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ANALISIS TEORICO-EXPERIMENTAL DE UNA ANTENA DE CRUZ.

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(1)

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA

MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

MAESTRÍA EN CIENCIAS EN INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES

T E S I S

ANÁLISIS TEÓRICO-EXPERIMENTAL DE UNA

ANTENA DE CRUZ

Que para obtener el grado de Maestro en Ciencias en

Ingeniería de Telecomunicaciones

P R E S E N T A

ING. ANDRÉS LUCAS BRAVO

DIRECTOR DE TESIS

M. en C. JORGE R. SOSA PEDROZA

(2)
(3)
(4)

Dedicatoria

A mis padres:

Cipriano Lucas Cruz y María Bravo Bolaños

Por sus enseñanzas y apoyo incondicional durante toda mi vida

A mis hermanos:

Inocencio, socorro, María, Zoila y Gaudencio

Quienes me apoyaron y motivaron en mis estudios de licenciatura y Maestría

A mis familiares

Por compartir muchos momentos de alegría

Agradecimientos

Al Dr. Antoine G. Roederer, de la Agencia Espacial Europea

Por sus comentarios favorables respecto a los resultados obtenidos en esta tesis. Así también, por compartir la patente del primer trabajo relacionado con la antena de cruz.

Al Dr. Roberto Linares y Miranda

Por su apoyo en las mediciones de acoplamiento

Al Ing. José Zavala Chávez

Por facilitarme el equipo necesario para realizar algunas mediciones

Al Ing. Victor Barrera Figueroa

Por su ayuda en el desarrollo de la descripción matemática de la antena

Al Dr. José Luis López Bonilla

Por sus valiosos comentarios y sugerencias durante el desarrollo de este trabajo. Por su motivación constante en diversos aspectos de mi vida, y por compartir sus ideas, conocimiento y sobre todo su amistad.

(5)

CONTENIDO

Objetivo III

Justificación IV

Resumen V

Introducción 1

Capítulo 1

Las Antenas y sus Principales Parámetros

1.1 Introducción 3

1.2 Ancho de Banda 3

1.3 Patrón de Radiación 5

1.3.1 Patrón de Radiación Isotrópico, Direccional y Omnidireccional 6

1.3.2 Lóbulos del Patrón de Radiación 7

1.4 Densidad de Potencia Radiada 8

1.4.1 Intensidad de Radiación 9

1.5 Ganancia 10

1.6 Polarización 11

1.7 Impedancia de Entrada 13

1.7.1 SWR y Coeficiente de Reflexión 16

1.8 La Antena de Cruz 18

1.8.1 Antenas con Geometría Arbitraria 18

1.8.2 Características de la Antena de Cruz 20

1.8.3 La Estructura de la Antena de Cruz 22

1.8.4 Análisis de la Antena 23

1.8.5 Ecuaciones Paramétricas que Describen cada Punto en la

Estructura de la Antena de Cruz de Ocho Brazos 26

Capítulo 2

Teoría de Antenas con Geometría Arbitraria

2.1 Introducción 28

2.2 La Ecuación de Pocklington 28

2.3 La Solución del Método de Momentos (MM) 33

2.3.1 Funciones de Expansión y Peso 35

2.4 Algunas Consideraciones Teóricas en el Código NEC 37

Capítulo 3

Análisis Computacional de la Antena de Cruz, Usando el Código NEC

(6)

3.3 Efecto del Plano de Tierra 43

3.4 Modelado de Antenas sobre un Plano de Tierra 44

3.5 Modelado de Alambres 45

3.6 Modelado de la Fuente 46

3.7 Resultados Obtenidos con el Software NEC-Win Pro 47

Capítulo 4

Resultados Experimentales

4.1 Introducción 59

4.2 La Construcción de la Antena de Cruz 59

4.3 Impedancia de Carga 60

4.4 Patrón de Radiación 63

4.5 Medición de Impedancia de Entrada, VSWR, Ganancia y Patrón de

Radiación 66

4.6 Comparativo entre Resultados Teóricos y Experimentales 70

Conclusiones

73

(7)

OBJETIVO

(8)

JUSTIFICACIÓN

Las antenas son componentes esenciales en cualquier sistema de radiocomunicaciones, por tal motivo es indispensable la investigación de éstos dispositivos; en muchas aplicaciones las antenas de ganancia media se usan como única alternativa, cuando deben considerarse dimensiones y peso adecuados, principalmente en VHF y UHF.

Este trabajo analiza un radiador poco conocido: la antena de cruz que, como se demuestra aquí, tiene mejores características que las encontradas en otras antenas de alta frecuencia y de dimensiones mayores, como las yagi, las de aro, las helicoidales o arreglos de dipolos.

(9)

RESUMEN

En esta tesis se analiza, diseña y construye una antena de cruz con ganancia media y polarización circular. Es una antena de onda progresiva, y está formada de un alambre conductor o cinta metálica colocada sobre un plano de tierra, sigue el contorno de una cruz con ocho brazos; la longitud del alambre es de 9.9 longitudes de onda en una vuelta. La antena es alimentada por una entrada coaxial y está terminada en circuito corto, circuito abierto o en una carga. Se incluye una descripción de la antena y su análisis teórico-experimental correspondiente.

Para el desarrollo teórico se introduce una técnica que permite representar matemáticamente la estructura de la antena y generalizarla a estructuras más complejas. El modelado por computadora permitió optimizar algunos parámetros. Los resultados experimentales son comparables con las predicciones, y se confirma la utilidad práctica de la antena.

ABSTRACT

In this work an antenna circularly polarized and medium gain is analyzed, designed and constructed. This traveling wave antenna consists of a conducting wire or strip placed above a ground plane and following the contour of a cross with eight branches, the length of the wire is 9.9 wavelengths over one turn. The antenna is fed from a coaxial input and terminated in short circuit, open circuit or in a load. A description is included of the antenna and its corresponding analysis theoretical-experimental.

For theoretical development is introduced a technique that permit represent in mathematical form the structure of the antenna and is generalized to other complex antennas.

(10)

Introducción

Una antena es un dispositivo que permite radiar o recibir ondas de radio; su función principal es llevar a cabo la transición de una onda guiada por una línea de transmisión a una onda en el espacio libre (realiza el proceso inverso, si es utilizada como receptora). De este modo la información puede ser transferida de un punto a otro sin conexión física entre estos. Cobra importancia el uso de antenas cuando queremos establecer comunicación entre dos o más sitios distantes entre sí, en cuyo caso resulta muy costoso llevar la señal por medio de líneas de transmisión debido a la atenuación y problemas de acoplamiento que se presentan en líneas muy largas.

Las antenas de alambre fueron inauguradas en 1842 por Joseph Henry, profesor de filosofía natural en Princeton, NJ, e inventor de la telegrafía con alambres. Henry realizó experimentos con antenas y se dio cuenta que al generar una descarga en una antena que usó como transmisora era posible magnetizar otra antena colocada a varias millas de distancia (sin conexión física entre ambas). Así, Henry había descubierto las ondas electromagnéticas, con esta base formuló la idea de que la luz está compuesta por ondas de este tipo. Un resumen de la historia de las antenas se encuentra en [1].

El fundamento teórico para el análisis de antenas está basado en las ecuaciones de J. C. Maxwell (1831-1879), el mismo que unificó electricidad y magnetismo en una sola teoría conocida como Electromagnetismo.

