Funciones Trigonométricas
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
FACULTAD DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS DE LA COMUNICACIÓN ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
Trabajo de Suficiencia Profesional
Para optar el Título de Licenciado en Educación Secundaria Mención Ciencias Matemáticas
Autor:
Bach. Mendoza Prado, Carlos Javier
TRUJILLO – PERÚ 2019
ii DEDICATORIA
Dedico este trabajo a mi amada esposa, por su apoyo y ánimo que me brinda día a día para alcanzar nuevas metas, tanto profesionales y personales. A mis adorados hijos Valentin y Ángel a quienes siempre cuidaré para verlos hechos personas capaces y que puedan valerse por sí mismos.
Con mucho cariño y afecto a mis queridos padres José y Nelly; quienes con su amor y enorme sacrificio fortalecieron en mí el espíritu de lucha para hacer posible la culminación de mi Carrera profesional.
AGRADECIMIENTO
A Dios por guiarme y protegerme.
A todas las personas que de una u otra manera me apoyaron en la culminación de este trabajo.
ÍNDICE
DEDICATORIA ... ii
JURADO DETERMINADOR ... iii
AGRADECIMIENTO ... iv
ÍNDICE ... v
PRESENTACIÓN... vii
RESUMEN ... viii
ABSTRACT ... ix
INTRODUCCIÓN ... 10
CAPÍTULO I: SESIÓN DE APRENDIZAJE ... 11
1.1 Datos informativos ... 11
1.2 Propósito de aprendizaje ... 11
1.3 Estrategias metodológicas ... 11
CAPÍTULO II: SUSTENTO TEÓRICO ... 14
2.1 Introducción ... 14
2.2 Cuerpo Temático ... 15
2.2.1 Teorema de Pitágoras ... 15
2.2.2 Ley de senos ... 15
2.2.3 Ley de cosenos ... 16
2.2.4 Historia de las funciones trigonométricas ... 17
2.2.5 ¿Qué es una función trigonométrica ... 17
2.2.6 Tipos de funciones trigonométricas ... 18
CAPÍTULO III: SUSTENTO PEDAGÓGICO ... 21
3.1 Introducción ... 21
3.2 Cuerpo Temático ... 21
3.2.1 El pensamiento matemático según Piaget ... 21
3.2.2 El aprendizaje significativo de Ausubel ... 25
3.2.3 Enfoque del área de matemática... 28
3.2.4 Competencia ... 30
3.2.5 Capacidad ... 30
3.2.6 Desempeño ... 31
vi CONCLUSIONES ... 32 REFEREBCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 33 ANEXOS ... 34
PRESENTACIÓN
En cumplimiento a lo dispuesto por la Facultad de Educación de la Universidad Nacional de Trujillo, en el reglamento de Grados y Títulos con el fin de obtener el Título de Licenciado en Educación Secundaria con mención en Ciencias Matemáticas. Dejo a consideración el presente diseño de aprendizaje en el Área de Matemática para el Quinto Grado de Educación Secundaria denominado: Funciones Trigonométricas
Agradeciendo de antemano por los aportes y orientaciones, que me brinden y me permitan contribuir al mejoramiento de mi labor docente y la calidad educativa de nuestro país.
RESUMEN
El presente trabajo de suficiencia profesional, esta dirigido para estudiantes de quinto grado de educación secundaria de Educación Básica Regular en el año lectivo 2019, con el tema titulado
“trabajamos con razones trigonométricas”, en el cual se ha realizado con situaciones de la vida diaria con la finalidad de lograr el propósito de aprendizaje: Utilizar y adaptar estrategias, recursos o procedimientos para resolver ejercicios y problemas que involucran razones trigonométricas; por ello los estudiantes desarrollarán habilidades geométricas que le permitan representar, a través de gráficos y modelos matemáticos la solución de ejercicios y problemas seleccionando los datos adecuados para su resolución.
La sesión se ha trabajado teniendo en cuenta el enfoque del área de matemática (enfoque centrado en la resolución de problemas) porque al plantear y resolver problemas, los estudiantes se enfrentan a retos para los cuales no conocen de antemano las estrategias de solución u obstáculos que surjan en la búsqueda de la solución;
Con este trabajo se pretende demostrar que el aprendizaje de la matemática contribuye a formar ciudadanos capaces de buscar, organizar, sistematizar y analizar información para entender e interpretar el mundo que los rodea.
.
Palabras clave: Matemática, Funciones trigonométrica, funciones trigonométricas
ABSTRACT
The present work of professional sufficiency, is directed for students of fifth grade of secondary education of Regular Basic Education in the 2019 school year, with the theme entitled
“we work with trigonometric reasons”, in which it has been carried out with situations of daily life in order to achieve the learning purpose: Use and adapt strategies, resources or procedures to solve exercises and problems that involve trigonometric reasons; Therefore, students will develop geometric skills that allow them to represent, through mathematical graphs and models, the solution of exercises and problems by selecting the appropriate data for their resolution.
The session has been worked taking into account the approach of the area of mathematics (focus focused on problem solving) because when posing and solving problems, students face challenges for which they do not know in advance the solution strategies or obstacles that arise in the search for the solution;
This work is intended to demonstrate that the learning of mathematics helps to form citizens capable of searching, organizing, systematizing and analyzing information to understand and interpret the world around them.
.
