INTRODUCCIÓN A LOS FILTROS

(1)

Capítulo 7:

p

Filtros en microondas

Objetivo: Un filtro de microondas es un dispositivo con una respuesta selectiva en frecuencia, de modo que discrimina señales de microondas en

función de su frecuencia. Las respuestas típicas son paso bajo, paso alto, paso banda y banda eliminada

paso banda y banda eliminada.

El desarrollo de los filtros empezó en los años anteriores a la II Guerra Mundial. Todos estos estudios derivaron a principios de los 50 en un voluminoso manual de filtros y acopladores donde se desarrollan todas las voluminoso manual de filtros y acopladores donde se desarrollan todas las

técnicas utilizadas en los modernos programas de CAD.

El método más utilizado para el diseño de filtros es el método de las pérdidas de inserción. En Microondas, los elementos concentrados que proporciona el , q p p método anterior son sustituidos por tramos de líneas de transmisión. De esta forma se utilizarán transformaciones (de Richard) e identidades (de Kuroda)

(2)

ÍNDICE

I

d

ió

l

fil

• Introducción a los filtros.

• Diseño de filtros por el método de las pérdidas de inserción.

• Transformaciones en filtros

Transformaciones en filtros.

• Implementación de filtros en microondas:

– Transformación de Richard. – Identidades de Kuroda.

– Inversores de admitancia o impedancia.

• Filtros de impedancia a saltos

Filtros de impedancia a saltos.

• Filtros con líneas acopladas.

• Conclusiones.

Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.

(3)

INTRODUCCIÓN A LOS FILTROS

• Definición: dispositivo de dos puertos que presenta un comportamiento selectivo

en frecuencia de tal forma que permite el paso de la señal a unas frecuencias

(banda de paso) y lo impide a otras (banda eliminada).

• Conceptos:

– Pérdidas de inserción: representa la cantidad de energía que se refleja en cada frecuencia a la entrada del filtro.

– Pérdidas de transmisión: representa la cantidad de energía que se pierde en su paso a

Γ

−

=

20 log

RL

p g q p p

través de la estructura filtrante

.

• Peculiaridades de los filtros en microondas:

S tili t l í lí í t f i l it

T

IL

=

−

20 log

– Se utiliza tecnología en línea o guía cuya respuesta frecuencial se repite periódicamente.

• Proceso de diseño:

Especificaciones filtro

Diseño del Prototipo Paso bajo

Escalado y

(4)

DISEÑO DE FILTROS MEDIANTE EL MÉTODO DE LAS

PÉRDIDAS DE INSERCIÓN: PRINCIPIOS

• Proporciona un gran control sobre las amplitudes de las bandas de paso y eliminada

y sobre las características de fase Ejemplos:

y sobre las características de fase. Ejemplos:

– Mínimas pérdidas de inserción: respuesta binomial (Butterworth).

– Respuesta de corte abrupta: respuesta con rizado constante (Chebychev). Respuesta lineal de fase al precio de sacrificar atenuación

– Respuesta lineal de fase al precio de sacrificar atenuación.

• El filtro se define por las pérdidas de inserción (inverso del

│

s

₁₂

│

2

₎

1

= =

= Potencia disponible en la fuente Pinc

P

• La función es par por lo que puede expresarse como el cociente de

polinomios

( )

2

1− Γ

ω

= =

=

load LR

P carga

la a entregada Potencia

P

( )

2

M

( )

2

ω

Γ

p

• Resultando en unas pérdidas de:

( )

2

_{( ) ( )}

₂

( )

2 ₂

ω ω

N M

M

+ =

Γ

( )

2

M

• Resultando en unas pérdidas de:

• Tipos de filtros: maximalmente plano, de rizado constante, función elíptica y fase

( )

2

1 ω

ω

N

M

P

_LR

=

+

plana.

