Unidad 3 PL 7º II sem 2018.indb :40

(1)

Unidad 3

PL 7º II sem 2018.indb 27 11-05-18 12:40

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29 7º Básico, Segundo Semestre

Preparar el aprendizaje

Realizan la rutina del cálculo mental diario mediante la Lámina 1a (Para esta actividad los alumnos deben tener una hoja y anotar rápidamente los resultados sin anotar algún esquema o cálculo escrito), y corrigen todos juntos con la Lámina 1b.

Clase 1

2 horas

pedagógicas

Objetivos de aprendizaje

Temático OA 10 Descubrir relaciones que involucran ángulos exteriores o interiores de diferentes polígonos.

Habilidad OA d Describir relaciones y situaciones matemáticas de manera verbal y usando símbolos.

Actitudinal

OA B Demostrar curiosidad, interés por resolver desafíos matemáticos, con confianza en las propias capacidades, incluso cuando no se consigue un resultado inmediato.

Objetivos de la clase

Resolver problemas relativos a ángulos agudos, obtusos, rectos, extendidos y completos o la suma de los ángulos interiores de un triángulo o de un cuadrilátero.

Recursos pedagógicos

• Una regla de por lo menos 20 cm

• Tubo de pegamento pequeño

• Un compás

• Un transportador

• Un lápiz de grafito HB

• Una goma de borrar

• Lápices de colores

• Hojas blancas tamaño DIN A4

• Láminas 1a a la 1p

Referencia texto MINEDUC

• Texto del estudiante: Págs. 180, 181.

PL 7º II sem 2018.indb 29 11-05-18 12:40

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El docente verbaliza: "Hoy vamos a recordar y aplicar lo que aprendimos en el curso anterior, especialmente lo que aprendimos sobre ángulos agudos, obtusos, rectos, extendidos, completos y sobre la suma de los ángulos interiores de un triángulo y de un cuadrilátero para resolver problemas sencillos."

Recuerdan la forma de medir un ángulo (6°básico, Unidad 3 clase 1), modelando en la pizarra según los siguientes pasos:

- Ubicar el transportador sobre uno de los lados del ángulo, de manera que coincida con la línea horizontal del - transportador.

- Hacer coincidir el centro del transportador con el vértice del ángulo.

- Observar la medida del ángulo que marca el otro lado del ángulo del transportador.

- Contar los grados desde cero.

1c

Respuestas del

1b

cálculo mental:

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31 7º Básico, Segundo Semestre Recuerdan que según la medida del ángulo estos reciben un nombre, y lo anotan en sus cuadernos:

Enseñar un nuevo conocimiento

Recuerdan la suma de los ángulos interiores de un triángulo realizando en conjunto la siguiente actividad:

Dibujan un ángulo llano sobre la mitad de una hoja blanca, luego lo dividen en tres ángulos:

- un ángulo agudo de 40º - un ángulo recto

- un ángulo de 50º

y recortan como se indica en las imágenes:

1d

1e

PL 7º II sem 2018.indb 31 11-05-18 12:40

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32 7º Básico, Segundo Semestre El profesor pregunta:

• ¿Qué estamos recordando con esta actividad?

Describen la proposición: “la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180°” y si se divide 180º en tres ángulos, entonces se puede dibujar un triángulo.

Observan que la medida de los lados quedará determinada por la distancia en que se ubiquen los dos primeros ángulos recortados.

Pegan el triángulo en sus cuadernos y anotan a continuación la suma de los tres ángulos: 40 + 90 + 50 = 180.

El profesor dibuja en la pizarra la proposición visual generalizada apoyándose en las láminas 1i, 1j y 1k para explicar y recordar en profundidad.

1i 1f

PL 7º II sem 2018.indb 32 11-05-18 12:40

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33 7º Básico, Segundo Semestre Recuerdan la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero realizando en conjunto la siguiente actividad:

En la mitad de la hoja blanca dibujan con el transportador un cuadrilátero cualquiera, miden los ángulos interiores del cuadrilátero y los anotan en su cuaderno siguiendo el siguiente modelo de notación:

Observación al docente: en muchos casos la suma no dará exactamente 360º, por esto es necesario continuar con la actividad y argumentar con la división del cuadrilátero en dos triángulos.

Luego dibujan la diagonal del cuadrilátero que va entre 1 y 3, recortan los triángulos y pegan en sus cuadernos:

Discuten sobre la suma de los ángulos interiores utilizando el siguiente argumento:

En un cuadrilátero se pueden formar dos triángulos, para cada uno de ellos la suma de sus ángulos interiores es 180º por lo tanto, la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero debe ser 360º.

1j

1k

PL 7º II sem 2018.indb 33 11-05-18 12:40

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La pregunta natural que puede surgir sería:

• ¿la diagonal de un cuadrilátero cualquiera divide al ángulo 1 y 3 en dos partes iguales?

La respuesta es que no es siempre así, que no es una proposición generalizada.

Se sugiere dibujar un caso extremo para esta situación, como por ejemplo:

Medir los ángulos que se obtienen al dibujar la diagonal y mostrar que la diagonal no divide la medida del ángulo 1 en dos partes iguales.

