coordenadas esféricas, ilí d i t i

cilíndricas y cartesianas

De cilíndricas a De esféricas a

ández

cartesianas

 cos

x cilíndricas

  rsen

nzález Ferná

 sen

 y

z z cos

  

 

Cada sistema z r se puede poner

Antonio Gon

De esféricas  sen cos 

 x r

se puede poner en función de los otros

A

12

De esféricas

a cartesianas sen sen cos

  

 

y r z r

Ejemplos de cambio de un sistema a t ( bl 1 1)

otro (problema 1.1)

1 1 Exprese los siguientes campos escalares en 1.1 Exprese los siguientes campos escalares en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas

Cartesianas Cilíndricas Esféricas

ández





    ^{   }





nzález Ferná





    ^{ }









Antonio Gon

cos

  z  





xz x y

    cotg cos 

2 2 2

z x y

© 2009, A

13

cotg tg

     z

z

  



2 2

z x y

z x y

 

  

Razones para elegir un sistema t t í i t í concreto: geometría y simetría

Los sistemas de coordenadas son arbitrarios Se Los sistemas de coordenadas son arbitrarios. Se elige el más conveniente

U i i l d l lí fi i

ría Un criterio lo dan las líneas y superficies que definen el sistema físico (esferas, cilindros...)

omet r

Conviene conocer las líneas y superficies coordenadas

Si t i ét i bi l h

Ge o

Sistema simétrico: no cambia al hacer una

transformación

ría

Simetría traslacional:

invariante en un

d l i t

Simetría rotacional:

i i

Simet

S

Líneas coordenadas: movimiento al

i l d d

variar una sola coordenada

Sea un punto de coordenadas (q q q ) Sea un punto de coordenadas (q

,q

,q

)

Si aumentamos el valor de q

nos movemos sobre una curva r = r(q

)

También podemos reducir q

ández

También podemos reducir q

Esta es la línea q

-coordenada

nzález Ferná

Del mismo modo

Por cada punto pasan tres líneas.

Si las líneas son

Antonio Gon

Del mismo modo

podemos trazar las líneas y

Si las líneas son

perpendiculares en cada punto el sistema es

© 2009, A

15

líneas q

- y q

-

coordenada punto el sistema es ortogonal

Líneas coordenadas en cartesianas, ilí d i fé i

cilíndricas y esféricas

Cartesianas Cilíndricas Esféricas Cartesianas Cilíndricas Esféricas

ández nzález Ferná

Líneas rectas paralelas a los

ρ: semirrectas

: circunferencias r: semirrectas

θ idi

Antonio Gon p

ejes

: c cu e e c as horizontales

z: rectas verticales : paralelos θ: meridianos

A

16

z: rectas verticales

Los tres sistemas son ortogonales

Superficies coordenadas: mantenemos

t t d d

constante una coordenada

Si variamos una Si variamos una

coordenadas y fijamos dos obtenemos líneas dos obtenemos líneas coordenadas

Si fij i

ández

Si fijamos una y variamos dos resultan superficies

d d t

nzález Ferná

coordenadas q

= cte

Por cada punto pasan tres

Antonio Gon

p p

superficies coordenadas La intersección de dos superficies

© 2009, A

17

La intersección de dos superficies coordenadas es una línea coordenada

Superficies coordenadas en cartesianas, ilí d i fé i

cilíndricas y esféricas

Cartesianas Cilíndricas Esféricas Cartesianas Cilíndricas Esféricas

ández nzález Ferná

Planos

paralelos a los

r: esferas concéntricas ρ: cilindros rectos

Antonio Gon p

planos

coordenados θ: conos

: semiplanos ρ

: semiplanos verticales

A : semiplanos

verticales verticales

z: planos

Conveniencia de definir una base t i l d t

vectorial en cada punto

Para describir campos vectoriales es necesario dar Para describir campos vectoriales, es necesario dar un vector en cada punto del espacio.

Estos vectores pueden representarse mediante sus componentes en una determinada base.

ández

Una posibilidad es emplear siempre la misma base, i, j, k.

A( ) A(r )

nzález Ferná j

i k

A(r₂) A(r₁)

Otras veces conviene usar una base dependiente del sistema de

Antonio Gon i

j

p

coordenadas empleado.