(5)

DISEÑO DE FILTROS MEDIANTE EL MÉTODO DE LAS

PÉRDIDAS DE INSERCIÓN: TIPOS DE FILTROS

Maximalmente plano o Butterworth:

Función característica binomial. N

k

2 2

1 ⎜

⎛

ω

⎟

⎞

Función característica binomial. Respuesta plana en la banda ω-ω_c

Si k=1 en ω_chay 3 dB de pérdidas. c

LR

k

P

1

2

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

ω

Rizado constante en la banda de paso (Chebychev): Frecuencia de corte muy abrupta.

Amplitud del rizado (1+k2₎

Crecimiento de atenuación 20N dB/década

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛

+

=

k

T

P

₁

2 2

ω

Crecimiento de atenuación 20N dB/década

i l i

⎟⎟

⎠

⎜⎜

⎝

+

=

C N

LR

k

T

P

ω

1 ( )

= ⎢⎡ + _⎜⎜⎛ _⎟⎟⎞ ⎥⎤ N p A 2 1 ω ω ω φ Función elíptica. Fase lineal

( )

⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ + c p A 1 ω ω ω φ

(

)

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = = N

d A p N

d d 2 1 2 1 ω ω ω φ τ Fase lineal. ⎥⎦

⎢⎣ ⎝ c ⎠

(6)

PROTOTIPO PASO BAJO DE UN FILTRO

MAXIMALMENTE PLANO (BUTTERWORTH)

(

)

(7)

PROTOTIPO PASO BAJO DE UN FILTRO DE IGUAL

RIZADO EN LA BANDA DE PASO (CHEBYSHEV)

( )

ω

2 2

1

_N

LR

k

T

(8)

COMPARACIÓN DE CARACTERÍSTICAS DE

TRANSFERENCIA

(9)

TRANSFORMACIÓN DE IMPEDANCIAS Y ESCALADO

DE FRECUENCIAS (I)

( )

• Transformación de impedancias (en admitancias sería el dual)

L

R

L

'

=

₀

0

'

R

C

=

R

_S

'

=

R

₀

R

_L

'

=

R

₀

R

_L

• Cambio en la frecuencia de corte: escalado para prototipo paso bajo

C

ω

←

c k k

L

ω

=

'

c k k

C

ω

=

'

c k k

L

R

L

ω

0

'

=

c k k

R

C

ω

0

'

=

• Transformación paso bajo paso alto

C

'

1

1 C

'

1

L _' R0

ω

_←

₋

C

k

ω

_c

L

_k

1 '

=

k c k

C

L

ω

1 '

=

k c k

L

R

C

ω

0

1 '

=

k c k

C L

ω

0

'=

T f ió E l d

(10)

TRANSFORMACIÓN DE IMPEDANCIAS Y ESCALADO

DE FRECUENCIAS (II)

( )

• Transformación paso banda paso bajo

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

Δ

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

←

ω

0 0

1

0

⎟

⎠

⎜

⎝

Δ

⎟

⎠

⎜

⎝

−

ω

₂ ₁ ₀ ₀

ω

−

0 1 2

ω

−

=

Δ

ω

₀

=

ω

₁

ω

₂

• Transformación banda eliminada paso bajo

1 0

−

⎟

⎞

⎜

⎛

_ω

₀

0

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

Δ

←

ω

(11)

(12)

IMPLEMENTACIÓN DE FILTROS EN MICROONDAS (I):

TRANSFORMACIÓN DE RICHARD

• Problemas en la realización con elementos concentrados:

– Sólo están disponibles en un número limitado de frecuencias.p – Los parásitos son importantes conforme crece la frecuencia.

– Las distancias y tamaños no son despreciables (comparables a λ).