Keywords: Mathematics, Trigonometric functions, Trigonometric functions
10 INTRODUCCIÓN
La matemática es una actividad humana y ocupa un lugar relevante en el desarrollo del conocimiento y de la cultura de nuestras sociedades. Esta ciencia se encuentra en constante desarrollo y reajuste, por ello sustenta una creciente variedad de investigaciones en las ciencias, las tecnologías modernas y otras, las cuales son fundamentales para el desarrollo integral del país. Su aprendizaje contribuye en formar ciudadanos capaces de buscar, organizar, sistematizar y analizar información, entender el mundo que los rodea, desenvolverse en él, tomar decisiones pertinentes y resolver problemas en distintas situaciones, usando de forma flexible estrategias y conocimientos matemáticos.
El desarrollo de las competencias matemáticas se da a través del enfoque centrado en la resolución de problemas y situaciones significativas acorde a sus intereses y necesidades.
El presente trabajo de suficiencia profesional se ha realizado con la finalidad de obtener el título de Licenciado en Educación Secundaria con mención en Ciencias matemáticas y trata sobre la competencia matemática de Resuelve Problemas de Forma, movimiento y localización, por ello en el diseño de sesión de clase se trata sobre las Funciones Trigonométricas, el cual está sustentado de forma teórica y pedagógica.
CAPITULO I: SESIÓN DE APRENDIZAJE
1.1. Datos informativos:
1.1.1. Institución Educativa: Virú
1.1.2. Nivel: Secundaria
1.1.3. Área curricular: Matemática
1.1.4. Número de unidad: 8
1.1.5. Tema: Funciones Trigonométricas.
1.1.6. Nombre de la sesión: “Trabajamos con Razones trigonométricas”
1.1.7. Tiempo: 2 horas pedagógicas.
1.1.8. Fecha: 2019
1.1.9. Docente responsable: Mendoza Prado Carlos Javier
1.2. Propósitos de aprendizaje:
Competencia Capacidades Desempeños
Resuelve problemas de forma, movimiento
y localización.
Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones.
Describe la ubicación o los movimientos de un objeto real o imaginario, y los representa utilizando razones trigonométricas.
Usa estrategias y procedimientos para medir y orientarse en el
espacio
Combina y adapta estrategias, recursos o procedimientos para resolver ejercicios y problemas que involucran razones
trigonométricas.
Enfoque
transversal Valores Acciones Observables
Enfoque inclusivo o atención a la
diversidad
Respeto por las diferencias
Reconocimiento al valor inherente de cada persona y de sus derechos, por encima de cualquier diferencia
Equidad en la enseñanza
Disposición a enseñar ofreciendo a los estudiantes las condiciones y oportunidades que cada uno necesita para lograr los mismos resultados
1.3. Estrategias metodológicas:
Secuencia Didáctica: Materiales
o Recursos
Tiemp o Inicio:
El docente da la bienvenida cordial a los estudiantes y realiza preguntas para rescatar saberes previos:
o ¿Saben qué es un triángulo rectángulo?
o ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo?
Hoja de anexo 1 Pizarra Plumones
20´
12 o Si se conoce la medida de dos de los lados de un triángulo
rectángulo, ¿qué harían para conocer el tercer lado?
El docente organiza a los estudiantes en grupos de tres enfatizando en lo eficiente que resulta el trabajo en grupo para compartir, comparar e intercambiar conocimientos, ideas estrategias de solución y conclusiones respecto al caso dado. (Anexo 01)
Luego el docente presenta el propósito de la sesión: Utilizar y adaptar estrategias, recursos o procedimientos para resolver ejercicios y problemas que involucran razones trigonométricas.
Cinta masking
tape Imágenes
Desarrollo:
Luego se solicitará a los grupos leer y analizar el enunciado del problema para dar respuestas a las preguntas de la sección
“interrogación”. Se concientizará y se fomentará la buena educación vial con la siguiente pregunta ¿Qué importancia tiene el uso de semáforos en la vía pública?
Se solicitará a los alumnos responder las preguntas de la sección
“Orientación dirigida”
Se les indicará que respondan la pregunta de la sección “Explicación”.
Se aprovechará el gráfico diseñado por los estudiantes y se preguntará:
si se pidiera calcular la distancia del semáforo y el auto más alejado.
¿Qué relación nos permitirá obtener lo solicitado? Luego se les pedirá calcular la diferencia de sus medidas.
Se solicitará a los grupos resolver la actividad de la sección
“Orientación libre”.
Se les pedirá a los alumnos desarrollar la actividad 8 de la sección
“Integración” para consolidar las actividades realizadas.
Teniendo en cuenta la explicación y el material dado, los alumnos desarrollarán la actividad N° 1: (Anexo 02)
Pizarra
Plumo nes
Pizarra
Hoja de anexo
1 y 2
Papelo te
50´
Cierre:
Teniendo en consideración y resaltando el buen trabajo de los estudiantes, solicite responder a las siguientes preguntas:
o ¿Qué conocimientos se integraron en esta actividad?
o ¿Qué dificultades se presentaron?
Aplicando la mayéutica, se retroalimentará los conocimientos utilizados durante el desarrollo de la situación problemática buscando también que reconozcan las dificultades que se les presentaron durante la actividad.
Plumones uaderno de
apuntes
20´
Evaluación
La evaluación será formativa para verificar el proceso de desarrollo de la competencia. Se evaluará el desarrollo de las situaciones de la actividad 1 (desarrolladas en hoja de anexo 1 y 2).
Desempeño Evidencia Instrumen
to
Describe la ubicación o los movimientos de un objeto real o imaginario, y los representa utilizando razones trigonométricas.
Combina y adapta estrategias heurísticas, recursos o procedimientos para resolver ejercicios y problemas que involucran razones trigonométricas.
Selecciona información para obtener datos
relevantes en situaciones de distancias inaccesibles
Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas
orientadas a la investigación o resolución de problemas.