Desde que aparecieron las primeras antenas, tanto para uso comercial como militar, se ha desarrollado una gran variedad de tecnologías que han mejorado el uso de las antenas en diversos sistemas de comunicación. Asimismo, la investigación en este campo ha contribuido enormemente al desarrollo de otras ciencias, como: La medicina, astronomía, biología, aeronáutica, etc.

(11)

media (12 – 15 dB), tales como: antenas de corneta, hélice, parches y otras. Por sus características la antena de cruz, puede ser utilizada principalmente en sistemas de comunicación satelital y comunicaciones móviles, aunque su uso no está restringido para otros sistemas. Esta tesis incluye el análisis computacional de la impedancia de entrada, VSWR, distribución de corriente y patrón de radiación de la antena de cruz. Cabe señalar que, a excepción del patrón de radiación, los tres parámetros anteriores no se han publicado antes al menos desde el punto de vista de modelado; en el primer artículo relacionado con esta antena [2], se publicó solamente la impedancia de entrada (experimental) y patrón de radiación (experimental-modelado).

Cap. 1 Está dedicado al estudio general de los principales parámetros que caracterizan una antena, se incluye terminología y definiciones. Asimismo, se presenta la teoría de operación y una descripción de la antena de cruz de ocho brazos, objeto central de este trabajo. Al final del capítulo se muestran 23 ecuaciones que representan en forma matemática la estructura completa de la antena de referencia. Dichas ecuaciones son una aportación de esta tesis.

Cap. 2 Contiene la teoría relacionada con antenas de geometría arbitraria, la cual permite expresar el campo eléctrico (asociado con una antena) en términos de una ecuación integral (ec. generalizada de Pocklington). También se estudia el “Método de Momentos” que es una solución numérica a la ec. de Pocklington, cuyo objetivo es obtener la distribución de corriente en una antena. Por otro lado, se hace una revisión de algunos aspectos teóricos en los que se basa el código NEC.

Cap. 3 se hace una descripción de los antecedentes, teoría de operación y aplicación del Software NEC- Win-Pro utilizado para modelar la antena de cruz. En seguida se hace un análisis del comportamiento de la antena de cruz (3.2 GHz.) terminada en cuatro cargas diferentes.

(12)

Capítulo 1

Las Antenas y sus Principales Parámetros

1.1 Introducción

Existe una gran cantidad y variedad de antenas, que son parte fundamental en los sistemas de comunicación utilizados en diversas aplicaciones. Las antenas son populares, por ejemplo, en comunicaciones móviles que involucran: naves aéreas, vehículos espaciales, barcos, entre otros; la comunicación inalámbrica ha sido posible gracias a las antenas, las cuales también son utilizadas en radiodifusión donde un transmisor puede servir para enviar señal a un número ilimitado de receptores. Son fundamentales en actividades asociadas con seguridad, rescate, telefonía celular e incluso para radio-aficionados. Por otro lado, las antenas también son empleadas en otros campos que no están asociados con las comunicaciones, por ejemplo, en aplicaciones industriales y domésticas tales como censores colocados en zonas estratégicas de un proceso industrial, y en actividades básicas como cocinar y secar con microondas.

En este trabajo sería imposible describir cada una de ellas. Sin embargo, se hará una descripción de los principales parámetros tales como: ancho de banda, patrón de radiación, densidad de potencia radiada, intensidad de radiación, ganancia, polarización e impedancia de entrada. Los parámetros mencionados son de gran importancia para el diseñador de antenas, toda vez que le permiten clasificar y destinar antenas para propósitos específicos.

1.2 Ancho de Banda

(13)

Ancho de banda

Una antena con ancho de banda amplio se conoce como antena de banda ancha (broadband antenna). El término “banda ancha” es relativo a la medición de ancho de banda y cambia con las circunstancias. El ancho de banda puede ser calculado de dos formas: considerando la frecuencia máxima y mínima o tomando en cuenta la frecuencia de diseño.

El ancho de banda como porcentaje de la frecuencia de diseño es:

= − ×100%

d b a

f f f

B ( 1.1 )

donde: fa , fb y fd son las frecuencias alta, baja y de diseño, respectivamente

También puede definirse como una relación de fa y fb

b a r

f f

B = ( 1.2 )

Las antenas de banda estrecha, generalmente se expresan con la ec. (1.1), y es preferible la expresión (1.2) para las antenas de banda ancha.

Las antenas lineales que exhiben patrones de onda estacionaria de corriente y voltaje, formados por reflexiones de la terminal abierta del alambre, son conocidas como antenas de onda estacionaria o antenas resonantes (dipolo de λ / 2), tienen anchos de banda pequeño del orden de 8 a 16 %.

(14)

Patrón de radiación

La definición de antena de banda ancha, normalmente es arbitraria y depende particularmente del tipo de antena. Existe una forma más específica de definirla. Si la Impedancia y el Patrón de radiación de una antena, no cambian significativamente alrededor de una octava (fa / fb = 2 ) o más, entonces se clasifica como antena de banda

ancha. En la construcción de estas antenas, se requiere que su estructura no cambie abruptamente, es decir, el material utilizado debe tener frontera suave. Una estructura suave hace que la Impedancia y el Patrón de radiación cambien lentamente con la frecuencia. Este concepto tiene gran importancia en antenas de banda ancha.

1.3

Patrón de Radiación

El patrón de radiación es una de las características más importantes de una antena. Es una representación gráfica de las propiedades de radiación de una antena, en función de las coordenadas espaciales. Generalmente el patrón de radiación es determinado en la región de campo lejano. Las propiedades de radiación incluyen: Intensidad de radiación, Intensidad de campo y polarización.

A una gráfica de la potencia recibida en un radio constante, se le llama Patrón de potencia. Por otro lado, a una gráfica de la variación espacial del campo eléctrico o magnético a lo largo de un radio constante se le llama Patrón de campo.

Fig. 1.1. a) Patrón de campo (proporcional al campo eléctrico E en V/m), el valor del campo es relativo y está

normalizado En (θ ) = 1 en θ = 0°. El ancho del haz a media potencia (HPBW) = 40° es medido al nivel de

E = 0.707 , b) Patrón de potencia de (a) (proporcional a E2 ) la potencia es relativa Pn = 1 en θ = 0° y HPBW = 40°, es medido al nivel de Pn = 0.5

θ=0°

θ

Pn

Pn(θ)=E2n(θ)

θ=0°

θ

En(θ)

[image:14.612.143.419.462.641.2]
(15)

Patrón de radiación

Para el caso de la fig. 1.1, se observa que en un ancho de haz de 74°, se encuentran los primeros nulos de dichos patrones de radiación (FNBW = 74°).

Patrón de campo normalizado =

max ) , ( ) , ( ) , ( φ θ φ θ φ θ θ θ θ E E

E n = (adimensional) ( 1.3 )

Patrón de potencia normalizado =

max ) , ( ) , ( ) , ( φ θ φ θ φ θ S S

Pn n = (adimensional) (1.4 )

donde:

S (θ , φ ) = vector de Poynting =

0 2 2( , ) ( , )

Z E Eθ θ φ + φ θ φ

w/m2

S (θ , φ )max = valor máximo de S (θ , φ ) w/m2

Z0 = impedancia intrínseca del espacio libre = 377 Ω

1.3.1 Patrón de Radiación Isotrópico, Direccional y Omnidireccional

Un radiador Isotrópico está definido como una antena hipotética cuya radiación es la misma en todas direcciones fig.1.2a. Una fuente puntual sería un ejemplo de dicho radiador, aunque esto es solo ideal y no físicamente realizable. Sin embargo, esta idea se toma como referencia para expresar las propiedades directivas de antenas prácticas.