• Soluciones:

Soluciones:

– Transformación de Richard: pasa de elementos concentrados a distribuidos. – Identidad de Kuroda: separa elementos del filtro mediante uso de líneas

Transformación de Richard:

• Transformación de Richard:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

Ω

p

v

l

ω

β

tan

l

jL

L

j

jX

_L

=

Ω

=

tan

β

⎠

⎝

p

l

jC

C

j

jB

_C

=

Ω

=

tan

β

l

β

tan

1 =

=

Ω

β

(13)

IMPLEMENTACIÓN DE FILTROS EN MICROONDAS (II):

IDENTIDADES DE KURODA

• Las cuatro identidades de Kuroda utilizan secciones de línea para:

– Separar físicamente los stubs. – Transformar stubs serie en

paralelo y viceversa.

– Modificar impedancias difíciles d b

de obtener.

• Las cajas son tramos de líneas adicionales, elementos unitarios

– longitud λ/8 a la frecuencia de corte.

– Impedancia característica indicada

(14)

IMPLEMENTACIÓN DE FILTROS EN MICROONDAS (III):

IDENTIDADES DE KURODA

Primera identidad de Kuroda (a):

• Circuito de la izquierda:

⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ Ω ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ Ω Ω = ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ Ω Ω ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ Ω = ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 Z Z j j Z j j B A

en donde la segunda matriz se obtiene mediante la identidad de Richard,

⎤

⎡ Ω

⎤

⎡ βl jZ i βl 1 j Z

⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⎟⎟⎠ −Ω ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + Ω Ω + Ω + ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 Z Z Z Z j Z j Z j D C _L

• Conexión de las secciones de la derecha

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Ω Ω Ω + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 1 1 1 1 cos sin sin cos 1 1 2 1 1 Z j Z j l l Z j l jZ l D C B A β β β β

• Conexión de las secciones de la derecha.

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ Ω + Ω = ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ Ω ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ Ω Ω = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 ₁ 1 1 1 1 Z n Z Z n j n Z j n j n Z j D C B A

• Identificación de ambas:

n

2

_=1+Z

2

/Z

1

⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ −Ω Ω Ω + Ω + ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ Ω ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 0 1 Z Z Z n j n Z n j D C _R

(15)

(16)

FILTROS DE IMPEDANCIA A SALTOS (I)

• Utilizan secciones alternas de alta y baja impedancia.

S

li i

li

i

d d l f

i d

b

• Su uso se limita a aplicaciones donde la frecuencia de corte no sea muy abrupta.

• Parámetros Z de una sección elemental de línea de transmisión

l

jZ

A

Z

t

β

Z

1 jZ

β

l

• Elemento serie y elemento paralelo

l

jZ

C

Z

₁₁

=

₂₂

=

−

₀

cot

β

jZ

l

C

Z

₁₂

=

₂₁

=

−

₀

csc

β

⎤

⎡

Si

lifi

i

(

β

l /4)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

−

2 tan

sin

1 cos

0 0

12 11

l

jZ

l

jZ

Z

β

• Simplificaciones (

β

l<

π

/4)

l

Z

X

Z

₀

↑↑⇒

≅

₀

β

B

≅

0 ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

2 tan

2

0

l

Z

X

β

_l

Z

B

=

1 sin

β

0 ≅

X

l

Y

B

Y

₀

↑↑⇒

≅

₀

β

⎠

⎝

2

2 Z

0

(17)

(18)

FILTROS DE LÍNEAS ACOPLADAS (I)

• Análisis de modos par-impar (excitaciones par-impar en minúsculas excitaciones

par-impar en minúsculas, excitaciones totales en mayúsculas).

• Proceso de análisis:

Excitación en modo par impar – Excitación en modo par-impar. – Dato: impedancia par-impar

– Obtención de impedancias de entrada en modos par impar

modos par-impar.

– Obtención de la matriz de parámetros Z de la red de cuatro puertos original.

• Formación de la red de dos puertos mediante • Formación de la red de dos puertos mediante

cierre de algún terminal

– El cierre por circuito abierto o corto de dos de los terminales da características filtrantes de los terminales da características filtrantes – Hay 10 topologías canónicas.

– De ellas, tres paso banda.

– De ellas sólo una sin cortocircuitos a masaDe ellas, sólo una sin cortocircuitos a masa.