Guía de observa ción
14 CAPÍTULO II: SUSTENTO TEÓRICO
2.1. Introducción
Hoy en día es notable el desarrollo del área de matemática el cual tiene por finalidad que los estudiantes desarrollen competencias matemáticas para interactuar con otras personas, comprender y construir la realidad, y representar el mundo de forma real o imaginaria.
Este desarrollo se da mediante el uso de las matemáticas como una herramienta fundamental para la formación de las personas, pues permite tomar conciencia de nosotros mismos al organizar y dar sentido a nuestras vivencias y saberes, cuando matematizamos la realidad estamos en contacto directo a un sin número de posibilidades de aprendizaje.
Sin duda, la matemática cobra mayor significado y se aprende mejor cuando se aplica directamente a situaciones de la vida real. Nuestros estudiantes sienten mayor satisfacción cuando pueden relacionar cualquier aprendizaje matemático nuevo con algo que saben y con la realidad que los rodea. Esa es una matemática para la vida, donde el aprendizaje se genera en el contexto de las relaciones humanas y sus logros van hacia ellas.
Por otro lado, la sociedad actual requiere de ciudadanos reflexivos, críticos, capaces de asumir responsabilidades en su conducción, y la matemática debe ser un medio para ello, formando estudiantes con autonomía, conscientes de, qué aprenden, cómo aprenden y para qué aprenden. En este sentido, es muy importante el rol del docente como agente mediador, orientador y provocador de formas de pensar y reflexionar durante las actividades matemáticas. Conscientes de esta responsabilidad, mediante el presente fascículo te brindamos una herramienta pedagógica orientadora para generar esos aprendizajes. Con tal fin, se adopta un enfoque centrado en la resolución de problemas desde el cual, a partir de una situación problemática, se desarrollan las capacidades matemáticas configurando el desarrollo de la competencia.
Los aprendizajes que propicia el área de matemática contribuyen a comprender el mundo, tomar decisiones y actuar matemáticamente en diferentes ámbitos de la vida.
2.2. Cuerpo temático
2.2.1. Teorema de Pitágoras.
El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del tercero.
También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo es rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo.
Como ya sabréis, un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180 grados.
En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.
Pues bien, el Teorema de Pitágoras dice que: «En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
2.2.2. Ley de senos
La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.
16 En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c ,
entonces
Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo y lo discutiremos más adelante.
2.2.3. Ley de cosenos
La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluido son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.
La ley de los cosenos establece:
c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C .
Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.
La ley de los cosenos también puede establecerse como b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos B or
a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A . 2.2.4. Historia de las funciones trigonométricas
El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.
El primer uso de la función seno (sin(x)) aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476- 550), Varahamihira, Brahmagupta, al-Khwarizmi, Abu'l-Wafa, Omar
Khayyam, Bhaskara II, Nasiral-Din, Regiomontanus (1464), Ghiyath al- Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, y el alumno de éste, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas como series infinitas presentadas en las llamadas "Fórmulas de Euler".
La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.
2.2.5. ¿Qué es una función trigonométrica?
Para definir las funciones trigonométricas del ángulo: , del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo. Los nombres de los lados de este triángulo rectángulo son:
La hipotenusa (c) es el lado opuesto al ángulo recto, o el lado más grande.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo . El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo .
18 2.2.6. Tipos de funciones trigonométricas
Existen seis funciones trigonométricas básicas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. En la siguiente tabla podemos ver las equivalencias entre las funciones trigonométricas.
Función Seno: El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
sen α = opuesto/hipotenusa
Función Coseno: El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
cos α = adyacente/hipotenusa
Función Tangente: La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
tan α = opuesto/adyacente
La Función Cotangente: de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
cot α = adyacente/opuesto
La función Secante: La secante de un ángulo es la relación entre la
20 longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
sec α = hipotenusa/adyacente
La función Cosecante: La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
csc α = hipotenusa/opuesto
CAPÍTULO III: SUSTENTO PEDAGÓGICO
3.1 Introducción
La finalidad de la matemática es desarrollar formas de actuar y pensar matemáticamente en diversas situaciones, que permitan a los jóvenes interpretar e intervenir en la realidad a partir de la intuición, el planteamiento de supuestos, conjeturas e hipótesis haciendo inferencias, deducciones, argumentaciones y demostraciones; comunicarse y otras habilidades, así como el desarrollo de métodos y actitudes útiles para ordenar, cuantificar y medir hechos y fenómenos de la realidad e intervenir conscientemente sobre ella.
El pensar matemáticamente es un proceso complejo y dinámico que resulta de la interacción de varios factores (cognitivos, socioculturales, afectivos, entre otros), el cual promueve en los niños y niñas formas de actuar y construir ideas matemáticas a partir de diversos contextos.
Por ello, para pensar matemáticamente tenemos que ir más allá de los fundamentos de la matemática y la practica exclusiva de los matemáticos, y tratar de entender que se trata de aproximarnos a todas las formas posibles de razonar, formular hipótesis, demostrar, construir, organizar, comunicar ideas y resolver problemas matemáticos que provienen de un contexto cotidiano, social, laboral, científico, …
3.2. Cuerpo Temático
3.2.1. El pensamiento matemático según Piaget
El pensamiento lógico-matemático según Piaget Según Piaget (1999), el desarrollo cognoscitivo comienza cuando el niño o niña, asimila aquellas cosas del medio que les rodea con la realidad a sus estructuras, de manera que antes de empezar la escolarización formal, la mayoría de los niños adquiere unos conocimientos considerables sobre contar, el número y la aritmética. Este desarrollo va siguiendo un orden determinado, que incluye cuatro periodos o estadios, cada uno de los cuales está constituido por estructuras originales, las que se irán construyendo a partir del paso de un estado a otro. Estos periodos son:
a) Período sensorio motor: Que se encuentra subdividido en subestadios, en cuanto se consideran los cambios intelectuales que tiene lugar entre el nacimiento y los dos años, espacio de tiempo en el cual, el niño pasa por una fase de adaptación y hacia el final del período aparecen los indicios del pensamiento representacional.