A continuación anotan en sus cuadernos lo que han recordado con estas dos actividades:

1) la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º 2) la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º

Práctica Guiada

El profesor presenta y modela la solución de los siguientes tres problemas:

1

4 3

2

1l

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35 7º Básico, Segundo Semestre Primera estrategia: medir cada uno de los ángulos basándose en la figura (realidad). Para el ángulo superior, se mide y se obtiene 37º y se mide el otro ángulo obteniéndose 143º. Los otros dos ángulos son de 90º.

Segunda estrategia: medir solo un ángulo y determinar el otro utilizando la proposición de que la suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º, y ya se sabe la suma de dos de ellos, entonces solo queda la resta de 180º – 37º = 143º, con lo cual se tiene el ángulo faltante.

En el discurso de Natalia se esperaría que ella mencionara la medida de todos los ángulos, y que en cada caso utilizara las proposiciones de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo y de un cuadrilátero.

Para calcular alfa, se utiliza la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo: alfa = 180 – 50 – 50 = 80.

Para calcular beta, se utiliza la suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero: beta = 360 – 140 – 50 – 80 = 90.

El ángulo x se determina por medio de la ecuación x + 80 = 140, entonces x = 60.

Natalia continúa diciendo que “con estas medidas se procede a construir el objeto en 3D…”

Observaciones al docente:

- Si queda tiempo se sugiere recordar lo que es un triángulo isósceles y discutir un poco sobre la forma del diseño y la importancia de fundamentar matemáticamente sobre las medidas reales de un objeto, o bien para las decisiones del diseño de objetos en 3D.

- Para el siguiente ejercicio se puede utilizar el transportador de pizarra para modelar nuevamente el uso del transportador para medir ángulos.

1m

α β

x

30º 50º

50º

PL 7º II sem 2018.indb 35 11-05-18 12:40

(9)

3) Las siguientes preguntas se responden utilizando el CT I:

Práctica independiente

Trabajan de manera individual en los ejercicios II y III del CT.

Registran la tarea: IV del CT

1n 1ñ

1o

1p

¿Cuánto miden los ángulos de la siguiente figura?

¿a qué tipo de cuadrilátero corresponde?

PL 7º II sem 2018.indb 36 11-05-18 12:40

(10)

Consolidar el aprendizaje

Los alumnos dibujan sobre su panel un triángulo, sin anotar las medidas de los ángulos y con la condición de que una de las medidas de sus lados debe ser mayor de 90º. Intercambian paneles con su compañero de escritorio, estiman cuál debería ser el ángulo obtuso y luego lo miden con transportador. Vuelven a intercambiar paneles y comentan las respuestas que son correctas.

Finalmente responden:

• ¿Es posible que un triángulo tenga dos ángulos obtusos?

Anotan en sus paneles y los levantan, y uno de ellos explica su razonamiento.

Ticket de salida:

1) En la siguiente imagen se muestra un juego de Billar

¿En qué ángulo gira la bola después de chocar por primera vez sobre el lado A de la mesa de Billar?

Los ángulos interiores del cuadrilátero miden: 70º, 93º y 90º.

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º Así se tiene que x = 360º - 253º = 117º

La bola gira en 117º luego de chocar con el lado A de la mesa de billar.

2) ¿Qué fue lo que más te gusto de esta clase?

_____________________________________________________________________________________

____________________________________________________

PL 7º II sem 2018.indb 37 11-05-18 12:40

(11)

38 7º Básico, segundo semestre

TICKET DE SALIDA

Ticket de salida

Nombre del alumno:

1) En la siguiente imagen se muestra un juego de Billar

¿En qué ángulo gira la bola después de chocar por primera vez sobre el lado A de la mesa de Billar?

______________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

2) ¿Qué fue lo que más te gusto de esta clase?

______________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

PL 7º II sem 2018.indb 38 11-05-18 12:40

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TICKET DE SALIDA

Ticket de salida

Nombre del alumno:

Preparar el aprendizaje

Revisan en conjunto la tarea con las láminas 2a, 2b y 2c (los alumnos tienen los cuadernos intercambiados para revisar la tarea del compañero).

2a

Clase 2

2 horas

pedagógicas

Actitudinal

Reconocen polígonos en las caras y en las secciones de poliedros y de prismas, en cruces de varillas, sombras y otros objetos.

• Hojas blancas

• Tijeras

• Tubo de pegamento pequeño

• Cubo de plumavit

• Láminas 2a a la 2p

• Guía del docente: Pág. 97

PL 7º II sem 2018.indb 39 11-05-18 12:40

(13)

2b

2c

Posteriormente hacen la rutina del cálculo mental diario mediante la Lámina 2d, y corrigen todos juntos con la Lámina 2e:

Respuestas del cálculo mental (Lámina 2e):

2e

PL 7º II sem 2018.indb 40 11-05-18 12:40

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Enseñar un nuevo conocimiento

El profesor verbaliza: "Hoy vamos a reconocer polígonos en diferentes objetos, en cortes de objetos y en nuestro entorno, además nos aprenderemos sus nombres y algunas de sus características”.

El profesor les pide que dibujen en sus paneles lo que entienden por “polígono” y que muestren sus respuestas.

Se esperan dibujos de este tipo:

Luego les pregunta:

• ¿Cómo se dibuja un polígono? y va anotando las posibles respuestas en la pizarra:

- tiene líneas rectas - el uso de regla - tiene vértices

- no puede tener líneas curvas

Según las respuestas, y apoyados de la lámina 2f, los alumnos van anotando con un “visto” si su dibujo corresponde a un polígono o no.