Una antena Direccional radia o recibe ondas electromagnéticas más eficientemente en una dirección que en otra. Un ejemplo de antena con patrón de radiación direccional se muestra en la fig. 1.2b. De la fig. 1.2c, se puede observar que el patrón, no es direccional en el plano de acimut [ f(φ), θ = cte.] y es direccional en el plano de elevación [ g(θ), φ = cte.]. A este tipo de patrón se le llama Omnidireccional y es definido como aquél que tiene esencialmente un patrón no direccional en acimut y un patrón direccional en elevación. Entonces un patrón omnidireccional es un tipo especial de patrón direccional [3].

[image:15.612.125.436.586.669.2]
(16)

Patrón de radiación

1.3.2 Lóbulos del Patrón de Radiación

Algunas partes del patrón de radiación se conocen como Lóbulos y se clasifican de la siguiente forma: Lóbulo principal (mayor), menor, lateral y trasero.

[image:16.612.175.385.261.465.2]

Un lóbulo de radiación es una porción de dicho patrón, con una intensidad de radiación relativamente débil, la fig. 1.3 muestra el patrón polar-tridimensional y los lóbulos de radiación mencionados.

Fig. 1.3 Patrón de Campo (tridimensional), de una antena direccional con máxima radiación en la dirección

de z en θ= 0, la radiación en cualquier dirección está definida por los ángulos θ y φ. La dirección del punto P

está en θ = 30° y φ = 85°. Este patrón es simétrico en φ y está en función de θ únicamente.

Un lóbulo principal se define como el lóbulo que contiene la dirección de máxima radiación. Un lóbulo menor es cualquier otro lóbulo excepto el lóbulo mayor. Un lóbulo lateral es adyacente al lóbulo principal y ocupa el mismo hemisferio que éste. Un lóbulo trasero es un lóbulo menor que ocupa el hemisferio opuesto a la dirección del lóbulo principal.

θ=30°

Eφ

Eθ

φ = 85°

φ = 0°

(17)

Densidad de potencia radiada

Los lóbulos menores generalmente representan la radiación en direcciones no deseadas y deben ser minimizados. El nivel de lóbulos menores se expresa como una relación de densidad de potencia entre el lóbulo mayor y el lóbulo en cuestión, con frecuencia se toma como referencia el lóbulo lateral. Niveles de lóbulos laterales del orden de –20 dB se consiguen fácilmente en aplicaciones prácticas, para lograr niveles del orden de –30 dB se requiere mucho cuidado en el diseño y construcción.

1.4

Densidad de Potencia Radiada

Como las ondas electromagnéticas son usadas para transportar información en un medio inalámbrico, la cantidad usada para describir la potencia asociada con dichas ondas es el Vector de Poynting instantáneo, definido como:

W = E x H ( 1.5 )

donde:

W =Vector de Poynting instantáneo (w/m2)

E =Intensidad de campo eléctrico instantáneo (V/m) H = Intensidad de campo magnético instantáneo (A/m)

Como el vector de Poynting es una densidad de potencia, la potencia total que sale de una superficie cerrada puede ser obtenida integrando la componente normal del vector de Poynting sobre toda la superficie.

∫∫

∫∫

• = •∧

=

s

sW ds W nda

P ( 1.6 )

P es la potencia total instantánea (Watts) y da es el área infinitesimal de la superficie cerrada (m2).

Para aplicaciones de campos variantes en el tiempo, es recomendable encontrar la densidad de potencia promedio, la cual se obtiene integrando el vector de Poynting instantáneo en un periodo y luego dividiendo entre el mismo periodo.

Para variaciones armónicas en tiempo de la forma jwt

e

tenemos:

[

E jwt

] ,

[

(18)

Intensidad de radiación

Usando la identidad Re

[

E jwt

e

]

= ½

[

E jwt

e

+ E* jwt

e

]

El vector de Poynting instantáneo, puede escribirse como.

W = E x H = ½ Re

[

E x H*

]

+ ½ Re

[

E x H

e

j2wt

]

( 1.7 ) donde H* = complejo conjugado del vector de campo magnético

Así, el vector de Poynting promedio en tiempo es:

(w/m2) ( 1.8 )

La densidad de potencia asociada con el campo electromagnético de una antena en la región de campo lejano es predominantemente real y es referida como la densidad de radiación. Así la potencia promedio radiada por una antena puede ser escrita como:

Prad = Pprom=

∫∫

s Wrad.ds =

∫∫

s Wprom. ds = ½

∫∫

s Re

[

E x H

*

]

. ds

(Watts) (1.9 )

El patrón de potencia es una medida que está en función de la dirección de la densidad de potencia promedio radiada por la antena.

1.4.1 Intensidad de Radiación

La intensidad de radiación de una antena en una dirección dada está definida como “ la potencia radiada por unidad de ángulo sólido”. La intensidad de radiación es un parámetro de campo lejano, y puede ser obtenida simplemente multiplicando la densidad de radiación por el cuadrado de la distancia, su expresión matemática es la siguiente:

U = r2 Wrad ( 1.10 )

donde :

U = intensidad de radiación (w/unidad de ángulo sólido) Wrad = densidad de radiación (w/m2)

(19)

Ganancia

Prad =

∫∫

U dΩ =

∫ ∫

π π

2

0 0

U Senθ dθdφ ( 1.11 )

donde:

dΩ = elemento de ángulo sólido (Senθ dθ dφ )

da = r2 Senθ dθ dφ

1.5

Ganancia

Otra característica importante de una antena es su Ganancia. Aunque la ganancia de una antena está relacionada con la Directividad, esta es una medida que considera la eficiencia, así como la capacidad direccional de la antena.

La ganancia de potencia de una antena, en una dirección dada, está definida como 4π veces la intensidad de radiación en esa dirección entre la potencia neta suministrada a la antena.

( )

ent P U Ganancia

G= =4π θ,φ (adimensional) ( 1.12 )

Pent = potencia total de entrada a la antena

Asimismo se puede expresar en términos de la potencia radiada

Prad = et Pent , donde et es la eficiencia total de la antena (adimensional)

( )

( )

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ =

rad t

P U e

Gθ,φ 4π θ,φ ó G

( )

θ,φ =etD

( )

θ,φ ( 1.13 )

del mismo modo, el máximo valor de la ganancia se puede relacionar con la directividad con la expresión siguiente:

( )

t

( )

t o

o G e D e D

G = θ,φ max= θ,φ max= ( 1.14 ) En la eficiencia total de la antena et , se consideran las pérdidas tanto en las terminales de

entrada como en la estructura de la misma. Tales pérdidas están relacionadas con los factores siguientes:

er = eficiencia de reflexión (desacoplamiento), ec = eficiencia de conducción, ed = eficiencia

del dieléctrico, así et = er ec ed.

(20)

Polarización

1.6

Polarización

La polarización de una antena en una dirección dada, se define como “ la polarización de la onda radiada cuando la antena es alimentada. Cuando la dirección no es fija, la polarización se considera en la dirección de máxima ganancia”.

La polarización de una onda radiada, se define como “ la propiedad que tiene una onda electromagnética radiada, para describir la dirección y la magnitud relativa del vector de campo eléctrico en función del tiempo”.