Esto puede simplificar las expresiones y

© 2009, A

19

p p p y

los cálculos

Construcción de una base ortonormal a

ti d l lí d d

partir de las líneas coordenadas

Por cada punto pasan tres líneas Por cada punto pasan tres líneas

Podemos construir una base vectorial tomando los vectores tangentes a las líneas

ández k

q

 



e r

Es tangente a la línea q

, pero no es unitario

nzález Ferná

1  r 

Tangente y

r

Factor de

qk



pero no es unitario

Antonio Gon 1

k

k k

h q

  

  

u r

Tangente y unitario

k

k

h q

 



r

Factor de escala

A

La base depende de la posición

 

 

Base ortonormal en cartesianas

L lí d d

Z zu_z

Las líneas coordenadas son paralelas a los ejes

x

P

u_x

u_y

i j

k

u_z

Los vectores de la base, u_x, u_y, u_z, son también paralelos a los

j

ández

X y

i j

u_x

u_y

ejes

La base cartesiana es la misma

nzález Ferná

Y

Esta base sí es El vector de posición es que i,j,k

Antonio Gon

independiente de la posición

El vector de posición es

x y z

x y z

  

r u u u

© 2009, A

21

Base ortonormal en cilíndricas: depende d l i ió

de la posición

t di l u_ρ es un vector radial horizontal

u_φ es tangente a una circunferencia horizontal

ández

u_z es vertical

nzález Ferná

DEPENDE DE LA POSICIÓN

Antonio Gon

POSICIÓN

El vector de posición

 

A El vector de posición

se escribe r   u_ zu^z





Base ortonormal en esféricas: depende d l i ió

de la posición

u

es radial desde el origen u es tangente a los

u

es tangente a los

meridianos (va hacia “el sur”)

ández

sur )

u

es tangente a los

nzález Ferná φ

paralelos (hacia “el este”)

DEPENDE DE LA

Antonio Gon

DEPENDE DE LA

POSICIÓN

El vector de posición se escribe

r r

 r u

© 2009, A

23

r

Las tres bases son ortonormales

Ortonormal: ortogonal y unitario O to o al: o togo al y u ta o

· 1

i k 0

i k i k

 

 

1 2  1· 3  2· 3 0 u u u u u u u u

i k 0

 i k



De la ortonormalidad se deduce que

1· 1  2· 2  3· 3 1 u u u u u u

ández

De la ortonormalidad se deduce que

1 1 2 2 3 3

·  A B  A B  A B A B

Si b dif t h lti li l

nzález Ferná

Si se usan bases diferentes hay que multiplicar los

vectores de las dos bases: p.ej. si A=2u_x+3u_y, B = u_ρ−u_φ, entonces A·B = 2u ·u +3u ·u − 2u ·u − 3u ·u

Antonio Gon

La componente A

puede

entonces A B = 2u_x u_ρ+3u_y u_ρ 2u_x u_φ 3u_y u_φ

A

24

La componente A

puede

hallarse como A

= A·u





Las tres bases vectoriales son d t ó i

dextrógiras

Dextrógira: que verifica la regla de la mano derecha Dextrógira: que verifica la regla de la mano derecha

x y z y x z

y z x z y x

    

    

u u u u u u

u u u u u u

Igual para las otras

ández

z  x  y x  z   y

u u u u u u

dos bases

nzález Ferná

El orden es importante

C t i ( )

Antonio Gon

Cilíndricas: (ρ, φ, z) Cartesianas: (x, y, z)

© 2009, A

Esféricas: (r, θ, φ) 25

Relaciones entre las bases: Los 9

t d i d di t

vectores no pueden ser independientes

De cilíndricas a cartesianas De cilíndricas a cartesianas

cos _x sen _y

    

u u u

z  z

u u

sen _x cos _y

     

u u u

ández De esféricas a cilíndricas

nzález Ferná De esféricas a cilíndricas

sen cos

r      z

u u u

Antonio Gon cos sen _{z }   u u u

  

u u

A

Tabla de relaciones entre las bases

  

cos sen sen cos cos cos sen

sen cos sen sen cos sen cos

x r

y r

   

   

           

           

 

u u u u u u

u u u u u u

cos sen

z  z   r  

u u u u

   

ández

cos sen sen cos

sen cos

x y r

x y

 

 

       