22 b) Período preoperacional: Más conocido como el período de las
representaciones, va desde los dos a los seis o siete años, en él se consolidan las funciones semióticas que hacen referencia a la capacidad de pensar sobre los objetos en su ausencia. Esta capacidad surge con el desarrollo de habilidades representacionales como el dibujo, el lenguaje y las imágenes.
Piaget señala que los niños pueden usar estas habilidades representacionales solo para ver las cosas desde su propia perspectiva. En esta etapa los niños son egocéntricos. Las principales características del pensamiento egocéntrico son: el artificialismo o el intento de reducir el origen de un objeto a una fabricación intencionada; el animismo, o intento de conferir voluntad a los objetos; el realismo en la que los niños dan una existencia real a los fenómenos psicológicos como por ejemplo el sueño.
c) Período operacional concreto: Comprende entre los seis y doce años; en esta etapa los niños pueden adoptar otros puntos de vista, considerando más una perspectiva y representación de transformaciones. Tienen la capacidad de operar mentalmente sobre representaciones del mundo que los rodea, pero son inhábiles de considerar todos los resultados lógicamente posibles, y no captan conceptos abstractos; las operaciones que realizan son el resultado de transformaciones de objetos y situaciones concretas; son características de este período las siguientes: a) adecuada noción de medida, con la comprensión de la reducción a una unidad inalterable; b) la perspectiva y la proyección; c) la comprensión conceptual de la velocidad por la integración simultánea de las variables temporal y espacial; d) la comprensión de la llamada ley de los grandes números en la teoría de las probabilidades; en esta etapa el estudiante puede resolver ecuaciones, formular proposiciones, de modo general adquiere la capacidad de plantear y resolver problemas que requieren la manipulación de variables.
d) Período de las Operaciones formales: En este período, los niños son capaces de pensar sobre su propio pensamiento, los que se convierten también en objeto de pensamiento, es decir han adquirido habilidades metacognitivas; son capaces de razonar sobre la base de posibilidades teóricas, así como también sobre realidades concretas, son capaces de considerar situaciones hipotéticas y pensar sobre ellas.
Piaget (2001) señala que las matemáticas elementales son un sistema de ideas y métodos fundamentales que permiten abordar problemas matemáticos.
Así, por ejemplo el desarrollo de la comprensión del número y de una manera significativa de contar está ligado a la aparición de un estadio más avanzado del pensamiento, aparecen estos con el “estadio operacional concreto”, los niños que no han llegado a este estadio no pueden comprender el número ni contar significativamente, mientras que los niños que sí han llegado, pueden hacerlo, estando dentro de este grupo los niños de cuarto de básica. Piaget (citado en Santamaría, 2002), explica que a medida que el niño crece, utiliza gradualmente representaciones más complejas para organizar la información del mundo exterior que le permite desarrollar su inteligencia y pensamiento para lo cual hace referencia a la presencia de tres tipos de conocimiento:
a) El conocimiento físico, que es el que adquiere el niño a través de la manipulación de los objetos que están a su alrededor y su interacción con el medio.
b) El conocimiento lógico-matemático, surge de una abstracción reflexiva ya que este conocimiento no es observable y es el niño quien lo construye en su mente a través de las relaciones con los objetos, aclarando que el conocimiento adquirido una vez procesado no se olvida, ya que la experiencia no proviene de los objetos sino de la acción sobre los mismos c) El conocimiento social, es el conocimiento que adquiere el niño en su
relación con otros niños y los adultos
Un elemento sustancial para que todo niño desde la primera infancia hasta llegar a la edad de Cuarto de Básica, es que aprenda es a ser lógico (Nunes y Bryant, 2005). En este sentido, solamente aquella persona que reconozca las reglas lógicas puede entender y realizar adecuadamente incluso las tareas matemáticas más elementales. Por tanto es preciso reconocer a la lógica como uno de los constituyentes del sistema cognitivo de todo sujeto (Chamorro, 2005).
Su importancia es que permite establecer las bases del razonamiento, así como la construcción no solo de los conocimientos matemáticos sino de cualquier otro perteneciente a otras áreas de estudio. (Baroody, 2005)
Para Piaget (1999) los niños deben entender la lógica de las relaciones matemáticas y la clasificación para comprender las relaciones de equivalencia y a consecuencia de ello, el significado del número, de manera que la equivalencia es el fundamento psicológico de la comprensión del número, de manera que para establecer una igualdad, los niños tienen que llevar la cuenta de los elementos que han emparejado mediante la imposición de un orden.
24 Según Piaget (citado en Antonegui, 2004) el conocimiento lógico- matemático es el que construye el niño al relacionar las experiencias obtenidas en la manipulación de los objetos. Por ejemplo, el niño diferencia entre un objeto de textura áspera con uno de textura lisa y establece que son diferentes. El conocimiento lógico-matemático "surge de una abstracción reflexiva", ya que este conocimiento no es observable y es el niño quien lo construye en su mente a través de las relaciones con los objetos, desarrollándose siempre de lo más simple a lo más complejo, teniendo como particularidad que el conocimiento adquirido una vez procesado no se olvida, ya que la experiencia no proviene de los objetos sino de su acción sobre los mismos.