A continuación les pide que dibujen ahora un objeto que no sea un polígono.

2f

PL 7º II sem 2018.indb 41 11-05-18 12:40

(15)

42 7º Básico, Segundo Semestre Se esperan dibujos del tipo:

Responden a la pregunta:

• ¿Cómo saber cuándo es un polígono y cuándo no lo es? y va anotando las posibles respuestas en la pizarra:

- no puede tener líneas curvas

- deben estar unidos todos los vértices

- tiene la misma cantidad de vértices y de lados - viven solo en el papel (son figuras 2D)

Según las respuestas, y apoyados de la lámina 2g y 2h, los alumnos van anotando con una cruz si su dibujo no era un polígono.

A continuación, apoyados de la lámina 2i, anotan y enmarcan en sus cuadernos la definición de polígono:

Práctica Guiada

2i

PL 7º II sem 2018.indb 42 11-05-18 12:40

(16)

43 7º Básico, Segundo Semestre En cada una de las siguientes fotos de la lámina 2j se puede reconocer un polígono, anota la cantidad de lados y vértices que tiene el polígono y el nombre que le darías.

Para ver la solución se apoyan de las láminas 2k a la 2m.

Observación al docente: No se puede asegurar que los objetos presentados sean regulares, ya que no se pueden medir los lados directamente de la foto, por la inclinación desconocida que estas tienen.

Al final de esta actividad, los alumnos deben hacer una lista con los nombres según la cantidad de segmentos que tiene el polígono convexo (se pueden apoyar de la lámina 2n).

2n

PL 7º II sem 2018.indb 43 11-05-18 12:40

(17)

En los siguientes ejemplos se observan cortes en las caras de los volúmenes:

Se apoyan de la lámina 2o para trabajar la solución:

En las caras de los cortes horizontales se puede ver cuadriláteros y dependiendo de la base, pueden ser rectángulos o cuadrados. En los cortes verticales se puede ver en las caras trapecios o triángulos isósceles.

2ñ

2o

2p

PL 7º II sem 2018.indb 44 11-05-18 12:40

(18)

2q

Práctica independiente

Trabajan de manera individual en los ejercicios I, II y III del CT.

Registran la tarea: IV del CT

Consolidar el aprendizaje

En parejas dibujan en el panel diferentes polígonos de 4 lados, anotando el nombre. En conjunto tratan de encontrar el máximo de ellos.

El profesor pregunta finalmente:

• ¿Cuántos polígonos de cuatro lado existen?

Entre toda la clase se cuenta el máximo de polígonos de cuatro lado: polígono cruzado, cuadrilátero cualquiera, polígono cóncavo, cuadrado, cruzado regular, paralelogramo, deltoide, rombo, rectángulo, trapecio.

PL 7º II sem 2018.indb 45 11-05-18 12:40

(19)

TICKET DE SALIDA

Ticket de salida

Nombre del alumno:

46 7º Básico, Segundo Semestre Ticket de salida:

1) En la siguiente imagen se ven dos piedras de cuarzo

Identifica los polígonos que se tienen en las caras de estos prismas.

Se ven triángulos (arriba), cuadriláteros (lados) y hexágonos (base).

2) Toma una hoja de cuaderno cualquiera y dóblala para obtener el clásico “barquito de papel” (sin tener previamente una hoja cuadrada) y anota los nombres de los polígonos que encuentras en tu

“barquito de papel” (¡guarda este barquito de papel, te servirá para el próximo ticket de salida!).

Se pueden ver triángulos (vela) y cuadriláteros (costados), eventualmente se obtiene un polígono de cinco lados en uno de los costados.

3) ¿Cuántos polígonos diferentes se pueden ver cuando se hace un solo corte recto a un cubo?

Respuesta:

PL 7º II sem 2018.indb 46 11-05-18 12:40

(20)

TICKET DE SALIDA

Ticket de salida

Nombre del alumno:

1) En la siguiente imagen se ven dos piedras de cuarzo

Identifica los polígonos que se tienen en las caras de estos prismas.

________________________________________________________________________________

2) Toma una hoja de cuaderno cualquiera y dóblala para obtener el clásico “barquito de papel”

(sin tener previamente una hoja cuadrada) y anota los nombres de los polígonos que encuentras en tu “barquito de papel” (¡guarda este barquito de papel, te servirá para el próximo ticket de salida!).

3) ¿Cuántos polígonos diferentes se pueden ver cuando se hace un solo corte recto a un cubo?

PL 7º II sem 2018.indb 47 11-05-18 12:40

(21)

Preparar el aprendizaje

Revisan en conjunto la tarea con la lámina 3a

3a

Clase 3

2 horas

pedagógicas

Actitudinal

Estiman la suma de los ángulos interiores en polígonos y verifican los resultados, midiéndolos.

• Hojas blancas

• Regla

• Transportador

• Tijeras

• Láminas 3a a la 3g

• Texto del estudiante: Págs. 182, 184 ejercicio 1 a; págs. 185, 194 ejercicios 1, 4, 5.

PL 7º II sem 2018.indb 48 11-05-18 12:40

(22)

49 7º Básico, Segundo Semestre Posteriormente hacen la rutina del cálculo mental diario, que en este caso consiste en la revisión del “vocabulario”

de los ángulos, apoyados en la Lámina 3b, y corrigen todos juntos con la Lámina 3c:

El profesor verbaliza: "En esta clase estimaremos la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono, además encontraremos una fórmula para resolver esta suma de manera rápida y precisa”.