     

 

u u u u u

u u u u

nzález Ferná

cos sen

z  z   r  

u u u u

       

Antonio Gon

sen cos sen sen cos sen cos

cos cos cos sen sen cos sen

x y z z r

x y z z



 

           

           

u u u u u u

u u u u u u

© 2009, A

27

sen _x cos _{y  }

 u  u  u  u

Problemas de relaciones entre las bases t i l

vectoriales

1.2 Exprese los siguientes campos vectoriales en 1.2 Exprese los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas:

A  B y u  x u

A r





2 z _ z

    

C u u

2 2 x 2 2 y

y

x y x y

  

 

B u u

tg

r _

 

D u

ández

 

  

C u u tgu_

Solución

nzález Ferná

1.3 Dados los vectores A = u

– u

, B = 5u

+ 12u

, evaluados en el punto de coordenadas

Antonio Gon θ

, p

cartesianas x = 3, y = 4, z = 12, calcule:

(a) A + B, (b) A·B, (c) A×B.

A

28

( ) , ( ) , ( )

Solución

Diferenciales de camino en coordenadas ilí

curvilíneas

Un diferencial de camino es un desplazamiento Un diferencial de camino es un desplazamiento infinitesimal entre dos puntos vecinos r y r + dr

El d d

El vector dr puede expresarse en la b l l i d

ández

base local asociada al punto r

nzález Ferná



 



dr r q ₁d ,q q d ,₂q q dq₃ r q q q, ,

1 2 3

d dq dq dq

q q q

  

  

  

r r r

r _{1 1 2 2 3 3}

dr 

Diferencial de camino

d h d h d h d

Antonio Gon 1 2 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

dr  h qd u h qd u h qd u

© 2009, A

29

h

: factor de escala u

: vector de la base

Factores de escala y diferenciales en los

t i t i i l

tres sistemas principales

Miden la proporción entre Miden la proporción entre lo que varía q

y lo que varía dr

d d

d h

  

 r

r ^dφ

ρdφ

1 ρ

varía dr.

P.ej. si solo varía φ

h_

  



ández

Para los tres sistemas principales

nzález Ferná

Car.

Cil

dr  dxu_x dyu_y dzu_z

d d d d

1 1 1

x y z

h  h  h 

1 1

h h h

Antonio Gon

Esf Cil.

dr dru rdu_ rsen d u dr  d u_   d u_ dzu_z

1 _z 1

h_  h_   h 

1 sen

h  h_ r h  r 

A

Esf.

Diferenciales de superficie coordenada

d d ilí

en coordenadas curvilíneas

Por definición, dS = dS n dS Por definición, dS dS n

|dS| = dS: área del elemento

dS dS

n

Dirección y sentido de la normal (exterior si S es cerrada)

S

ández

Podemos construir dS a partir de dos diferenciales de camino tangentes a la superficie

nzález Ferná

de camino tangentes a la superficie

3 1 2

dS dr dr

Diferencial de superficie

q₂

dS q₃=cte

Antonio Gon

3 1 2 1 2 1 2

dS  h h q qd d u u

1 1 1 1

dr h qd u

p para q

= cte

dS h h d d

dr₂ q

q₂ dS₃

© 2009, A

31

2 2 2 2

dr  h qd u dS3 h h q q1 2d d1 2 3u dr₁

q₁

Diferenciales de superficie en los tres i t i i l

sistemas principales

Cartesianas Cilíndricas Esféricas Cartesianas Cilíndricas Esféricas

ández nzález Ferná

dS_   d dzu_

dS_x d dy zu_x dS_r r² sen  d d u_r

Antonio Gon

dS_y d dx zu_y dS_  d dzu_

 

x y x _r  _r

dS_  rsen d d r u_

A

32

dS_z d dx yu_z dS_z    d d u_z dS_ r rd du_

Diferenciales de volumen en

d d ilí

coordenadas curvilíneas

Puede construirse un diferencial de dτ Puede construirse un diferencial de

volumen, dτ, extendiendo un diferencial de superficie en la dτ

dr

dS diferencial de superficie en la tercera dimensión

dr

dS

ández

   