De allí que este conocimiento posea características propias que lo diferencian de otros conocimientos.
Para el niño la adquisición de conceptos matemáticos, será siempre más fácil al descubrir un concepto simple, ya que este requiere menos experiencias y ensayos, que el de un concepto compuesto. Dentro del pensamiento cognitivo de Piaget (2000), los niños no se limitan simplemente a absorber información, su capacidad para aprender tiene límites, esto debido a que el proceso de asimilación e integración en los niños, son más lentos, comprendiendo de poco a poco, por ejemplo: los niños aprenden paso a paso las relaciones matemáticas que les permiten dominar las combinaciones numéricas básicas.
Las operaciones lógico matemáticas, antes de ser una actitud puramente intelectual, requiere en el niño o niña, la construcción de estructuras internas y del manejo de ciertas nociones que son, ante todo, producto de la acción y relación del niño con objetos y sujetos y que a partir de una reflexión le permiten adquirir las nociones fundamentales de clasificación, seriación y la noción de número (Reisnick, 2000). El adulto que acompaña al niño en su proceso de aprendizaje debe planificar didáctica de procesos que le permitan interaccionar con objetos reales, que sean su realidad: personas, juguetes, ropa, animales, plantas, etc.
Según Piaget (1999), el pensamiento lógico-matemático juega un papel preponderante en tanto que sin él los conocimientos físicos y lógicos no se podrían incorporar o asimilar. Por ejemplo, se muestra que existe un nivel en el cual el niño no admite la propiedad de la transitividad, o la propiedad conmutativa fenómeno que a partir de los siete u ocho años aparecerá como evidente por necesidad deductiva.
La experiencia física consiste en actuar sobre objetos para extraer un conocimiento por abstracción a partir de los mismos objetos, el niño al levantar sólidos puede advertir por experiencia física la diversidad de la masa y la relación con su volumen; en tanto que la experiencia lógico – matemática consiste en operar sobre los objetos, pero obteniendo conocimiento a partir de la acción; pues ésta empieza por conferir a los objetos caracteres que no poseían por sí mismos, manteniendo sus propiedades anteriores
La experiencia se refiere a los caracteres introducidos por la acción en el objeto y no a las propiedades anteriores de éste, es decir el conocimiento se extrae de la acción como tal y no de las propiedades físicas del objeto; en un momento dado las acciones lógico matemáticas del sujeto pueden prescindir de su aplicación a objetos físicos e interiorizarse en operaciones manipulables simbólicamente, la experiencia solo se hace accesible a partir de los marcos lógico – matemáticos que consisten en ordenaciones, clasificaciones, correspondencias, funciones, etc.
Gardner (1996) señala que Piaget ha ayudado mucho a comprender el desarrollo cognoscitivo, que corresponde principalmente al desarrollo de la inteligencia lógico-matemática; pero conocer el tamaño y la medida de las cosas, el descubrimiento de la cantidad, el paso de los conceptos concretos a los abstractos y finalmente la elaboración de hipótesis, no son necesariamente aplicables al desarrollo de otras inteligencias que además siguen algunos procesos particulares
Aunque la inteligencia lógica-matemática abarca conocimientos muy importantes para el avance de la tecnología y de algunas ciencias, Gardner (1996) considera que no es superior a otros tipos de inteligencia porque frente a los problemas de la vida las otras inteligencias poseen sus propios mecanismos de ordenar la información y de manejar recursos para resolverlos y no necesariamente se solucionan a través del cálculo.
3.2.2. El aprendizaje significativo de Ausbel
La idea de aprendizaje significativo con la que trabajó Ausubel es la siguiente: el conocimiento verdadero solo puede nacer cuando los nuevos contenidos tienen un significado a la luz de los conocimientos que ya se tienen.
Es decir, que aprender significa que los nuevos aprendizajes conectan con
26 los anteriores; no porque sean lo mismo, sino porque tienen que ver con estos de un modo que se crea un nuevo significado.
Por eso el conocimiento nuevo encaja en el conocimiento viejo, pero este último, a la vez, se ve reconfigurado por el primero. Es decir, que ni el nuevo aprendizaje es asimilado del modo literal en el que consta en los planes de estudio, ni el viejo conocimiento queda inalterado. A su vez, la nueva información asimilada hace que los conocimientos previos sean más estables y completos.
La Teoría de la Asimilación.
La Teoría de la Asimilación permite entender el pilar fundamental del aprendizaje significativo: cómo los nuevos conocimientos se integran en los viejos.
La asimilación ocurre cuando una nueva información es integrada en una estructura cognitiva más general, de modo que hay una continuidad entre ellas y la una sirve como expansión de la otra.
Por ejemplo, si se conoce la Teoría de Lamarck, de modo que ya se entiende un modelo de la evolución, luego es más fácil entender la Teoría de la Evolución Biológica heredera del darwinismo.
La asimilación obliteradora.
Pero el proceso del aprendizaje significativo no termina ahí. Al principio, cada vez que se quiera recordar la información nueva, se podrá hacer como si esta fuese una entidad separada del marco cognitivo más general en el que se encuentra integrada. Sin embargo, con el paso del tiempo ambos contenidos se funden en uno solo, de modo que ya no se puede evocar solamente uno entendiéndolo como una entidad separada de la otra.
En cierto modo, el conocimiento nuevo que se aprendió al principio queda olvidado como tal, y en su lugar aparece un conjunto de informaciones que es cualitativamente diferente. Este proceso de olvido es llamado por Ausubel “asimilación obliteradora”.
