FIGURAS Y CUERPOS
• Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
PROBLEMA: Demuestra que “los ángulos opuestos por el vértice, a y b, son iguales”
Si recortamos el ángulo b opuestos y lo sobreponemos en su opuesto a, comprobamos que las medidas de ambos ángulos coinciden exactamente.
< a = < b
Por ser opuestos por el vértice.
Cuando se cruzan dos rectas de un lado a otro se forman rectas transversales, originando ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes.
d a c b
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Encuentra la medida de los ángulos que se indican.
a ________
b ________
x ______
y ______
155°
Calca y recorta lo que corresponde al ángulo b y sobreponlo en el ángulo a.
b
a
G F
E 49°
y x
99°
a 36°
b 25°
c b a
51°
a y c son ángulos opuestos por el vértice. Y también b y d.
a y d son ángulos adyacentes porque comparten el mismo vértice y un lado. Y también d y c, c y b, a y b.
Los ángulos adyacentes son suplementarios porque suman 180° (a + d = 180°)
E ________
F ________
a ________
b ________
2.- En el siguiente dibujo se presentan dos rectas que al cortarse forman ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes suplementarios porque suman 180°. Observa el dibujo y contesta las preguntas.
3.- En Santa Bárbara, Chihuahua, para ir del pueblo a la Mina Clarines, hay un camino que al cruzarse con la carretera de terracería forman ángulos como los que se representan en el siguiente dibujo. Observa el dibujo y contesta las preguntas.
4.- El profesor Vicente les planteó a sus alumnos el siguiente:
PROBLEMA: El siguiente dibujo representa el cruce de dos vías del ferrocarril.
¿Cuál es el valor del ángulo representado por la letra x?_______________
5.- La sombra que proyecta la antena de la televisión de una casa, forma con el marco de una puerta ángulos como se muestran en el siguiente dibujo. Observa y contesta las preguntas.
c b 135° a
132°
x c
a b 100°
c b
a 40°
¿Cuál es la medida del ángulo c?______
¿Cuál es la medida del ángulo a?______
¿Cuál es la medida del ángulo b?______
MINA
CLARINES ¿Cuál es la medida del ángulo c?______
¿Cuál es la medida del ángulo a?______
¿Cuál es la medida del ángulo b?______
¿Hasta cuántos ángulos identificas
que se forman en el dibujo?... ________
¿Cuál es la medida del ángulo c?...______
¿Cuál es la medida del ángulo a?...______
¿Cuál es la medida del ángulo b?...______
RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES, ALTERNOS INTERNOS Y ALTERNOS EXTERNOS
PROBLEMA: Calca y recorta la circunferencia dibujada abajo y colócala exactamente sobre la otra circunferencia. Observa que la medida de los ángulos coincide. Compara la medida de los ángulos y demuestra que:
a b c d e f
g h
a = e b = f c = g d = h Por ser correspondientes.
c = f d = e Por ser alternos internos.
a = h b = g Por ser alternos externos.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- En las siguientes rectas paralelas, escribe parejas de ángulos que cumplen con lo que se indica enseguida, compara la medida de los ángulos que se forman y contesta las preguntas que se te hacen.
Opuestos por el vértice: ________, ________, ________, ________.
Suplementarios: _________, _________, _________, _________, _________, _________, _________, __________.
Alternos internos: __________, __________
Alternos externos: __________, __________
Si en el dibujo anterior, el ángulo a mide 45°:
¿Cuánto mide el ángulo b? _______ ¿Cuánto mide el ángulo f? _______
¿Cuánto mide el ángulo c? _______ ¿Cuánto mide el ángulo g? _______
¿Cuánto mide el ángulo d? ________ ¿Cuánto mide el ángulo h? _______
¿Cuánto mide el ángulo e? _______
b a
c d
f e
g h
2.- Observa el siguiente dibujo en donde P y Q son paralelas.
3.- Escribe la medida de los ángulos formados en las siguientes rectas si 3x + 2x = 180°
5.- Corta las siguientes rectas paralelas con una transversal, mide con el transportador uno de los ángulos que se forman y escribe a los otros su medida.
6.- Encuentra la medida del ángulo x, sabiendo que M y N son paralelas.
e f c d
a b 3x 2x
Q P
150°
N M
x
49°
d c
g h
a 123° f
b
¿Cuánto mide cada uno de los siguientes ángulos?
c = _________ b = _________
a = _________ d = _________
f = _________ g = _________
h = _________
a = _______ b = _______
c = _______ d = _______
e = _______ f = ______
ÁNGULOS INTERNOS DEL TRIÁNGULO
PROBLEMA: Demuestra que los ángulos internos de un triángulo suman 180°.
Con el papel doblado, a partir del dibujo de un triángulo podemos ver de manera informal que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.
b
a c a + b + c = 180°
Porque forman un ángulo llano.
Un ángulo es la porción indefinida de plano limitada por dos líneas. Para medir un ángulo se coloca el transportador de tal manera que los grados señalados en él, nos den la medida del ángulo.