Diferencial

de volumen

nzález Ferná

de volumen

J = h

h

h

es el jacobiano de la transformación

Antonio Gon

Cartesianas Cilíndricas Esféricas

d  d d dx y z d    d d dz d r²sen d d d r  

© 2009, A

33

d  d d dx y z d    d d dz d  r sen d d d r  

Parte II

Campos escalares Gradiente

ández

Campos escalares. Gradiente

nzález FernáAntonio GonA

Concepto de campo escalar: una it d d d d l i ió magnitud que depende de la posición

En física un campo escalar es una magnitud En física, un campo escalar es una magnitud escalar que tiene un valor diferente en cada punto del espacio: Φ = Φ(r)

punto del espacio: Φ = Φ(r) Matemáticamente: Φ : E

→ 

ández

Consideramos solo campos univaluados

nzález Ferná

Ejemplos:

T t T T( ) P ió ( )

Antonio Gon Temperatura, T=T(r) Presión, p=p(r)

Potencial eléctrico,

Potencial eléctrico, ^{   r}

 

© 2009, A

35

 

Altura del terreno, z=h(x,y) de carga, ρ= ρ(r)

Representación de campos escalares 2D:

i f ibl

varias formas posibles

Relieve Mapa de temperaturasp p Curvas de nivel

ández nzález FernáAntonio Gon

Combinados

A

36

Representación de campos escalares 2D:

d i l curvas de nivel

Las curvas de Las curvas de nivel unen puntos con el mismo valor de la

magnitud

ández

magnitud La presión

nzález Ferná La presión

depende de las tres

Antonio Gon

coordenadas:

Se necesita un 3D

© 2009, A

37

mapa 3D

Superficies equiescalares (o i t i l )

equipotenciales)

Unen los puntos del espacio para los cuales el campo Unen los puntos del espacio para los cuales el campo escalar tiene el mismo valor

D fi i i l

con k fijado

 

 r 

ández

Dos superficies equiescalares distintas no pueden cortarse

nzález Ferná

Ejemplo: para el campo

Antonio Gon

 

 r    

las superficies equiescalares

A

las superficies equiescalares

Ejemplo de cálculo de superficies i l ( b 1 4)

equiescalares (prob. 1.4)

1.4 Describa las superficies equipotenciales de los siguientes campos escalares, donde A es un vector constante y r el vector de posición

2 2 r2

ández

  A r·   r²   A r· r²

·

  r A r

nzález FernáAntonio Gon© 2009, A

39

Interpretación de la derivada:

di t d

pendiente y operador

d/d : pendiente En 1D, la derivada

tiene un significado

d/dx: pendiente de la recta

tangente a la g

geométrico sencillo tangente a la curva (x,(x))

ández

   

0 0

d lim lim

d ^{x x}

x x x

x ^{ } x ^{ } x

    

   

 

nzález Ferná

La derivada es un

d d

Antonio Gon

operador, que puede

aplicarse reiteradamente

A

40

Extensión del concepto de derivada a d t di i

dos y tres dimensiones

En 2D el concepto de pendiente En 2D, el concepto de pendiente requiere especificar la dirección En 3D, el concepto de pendiente no tiene significado

ández

Se define la derivada direccional de

(r) en un punto r₀ en una dirección d d l i i

nzález Ferná

dada por el unitario v:

r0 ^{ r}

 



  

   r    r r

Antonio Gon



0  

r r 







  

  r  r  r

 li 

© 2009, A

41



r

  r v s ^{0 0}

v ^{ }lim

  

 _r ^r r

Diferencial de una función: diferencia t d t i

entre dos puntos vecinos

En la derivada direccional aparece un incremento En la derivada direccional aparece un incremento infinitesimal: diferencial de una función



  

   r    r r d  



  

ández

Aplicando la serie de Taylor

nzález Ferná

   

   

1, ,2 3 10, 20, 30

q q q q q q

   

 

  

Antonio Gon

   

 

1 10 2 20

1 2

q q q q

q q

 

    

 

 ^{1 1 2 2 3 3}

d dq dq dq

q q q

  

   

  

A

 

q

   

 

Definición de gradiente de un campo l

escalar

Para cada punto del espacio existen infinitas Para cada punto del espacio existen infinitas derivadas direccionales diferentes

