INTRODUCCIÓN A LOS FILTROS

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(1)Capítulo p 7: Filtros en microondas Objetivo: Un filtro de microondas es un dispositivo con una respuesta selectiva en frecuencia, de modo que discrimina señales de microondas en función de su frecuencia. Las respuestas típicas son paso bajo, paso alto, paso banda y banda eliminada eliminada. El desarrollo de los filtros empezó en los años anteriores a la II Guerra Mundial. Todos estos estudios derivaron a principios de los 50 en un voluminoso manual de filtros y acopladores donde se desarrollan todas las técnicas utilizadas en los modernos programas de CAD. El método más utilizado para el diseño de filtros es el método de las pérdidas de inserción. En Microondas,, los elementos concentrados qque pproporciona p el método anterior son sustituidos por tramos de líneas de transmisión. De esta forma se utilizarán transformaciones (de Richard) e identidades (de Kuroda) que posibilitan la transformación indicada. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. Microondas-7- 1.

(2) ÍNDICE. • • • •. IIntroducción d ió a los l filtros. fil Diseño de filtros por el método de las pérdidas de inserción. Transformaciones en filtros. filtros Implementación de filtros en microondas: – Transformación de Richard. – Identidades de Kuroda. – Inversores de admitancia o impedancia.. • • •. Filtros de impedancia a saltos. saltos Filtros con líneas acopladas. Conclusiones.. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. Microondas-7- 2.

(3) INTRODUCCIÓN A LOS FILTROS •. •. Definición: dispositivo de dos puertos que presenta un comportamiento selectivo en frecuencia de tal forma que permite el paso de la señal a unas frecuencias (banda de paso) y lo impide a otras (banda eliminada). Conceptos: – Pérdidas de inserción: representa la cantidad de energía que se refleja en cada frecuencia a la entrada del filtro. RL = −20 log Γ – Pérdidas de transmisión: representa p la cantidad de energía g qque se ppierde en su ppaso a través de la estructura filtrante. IL = −20 log T. •. Peculiaridades de los filtros en microondas: – S Se utiliza tili tecnología t l í en línea lí o guía í cuya respuesta t frecuencial f i l se repite it periódicamente.. •. Proceso de diseño: Especificaciones filtro. Diseño del Prototipo Paso bajo. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. Escalado y conversión. Implementación. Microondas-7- 3.

(4) DISEÑO DE FILTROS MEDIANTE EL MÉTODO DE LAS PÉRDIDAS DE INSERCIÓN: PRINCIPIOS •. Proporciona un gran control sobre las amplitudes de las bandas de paso y eliminada y sobre las características de fase. fase Ejemplos: – Mínimas pérdidas de inserción: respuesta binomial (Butterworth). – Respuesta de corte abrupta: respuesta con rizado constante (Chebychev). – Respuesta lineal de fase al precio de sacrificar atenuación. atenuación. •. •. El filtro se define por las pérdidas de inserción (inverso del │s12│2) Potencia disponible en la fuente Pinc 1 PLR = = = Potencia entregada a la carga Pload 1 − Γ(ω ) 2 2 La función Γ(ω ) es par por lo que puede expresarse como el cociente de ppolinomios M (ω 2 ) 2 Γ(ω ) = M (ω 2 ) + N (ω 2 ). ( ) ( ). M ω2 PLR = 1 + N ω2 • Tipos de filtros: maximalmente plano, de rizado constante, función elíptica y fase plana. •. Resultando en unas pérdidas de:. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. Microondas-7- 4.

(5) DISEÑO DE FILTROS MEDIANTE EL MÉTODO DE LAS PÉRDIDAS DE INSERCIÓN: TIPOS DE FILTROS Maximalmente plano o Butterworth: Función característica binomial. Respuesta plana en la banda ω-ωc Si k=1 en ωc hay 3 dB de pérdidas.. PLR. ⎛ω = 1 + k ⎜⎜ ⎝ ωc 2. ⎞ ⎟⎟ ⎠. 2N. Rizado constante en la banda de paso (Chebychev): Frecuencia de corte muy abrupta. Amplitud del rizado (1+k2) Crecimiento de atenuación 20N dB/década. PLR. ⎛ ω = 1 + k T ⎜⎜ ⎝ ωC 2. ⎡ φ (ω ) = Aω ⎢1 + ⎢⎣. 2 N. ⎛ω p⎜⎜ ⎝ ωc. ⎞ ⎟⎟ ⎠. 2N. ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎤ ⎥ ⎥⎦. Función i elíptica. l i Fase lineal lineal.. 2N ⎡ ⎛ω ⎞ ⎤ dφ = A⎢1 + p(2 N + 1)⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ τd = dω ⎢⎣ ⎝ ω c ⎠ ⎥⎦. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. Microondas-7- 5.