[image:20.612.207.354.329.477.2]

La polarización es entonces la figura trazada por el vector de campo eléctrico instantáneo. El campo debe ser observado a lo largo de la dirección de propagación. Algunos trazos típicos en función del tiempo se muestran en la fig. 1.4.

(21)

Polarización

Fig. 1.5 Polarización de algunas ondas electromagnéticas

Considere una onda plana que viaja en la dirección de z positiva (saliendo de la página), donde el vector de campo eléctrico se encuentra siempre en la dirección de y fig. 1.6a. Se dice que esta onda está polarizada linealmente en la dirección de y. El campo eléctrico en función de la posición y del tiempo está dado por:

Ey = E2 Sen (wt - βz)

De manera general, el campo eléctrico que viaja en la dirección de z puede tener dos componentes en x e y, como se indica en la fig. 1.6b, asimismo se considera una diferencia de fase (δ) entre dichas componentes. En este caso se dice que la onda está polarizada elípticamente.

[image:21.612.180.378.97.281.2]

a) b) c)

(22)

Impedancia de entrada

La relación entre los ejes mayor y menor de la polarización elíptica se llama relación axial

(RA). En el caso de la fig. 1.6b, RA = E2 / E1. Los casos extremos de la polarización

elíptica corresponden a polarización circular como se muestra en la fig. 1.6c y polarización lineal fig. 1.6a. Para el caso de polarización circular E1 = E2 y RA = 1, para polarización

lineal E1 = 0 y RA = ⎯.

Una onda polarizada elípticamente puede ser expresada en términos de dos componentes polarizadas linealmente, una en la dirección de x y otra en la dirección de y. Si analizamos el caso cuando la onda viaja en z positiva, las componentes de campo eléctrico pueden ser expresadas como:

Ex = E1 Sen ( wt - β z ) ( 1.15 )

Ey = E2 Sen ( wt - β z + δ ) ( 1.16 )

donde

E1 = amplitud de la onda polarizada linealmente en la dirección de x

E2 = amplitud de la onda polarizada linealmente en la dirección de y

δ = ángulo de fase entre Ey y Ex

Sumando las componentes del campo eléctrico en x e y obtenemos el vector de campo eléctrico total instantáneo.

E = âx E1 Sen ( wt - β z ) + ây E2 Sen ( wt - β z + δ ) ( 1.17 )

Explicaciones detalladas sobre este concepto se pueden encontrar en [3-6].

1.7

Impedancia de Entrada

La impedancia de entrada de una antena se define de diferentes formas: como “ la impedancia que presenta la antena en sus terminales o la relación de voltaje a corriente en dichas terminales o la relación apropiada de las componentes del campo eléctrico a campo magnético en un punto”.

(23)

Impedancia de entrada

a) b)

Fig. 1.7 a) Antena en modo de transmisión, b) Circuito equivalente

ZA = RA + j XA (1.18 )

donde

ZA = impedancia de la antena en las terminales 1-2 (Ohms)

RA = resistencia de la antena en las terminales 1-2 (Ohms)

XA = reactancia de la antena en las terminales 1-2 (Ohms)

j = √-1

La parte resistiva de (1.18), generalmente consta de dos componentes, esto es:

RA = Rr + Rp (1.19 )

donde:

Rr = resistencia de radiación de la antena

Rp = resistencia de pérdida de la antena

Si asumimos que la antena está conectada a un generador con impedancia interna, entonces:

Zg = Rg + j Xg (1.20 )

donde

Rg = resistencia de la impedancia del generador (Ohms)

Xg = reactancia de la impedancia del generador (Ohms)

Generador

(Zg )

Onda Radiada 1

2

Antena 1

2

Vg

Rg

Xg

Rp

XA

(24)

Impedancia de entrada

Si la antena es usada para transmitir, el generador y la antena pueden representarse por un circuito equivalente∆ mostrado en la fig. 1.7b. La corriente que circula en dicho circuito está dada por:

(

r p g

) (

A g

)

g g A g t g g X X j R R R V Z Z V Z V I + + + + = + =

= (Amp) (1.21 )

la magnitud de Ig se obtiene de:

(

) (

2

)

2

g A g p r g g X X R R R V I + + + +

= (Amp) (1.22 )

donde Vg es el voltaje pico del generador. La potencia que entrega el generador a la antena,

para que sea radiada, se determina mediante:

(

) (

)

⎥⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + =

= 2 2

2 2 2 2 1 g A g p r r g r g r X X R R R R V R I

P (W) (1.23 )

y la potencia disipada en forma de calor es:

(

) (

)

⎥⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + =

= 2 2

2 2 2 2 1 g A g p r p g p g p X X R R R R V R I

P (W) (1.24 )

la potencia remanente es disipada en forma de calor en la resistencia interna del generador Rgy está dada por:

(

) (

)

⎥⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + +

= 2 2

2

2 r p g A g

g g g X X R R R R V

P (W) (1.25 )

La máxima potencia entregada a la antena ocurre cuando se tiene acoplamiento conjugado; esto es:

Rr + Rp = Rg , XA = - Xg

El circuito de la Fig. 1.7b, puede ser usado para representar antenas pequeñas y simples. No puede ser

(25)

SWR y coeficiente de reflexión

En este caso la mitad de la potencia entregada por el generador es disipada en forma de calor en la resistencia del mismo (Rg), y la otra mitad es entregada a la antena. Esto

solamente sucede cuando tenemos acoplamiento conjugado. De la potencia que llega a la antena, una parte es radiada a través de la resistencia de radiación y la otra parte es disipada en forma de calor, esta ultima tiene que ver con la eficiencia de la antena. Si la antena no tiene pérdidas entonces la mitad de la potencia suministrada por el generador es radiada por la antena durante el acoplamiento conjugado.

El análisis realizado anteriormente corresponde a una antena que opera en modo de transmisión. El análisis respecto a la antena y su carga en modo de recepción es análogo al modo de transmisión.

La impedancia de entrada de una antena, generalmente está en función de la frecuencia, por tanto la antena debe ser acoplada a la línea de transmisión y otros equipos asociados, en un ancho de banda especificado.

La impedancia de entrada, depende de muchos factores incluyendo su geometría, el método de alimentación y su cercanía a los objetos alrededor de esta.

Respecto a geometrías complejas, pocas antenas han sido investigadas analíticamente. En algunos casos la impedancia de entrada se determina solo experimentalmente.

1.7.1 SWR y Coeficiente de Reflexión

La relación de onda estacionaria (ROE o SWR por sus siglas en Inglés), es un parámetro que indica el grado de acoplamiento que existe entre generador y antena cuando hay conexión entre ellos.

Cuando se haga referencia al parámetro de relación de onda estacionaria, se ha preferido usar las siglas VSWR, sobre todo porque internacionalmente tiene mayor difusión y aceptación. Por otro lado, éste parámetro se define de la siguiente forma:

Γ −

Γ + =

1 1

(26)

SWR y coeficiente de reflexión

donde Γ es el coeficiente de reflexión y se define como la relación de amplitudes de la onda de voltaje reflejado a transmitido en la carga.

0 0 0 0 Z Z Z Z V V c c + − = =

Γ +− (1.27 )

donde: Zc = impedancia de carga; Z0 = impedancia característica de la línea que conecta al

generador y antena.

[image:26.612.123.457.291.563.2]

La Tabla 1.1 contiene datos relacionados con: VSWR, porcentaje de potencia reflejada y porcentaje de potencia transmitida (potencia recibida por una antena desacoplada).