Ángulo agudo Ángulo recto Ángulo obtuso Ángulo llano
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Mide con el transportador los ángulos internos de cada triángulo y suma sus medidas.
180°
145°
25° 90°
2.- Encuentra la medida de los ángulos que faltan en cada uno de los triángulos que aparecen en las figuras y escríbela en el ángulo interno que señala cada flecha.
5.- Encuentra la medida del ángulo a del siguiente triángulo, y enseguida mide con transportador los ángulos internos del cuadrado, para que demuestres que la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es igual a 360°.
90 + 45 + _____ = 180° a + b + c + d = _________________
(180)(2) = 360°
a
y 69°
31°
36°
d c a b
45° 90°
90°
23°
15°
60°
90°
45°
32°
4.- Observa la siguiente figura:
¿Cuánto mide el ángulo y?... (____)
a) y = 111° b) y = 30°
c) y = 90° d) y = 21°
3.- En un triángulo, dos de sus ángulos internos miden 25° y 50°.
¿Cuánto mide el otro ángulo?... (___) a) 75°
b) 105°
c) 130°
d) 285°
6.- Encuentra el valor de la medida de los ángulos faltantes en los siguientes triángulos o cuadriláteros.
b = ______
a = ______
b = ______
x = ______
x = ______
y = ______
x = ______
b = ______
a = ______
a = ______
b = ______
135°
106°
a b
58°
a 52°
b 32°
36°
b 72° a
a 46°
38°
b
90°
90°
x 90°
a b
d c
90° 45°
x
y
45° 90°
125°
88° 88°
x a = ______
a = ______
b = ______
c = ______
d = ______
7.- En el patio de la escuela los maestros dibujaron un triángulo como el siguiente:
8.- En la prueba de matemáticas la maestra nos planteó el siguiente:
PROBLEMA: Encuentra la medida de los ángulos internos del siguiente triángulo si sabemos que el ángulo R mide 145° y el ángulo A mide 55°.
9.- La siguiente figura representa un terreno triangular en el que pasan tres calles por cada uno de sus lados.
Encuentra la medida de los ángulos a y b que se forman en el terreno.
10.- Dos de los ángulos de un triángulo miden 30° y 90°.
¿Cuál es la medida del tercer ángulo?..._______
11.- Dos de los ángulos de un triángulo miden 40° y 100°.
¿Cuál es la medida del tercer ángulo?..._______
12.- Dos de los ángulos de un triángulo miden 45° y 90°.
¿Cuál es la medida del tercer ángulo?..._______
13.- Dos de los ángulos de un triángulo miden 30° y 95°.
¿Cuál es la medida del tercer ángulo?..._______
14.- Encuentra la medida del ángulo Ω del triángulo que se forma en las siguientes rectas.
a) 50°
b) 45°
c) 60°
d) 55°
Ω
80°
135°
b a
150°
C
B A
R b 132°
40°
a ¿Cuánto mide el ángulo b?__________
¿Cuánto mide el ángulo a?__________
¿Cuánto mide el ángulo B?__________
¿Cuánto mide el ángulo C?__________
¿Cuánto mide el ángulo b?__________
¿Cuánto mide el ángulo a?__________
Ω = ___________
FIGURAS Y CUERPOS
• Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.
TRAZO DE UN TRIÁNGULO CON REGLA Y COMPÁS
PROBLEMA: Traza un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 4 cm y 3 cm.
1.- Trazo con regla uno de sus lados, cualquiera que sea. En este caso puede ser el lado que mide 5 cm y lo llamamos lado AB.
2.- Tomo con el compás la medida del otro lado (4 cm) y apoyando el compás en uno de los extremos del lado AB, trazamos un arco hacia uno de los lados del lado AB.
3.- Tomo con el compás la medida del tercer lado del triángulo (3 cm) y apoyando el compás en el otro extremo del lado AB, trazamos otro arco que corte al arco que habíamos trazado.
4.- Trazo el lado que va del punto A al punto donde se cruzaron los arcos.
5.- Trazo el lado que va del punto B al punto donde se cruzaron los arcos.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Resuelve los siguientes problemas geométricos.
2.- Observa la siguiente figura y contesta.
C
B 1.- Traza un triángulo
equilátero cuyos lados midan 3 cm.
2.- Traza un triángulo isósceles cuyos lados midan 3 cm, 5 cm y 5 cm.
3.- Traza un triángulo escaleno cuyos lados midan 2 cm, 3 cm y 4 cm.
A
17.8
¿Cuántas unidades mide AB? _______
¿Cuántas unidades mide BC? _______
¿Cuántas unidades mide AC? _______
¿Cuánto mide AB + BC? _______
¿AB + BC es mayor que AC, Sí o No? ________
¿AC + BC es mayor que AB, Sí o No? ________
3.- Mariana tiene tres conjuntos de tres palitos con las medidas que se muestran enseguida, para construir con cada uno, un triángulo. Dibuja enseguida los triángulos que si podrá dibujar Mariana.