(6) PROTOTIPO PASO BAJO DE UN FILTRO MAXIMALMENTE PLANO (BUTTERWORTH) ( ). Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. Microondas-7- 6.

(7) PROTOTIPO PASO BAJO DE UN FILTRO DE IGUAL RIZADO EN LA BANDA DE PASO (CHEBYSHEV). PLR = 1 + k 2TN2 (ω ). Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. Microondas-7- 7.

(8) COMPARACIÓN DE CARACTERÍSTICAS DE TRANSFERENCIA. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. Microondas-7- 8.

(9) TRANSFORMACIÓN DE IMPEDANCIAS Y ESCALADO DE FRECUENCIAS (I) () •. Transformación de impedancias (en admitancias sería el dual). L ' = R0 L •. R S ' = R0. RL '= R0 RL. Cambio en la frecuencia de corte: escalado para prototipo paso bajo. ω ω← ωC •. C C' = R0. Lk ' =. Lk. ωc. Ck ' =. Ck. ωc. Lk '=. Ck Ck '= R0ωc. R0 Lk. ωc. Transformación paso bajo paso alto. ωC ω←− ω. 1 C k '= ' ω c Lk. 1 Lk ' = ωc Ck. T Transformación f ió Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. Ck ' =. 1 R0 ω c Lk. Lk ' =. E l d Escalado Microondas-7- 9. R0 ωc Ck.

(10) TRANSFORMACIÓN DE IMPEDANCIAS Y ESCALADO DE FRECUENCIAS (II) ( ) •. Transformación paso banda paso bajo. ω0. ⎛ ω ω0 ⎞ 1 ⎛ ω ω0 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ − − ω← ω 2 − ω1 ⎝ ω 0 ω ⎠ Δ ⎝ ω 0 ω ⎠ ω 2 − ω1 Δ= ω0 •. ω 0 = ω1ω 2. Transformación banda eliminada paso bajo. ⎛ ω ω0 ⎞ ω ← Δ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ ω0 ω ⎠ Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. −1. Microondas-7- 10.

(11) RESUMEN DE TRANSFORMACIONES. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. Microondas-7- 11.

(12) IMPLEMENTACIÓN DE FILTROS EN MICROONDAS (I): TRANSFORMACIÓN DE RICHARD •. Problemas en la realización con elementos concentrados: – Sólo están disponibles p en un número limitado de frecuencias. – Los parásitos son importantes conforme crece la frecuencia. – Las distancias y tamaños no son despreciables (comparables a λ).. •. Soluciones: – Transformación de Richard: pasa de elementos concentrados a distribuidos. – Identidad de Kuroda: separa elementos del filtro mediante uso de líneas. •. Transformación de Richard:. ⎛ ωl ⎞ Ω = tan β l = tan⎜ ⎟ ⎜v ⎟ ⎝ p⎠ jX L = jΩL = jL tan βl. jBC = jΩC = jC tan βl. Ω = 1 = tan βl Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. Microondas-7- 12.

(13) IMPLEMENTACIÓN DE FILTROS EN MICROONDAS (II): IDENTIDADES DE KURODA. •. Las cuatro identidades de Kuroda utilizan secciones de línea para: – Separar físicamente los stubs. – Transformar stubs serie en paralelo y viceversa. – Modificar impedancias difíciles d obtener. de b. •. Las cajas son tramos de líneas adicionales, elementos unitarios – longitud λ/8 a la frecuencia de corte. – Impedancia característica indicada. indicada. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. Microondas-7- 13.