Pueden calcularse todas a partir de solo 3 Se define el gradiente  de un

ández

Se define el gradiente  de un campo escalar  como el único vector que para todo dr verifica

d    r ·d

nzález Ferná

Ejemplo:  = r

vector que para todo dr, verifica Equivalentemente,

Antonio Gon

j p  q ,

para todo v

 

2 2

d  r dr r  ^

 

© 2009, A

43

v ·

  

 v  2 ·dr r  dr²  2 ·dr r

 

Propiedades generales del gradiente p g g

El di t di l



El gradiente es perpendicular a las superficies equipotenciales



v



0 ·

v′

v

   

 v   v

v  S

v  = k

ández

Ejemplo:  = r² La dirección es en la que es máxima la derivada direccional y su módulo es

 2r

nzález Ferná

dicha derivada máxima

 Para α = 0



= 2r r

Antonio Gon

1· cos v

   

 max

v

  

 

 

r ²= cte

A

Apunta en el sentido de  creciente 44

El gradiente permite localizar los t íti d f ió

puntos críticos de una función

El gradiente se anula donde el campo escalar tiene El gradiente se anula donde el campo escalar tiene un punto crítico

ández nzález Ferná

Mínimo Máximo Punto de silla

Ejemplo:  = r²

Antonio Gon

En un punto crítico, para todo

0 ·

v

   

 v

Ejemplo:  = r² 0 =  = 2r

© 2009, A

45

todo v

  0 Se anula en

el origen ^{r 2= cte}

Aun más propiedades del gradiente.

S d t l d l d

Sumas, productos y regla de la cadena

El gradiente cumple las reglas usuales de derivación El gradiente cumple las reglas usuales de derivación

Suma: Producto:

 

     ^{     }

   

 

ández

Para una función compuesta ^

 



 



d u

u

  

nzález Ferná

Ejemplo:

Ejemplo:  = rⁿ

   

1

  '

 r r

 

Antonio Gon

   

 

3

 '

   r r Haciendo

2

 

  

 

2r   r  2r r r

  rr

A 3

 '

 r r u = |r-r′|²

 

  r

 

Expresión del gradiente en los tres i t i i l

sistemas principales

El gradiente posee componentes en la base asociada El gradiente posee componentes en la base asociada al punto en que se calcula

De la definición, d = ·dr, aplicando que d  dq  dq  dq y

    dr  h qd u h qd u h qd u

ández

y

E ió l

1 2 3

1 2 3

d dq dq dq

q q q

   

   dr  h q¹d ^{1 1}u h q²d ^{2 2}u h q³d ^{3 3}u C t i

nzález Ferná

Expresión general

1 2 3

1 1 1

h q h q h q

  

   

 u  u  u

Cartesianas

x y z

x y z

  

   

 u  u  u

Antonio Gon 1 1 2 2 3 3h q h q h q   x y z  

Cilíndricas

 1   Esféricas

1 1

  

© 2009, A

47

1

z z

 

  

   

u  u  u 1 1

r sen

r r ^ r ^

  

   

 u u  u

Ejemplos de cálculo de gradientes j p g

 A A t T A A  A  A A

 = A·r, con A cte Tomamos A = Au_z  = Az  = Au_z=A

 = x²/2+ y²/2+ z²/2  = xu_x+yu_y+zu_z= r

1.6.a

 = r²/2

 x /2 y /2 z /2  xu_x yu_y zu_z r

 = ρ²/2+ z²/2  = ρu_ρ+0u_φ+zu_z = r

1.6.a

ández

 = r²/2  = ru_r+0u_θ+0u_φ = r

nzález Ferná

 = (2z²-x²-y²)/2

 = (2z²-x²-y²)/2  = -xu_x-yu_y+2zu_z

 = (2z²-ρ²)/2  = -ρu +2zu

1.6.b

Antonio Gon  (2z x y )/2  (2z ρ )/2  ρu_ρ+2zu_z

 = r² (3cos²θ-1)/2

A

 = r(3cos²θ-1)u_r− 3rsenθcosθu_θ 48

Aun más ejemplos de cálculo de di t

gradientes

2 2

 ^{2 2}  Hacerlo directamente en

2 2 2

arcsen x y

x y z

  

     

Hacerlo directamente en

cartesianas es muy complicado

 

Pasando a esféricas

2 2

2

arcsen r sen r

  

    

 

1 r ^

  u

ández

 

 p r· ^_^{p r· }_ ^

   