Tabla 1.1

VSWR

Porcentaje de potencia reflejada 100 1 1 100 2 2 x VSWR VSWR x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = Γ

Porcentaje de potencia transmitida

(

1−Γ2

)

x100

1.0 0.0 100.0

1.1 0.2 99.8

1.2 0.8 99.2

1.5 4.0 96.0

2.0 11.1 88.9

3.0 25.0 75.0

4.0 36.0 64.0

5.0 44.4 55.6

5.83 50.0 50.0

10.0 66.9 33.1

15.0 76.6 23.4

20.0 81.8 18.2

De la ec. (1.26) se observa que el VSWR es un número real tal que 1 ≤ VSWR < ∞, donde VSWR = 1 implica que existe un acoplamiento perfecto entre generador-antena.

(27)

La antena de cruz

en la línea cuando se cambia la frecuencia y esto puede afectar la operación del transmisor [5 ].

1.8 La Antena de Cruz

1.8.1 Antenas con Geometría Arbitraria

Las antenas con geometría arbitraria que han tenido gran aplicación en el campo de las comunicaciones, han sido las antenas de microcinta (AMC), que esencialmente es un radiador formado por una cinta metálica colocada sobre un substrato (dieléctrico), que a su vez está soportado por un plano de tierra. Cuando εr (permitividad relativa) es igual a 1,

entonces el dieléctrico entre la cinta metálica y el plano de tierra es el espacio libre.

Parte de los resultados experimentales y teóricos que se presentan en este trabajo se realizaron considerando εr = 1, debido a que facilita la construcción de antenas de cruz. Las

antenas con geometría arbitraria tienen características muy atractivas tales como: buena ganancia, peso ligero y fácil construcción.

Un análisis riguroso de las antenas de Zigzag fue propuesto en 1970 por los investigadores S. H. Lee y K. K. Mei [7], en esta referencia se describe la importancia práctica de antenas con geometrías complejas, analizadas en la banda de HF, VHF y UHF.

La eficiencia de radiación de las AMC, normalmente se incrementa con las ondulaciones de la línea, es decir, modificando la curvatura de la línea. Para ondulaciones uniformes, el comportamiento de la corriente en las diferentes ondulaciones es similar, pero la magnitud de dicha corriente decrece al final de la línea, debido a la radiación en la estructura de la misma. Si se considera un solo periodo de una línea ondulada, la magnitud de la corriente tiende a ser máxima en el pico de la ondulación y mínima cuando cruza dicho pico. Esto es válido sin importar la forma de la ondulación. Las oscilaciones de corriente a lo largo de la línea es dos veces el número de ondulaciones.

(28)

La antena de cruz

Fig. 1.8 Línea con 10 ondulaciones uniformes

Ondulaciones de la línea (m)

Fig. 1.9 Distribución de corriente vs separación de la línea del plano de tierra (z = 0.1 λ, 0.2 λ, 0.25 λ, 0.3 λ), λ= 1 m.

Ondulaciones de la línea (m)

Fig. 1.10 Distribución de corriente vs altura de las ondulaciones (H)

La fig. 1.9 muestra la distribución de la amplitud de corriente para diferentes separaciones de la línea ondulada del plano de tierra (0.1λ, 0.2λ, 0.25λ y 0.3λ). El comportamiento en todos los casos es idéntico, cada una tiene 20 oscilaciones, es decir, dos veces el número de

I (mA)

0.1

I (mA)

H=0.1λ

(29)

La antena de cruz

ondulaciones de la línea, y la magnitud promedio de la corriente decrece exponencialmente hacia el final de la línea. La separación de la línea del plano de tierra modifica la atenuación de la corriente en alguna medida, como se aprecia en la fig. 1.9.

Los resultados indicados en la fig. 1.10 corresponden a una separación fija entre la línea ondulada y el plano de tierra (z = 0.25λ), en este caso el parámetro variable es la altura de las ondulaciones (H). Cada ondulación es de una longitud de onda. Es evidente que el parámetro H tiene un efecto extraño sobre la atenuación de la corriente. Para H = 0.02λ la línea tiene una radiación despreciable. Por otro lado, para H = 0.2λ la radiación también es extraña y la corriente se atenúa a un nivel despreciable después de 5 ondulaciones.

Un estudio relacionado con las características de radiación y polarización de alambres y microcintas onduladas se encuentra en [8], donde se menciona que la distribución de corriente para otro tipo de ondulaciones tales como: rectangulares y zigzag tienen un comportamiento similar al de la línea ondulada en forma senoidal, mostrado en las figuras 1.9 y 1.10; se ha determinado experimentalmente, que de forma general la corriente decae más rápido incrementando la altura de las ondulaciones.

1.8.2 Características de la Antena de Cruz

(30)

La antena de cruz

La antena se alimenta por medio de una línea coaxial y está terminada en una impedancia de carga, por lo que presenta un comportamiento de onda progresiva. Aunque en principio la antena nació para aplicaciones en comunicaciones móviles en Banda L (1500 Mhz), también puede ser usada como radiador primario de reflectores parabólicos con relaciones grandes entre longitud focal y diámetro.

La antena de cruz pertenece a la familia de radiadores de onda progresiva, formada por una microlínea con un plano de tierra, posee polarización circular derecha o izquierda dependiendo de la posición de la alimentación y de la carga;. La ventaja de las antenas de cruz sobre otras de ganancia media (12 - 15 dBi) son sus dimensiones longitudinales, mucho menores que las antenas de hélice, corneta, etc.

La antena de cruz tiene numerosas y atractivas características tales como:

ƒ geometría simple

ƒ peso ligero

ƒ bajo costo

ƒ tamaño pequeño

ƒ ganancia media (12 - 15dB)

ƒ fácil y rápida construcción

Las aplicaciones prácticas de esta antena pueden ser en:

ƒ Automóviles

ƒ Naves aéreas

ƒ Satélites

En diversas aplicaciones como las mencionadas es deseable que una antena tenga polarización circular. Así, una de las características más importantes de la antena de cruz, es que está polarizada circularmente, la antena se alimenta en un solo punto, a diferencia de muchas AMC que necesitan un polarizador circular externo o varios puntos de alimentación [9].

(31)

La antena de cruz

Lo esencial en este trabajo, es la caracterización experimental y análisis de una antena de cruz de ocho ramas, el análisis se llevó a cabo con el Software NEC WIN Pro (comercializado por la compañía Nittany Scientific), los antecedentes y descripción de este programa se hará en el Cap. III. El diseño y construcción de la antena de referencia se hizo para diferentes frecuencias de operación, desde 3.2 GHz hasta 10 GHz.

1.8.3 La Estructura de la Antena de Cruz

La geometría de la antena se muestra en la figura 1.11, una cinta en forma de cruz, impresa sobre un plano de tierra a una distancia de una fracción de la longitud de onda de trabajo. La línea se alimenta en un extremo, por medio de un cable coaxial y se termina en el otro extremo por una carga. La longitud de las ramas de la cruz se seleccionan para que haya un defasamiento en la corriente, entre una y la contigua, de 2π + 2π/N, donde N es el número de ramas. Como el campo eléctrico radiado por cada rama gira 2π/N, el campo total tendrá polarización circular, si no existe atenuación a lo largo de la cinta; en la práctica debe buscarse que la atenuación sea lo menor posible.