Para comenzar, se debe precisar el lenguaje matemático, esto es, ver la notación que reciben los ángulos interiores de cualquier polígono:

3d 3c

Respuestas del cálculo mental:

PL 7º II sem 2018.indb 49 11-05-18 12:40

(23)

Se organizan en grupos de 4 para trabajar las siguientes estrategias:

Estrategia 1 - (2 grupos del curso) : "Recortar esquinas"

4. Las juntan y las pegan. Recortando nuevamente las esquinas si es necesario para completar los círculos.

Práctica Guiada

El profesor presenta la siguiente pregunta apoyado de la lámina 3e

3e

1. Dibujan héptagonos 2. Los recortan 3. Recortan las esquinas

360º + 360º + 180º = 900º

3 5

4 6

1 7 2

2 7

5 3 41 6

PL 7º II sem 2018.indb 50 11-05-18 12:40

(24)

51 7º Básico, Segundo Semestre Estrategia 2 - (dos grupos del curso): “Marcar las diagonales”

Como se sabe que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º y la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º, se concluye que la suma de las medidas de los ángulos interiores es:

360 + 360 + 180 = 900

Estrategia 3 (dos grupos del curso): “dibujando triángulos con un punto en el centro”

4. Se marca la diagonal del pentágono y se recorta. 5. Se obtienen dos cuadriláteros y un triángulo.

1. Dibujan heptágonos 2. Marcan una diagonal

del heptágono y recortan 3. Se obtiene un cuadrilátero y un pentágono.

2. Ponen un punto dentro

del pentágono. 3. Dibujan los segmentos que van desde los vértices del pentágono al punto

1. Dibujan heptágonos.

PL 7º II sem 2018.indb 51 11-05-18 12:40

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180º 180º 180º 180º

138º

135º 141º

116,5º

132º 111º

126,5º

4. Se sabe que la suma de los ángulos interiores de cada triángulo es 180º, como hay 7 triángulos, la suma es 180 · 7 = 1260

5. Pero se deben sacar las puntas de cada triángulo, ya que no son ángulos interiores

Con lo cual se tiene 1260 – 360 = 900

Estrategia 4 (dos grupos del curso): “midiendo con el transportador”

Dibujan heptágonos

Miden con el transportador cada uno de los ángulos interiores y suman, comparan dentro del grupo y concluyen ya sea utilizando un promedio, que la suma debería ser 900º.

PL 7º II sem 2018.indb 52 11-05-18 12:40

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53 7º Básico, Segundo Semestre Estrategia 5 (uno o dos grupos del curso): “encontrando solo triángulos”

3. Como hay 5 triángulos y la suma de los ángulos interiores de cada triángulo es 180º, se concluye que la suma de los ángulos interiores de un heptágono es 5 · 180 = 900.

Estrategia 6 (uno o dos grupos del curso): “agregando recursivamente un triángulo”

Los estudiantes comienzan con la proposición de que la suma de los ángulos interiores de un triángulo suman 180º y con el siguiente dibujo:

Para hacer un cuadrilátero toman el triángulo anterior y agregan otro:

Para hacer un pentágono toman el cuadrilátero anterior y agregan otro triángulo:

1. Dibujan heptágonos 2. Dibujan triángulos que no se intersecten unos con otros (si es necesario se deben ir recortando)

180º 180º

180º

180º + 180º = 360º

180º + 180º + 180º = 540º

PL 7º II sem 2018.indb 53 11-05-18 12:40

(27)

Para hacer un hexágono toman el pentágono anterior y agregan otro triángulo:

Para hacer un heptágono toman el hexágono anterior y agregan otro triángulo:

Concluyen que la suma de los ángulos interiores de un heptágono es 900 y que cada polígono de n lados se puede hacer con n – 2 triángulos.

Práctica independiente

Cada grupo presenta brevemente el desarrollo de su estrategia.

Al final el profesor les pregunta:

• ¿Cómo se podría calcular la suma de los ángulos interiores de un octógono?

• ¿Cómo se podría calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono?

Algunos presentan sus respuestas y se anotan en la pizarra.

Luego, apoyándose de las láminas 3f a 3g, les explica la forma de obtener en general la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados.

180º + 180º + 180º + 180º = 720º

180º + 180º + 180º + 180º + 180º = 720º

3f

PL 7º II sem 2018.indb 54 11-05-18 12:40

(28)

55 7º Básico, Segundo Semestre Registran la tarea: I y II del CT

Consolidar el aprendizaje

El profesor confirma el aprendizaje de los alumnos enfrentándolos al siguiente problema:

• ¿Cómo podemos calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono de 12 lados?

A medida que van terminando, van levantando su panel con la respuesta.

R: (12 - 2) • 180° = 1 800°

3g

PL 7º II sem 2018.indb 55 11-05-18 12:40

(29)

TICKET DE SALIDA

Ticket de salida

Nombre del alumno:

56 7º Básico, Segundo Semestre Ticket de salida:

1)Vuelve a tomar tu barquito de papel de la clase anterior.

a) Estima los ángulos interiores del cuadrilátero y anota tus estimaciones.