¿Qué no es aprendizaje significativo?
Para entender mejor el concepto de aprendizaje significativo de David Ausubel, puede ayudar saber en qué consiste u versión opuesta: el aprendizaje mecánico, también llamado aprendizaje memorístico por este mismo investigador.
Se trata de un concepto muy vinculado al aprendizaje pasivo, que muchas
veces se produce incluso de manera no intencionada a causa de la simple exposición a conceptos repetidos que van dejando su marca en nuestro cerebro.
Los tipos de aprendizaje significativo
El aprendizaje significativo se opone al tipo anterior, fundamentalmente, porque para que se produzca es necesario buscar de forma activa una vinculación personal entre los contenidos que aprendemos y aquellos que ya habíamos aprendido. Ahora bien, en este proceso hay espacio para encontrar diferentes matices. David Ausubel distingue entre tres clases de aprendizaje significativo:
a) Aprendizaje de representaciones
Se trata de la forma más básica de aprendizaje. En ella, la persona otorga significado a símbolos asociándolos a aquella parte concreta y objetiva de la realidad a la que hacen referencia, recurriendo a conceptos fácilmente disponibles.
b) Aprendizaje de conceptos
Este tipo de aprendizaje significativo es parecido al anterior y se apoya en él para existir, de modo que ambos se complementan y "encajan"
entre sí. Sin embargo, hay una diferencia entre ambos.
En el aprendizaje de conceptos, en vez de asociarse un símbolo a un objeto concreto y objetivo, se relaciona con una idea abstracta, algo que en la mayoría de los casos tiene un significado muy personal, accesible solo a partir de nuestras propias experiencias personales, algo que hemos vivido nosotros y nadie más.
Por ejemplo, para llegar a interiorizar la idea de lo que es una hiena es necesario desarrollar una idea de “hienidad” que permita diferenciar a estos animales de los perros, los leones, etc. Si con anterioridad hemos visto una hiena en un documental, pero no la pudimos diferenciar de un perro grande, ese concepto no existirá, mientras que una persona familiarizada con los perros probablemente sí se dará cuenta de esas diferencias anatómicas y comportamentales significativas y será capaz de crear ese concepto como una categoría aparte de la de los perros.
c) Aprendizaje de proposiciones
En este aprendizaje el conocimiento surge de la combinación lógica de conceptos. Por eso, constituye la forma de aprendizaje significativo más
28 elaborada, y a partir de ella se es capaz de realizar apreciaciones científicas, matemáticas y filosóficas muy complejas. Como es un tipo de aprendizaje que demanda más esfuerzos, se realiza de modo voluntario y consciente. Por supuesto, se sirve de los dos anteriores tipos de aprendizaje significativo.
3.2.3. Enfoque del área de matemática
Según el ministerio de educación a través de Curriculo Nacional de Educación básica, el enfoque del área de matemática se basa en la resolución de problemas
a) René Descartes
Basándonos en Manuel Moreno M., Gloria Rubí V. y Sergio Pou (2009) A.
Descartes (1596-1650) establece cuatro pasos en la resolución de problemas matemáticos, de forma abreviada estos pasos son: - No aceptar nada como cierto hasta no haber reconocido claramente lo que es. - Dividir cada dificultad por examinar en tantas partes como sea posible. - Llevar a cabo mis reflexiones en el orden debido, comenzando con los objetos más simples y fáciles de entender. - Hacer las enumeraciones tan completas y las revisiones tan generales que pueda tener la seguridad de no haber omitido nada. J.M. Sigarreta, J.M. Rodríguez y P. Ruesga, (2006) enuncian que Descartes asignó dentro del proceso de conocimiento un papel extraordinario la deducción, basada en principios alcanzables por vía intuitiva. Afirman que, para obtener el conocimiento, él creía necesario ponerlo todo en duda.
b) Wallas
Continuando con el artículo de Blanco (1996), en él afirma que el modelo más relevante entre los primeros propuestos se debe a Wallas (1926), describe el proceso de intervención, en el que estableció cuatro fases de resolución: 1. Preparación: Recolección de información e intentos preliminares de solución. 2. Incubación: Dejar el problema de lado para realizar otras actividades o descansar. 3. Iluminación: Es cuando se produce la aparición de la idea clave para la solución. 4. Verificación: Se comprueba la solución.
c) George Polya
En 1945, el matemático George Polya, publicó su libro llamado “How to
solve it” el cual fue trascendental en la resolución de problemas matemáticos. Según la propia definición de Polya Considerando que la intención principal del modelo es conseguir que cualquier persona, ayudada preferentemente por un tutor, logre resolver un problema avanzando linealmente desde el enunciado hasta la solución. Para obtener estos resultados, en su libro nos propone cuatro fases:
Comprender el problema: El problema debe escogerse adecuadamente, ni muy difícil ni muy fácil, y debe dedicarse un cierto tiempo a exponerlo de un modo natural e interesante. El maestro formulará las siguientes preguntas para comprobar que el enunciado verbal del problema se ha comprendido. ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la condición? ¿Es posible satisfacer la condición?: En esta pregunta no se espera una respuesta definitiva, sino más bien provisional. En caso de haber alguna figura relacionada con el problema, se debe dibujar la figura y destacar en ella la incógnita y los datos.
Concepción de un plan: Polya nos explica en su libro que tenemos un plan cuando sabemos, en cierto modo, qué cálculos, qué razonamientos o construcciones haremos de efectuar para determinar la incógnita.