Figura 1.11 Antena de Cruz

[image:31.612.187.375.421.596.2]
(32)

La antena de cruz

al conductor, con amplitudes decreciendo hacia el final de la línea. El brazo corto introduce un defasamiento de 90º entre los campos radiados por pares sucesivos y además contribuye con el campo en la dirección perpendicular.

Como otras antenas de onda progresiva, la corriente decae exponencialmente a lo largo de la línea, aunque en este caso con ondulaciones debidas a reflexiones en los dobleces. La potencia absorbida o reflejada al final de la línea se controla por medio de la impedancia de carga y puede limitarse a un pequeño porcentaje de la potencia total ajustando también la altura de la línea sobre el plano de tierra (típicamente λe/20 a λe/4). Por otro lado, la longitud de la línea puede optimizarse cambiando el número de brazos y vueltas de la antena (típicamente entre 5 y 15 λe), de lo cual también depende el ancho de banda de la antena. Las ondas reflejadas por dobleces sucesivos tienden a cancelarse entre sí por lo que su influencia es pequeña en el comportamiento total del radiador.

El ancho de banda de la antena depende del número de brazos y vueltas, pero como otras antenas de onda progresiva, el ancho de banda es alrededor de 9%

Un elemento importante en la antena es la impedancia de carga, aunque la forma de la antena hace que la corriente disminuya al viajar a través de ella, dejando muy poca energía en la terminal de carga, la impedancia al final debe prácticamente eliminarla, por otro lado se usa para ajustar la relación axial de la polarización circular, igualmente Roederer [2] menciona que el ajuste de la impedancia de carga puede reducir la polarización cruzada.

En este trabajo se usó como impedancia de carga la misma impedancia medida a la entrada de la antena, considerando la simetría de la estructura, el valor de la impedancia de entrada se obtuvo haciendo mediciones de impedancia en circuito abierto y en circuito corto y usando la conocida expresión [10]:

ca ccZ Z

Z0 = (1.28)

1.8.4 Análisis de la Antena

(33)

La antena de cruz

La Tabla 1.2 muestra las características geométricas de dicha antena y λe indica la longitud de onda efectiva.

[image:33.612.174.386.253.493.2]

El aspecto importante en análisis de antenas es conocer la distribución de corriente en la estructura de estas, toda vez que otros parámetros, tales como la impedancia de entrada, el patrón de radiación, la ganancia, etc. pueden ser conocidos completamente si se conoce el comportamiento de la corriente en la antena.

[image:33.612.213.350.404.541.2]

Tabla 1.2. Características Geométricas Longitud del brazo 0.543 λe Ancho del brazo 0.136 λe Diámetro de la cruz 1.42 λe Diámetro del conductor 0.02 λe Altura al plano de tierra (0.0625 a 0.1) λe

Fig. 1.12 Antena de cruz de ocho brazos, sobre un plano de tierra.

El análisis teórico se realizó con el Software Nec–Win Pro Versión 1.1, es una herramienta computacional usada en la solución de problemas electromagnéticos, especialmente en análisis de antenas, este programa está basado en las ecuaciones integrales de campo eléctrico y magnético, la solución a estas ecuaciones se realiza con la técnica del Método de Momentos (MM) que será explicado en el Cap. 2. La descripción

y

x

F

(34)

La antena de cruz

Para antenas en forma de cruz es necesaria la formulación en términos de las ecuaciones vectoriales que describen cada segmento de la misma.

Si el eje del alambre es representado por:

( ) ( )

i

( )

j

( )

k

rs =xs +y s +z s (1.29 )

Entonces cada segmento de la antena de cruz, tiene su propia ecuación y se representa de la siguiente forma.

( )

s st j

( )

s

j r

r ' = ˆ+ (1.30 ) donde:

tˆ = vector unitario que indica la dirección de propagación de la corriente s Indica el intervalo donde cada ec. es válida

Cuando s= 0 el vector de posición r(s) señala el punto de alimentación de la antena, es decir, donde la corriente inicia su recorrido.

Así, la curva que representa el filamento de corriente está dada por:

( )

'

( )

' ˆ

( )

' ' s rj s an s

r = + (1.31 )

donde: a es el radio del conductor y nˆ(s’) es el vector normal unitario del eje del alambre.

(35)

La antena de cruz

1.8.5 Ecuaciones Paramétricas que Describen cada Punto en la Estructura de la Antena de Cruz de ocho Brazos

n n n j j n

n S S S t r

rr ⎟⎟ +r

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − =

− = ˆ ) ( 1 0 ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈

= − = n j j n j j

n S S

S

0 1

0

, ( 1.32 )

n

rr vector que apunta donde inicia cada tramo recto de la antena; n = 1, 2,..., 23

1

rr vector de referencia (1.2A + B) i + 0.5A j dado por la geometría de la antena (punto F de la figura 1.12).

Sj puede tomar sólo valores de A=0.136λ ó B=0.543λ (brazo corto o largo,

respectivamente).

S0 = 0 indica el punto donde se coloca la fuente de alimentación (condición inicial)

j i (0.5 ) ) 2 . 1 ( ) ( 1

1 S S A B A

r = − + + +

S

1∈ [0 , B]

j i ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = → 2 7071 . 0 2 697 . 1 )

( 2 2

2 S S B A S B A

r S2∈ [B , 2B]

j i ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + + = → 2 7071 . 0 2 697 . 1 3 )

( 3 3

3 S S B A S B A

r S3∈ [2B , 2B+A]

j i ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + + = → 2 697 . 2 3 2 7071 . 1 3 )

( 4 4

4 S S B A S B A

r S4∈ [2B+A , 3B+A]

j i ( 3 0.2 ) ) 5 . 0 ( ) ( 5

5 S A S B A

r = + − +

S

5∈ [3B+A , 4B+A]

j i (1.2 ) ) 5 . 1 4 ( ) ( 6

6 S S B A A B

r = − + + + +

S

6∈ [4B+A , 4B+2A]

j i ( 5 3.2 ) ) 5 . 0 ( ) ( 7

7 S A S B A

r = − + − + +

S7 [4B+2A , 5B+2A]

j i ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + + = → 2 303 . 0 5 2 2929 . 1 5 )

( 8 8

8 S S B A S B A

r S8∈ [5B+2A , 6B+2A]

j i ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + + = → 2 697 . 3 7 2 2929 . 1 5 )

( 9 9

9 S S B A S B A

(36)

La antena de cruz j i ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = → 2 7071 . 3 7 2 697 . 4 7 )

( 10 10

10 S S B A S B A

r S10∈ [6B+3A , 7B+3A]

j i (0.5 ) ) 8 . 1 7 ( ) ( 11

11 S S B A A

r = − + + +

S11 [7B+3A , 8B+3A]

j i ( 8 3.5 ) ) 2 . 1 ( ) ( 12

12 S A B S B A

r =− + + − + +

S12 [8B+3A , 8B+4A]

j i 0.5 ) 2 . 5 9 ( ) ( 13

13 S S B A A

r = − − −

S13 [8B+4A , 9B+4A]

j

i

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + + = → 2 2929 . 3 9 2 303 . 2 9 )

( 14 14

14 S S B A S B A

r S14∈ [9B+4A , 10B+4A]

j

i

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = → 2 2929 . 3 9 2 697 . 5 11 )

( 15 15

15 S S B A S B A

r S15∈ [10B+4A , 10B+5A]

j

i

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = → 2 697 . 6 11 2 7071 . 5 11 )