(19)

FILTROS DE LÍNEAS ACOPLADAS (II):

TOPOLOGÍAS CANÓNICAS

• Cálculo de la impedancia imagen en cada puerto

puerto.

(

)

2 2θ

(

)

2 2θ

2 13 2

11

cot csc

1 ₋ _⋅ ₋ ₊ _⋅

=

− =

i

Z Z

Z Z Z

• Secciones de línea de longitud λ/4

(

₀ ₀

)

csc θ

(

₀ ₀

)

cot θ

2 +

= Z _e Z _o Z _e Z _o

(

) ( )

ec.1 2

1

0 0e o

i Z Z

Z = −

que es real y positivo dado que la

impedancia par es mayor que la impar. • La constante de fase vale:

(

) ( )

2 0e 0o

i

• La constante de fase vale:

(

)

(

)

cos

(

ec.2

)

cos

0 0

13

11 θ

β

o e

Z Z

− + =

(20)

FILTROS DE LÍNEAS ACOPLADAS (III):

PROCESO DE DISEÑO

Identificación de dos secciones de línea

con una sección de línea acoplada. Identificación de las ecuaciones 1 y 2 con_{las expresiones de la impedancia imagen} con una sección de línea acoplada. _{las expresiones de la impedancia imagen}

y constante de fase.

(

)

[

]

(

)

[

2

]

2 0 0 0 0 1 1 JZ JZ Z Z JZ JZ Z Z _e + + + ⋅ =

Sección en λ/4 con impedancia 1/J.

⎥ ⎤ ⎢ ⎡ ⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ ₋ ⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛

+ 1 θcosθ θ cos θ

2 2

2 0 0 sen j JZ sen JZ

(

)

[

0 0

]

0

0 Z 1 JZ JZ Z _o = ⋅ − +

N+1 secciones equivalen a un filtro de orden N.

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ θ θ θ θ θ θ θ cos 1 cos 1 cos 0 0 2 2 2 0 0 0 0 sen JZ JZ J sen JZ j J sen J j sen JZ J D CA B

Cálculo de la impedancia imagen. 2 2 2 0 cos J sen JZ

B ⎟⎟_⎠

⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − θ θ 2 0 2 2 2 2 0 cos 1 JZ J sen JZ J C B

Z_i =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎠ ⎝ = = =π θ θ θ θ θ

β 1 cos

cos = A=_⎜⎜⎛JZ + _⎟⎟⎞sen

Constante de fase cosβ θ cosθ 0 0 sen JZ JZ A _⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ + = =

Constante de fase.

(21)

FILTROS DE LÍNEAS ACOPLADAS (IV):

PROCESO DE DISEÑO

Ejemplo: filtro de orden 2

1 '

0

' Δ⋅ Z _C g

L J Z π ⋅Δ

' 2 0 2 ' 2 0 0 1 1 1 0 0 1 ; ; ω ω ω ω Δ = Δ ⋅ = ⋅ Δ ⋅ = ⋅ = Z g C Z g L Z g C g L 0 2 1 0 1 2 2 g g Z J g Z J Δ ⋅ = ⋅ = ⋅ π

(

)

0 1 2 0 2 0 0 ω ω ω ω ω − = Δ ⋅ ⋅ Δ

⋅ g Z

2 1 2 0 3 2 1 2 2 g J J Z J g g Δ ⋅ = = ⋅ ⋅ π

Generalización para un filtro de orden N, con Z_L≠ Z₀

1 0 1 2 Δ ⋅ = ⋅ g Z J π 1 0 2 ... ... ... − ⋅ Δ ⋅ = ⋅ n n n g g Z J π 1 0 1 2 ... ... ... + + _⋅ Δ ⋅ = ⋅ N N N g g Z J π 1

(22)

BIBLIOGRAFÍA

• G.l. Matthaei, L. Young, E.M.T. Jones: Microwave Filters, Impedance Matching