Ángulo 1:

___

Ángulo 2:____ Ángulo 3: ____ Ángulo 4: ____

b) Mide los ángulos interiores de uno de los lados del barquito y anota tus mediciones.

Ángulo 1:____ Ángulo 2:____ Ángulo 3: ____ Ángulo 4: ____

Respuesta:

1) Si la hoja de cuaderno mide 21,0 cm x 29,7 cm los ángulos son aproximadamente:

Ángulo 1: 135° Ángulo 2: 135° Ángulo 3: 55° Ángulo 4: 35°

2) La suma de los ángulos interiores de un polígono de cinco lados se obtiene según la fórmula:

1) 180º · 5 2) 360º · 5

3) 360º · 5 – 180º 4) 180º · 5 – 360º

Respuesta: d)

3) Menciona dos de las estrategias para encontrar la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera.

Los estudiantes pueden mencionar dos de las seis estrategias trabajadas en clases:

1) recortando esquinas

2) marcando las diagonales

3) dibujando los triángulos del centro 4) midiendo con el transportador 5) encontrando solo triángulos

6) agregando triángulos para formar el polígono.

PL 7º II sem 2018.indb 56 11-05-18 12:40

(30)

TICKET DE SALIDA

Ticket de salida

Nombre del alumno:

1) Vuelve a tomar tu barquito de papel de la clase anterior.

a) Estima los ángulos interiores del cuadrilátero y anota tus estimaciones.

b) Mide los ángulos interiores de uno de los lados del barquito y anota tus mediciones.

2) La suma de los ángulos interiores de un polígono de cinco lados se obtiene según la fórmula:

1) 180º · 5 2) 360º · 5

3) 360º · 5 – 180º 4) 180º · 5 – 360º

_______________________________________________________________________

PL 7º II sem 2018.indb 57 11-05-18 12:40

(31)

58 7º Básico, Segundo Semestre 1) Vuelve a tomar tu barquito de papel de la clase anterior.

1) Estima los ángulos interiores del cuadrilátero y anota tus estimaciones.

2) Mide los ángulos interiores de uno de los lados del barquito y anota tus mediciones.

Respuesta:

1) Si la hoja de cuaderno mide 21,0 cm x 29,7 cm los ángulos son aproximadamente:

Ángulo 1: 135º Ángulo 2: 135º Ángulo 3: 55º Ángulo 4: 35º

2) La suma de los ángulos interiores de un polígono de cinco lados se obtiene según la fórmula:

1) 180º · 5 2) 360º · 5 3) 360º · 5 – 180º 4) 180º · 5 – 360º Respuesta: d)

Los estudiantes pueden mencionar dos de las seis estrategias trabajadas en clases:

1) recortando esquinas 2) marcando las diagonales

3) dibujando los triángulos del centro 4) midiendo con el transportador 5) encontrando solo triángulos

6) agregando triángulos para formar el polígono.

Preparar el aprendizaje

Revisan en conjunto la tarea con las láminas 4a a la 4d

4a

Clase 4

2 horas

pedagógicas

Habilidad OA f Fundamentar conjeturas, dando ejemplos y contraejemplos.

Actitudinal

OA D Trabajar en equipo, en forma responsable y proactiva, ayudando a los otros, considerando y respetando los aportes de todos, y manifestando disposición a entender sus argumentos en las soluciones de los problemas.

Estiman la suma de los ángulos interiores en polígonos y verifican los resultados, midiéndolos.

• Una regla de por lo menos 20cm

• Un compás

• Un transportador

• Un lápiz de grafito (HB)

• Una goma de borrar

• Lápices de colores

• Tizas de colores

• Transportador para pizarra.

• Laminas 4a a la 4j

• Texto del estudiante: Págs. 183, 184 ejercicio 1, b

PL 7º II sem 2018.indb 58 11-05-18 12:40

(32)

4b

4c

4d

PL 7º II sem 2018.indb 59 11-05-18 12:40

(33)

Posteriormente hacen la rutina del cálculo mental diario apoyados en la Lámina 4e, y corrigen todos juntos con la Lámina 4f:

El profesor verbaliza: "En esta clase estimaremos la suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono”, utilizando algunas de las estrategias de la clase anterior, como dibujar o recortar o calcular o medir y sumar.

Luego continúa recordando lo que es un ángulo interior y exterior de un polígono, y además les recuerda lo aprendido en 6to básico sobre ángulos complementarios, suplementarios, adyacentes, opuestos por el vértice:

Respuestas del

4f

cálculo mental:

PL 7º II sem 2018.indb 60 11-05-18 12:40

(34)

Práctica Guiada

Les presenta la siguiente pregunta:

4h 4g

PL 7º II sem 2018.indb 61 11-05-18 12:40

(35)

Se organizan en grupos de 3 a 5 personas, para realizar en el patio, y con ayuda del profesor, la siguiente actividad.

Trabajan en el ejercicio I del CT.

Materiales:

- Tiza de colores - Hojas para anotar - Transportador de pizarra - Transportador pequeño.

Indicaciones para el trabajo en grupo (guiado):

1. El docente indica a cada grupo la cantidad de lados que debe tener el polígono con el cual van a trabajar.

2. Conjeturan sobre el resultado de la suma de los ángulos exteriores del polígono solicitado.

3. Calculan la suma de los ángulos interiores del polígono del grupo, lo escriben en el piso del patio del colegio, utilizando tiza de colores.