( 16 16

16 S S B A S B A

r S16∈ [10B+5A , 11B+5A]

j i ( 11 3.8 ) ) 5 . 0 ( ) ( 17

17 S A S B A

r = − + − + +

S

17∈ [11B+5A , 12B+5A]

j i (1.2 ) ) 5 . 5 12 ( ) ( 18

18 S S B A A B

r = − − − +

S

18∈ [12B+5A , 12B+6A]

j i ( 13 7.2 ) ) 5 . 0 ( ) ( 19

19 S A S B A

r = + − −

S19 [12B+6A , 13B+6A]

j

i

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = → 2 303 . 4 13 2 2929 . 5 13 )

( 20 20

20 A B S A B S S

r S20∈ [13B+6A , 14B+6A]

j

i

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = → 2 697 . 7 15 2 2929 . 5 13 )

( 21 21

21 S S B A S B A

r S21∈ [14B+6A , 14B+7A]

j

i

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + + = → 2 7071 . 7 15 2 697 . 8 15 )

( 22 22

22 S S B A S B A

r S22∈ [14B+7A , 15B+7A]

j i 0.5 ) 8 . 5 15 ( ) ( 23

23 S S B A A

r = − − −

S23 [15B+7A , 16B+7A]

La separación entre la antena y el plano de tierra está dada por la coordenada en el eje z ,

(37)

Capítulo 2

Teoría de Antenas con Geometría Arbitraria

2.1 Introducción

Para resolver problemas de antenas, los ingenieros que trabajan en este campo utilizan diversas técnicas, éstas pueden ser clasificadas como: experimentales, analíticas o numéricas.

Los experimentos son caros, requieren de mucho tiempo y generalmente no ofrecen suficiente flexibilidad. Por otro lado, un método numérico permite hacer una simplificación analítica en un punto donde resulta fácil aplicar dicho método. Una revisión de diversos métodos analíticos (soluciones exactas) y numéricos (soluciones aproximadas) se encuentra en [12]. Los métodos numéricos comenzaron a ser aplicados a mediados de la década de 1960s con la llegada de modernas computadoras digitales de alta velocidad. Desde entonces se han realizado muchos esfuerzos para resolver problemas prácticos, cuya solución por métodos analíticos resultaba muy laboriosa y en muchos casos no existía.

En la sec. 2.2 se presenta la teoría relacionada con el campo eléctrico que incide sobre la estructura de una antena de alambre con geometría arbitraria [13]. La sec. 2.3 está dedicada a la técnica conocida como “Método de Momentos”, la cual permite resolver numéricamente la ecuación integral de campo eléctrico (ec, generalizada de Pocklington) que será analizada en la siguiente sección.

2.2

La Ecuación de Pocklington

El campo eléctrico (armónico en tiempo) en términos de los potenciales vectorial magnético y escalar eléctrico (A y V), está dado por:

V j

- V t

- ∇ = ∇

∂ ∂

= A- A

(38)

La ecuación de Pocklington

Manipulando las ecuaciones de Maxwell en términos de los potenciales de referencia, es posible obtener soluciones para A y V en función de Je y ρ [3-5].

=

= − vol jkR R e Gdv' dv' ) ( 4 J r' J

A e µ

π µ

(2.2)

=

= ( ) − dv' 1 Gdv'

4 1 V ρ ε ρ πε vol jkR R e r' (2.3)

donde: k2=ω2µε representa el factor de fase y G es la función de Green, por otro lado:

Je = densidad de corriente de conducción eléctrica con unidades A/m2.

ρ = densidad volumétrica de carga con unidades C/m3

r' -r

=

R (2.4)

( )

i

( )

j

( )

k

r=xs + ys +z s (2.5)

( )

i

( )

j

( )

k

r'=xs' +ys' +z s' (2.6)

Para aplicar el MM, considerando fuentes eléctricas, es necesario representar el campo eléctrico E en función de la corriente, para ello se usa el procedimiento de Pocklington, en el que se establece un modelo que define una densidad de corriente superficial equivalente, como muestra la figura ( 2.1); el punto p′ de la figura se localiza en la superficie del conductor considerado como perfecto, el procedimiento se puede generalizar para un conductor de forma arbitraria, como lo indica la figura 2.2. Las condiciones de frontera sobre la estructura, implican que el campo eléctrico es cero sobre la superficie dada por

s r r= :

( )

r E

( )

r E

( )

r 0

E = + s s =

s i s

t (2.7)

donde Ei(r

s) y

( )

s s r

E son los campos incidente y radiado, respectivamente.

(39)

La ecuación de Pocklington

Fig. 2.1 Filamento de corriente equivalente

Fig. 2.2 Conductor de forma arbitraria

Para obtener E en términos de la corriente se empieza definiendo la ecuación (2.1) en función únicamente del potencial magnético A, para ello se usa la Norma de Lorenz dada por:

V j t

V ωµε

µε =−

∂ ∂ − = •

A (2.8)

Tomando el gradiente en ambos miembros de la ecuación:

V

j

− = • ∇

(40)

La ecuación de Pocklington

[

A ( A

]

A) A

r

Es s = + = 2 +

j 1 ( j 1 j - ) ( k ωµε ωµε

ω (2.10)

Por facilidad en el desarrollo tomamos el elemento diferencial de volumen en el punto p y se substituye (2.2) en (2.10):

[

G ( G)

]

dv'

j 1 ) (

dE r 2J ( J )

s

s = +

k

ωε , (2.11)

donde se considera que J es constante en el elemento diferencial de volumen y G es la función de Green definida por:

r' -r r' -r π 4 jk e G

= (2.12)

Como interesa el campo sobre la superficie del conductor, tomamos la componente tangencial de dE:

[

ˆ JG ˆ (ˆ JG)

]

dv'

j 1 ) ( d

ˆ E r 2s s' s ( s' )

s s s = + k

ωε (2.13)

Desarrollando la divergencia del segundo miembro de la ecuación:

dv' ]JG ˆ [ JG]) ˆ JG ˆ j 1 ) ( d ˆ 2 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + ∂ ∂ + • =

E r s s' (s' s' )

s s s

s k

ωε (2.14)

Aplicando condiciones de frontera, el campo radiado tangencial es igual al campo incidente con signo negativo, de acuerdo a la ecuación (2.7), el campo total sobre la superficie del conductor está dado por la integral de (2.14):

dv' ]JG ˆ [ JG]) ˆ JG ˆ j 1 E ˆ

ˆ is

2 ⎥⎦

⎤ ⎢⎣ ⎡ + ∂ ∂ + • = − = • − =

E s' E s s' (s' s' )

s

s k

ωε (2.15)

(41)

La ecuación de Pocklington

estructuras simétricas, la integral del tercer término del segundo miembro de la ecuación es cero, por lo que:

dv' J G s' G ˆ j 1

Ei 2

s

⎥⎦

⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ + • − = s k s s'

ωε (2.16)

Si se considera un conductor cilíndrico la integral de volumen se convierte en:

ds' ' d ' d ' J G s' G ˆ j 1

Ei 2

s ωε

⎥⎦ ρ ρ φ

⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ + • − = s

k s s' (2.17)

La variable s' representa la longitud del arco sobre el conductor y φ’ el ángulo azimutal sobre la sección transversal del alambre; si el radio a del conductor es pequeño comparado con la longitud de onda, la distribución de corriente transversal puede considerarse constante y se expresa por:

( )

' I J

a s = s s (2.18)

Is(s’) representa un filamento de corriente muy delgado sobre la superficie. El eje del

conductor y la curva del filamento se definen como en la ec. (1.29) y (1.31).