 

nzález Ferná

r3

  p ₃

   

r r r

   

    

   

p p r

 

r5

   p p

 

 p r p  1 3r

Antonio Gon

cos

p  ^p

 

 

 p r p

3 5

1 3

r r

   

 

r

Empleando

© 2009, A

49

2

cos p

r

   ₃





p

r ^

   u u

Empleando

esféricas p  pu^z

El gradiente es una aplicación del d bl

operador nabla

Generalizando el producto de escalar por un vector Generalizando el producto de escalar por un vector

1 2 3

1  1  1      

   u  u  u 

u₁ u₂ u₃ ^{1 2 3}

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

h q h q h q h q h q h q

   u   u   u       

  

u u u

ández

Definimos el operador nabla: ^{1 2 3}

1 1 2 2 3 3

h q h q h q

  

   

  

u u u

nzález Ferná

Cartesianas

 no es un vector; es un operador vectorial

  

 u u u

Carece de:

Antonio Gon Cartesianas

Cilíndricas

x y z

x y z

  

  

u u u

z z





  

   

   

u u u

Módulo Dirección

A z   

   

  u  u

Sentido

Parte III

Campos vectoriales

ández

Campos vectoriales

nzález FernáAntonio Gon© 2009, A

51

Un campo vectorial es una magnitud t i l d d d l i ió vectorial que depende de la posición

En física un campo vectorial es una magnitud En física, un campo vectorial es una magnitud vectorial que tiene un valor diferente en cada punto del espacio: A = A(r)

punto del espacio: A = A(r)

Consideramos solo campos univaluados

ández

Ejemplos:

p

nzález Ferná

Velocidad de un fluido (viento), v= v(r)

C lé t i E E( ) C éti B B( )

Antonio Gon Campo eléctrico, E = E(r)

Gradiente de un campo Campo magnético, B = B(r) Densidad de corriente, J

A

Flujo de calor, q = q(r) 52

p escalar, 

,

Representación de campos vectoriales:

á ti t i ibl prácticamente imposible

Sólo da ciertos

N l

Sólo da ciertos puntos

No aparece la dependencia con z

ández

con z

No aparece la

nzález Ferná

componente vertical

Antonio Gon

“Hace falta un grado mayor de imaginación para

© 2009, A

53

comprender el campo electromagnético que para imaginar ángeles invisibles”, R.P. Feynman

Las líneas de campo permiten una i li ió á i t iti

visualización más intuitiva

Las líneas de campo son Las líneas de campo son tangentes al campo en cada punto

cada punto

A partir de un punto r, nos

ández

movemos infinitesimalmente en la dirección del campo

nzález Ferná

d

 

dtr  dr Fdt F r

Distribución de corriente

Antonio Gon

Resulta un sistema, sin solución analítica en la D lí d

de corriente en una pieza

A mayoría de los casosDos líneas de campo no se

Aplicaciones al electromagnetismo:

lí d lé t i d i t líneas de campo eléctrico y de corriente

·q ·+q

Campo de

· q q

·q

cargas puntuales

ández

·-q

nzález Ferná

Corriente

Antonio Gon

eléctrica en un medio conductor

© 2009, A

55

Dos ejemplos sencillos de cálculos de lí d

líneas de campo

Campo central: radial y dependiente Campo central: radial y dependiente de la distancia al origen

 

 

 

F r u r

Las líneas de campo son radiales

ández

Las líneas de campo son radiales

Campo B yu  xu

nzález Ferná Campo x yy xB u u

El sistema de i

dx  y dy

 x

Antonio Gon ecuaciones es

Empleando

d y

t dt



B u Las líneas son

A

56

p

cilíndricas B  u^

circunferencias

A partir de las líneas de campo se t t b d

construyen tubos de campo

Los tubos se obtienen Los tubos se obtienen uniendo todas las líneas que pasan por una dada

Para el campo vectorial

que pasan por una dada

ández

x y z

x y z

   

F u u u

E b l

nzález Ferná

Es un tubo porque las líneas del interior no

l d él

Antonio Gon

salen de él

Será útil al estudiar las

© 2009, A

57

Será útil al estudiar las corrientes eléctricas

Parte IV

Flujo, divergencia y

ández

teorema de Gauss

nzález FernáAntonio GonA