4. Dibujan en el piso del patio del colegio el polígono solicitado.

5. Dibujan y miden los ángulos exteriores del polígono.

6. Sin sumar, estiman el valor de la suma de todos los ángulos exteriores del polígono, pueden volver a corregir y precisar su primera conjetura.

7. Unen en un dibujo, sobre el cuaderno o el piso, los ángulos exteriores, es decir copian la medida de cada uno de los ángulos medidos, utilizando siempre el mismo origen.

8. Anotan el resultado de la unión de todos los ángulos exteriores del polígono y comparan con su conjetura sobre la suma de los ángulos exteriores.

9. Preparan la argumentación sobre el resultado obtenido por el grupo.

Una vez terminado el trabajo en grupo, se hacen presentaciones breves sobre el resultado obtenido.

Una vez que todos los grupos han expuesto su resultado y han presentado la argumentación del por qué ha sido así, el profesor pregunta:

• ¿Qué han observado?

Posible respuesta: en todos los grupos se obtuvo 360º o muy cercano a este número.

• ¿Cómo podemos argumentar frente a este fenómeno?

Posible respuesta: un polígono separa adentro y afuera, el afuera siempre es el mismo. A medida que el un polígono tiene más lados, los ángulos interiores crecen, pero los ángulos exteriores se van haciendo más pequeños, la suma se mantiene en 360º.

O bien, presentando una serie de dibujos donde el polígono cada vez se hace más pequeño y se puede ver que la suma de los ángulos exteriores forman un círculo:

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(36)

63 7º Básico, Segundo Semestre Este fenómeno se da porque hay un adentro y un afuera, el afuera de un polígono (el polígono cóncavo exterior) no es otra cosa que el plano y por lo tanto la suma de sus ángulos debe ser 360º.

Observación al docente: Si cree que el curso está preparado para la demostración, se sugiere presentarla paso a paso.

Demostración:

Se sabe que la suma del ángulo interior y exterior es 180º : α + α’ = 180.

Así, se tiene que la suma de los ángulos exteriores de un polígono de n lados es:

α’ + β’ + γ’ + ... = (180º – α) + (180º – β) + (180º – γ) + ...

= 180º · n – (α + β + γ + ...) = 180º · n – (180º(n – 2)) =180º · n – (180ºn – 180º · 2) = 180ºn – 180ºn + 360º = 360º

En esta demostración se ha utilizado la regla de la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados: α + β + γ + ... = 180º(n – 2).

Finalmente anotan y enmarcan en sus cuadernos:

4j 4i

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(37)

Práctica independiente

Trabajan en forma individual en el CT II Registran la tarea: III del CT

Consolidar el aprendizaje

El profesor confirma el aprendizaje haciendo la siguiente pregunta:

• ¿Cuánto mide la suma de los ángulos exteriores de un polígono de 53 lados?

A medida que van terminando, van levantando su panel con la respuesta.

R: 360°

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(38)

65 7º Básico, Segundo Semestre Ticket de salida:

1) Pinta los ángulos según corresponda:

1) en rojo los ángulos interiores del pentágono.

2) en azul los ángulos exteriores del pentágono.

3) en verde los ángulos opuestos por el vértice de los ángulos interiores del pentágono.

Respuesta:

2) La suma de los ángulos exteriores de un pentágono es igual a:

a) 180º b) 360º c) 540º d) 720º

Respuesta: b)

3) En esta clase aprendí que la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígonoes siempre 360°

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(39)

66 7º Básico, segundo semestre Nombre del alumno:

TICKET DE SALID A

Ticket de salida

1) Pinta los ángulos según corresponda:

1) en rojo los ángulos interiores del pentágono.

2) en azul los ángulos exteriores del pentágono.

3) en verde los ángulos opuestos por el vértice de los ángulos interiores del pentágono.

2) La suma de los ángulos exteriores de un pentágono es igual a:

a) 180º b) 360º c) 540º d) 720º

3) En esta clase aprendí que la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es

_________________________

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(40)

Unidad 3

PL 7º II sem 2018.indb 1 11-05-18 12:47

(41)

I. Para responder en conjunto.

a.

¿Cuánto miden los ángulos de la siguiente figura?, ¿a qué tipo de cuadrilátero corresponde?

b.

¿Cuánto miden los ángulos de la siguiente figura?, ¿a qué tipo de cuadrilátero corresponde?

Lo que ya sabes de geometría

Este es un cuadrilátero y las medidas de sus ángulos son: 110°, 120°, 95° y 35°.

Este es un deltoide y las medidas de sus ángulos son: 73°, 149°, 73° y 65°.

35º

120º

95º 110º

149º

65º

73º 73º

Corresponde a un deltoide

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(42)

Tipos de ángulos que pueden tener:

Rectángulo Rombo

simétrico^Trapecio Paralelogramo

Cuadrado Deltoide Un ángulo agudo

Dos ángulos agudos Un ángulo recto Dos ángulos rectos Cuatro ángulos rectos

Dos ángulos obtusos

II.

III. Determina los ángulos de los siguientes triángulos, midiendo solo uno de ellos y calculando el que falta, recuerda que la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.

Recordando ángulos y cuadriláteros:

57º

116º

a. b. c.

d.

x

x x x x

x x

x x x x

36º

54º

33º 67º

22º

42º 56º

57º

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(43)

IV. Resuelve los siguientes problemas:

a.