Propone que el maestro conduzca a la idea de concebir el plan sin imponérselo. Se puede plantear la siguiente pregunta ¿Conoce algún problema relacionado? Si se llega a recordar algún problema ya resuelto que esté relacionado con nuestro problema actual debemos tratar de preguntar si se puede hacer uso de él. En caso negativo, debemos cambiar, transformar o modificar el problema. Una modificación del problema puede conducirnos a algún otro problema auxiliar apropiado, y al tratar de utilizar otros problemas o teoremas que ya conocemos, podemos desviarnos y alejarnos de nuestro problema primitivo. Unas preguntas para conducir de nuevo a él son: ¿Ha empleado todos los datos?; ¿Ha hecho uso de toda la condición?
Ejecución del plan: Al ejecutar el plan se debe comprobar que cada uno de los pasos sea correcto.
Examinar la solución obtenida. El matemático puntualiza que una vez obtenida la solución del problema y expuesto claramente el razonamiento, existe un medio rápido e intuitivo para asegurarse de la
30 exactitud del resultado o del razonamiento, mediante las preguntas:
¿Puede verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento? ¿Puede obtener el resultado de un modo distinto?
3.2.4. Competencia
La competencia se define como la facultad que tiene una persona de combinar un conjunto de capacidades a fin de lograr un propósito específico en una situación determinada, actuando de manera pertinente y con sentido ético.
Ser competente supone comprender la situación que se debe afrontar y evaluar las posibilidades que se tiene para resolverla. Esto significa identificar los conocimientos y habilidades que uno posee o que están disponibles en el entorno, analizar las combinaciones más pertinentes a la situación y al propósito, para luego tomar decisiones; y ejecutar o poner en acción la combinación seleccionada. Asimismo, ser competente es combinar también determinadas características personales, con habilidades socioemocionales que hagan más eficaz su interacción con otros. Esto le va a exigir al individuo mantenerse alerta respecto a las disposiciones subjetivas, valoraciones o estados emocionales personales y de los otros, pues estas dimensiones influirán tanto en la evaluación y selección de alternativas, como también en su desempeño mismo a la hora de actuar. El desarrollo de las competencias de los estudiantes es una construcción constante, deliberada y consciente, propiciada por los docentes y las instituciones y programas educativos. Este desarrollo se da a lo largo de la vida y tiene niveles esperados en cada ciclo de la escolaridad. El desarrollo de las competencias del Currículo Nacional de la Educación Básica a lo largo de la Educación Básica permite el logro del Perfil de egreso. Estas competencias se desarrollan en forma vinculada, simultánea y sostenida durante la experiencia educativa. Estas se prolongarán y se combinarán con otras a lo largo de la vida.
3.2.5. Capacidad
Las capacidades son recursos para actuar de manera competente. Estos recursos son los conocimientos, habilidades y actitudes que los estudiantes utilizan para afrontar una situación determinada. Estas capacidades suponen operaciones menores implicadas en las competencias, que son operaciones más complejas. Los conocimientos son las teorías, conceptos y procedimientos legados por la humanidad en distintos campos del saber. La escuela trabaja con conocimientos construidos y validados por la sociedad global y por la sociedad
en la que están insertos. De la misma forma, los estudiantes también construyen conocimientos. De ahí que el aprendizaje es un proceso vivo, alejado de la repetición mecánica y memorística de los conocimientos preestablecidos. 22 Las habilidades hacen referencia al talento, la pericia o la aptitud de una persona para desarrollar alguna tarea con éxito. Las habilidades pueden ser sociales, cognitivas, motoras. Las actitudes son disposiciones o tendencias para actuar de acuerdo o en desacuerdo a una situación específica. Son formas habituales de pensar, sentir y comportarse de acuerdo a un sistema de valores que se va configurando a lo largo de la vida a través de las experiencias y educación recibida.
3.2.6. Desempeño
Son descripciones específicas de lo que hacen los estudiantes respecto a los niveles de desarrollo de las competencias (estándares de aprendizaje). Son observables en una diversidad de situaciones o contextos. No tienen carácter exhaustivo, más bien ilustran algunas actuaciones que los estudiantes demuestran cuando están en proceso de alcanzar el nivel esperado de la competencia o cuando han logrado este nivel. Los desempeños se presentan en los programas curriculares de los niveles o modalidades, por edades (en el nivel inicial) o grados (en las otras modalidades y niveles de la Educación Básica), para ayudar a los docentes en la planificación y evaluación, reconociendo que dentro de un grupo de estudiantes hay una diversidad de niveles de desempeño, que pueden estar por encima o por debajo del estándar, lo cual le otorga flexibilidad.
CONCLUSIONES
Sustento teórico
A través del tiempo una gran cantidad de personajes han dedicado su vida para contribuir con la realización de cálculos que ayuden y nos lleven a encontrar respuestas y resultados exactos para así descubrir el porque de los fenómenos y hechos en la historia humana.
Unos de los puntos dentro de la matemática a resaltar seria las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.
Estas funciones fueron creadas a partir de la trigonometría plana y esférica para después ser perfeccionada y lograr lo que hoy llamamos Funciones Trigonometricas, es necesario dejar claro que es importante ya que forma parte de la matemáticas y que es fundamental en el desarrollo de algunas operaciones de cálculos para así obtener los resultados de los objetivos trazados.
Sustento pedagógico
La matemática permite promover y estimular el diseño, elaboración y apreciación de formas artísticas, a través del material concreto, así como el uso de gráficos y esquemas para elaborar y descubrir patrones y equivalencias.