( ) ( )

i

( )

j

( )

k

r s =xs +ys +zs (2.19)

( ) ( )

' '

( )

'

' s rs an s

r = + (2.20)

Se observa que la curva que representa el filamento de corriente es paralelo al eje del conductor. Aunque existirán un número infinito de curvas paralelas, en la práctica se selecciona la que haga los cálculos más simples. Finalmente, la ecuación del campo está dada por: ds' I s' G ˆ j 1

Ei 2

⎢⎣⎡ • +⎥⎦⎤ −

= G

s k s s'

ωε (2.21)

(42)

La solución del método de momentos

el filamento de corriente, ambos definidos por (2.5) y (2.6). La geometría también se expresa por la diferencia de vectores rr' como:

( ) ( )

[

]

2

[

( ) ( )

]

2

[

( ) ( )

]

2

' ' ' ' ' '

' xs x s ys y s zs z s

R=R=rr = − + − + − (2.22)

Una vez que se definen las ecuaciones (2.5) y (2.6), para la geometría particular seleccionada, se substituyen en (2.21) para resolver la integral. La ecuación generalizada de Pocklington puede reducirse aún más obteniendo la derivada de la función de Green [13]:

(

1

)

'

(

'

)(

)

(

3 3

)

.

' 5 2 2 2 2 R jkR R k jkR R R s s jkR jkR

e

e

= + • − • • − +

∂ ∂

∂ − − s s R s R s (2.23)

Substituyendo en (2.21) se obtiene:

ˆ ˆ

(

1

)

'

(

'

)(

)

(

3 3

)

Ids'

4 j 1 E 5 2 2 2 2 i

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + • − = − − R jkR R k jkR R k R jkR jkR

e

e

s s R s R s

' s s π ωε (2.24)

Finalmente, agrupando términos:

(

)

(

)

(

)(

)

[

]

− − • + + − • • −

= Ids'

4 ' 3 3 ' 1 j 1

Ei 2 2 2 2 2 5

R R k jkR jkR R k R jkR

e

π ε

ω s s R s R s (2.25)

2.3

La Solución del Método de Momentos (MM)

(43)

La solución del método de momentos

Cuando se busca una solución numérica a un problema electromagnético generalmente el punto de partida son las ecuaciones de Maxwell, la ecuación de onda o algunas ecuaciones diferenciales e integrales derivadas de ellas. Como el cálculo numérico mediante ordenador sólo puede procesar números y no funciones, es necesario discretizar en vectores numéricos todas las funciones y los resultados de aplicar los operadores diferenciales e integrales a las funciones. Así, se transforma un sistema de ecuaciones funcionales en un sistema de ecuaciones algebraicas de dimensión finita, que puede resolverse por medio de un ordenador [16]. Los métodos numéricos más utilizados hasta la fecha para el análisis de antenas son los métodos integrales en el dominio de la frecuencia (MM), por tener implícitamente la condición de radiación en la función de Green y por la mayor estabilidad numérica en la discretización de las integrales en comparación con las derivadas. El MM es una técnica computacional utilizada ampliamente, toda vez que es muy eficiente para resolver numéricamente las ecuaciones que describen la forma de la distribución de corriente en una antena.

Cuando se tienen ecuaciones como (2.21), se pueden encontrar soluciones para una gran variedad de antenas de alambre o radiadores.

Generalmente las ecuaciones integrales de este tipo, se reducen a un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas, usando el (MM). El objetivo de dicho método, aplicado a la ecuación de Pocklington es obtener la distribución de corriente IS

( )

s' del alambre. El método de

referencia establece que la función desconocida puede ser aproximada por un conjunto finito de funciones base o expansión in (s’), con amplitudes desconocidas, esto es:

( )

( )

=

= N

n n n

S s c i s

I

1

'

' (2.26)

donde N es el número de funciones base necesarias para cubrir el alambre y cn son los

coeficientes de expansión que serán calculados. Las funciones inson seleccionadas de modo

que sean linealmente independientes.

Sustituyendo (2.26) en (2.21) se obtiene una ecuación de N incógnitas:

− −

⎡ ∂

(44)

Funciones de expansión y peso

Para obtener un sistema consistente debemos encontrar N ecuaciones linealmente

independientes, las cuales se obtienen al realizar el producto interno de (2.27) con un conjunto de otras N funciones escogidas linealmente independientes wm( )s , llamadas

funciones peso (o prueba):

( ) N m ds ds s s k s i w c j ds E w N

n s s

jk n m n s I S m

e

, , 2 , 1 ' ' 4 ' ' ' 1 ' ' 2 2 L = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ + • − =

∑ ∫ ∫

= − − r r s s r r π

ωε (2.28)

El sistema anterior puede expresarse en forma matricial como:

[ ]

mn

( ) ( )

n m N N NN N N N N v c Z v v v c c c Z Z Z Z Z Z Z Z Z = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ M M L M O M M L L 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 (2.29)

donde los elementos Zmn se calculan a partir de:

( )

∫ ∫

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ + • − = − − s s jk n m

mn dsds

s s k s i w j Z

e

' ' 2 2 ' ' 4 ' ' ' r r s s r r π

ωε (2.30)

y los elementos vm se obtienen a partir de:

= s I S m m w E ds

v (2.31)

Los coeficientes cn son las incógnitas del sistema. Por lo tanto, la solución de (2.29) se escribe como:

( )

cn

[ ]

Zmn

( )

vm 1

= (2.32)

2.3.1 Funciones de Expansión y Peso

Las funciones de expansión que se usan frecuentemente para resolver problemas de antena son de dos tipos: funciones de dominio entero y funciones de subdominio [4]. Las

(45)

Funciones de expansión y peso

1) La función pulso:

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎧ < <

= − + caso tro s s s

in n n

o en , 0 s , 1 )

( 1/2 1/2 ( 2.33 )

2) La función triangular:

⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < < ∆ − − ∆ = + − caso tro s s s s s i n n n n o en , 0 s , ) ( 1 1

( 2.34 )

3) La función senoidal:

(

)

⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < < ∆ − − = + − caso tro s s k Sen s s s k Sen s i n n n n o en , 0 s , ) ( ) ( ) ( 1 1 (2.35)

donde ∆ = L / N, se asume que los sub-intervalos son iguales, aunque no es estrictamente necesario.

En la fig. 2.3, se muestran las funciones de subdominio antes descritas.

La aplicación de las funciones de dominio entero, es limitada toda vez que se requiere un conocimiento a priori de la naturaleza de las funciones que se desea representar [12]. Las funciones de subdominio, tienen mayor aplicación, particularmente en el desarrollo de programas para resolver numéricamente problemas de alambre.

[image:45.612.89.485.96.366.2]

xn-1 xn xn+1 xn-1 xn xn+1 xn-1 xn xn+1

Fig 2.3 Funciones típicas de subdominio a) función pulso, b) función triangular, c) función senoidal

Figure

Fig. 1.1. a) Patrón de campo (proporcional al campo eléctrico E en V/m), el valor del campo es relativo y está normalizado En (θ ) = 1 en θ = 0°
Fig. 1.2 Patrón de radiación  a) Isotrópico,  b) Direccional, y  c) Omnidireccional
Fig.  1.3 Patrón de Campo (tridimensional), de una antena direccional con máxima radiación en la dirección
Fig. 1.4 Rotación de una onda electromagnética en función del tiempo, con polarización elíptica en z = 0
+7

Referencias

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