La diferencia de los rayos del sol entre el ecuador y los polos es diferente. Para ciudades que están ubicadas entre Talca (Chile) y Lima (Perú), la inclinación ideal de los techos con paneles solares estaría entre 30º y 45º.

A continuación se muestran tres techos con paneles solares:

A B C

• ¿Cuál de los techos, según tu estimación, tendría una inclinación ideal?

• Utilizando los dibujos correspondientes a cada techo, mide con el transportador dos de los ángulos del triángulo.

• Determina el tercer ángulo del triángulo utilizando una ecuación.

• Determina el tercer ángulo del triángulo utilizando una ecuación.¿Cuál de los techos, según tus mediciones, tendría una inclinación ideal?

A B C

57º

En el caso del techo A la ecuación es: 57 + 57 + x = 180, la medida del ángulo faltante x es 66º.

En el caso del techo B la ecuación es: 18 + 13 + x = 180, la medida del ángulo faltante x es 149º.

En el caso del techo C la ecuación es: 42 + 90 + x = 180, la medida del ángulo faltante x es 48º.

57º

X

18º 13º 42º 90º

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(44)

b.

Los artistas están siempre buscando formas de abstraer las formas reales y para esto tienen diferentes técnicas. Una de estas técnicas consiste en dibujar utilizando solo triángulos y cuadriláteros.

En el cisne:

c.

En la mariposa:

• Encuentra el cuadrilátero de medidas: 125º, 46º, 148º.

• Encuentra el cuadrilátero de medidas: 33º, 58º, 120º.

• Encuentra los cuadriláteros con medidas de ángulos: 90º, 68º, 135º.

• Encuentra los triángulos con medidas de ángulos: 110º, 45º.

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(45)

Reconocer, nombrar y distinguir polígonos

I. El pentágono o el heptágono de mi mano.

Materiales:

• Hoja blanca

• Lápiz

• Regla

• Transportador

Pon tu mano sobre la hoja.

Saca tu mano y une los 5 puntos, utilizando una regla.

Mide cada uno de los ángulos del pentágono de tu mano, utilizando el transportador.

Con un lápiz marca un punto al final de cada uno de tus dedos. (5 puntos)

Forma un pentágono (o un polígono de 5 lados convexo).

Si quieres, puedes volver a poner tu mano y dibujarla sobre el pentágono.

1.

Sigue las siguientes instrucciones para dibujar el pentágono que hay en tu mano:

1 2

3

5

4

6

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(46)

Responde a las siguientes preguntas:

a.

Compara las medidas de los ángulos con 3 de tus compañeros, ¿hay ángulos de medidas iguales o muy cercanas?

b.

Encuentra un ángulo agudo y uno obtuso.

c.

¿Cuántos ángulos obtusos hay en el heptágono de tu mano?

2.

Para dibujar el heptágono que hay en tu mano, debes incluir los dos puntos de tu muñeca como se muestra en la figura:

Con el dibujo del heptágono de tu mano, responde a las siguientes preguntas:

a.

Compara las medidas de los ángulos con 3 de tus compañeros, ¿hay ángulos de medidas iguales o muy cercanas?

b.

Encuentra un ángulo agudo y uno obtuso.

c.

¿Cuántos ángulos agudos hay en el heptágono de tu mano?

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(47)

II. Encuentra el ángulo indicado y el nombre de las siguientes figuras bidimensionales:

a.

Ángulo agudo de 40º.

c.

Ángulo cóncavo de 217º

e.

Algún ángulo agudo.

b.

Ángulo cóncavo de 257º

d.

Ángulo obtuso de 142º

f.

Algún ángulo cóncavo.

40º

257º

217º

142º

No hay ángulos agudos, todos miden lo mismo

Polígono cruzado de 4 puntos. Polígono cóncavo de 6 vértices.

Polígono cóncavo de 4 vértices. Polígono convexo de 5 vértices: pentágono.

No hay ángulos cóncavos todos miden lo mismo aprox. 128º, por lo tanto es un polígono de 7 lados

iguales y de ángulos iguales: heptágono regular.

aprox. 120º, no todos sus lados miden lo mismo, por lo tanto es un hexágono.

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(48)

III.

IV. Considera el siguiente cuerpo:

La siguiente figura representa la cara de un pato.

¿Qué polígonos se pueden identificar en los cortes transversales de este cuerpo?

a.

¿Cuántos polígonos distintos puedes encontrar? Identifícalos y escribe su nombre.

b.

¿Dónde se encuentran los ángulos de 135º y 67º? Márcalos en la figura.

Solución: Se pueden reconocer en las caras de cortes horizontales pentágonos.

En los cortes verticales se pueden reconocer rectángulos y en cortes diagonales se pueden reconocer triángulos (cortando una punta del cuerpo) y cuadriláteros (trapecios).

Hay tres tipos diferentes de polígonos: tres triángulos, dos cuadriláteros (trapecios) y un polígono cóncavo de 8 vértices.

135º

67º

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(49)

Estimar la suma de los ángulos interiores de un polígono

Completa la siguiente tabla:

Determina el ángulo que falta en las siguientes figuras:

I.

II. Nombre del polígono Cantidad de lados (vértices) Suma de los ángulos interiores

Hexágono

4 540º Octógono

Eneágono 9

180º

Decágono 1440º

α = 102º β = 65º δ = 125º

α

β

δ

B γ

A

D

C

α β

γ γ = 80º

β = 73º B

A C

α = γ =

a. b.