(14) IMPLEMENTACIÓN DE FILTROS EN MICROONDAS (III): IDENTIDADES DE KURODA Primera identidad de Kuroda (a): • Circuito de la izquierda: ⎡ 1 ⎡A B⎤ jΩ ⎢C D ⎥ = ⎢ ⎣ ⎦ L ⎢⎣ Z 2. 0⎤ ⎡ 1 ⎥ ⎢ jΩ 1⎥ ⎢ ⎦ ⎣ Z1. jΩZ 1 ⎤ 1 1 ⎥ = 1 ⎥ 1+ Ω2 1 + Ω2 ⎦. 1 jΩZ 1 ⎤ ⎡ ⎢ ⎛ 1 ⎥ 1 ⎞ 2 Z1 ⎟⎟ 1 − Ω ⎢ jΩ⎜⎜ + ⎥ Z 2 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ Z 1 Z 2 ⎠. en donde la segunda matriz se obtiene mediante la identidad de Richard, jZ 1 sin i βl ⎤ jΩZ 1 ⎤ ⎡ cos βl ⎡ 1 A B •. •. ⎡ ⎢C ⎣. ⎤ ⎢ = j ⎥ D ⎦ ⎢ sin βl ⎣ Z1. 1 ⎥= ⎢ jΩ cos βl ⎥ 1+ Ω2 ⎢ Z ⎦ ⎣ 1. Conexión de las secciones de la derecha. derecha ⎡ ⎢ 1 ⎡A B⎤ ⎢C D ⎥ = ⎢ jΩn 2 ⎣ ⎦R ⎢ ⎢⎣ Z 2. j. ΩZ 2 ⎤ ⎡ n 2 ⎥ ⎢1 ⎥ 1 ⎥ ⎢⎣0 ⎦⎥. Identificación de ambas:. ⎥ 1 ⎥ ⎦. ⎡ ΩZ 1 ⎤ ⎢ 1 1 1 j 2 ⎥ = ⎢ 2 n Ω n 2 2 ⎥ 1+ Ω ⎢ j 1 ⎦ 1+ Ω ⎢⎣ Z 2. n2=1+Z2/Z1. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. Microondas-7- 14. j. Ω ⎤ ( ) Z + Z 1 2 ⎥ n2 ⎥ 2 Z1 ⎥ 1− Ω Z 2 ⎥⎦.

(15) IMPLEMENTACIÓN DE FILTROS EN MICROONDAS (IV): INVERSORES DE IMPEDANCIA/ADMITANCIA. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. Microondas-7- 15.

(16) FILTROS DE IMPEDANCIA A SALTOS (I) • • •. Utilizan secciones alternas de alta y baja impedancia. S uso se li Su limita i a aplicaciones li i donde d d la l frecuencia f i de d corte no sea muy abrupta. b Parámetros Z de una sección elemental de línea de transmisión A 1 Z 11 = Z 22 = = − jZ 0 cott βl Z 12 = Z 21 = = − jZ 0 csc βl C C. •. Elemento serie y elemento paralelo Z 11 − Z 12. •. ⎡ cos βl − 1⎤ ⎛ βl ⎞ jZ = − jZ 0 ⎢ tan = ⎜ ⎟ 0 ⎥ ⎝ 2⎠ ⎣ sin βl ⎦. Si lifi i Simplificaciones (βl<π/4) (βl /4) Z 0 ↑↑⇒ X ≅ Z 0 β l. Y0 ↑↑⇒ B ≅ Y0 βl X ⎛ βl ⎞ = Z 0 tan⎜ ⎟ 2 ⎝ 2⎠. B≅0. X ≅0 1 B= sin βl Z0. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. Microondas-7- 16.

(17) FILTROS DE IMPEDANCIA A SALTOS (II): EJEMPLO. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. Microondas-7- 17.

(18) FILTROS DE LÍNEAS ACOPLADAS (I) •. •. Análisis de modos par-impar (excitaciones par-impar en minúsculas, minúsculas excitaciones totales en mayúsculas). Proceso de análisis: – Excitación en modo par-impar. par impar – Dato: impedancia par-impar – Obtención de impedancias de entrada en modos par-impar. par impar – Obtención de la matriz de parámetros Z de la red de cuatro puertos original.. •. Formación de la red de dos puertos mediante cierre de algún terminal – El cierre por circuito abierto o corto de dos de los terminales da características filtrantes – Hay 10 topologías canónicas. – De ellas, tres paso banda. – De ellas, ellas sólo una sin cortocircuitos a masa. masa Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. Microondas-7- 18.