La matemática permite estimular el trabajo cooperativo, el ejercicio de la crítica, la participación y colaboración, la discusión y defensa de las propias ideas, y para asumir la toma de conjunta de decisiones.
La matemática permite el desarrollo de capacidades para el trabajo científico, la búsqueda, identificación y resolución de problemas.
Las situaciones que movilizan este tipo de conocimientos, enriquecen a los niños al sentir satisfacción por el trabajo realizado al hacer uso de sus competencias matemáticas.
El desarrollo de las competencias necesita ser gestionado, monitoreado y retroalimentado permanentemente por el docente, teniendo en cuenta las diferencias de diversa naturaleza (de aptitud, de personalidad, de estilo, de cultura, de lengua) que exista en todo salón de clase.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Documentación Social. Nº 81. Madrid.
Bocanegra Vilcamango, Beder. (2005). Evaluación del Aprendizaje, un enfoque socializador. Odar Editores. Chiclayo. Perú.
Diaz, F. y Hernández, G. (1998). Estrategias docentes para un aprendizaje significativo.
Una interpretación constructivista. Mac Graw Hill. México.
Grabinger, S. y Dunlap, J. (1996). Enseñando con responsabilidad. Editorial Mahwah, NJ, Estados Unidos.
Hidalgo, M (2007). Cómo desarrollar una clase formativa y productiva. (Novena edición).
Lima-Perú: Palomino E.I.R.L
Kuthe, J. (1971). Los procesos de enseñanza y aprendizaje. (1ra. ed.). Paidós. Argentina.
Martinez. (2004). Viejos y nuevos recursos y tecnologías en las matemáticas. Editorial Cisspraxis. Barcelona, España.
Minedu. (2015). Rutas de aprendizaje. Lima - Perú.
Ministerio de educación. (2017). Currículo Nacional de Educación. Básica. Lima – Perú.
Nieto, J.M. (1994). La autoevaluación del profesor. Cómo puede el profesor evaluar su propia práctica docente. Escuela Española. Madrid.
Pérez, A. (2000). La función y formación del profesor en la enseñanza para la comprensión.
Diferentes perspectivas: Comprender y transformar la enseñanza. Madrid: Morata Vygotsky, L. (1978). Pensamiento y habla. Editorial Paidós. Madrid – España.
ANEXOS
ANEXO N° 01
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Altura de los semáforos
Bruno debe inspeccionar la correcta ubicación de los semáforos de la localidad guiándose de la siguiente tabla:
Altura libre de la cara del semáforo
Tipo de semáforo Altura (metros)
Mínima Máxima
Semáforo con poste o ménsula corta 3.70 5.70
Semáforo con ménsula larga 5.70 7.70
Semáforo suspendido por cables 5.70 7.70
Desde dos autos separados por una distancia de 1.50 m. se observa el semáforo de ménsula larga con ángulo de elevación de 37° y 45°. Si los ojos de los observadores están a 1.20 de la pista ¿es correcta la altura a la que se encuentra la altura el semáforo?
¿Qué distancia separa el auto más lejano de la base del semáforo?
36 Manos a la obra
¿Cómo se puede determinar si la ubicación del semáforo cumple con la norma? ¿en qué lugares se coloca los semáforos? ¿Qué es una ménsula?
Interrogación
1. ¿Qué figuras observas?
2. ¿Qué datos puedes extraer del enunciado?
Orientación dirigida
3. Construye una representación con sorbetes
4. Elabora un modelo geométrico que represente la observación del semáforo de ménsula larga desde dos autos separados por una distancia determinada. Luego, describe los elementos que observas.
5. ¿Cómo te ayudan los ángulos de elevación para relacionar las cantidades?
Explicación
6. ¿Cómo determinarías la altura del semáforo? ¿Y a distancia del auto más alejado de la base?
Orientación libre
7. Si los autos estuvieran separados por 3 m. y se observa el semáforo con los mismo ángulos de elevación ¿Sería correcta la altura a la que se encuentra el semáforo?
38
Integración
8. ¿Cuál es la mínima distancia que deben estar separados los autos para que la altura del semáforo sea correcta?
9. Elabora con un organizador gráfico con los temas tratados
38
ANEXO N° 02 FICHA DE APLICACIÓN
Nombres y Apellidos: ………
Resuelve las siguientes situaciones
1) Una escalera de 6 m de longitud está apoyada sobre una pared formando con esta un ángulo de 30°. Calcula la distancia entre el pie de la escalera y la pared.
2) La parte superior de un edificio de 48 m de altura es observada con un ángulo de 53°. Si el observador mide 1.6 m, ¿Cuál es la distancia entre observador y el edificio?
3) Desde lo alto de un edificio de 100 m de altura, se observa con un ángulo de
40 depresión de 60° un auto que se encuentra en el estacionamiento del primer piso.
Calcula la distancia desde el auto hasta el pie del edificio en el punto que está bajo el observador.
ANEXO 03
GUIA DE OBSERVACIÓN
I.E. : Área : Matemática
Profesora : Javier Mendoza Prado Grado y sección: 5° “A”
Nº ESTUDIANTES
Combina y adapta estrategias heurísticas, recursos o procedimientos para resolver ejercicios y problemas que involucran razones trigonométricas
Resuelve problemas de la vida cotidiana haciendo uso de las razones trigonométricas
Resuelve ejercicios, aplicando el teorema de Pitágoras
Aplica una estrategia adecuada para dar respuesta a situaciones planteadas relacionadas con las Razones trigonométricas
Realiza cálculos matemáticos para realizar la reducción de ángulos mayores.
(0-6 puntos) (0-4 puntos) (0-6 puntos) (0-4 puntos)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
42
43