73º + 80º + α = 180º

27º 68º

102º + 65º + 125º + γ = 360º

Nombre del polígono Cantidad de lados (vértices) Suma de los ángulos interiores

Hexágono 6 720º

Cuadrilátero 4 360º

Pentágono 5 540º

Octógono 8 1080

Eneágono 9 1260

Triángulo 3 180º

Decágono 10 1440º

PL 7º II sem 2018.indb 11 11-05-18 12:47

(50)

α = 99º β = 98º δ = 129º ε = 117º

α = 69º β = 150º δ = 104º ε = 125º

β = 142º γ = 120º δ = 60º

E

α β

δ

ε γ

B A

D

C

α β

δ ε

γ

A B

D E

C

α β

δ

γ

A B

D

C

γ = γ =

α =

c. d.

e.

Pág. 80, ejercicios 2 y 3; pág. 81 ejercicio 4, a - f.

Referencias Cuadernillo del Alumno MINEDUC

97º

98º + 99º + 117º + 129º + γ = 540º 69º + 150º + γ + 104º + 125º = 540º

α + 142º + 120º + 60º = 360º

92º

38º

PL 7º II sem 2018.indb 12 11-05-18 12:47

(51)

Estimar la suma de los ángulos exteriores de un polígono

Materiales:

• Tiza de colores

• Hojas para anotar

• Transportador de pizarra

• Transportador pequeño

Completa según se vaya realizando la actividad en grupo:

1.

Nuestro polígono tiene lados.

2.

Nuestra conjetura es que la suma de los ángulos exteriores es:

3.

La suma de los ángulos interiores de nuestro polígono es:

Escriban esta medida en el piso del patio del colegio, utilizando tiza de colores.

4.

Dibujen en el piso del patio del colegio el polígono solicitado.

5.

Dibujen y midan los ángulos exteriores del polígono.

Las medidas de los ángulos exteriores de nuestro polígono son:

6.

Sin sumar, estimen el valor de la suma de todos los ángulos exteriores del polígono, pueden volver a corregir y precisar su primera conjetura.

Nuestra nueva conjetura sobre la suma de todos los ángulos exteriores de nuestro polígono es:

7.

Unen en un dibujo, sobre el cuaderno o el piso los ángulos exteriores, es decir, copian la medida de cada uno de los ángulos medidos, utilizando siempre el mismo origen.

Nuestra unión de ángulos exteriores:

8.

Anoten el resultado de la unión de todos los ángulos exteriores del polígono y comparan con su conjetura sobre la suma de los ángulos exteriores.

Nuestra unión de ángulos tiene un total de grados.

9.

Preparen la argumentación sobre el resultado obtenido por el grupo.

Anota las observaciones y argumentaciones del grupo:

Actividad en el patio.

I.

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(52)

Determina los ángulos que faltan en los siguientes polígonos:

II.

a. b.

c. d.

e. f.

g.

i.

h.

A B

C 64º

67º β β’

A

C

B β = 75º γ = 60º

α = 45º α’

β = α’ =

α =

β’ =

β’ = γ’ =

γ =

60º

60º 60º

60º α

60º β

35º

108º

γ γ’

α

72º

72º 72º

A B

C

D

E 91º

120º 55º

β’

117º 129º

A 99º B

C D

E

98º γ

38º

α’ β’

γ’

δ’

142º 120º 60º

γ

80º

130º β’

α’

=

γ’

=

β’

=

δ’

= 142º 38º 60º 120º

70º.

96º.

60º.

97º.

72º.

143º.

γ’ = 108º + 35º = 143º

α’ = 180º - 45º = 135º β = 59º ; β’ = 64 + 67 = 131º

49º 135º

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(53)

Girando y girando, pero ¿cuánto?

Andrés y Camila, han pintado dos polígonos de 5 lados, uno cóncavo y el otro convexo.

III. Y caminan por dentro y por fuera de los polígonos, con la condición de que siempre que llegan a una esquina deben girar para ir de espalda o de frente.

Por ejemplo, en el primer polígono cóncavo, Andrés ha partido en A de frente y cuando ha llegado a B, ha debido girar para avanzar de espalda.

a.

En el giro por el interior del polígono: ¿Quién debe girar más para llegar al punto inicial?

b.

En el giro por el exterior del polígono: ¿Quién debe girar más para llegar al punto incial?

c.

¿Hay alguna diferencia en la suma de los ángulos interiores entre polígonos cóncavos y convexos?

α = 35º A

B

C D

E

A B

C D

E ε = 129º

δ = 71º

β = 226º

γ = 79º

ε = 125º δ = 104º γ = 92º β = 150º

α = 69º

Pág. 81 ejercicio 4, g - j.

Referencias Cuadernillo del Alumno MINEDUC

Andrés Camila

Andrés gira: 226º + 79º + 71º + 129º + 35º = 540º Camila gira: 540º

Así es que ambos deben girar lo mismo cuando caminan por dentro de estos polígonos.

Andrés gira: 134º + 111º + 119º + 61º + 145º = 570º Camila gira: 360º

Así es que cuando caminan por fuera de los polígonos es Andrés el que debe girar más.

Probando con otros poligonos concávos, se puede decir que no hay diferencias en la suma de los ángulos interiores de los polígonos concávos o convexos.

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