A B C
¿En cuál de los casos no se pudo dibujar el triángulo, y por qué?____________________________________________________________________
________________________________________________________________________
El criterio general para poder construir un triángulo es:
“Con tres segmentos se puede formar un triángulo si la suma de la medida de dos lados, cualesquiera de ellos, siempre es mayor que la medida del otro lado”.
Si tenemos las siguientes ternas de longitudes de segmentos, di con cuáles Sí se puede construir un triángulo y con cuáles No. Dibuja enseguida un trazo que sí se pueda y demuestra el que no es posible.
TERNAS Sí o No
(8 cm, 7 cm y 5 cm) (7 cm, 5 cm y 3 cm) (4 cm, 4 cm y 3 cm) (5 cm, 3 cm y 2 cm) (7 cm, 7 cm y 3 cm)
TRAZO POSIBLE
TRAZO IMPOSIBLE
4.- Trata de trazar un triángulo cuyos lados midan 4 cm, 2 cm y 2 cm.
5.- Mario compró tres tiras de molduras para colocarlas en una pared en forma de triángulo.
Las molduras miden 1.50 metros, 3.25 metros y 1.60 metros.
¿Podrá Mario formar el triángulo que desea? ______
6.- Traza enseguida tres triángulos diferentes, que tengan cada uno dos lados que midan 3 y 5 cm respectivamente y mide en los tres el tercer lado.
Demuestra por qué sí pudiste trazar los triángulos.
7.- Construye varios triángulos que midan de perímetro 12 centímetros cada uno. Utiliza solamente números enteros.
Explica por qué no es posible realizar el dibujo de este triángulo: ________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
PRIMER TRIÁNGULO SEGUNDO TRIÁNGULO TERCER TRIÁNGULO
MEDIDA
• Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS. FÓRMULAS
PROBLEMA: Escribe las fórmulas para encontrar el área de las siguientes figuras planas.
FIGURA FÓRMULA DEL ÁREA
CUADRADO a²
RECTÁNGULO (b)(h)
TRIÁNGULO bh
2
CÍRCULO ¶ r²
TRAPECIO (B + b)h
2
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Encuentra el área de las siguientes figuras.
6 m
10 cm
4 cm 50 mm
30 mm
16 m
30 m
2.5 m
20 m 8.7 cm
Las superficies se miden con unidades cuadradas: m², dm², cm², mm², etcétera.
1 metro cuadrado es un cuadrado que mide 1 metro por cada lado.
2.- Encuentra el área de la parte sombreada en cada una de las siguientes figuras.
8 cm
4 cm 14 cm
14 cm 7 cm
8 cm
9 cm
4 cm 6 cm 4 cm 5 cm
12 cm 6 cm
8 cm
18 cm
8 cm 12 cm 8 cm 10 cm
24 cm 12 cm
16 cm
6 cm
12 cm
8 cm
8 cm 8 cm
3.- Resuelve los siguientes problemas.
Mina
1.60 m
2.20 m
1.- La cortina de una ventana está representada con la parte sombreada en el siguiente dibujo. Encuentra el área total de la ventana y el área que corresponde a la cortina.
Área total: ______________
Área de la cortina: ______________
2.- La Cartilla Nacional de Salud que mide 12 cm de base por 18 cm de altura, en su portada tiene una parte de 6 cm de base por 5 cm de altura, como se muestra en el siguiente dibujo.
Encuentra el área total de la cartilla y el área de la parte sombreada.
Área total: ______________
Área sombreada: ______________
Cartilla Nacional De Salud
3.- El tubo circular por donde se extraen los gases de una mina en Santa Bárbara, está protegido en su salida por una base circular de cemento de 4 metros de diámetro. Encuentra el área del tubo y el área sombreada que corresponde a la protección de cemento.
Área del tubo: ______________
Área sombreada: ______________
4.- En un señalamiento circular de
estacionamiento que mide de radio 20 cm, la letra E abarca una área de 200 cm², tal y como se muestra en el siguiente dibujo.
¿Cuál es el área de la parte no sombreada?
Área no sombreada: ______________
Tubo
4.- La fábrica de cajas va a elaborar una caja cúbica con las dimensiones que se muestran en el siguiente diseño. Escribe las medidas en el desarrollo plano de la caja y encuentra su área total.
5.- El Profesor Cruz pidió a sus alumnos que elaboraran un prisma de base cuadrada con las siguientes dimensiones. Escribe las medidas en el desarrollo plano y encuentra su área total.
6.- La maestra Angélica encargó a sus alumnos elaborar una pirámide cuadrangular que mida 10 centímetros por lado en su base y 24 centímetros de altura. Escribe las medidas en el desarrollo plano representado enseguida y encuentra su área total.
8 cm
20 cm
30 cm Área total: ________
Área total: ________
Área total: ________