(19) FILTROS DE LÍNEAS ACOPLADAS (II): TOPOLOGÍAS CANÓNICAS •. Cálculo de la impedancia imagen en cada puerto. puerto Z i = Z112 − Z132 =. •. 1 2. (Z 0e − Z 0o )2 ⋅ csc 2 θ − (Z 0e + Z 0o )2 ⋅ cot 2 θ. Secciones de línea de longitud λ/4 Zi =. •. (ec.1). que es real y positivo dado que la impedancia par es mayor que la impar. La constante de fase vale: cos β =. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. 1 (Z 0 e − Z 0 o ) 2. Z11 (Z 0 e + Z 0 o ) = cos θ Z13 (Z 0 e − Z 0 o ). Microondas-7- 19. (ec. 2).

(20) FILTROS DE LÍNEAS ACOPLADAS (III): PROCESO DE DISEÑO Identificación de dos secciones de línea con una sección de línea acoplada.. Identificación de las ecuaciones 1 y 2 con las expresiones de la impedancia imagen y constante de fase.. [ ⋅ [1 − JZ. ] )]. Z 0 e = Z 0 ⋅ 1 + JZ 0 + ( JZ 0 ) Z 0o = Z 0. Sección en λ/4 con impedancia 1/J. ⎡⎛ 1 ⎞ ⎟⎟senθ cosθ ⎢ ⎜⎜ JJZ0 + JZ 0 ⎠ ⎡ A B⎤ = ⎢ ⎝ ⎢⎣C D⎥⎦ ⎢ ⎛ 1 2 2 ⎞ ⎢ j⎜⎜ 2 sen θ − J cos θ ⎟⎟ ⎠ ⎣⎢ ⎝ JZ0. ⎛ cos θ ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎥ j⎜⎜ JJZ02 sen2θ − J ⎝ ⎠⎥ ⎥ ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟senθ cosθ ⎥ ⎜⎜ JZ0 + JZ0 ⎠ ⎥⎦ ⎝. 0. 2. N+1 secciones equivalen a un filtro de orden N.. 2. Cálculo de la impedancia imagen. ⎛ 2 cos 2 θ ⎞ 2 ⎜⎜ JZ 0 sen θ − ⎟⎟ J B ⎝ ⎠ Zi = = = JZ 02 C ⎛ 1 ⎞ ⎜ 2 sen 2θ − J cos 2 θ ⎟ ⎜ JZ ⎟ ⎝ 0 ⎠ θ =π ⎛ 2 1 ⎞ Constante de fase. fase cos β = A = ⎜⎜ JZ 0 + JZ ⎟⎟senθ cos θ 0 ⎠ ⎝ Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. + ( JZ 0. 2. Microondas-7- 20.

(21) FILTROS DE LÍNEAS ACOPLADAS (IV): PROCESO DE DISEÑO Ejemplo: filtro de orden 2. L1' =. Δ ⋅ Z0 g1 ; C1' = ω 0 ⋅ g1 ω0 ⋅ Δ ⋅ Z 0. J1 ⋅ Z 0 =. L'2 =. g2 ⋅ Z0 Δ ; C 2' = ω0 ⋅ Δ ω0 ⋅ g 2 ⋅ Z 0. J2 ⋅ Z0 =. Δ=. (ω 2 − ω1 ). J3 ⋅ Z0 =. ω0. Generalización para un filtro de orden N, con ZL ≠ Z0 J 1 ⋅ Z 0 = π ⋅ Δ 2 g1. ....................... Jn ⋅ Z0 =. π ⋅Δ 2 g n −1 ⋅ g n. ............................ J N +1 ⋅ Z 0 = Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. π ⋅Δ 2 g N ⋅ g N +1. Microondas-7- 21. π ⋅Δ 2 g1. π ⋅Δ 2 g1 ⋅ g 2 J2 π ⋅Δ = J1 2g 2.

(22) BIBLIOGRAFÍA • • • • •. G.l. Matthaei, L. Young, E.M.T. Jones: Microwave Filters, Impedance Matching Networks and coupling structures. Networks, structures Artech House, House 1980. 1980 J.A. Malherbe: Microwave Transmission Line Filters, Artech House, 1979 Pozar: Microwave Engineering, g g, segunda g edición (capítulo ( p 8)) Collin: Foundations for Microwave Engineering (capítulo 8) Hong y Lancaster: Microstrip Filtres for RF and Microwave Applications. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 7: Filtros en microondas. Microondas-7- 22.

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