La igualdad como relación de equivalencia en contextos aritméticos: una experiencia de aula en grado sexto

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(1)La igualdad como relación de equivalencia en contextos aritméticos aritméticos: Una experiencia de aula en grado sexto. Soraya Cárdenas Osorio. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOS JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y MAESTRÍA EN EDUCACIÓN BOGOTÁ D.C. 2018 8.

(2) La igualdad como relación de equivalencia en contextos aritméticos: Una experiencia de aula en grado sexto. Soraya Cárdenas Osorio. Trabajo de grado presentado como requisito para optar al título de Magister en Educación con Énfasis en Educación Matemática. DIRECTOR PEDRO JAVIER ROJAS GARZÓN DOCTOR EN EDUCACIÓN. UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MAESTRÍA EN EDUCACIÓN BOGOTÁ D.C. 2018.

(3) Dedicatoria A Dios por permitirme realizar este trabajo tan importante para mi vida profesional. A mi madre que me apoya siempre en todo lo que realizo. A mis hijos Igor y Sasha que motivan e iluminan mi vida.. Agradecimientos A mi Director de Tesis Doctor Pedro Javier Rojas Garzón, por compartir sus conocimientos, sus enseñanzas y su tiempo dedicado. A mis docentes y compañeros de estudio, ya que me aportaron de manera crítica con sus conocimientos para el desarrollo del presente trabajo. A mis estudiantes por su colaboración..

(4) Contenido Resumen .......................................................................................................................................... 5 Abstract ........................................................................................................................................... 6 Sunto ............................................................................................................................................... 7 Introducción .................................................................................................................................... 8 1.1 Instrumento de Indagación .................................................................................................. 10 1.2 Síntesis de los resultados. .................................................................................................... 16 2. Referentes teóricos .................................................................................................................... 17 3. Aspectos metodológicos ........................................................................................................... 20 3.1 Recolección, organización y sistematización de la información ......................................... 21 3.2 Descripción y Categorías de análisis de las tareas propuestas ........................................... 21 4. Implementación de la propuesta ............................................................................................... 24 4.1 Tarea 1. La experiencia de Camila en el cajero automático: .............................................. 24 4.2 Tarea 2: ¿Cuál es la perfección de los números? ................................................................ 27 4.3 Tarea 3. ¿Cómo estás de peso y talla? ................................................................................. 30 4.4 Tarea 4. Emisiones de dióxido de carbono alcanzan cifra récord a nivel mundial. ............ 33 4.5 Tarea 5. “Igual pero distinto” .............................................................................................. 35 4.6. Tarea 6. Equivalencias aritméticas: componiendo y descomponiendo números. ............ 37 •. Completar cuatro igualdades abiertas y explicar las respuestas. ................................. 37. • Decir cuales expresiones eran verdaderas o falsas (Seis igualdades cerradas) y explicar las respuestas ............................................................................................................. 37 5. Resultados generales ................................................................................................................. 42 5.1 Algunos avances y dificultades en casos particulares ......................................................... 44 6. Reflexión final y recomendaciones ........................................................................................... 58 Referencias .................................................................................................................................... 60 1.

(5) Anexos .......................................................................................................................................... 62 ANEXO 1 .................................................................................................................................. 62 ANEXO 2 .................................................................................................................................. 64 ANEXO 3 .................................................................................................................................. 65 ANEXO 4 .................................................................................................................................. 66 ANEXO 5 .................................................................................................................................. 67 ANEXO 6 .................................................................................................................................. 68 ANEXO 7 .................................................................................................................................. 69 ANEXO 8 .................................................................................................................................. 70 ANEXO 9 .................................................................................................................................. 72 ANEXO 10 ................................................................................................................................ 73. 2.

(6) Tablas e ilustraciones. Tabla 1. Rejilla análisis del instrumento de indagación. .............................................................. 14 Tabla 2. Rejilla análisis respuestas de estudiantes, tarea 1. .......................................................... 25 Tabla 3. Rejilla análisis respuestas de estudiantes, tarea complementaria 1. ............................... 26 Tabla 4. Rejilla análisis respuestas de estudiantes, tarea 3. .......................................................... 31 Tabla 5. Rejilla análisis de respuestas de estudiantes, tarea 4. ..................................................... 34 Tabla 6. Rejilla análisis de respuestas de estudiantes, tarea 5, primera parte............................... 35 Tabla 7. Rejilla análisis de respuestas de estudiantes, tarea 5, segunda parte. ............................. 36 Tabla 8. Rejilla análisis de respuestas de estudiantes, estadísticas, tarea 6. ................................. 39 Tabla 9. Rejilla análisis de respuestas de estudiantes, tarea 6. ..................................................... 40 Figura 1. Igualdades cerradas, preguntas 2 y 3, instrumento de indagación. ............................... 15 Figura 2. Igualdades abiertas, preguntas 8 y 10, instrumento de indagación. .............................. 15 Figura 3. Respuestas de estudiante después de la exploración inicial a la situación, utilizando sentido común y la experiencia, preguntas 1 y 2, tarea 1. ............................................................ 25 Figura 4. Algunas descomposiciones de números realizadas por estudiantes, tarea 2................. 27 Figura 5. Procedimiento para hallar los divisores de un número. ................................................ 29 Figura 6. Respuesta de estudiante a la tarea complementaria 2. .................................................. 30 Figura 7. Respuestas de estudiantes comparando peso y talla real. ............................................. 32 Figura 8. Respuesta de estudiante a la tarea complementaria 3. .................................................. 32 Figura 9. Igualdades cerradas sin operaciones en el lado izquierdo y derecho del signo igual, tarea 4. ........................................................................................................................................... 34 Figura 10: Respuestas del estudiante 1. Instrumento de indagación. ........................................... 44 Figura 11: Respuestas del estudiante 1. Tarea 2. ......................................................................... 45 Figura 12: Respuestas del estudiante 1. Tarea 3. ......................................................................... 45 Figura 13: Respuestas del estudiante 1. Tarea 4. ......................................................................... 46 Figura 14: Respuestas del estudiante 1. Tarea 5. ......................................................................... 47 Figura 15: Respuestas del estudiante 1. Tarea 6.a.c. .................................................................... 47 Figura 16: Respuestas del estudiante 1. Tarea 6.b. ...................................................................... 48 Figura 17: Respuestas del estudiante 1. Tarea 6.d. ...................................................................... 48 3.

(7) Figura 18: Respuestas del estudiante 1. Tarea 6a......................................................................... 48 Figura 19: Respuestas de la estudiante 2. Instrumento de indagación. ........................................ 49 Figura 20: Respuestas de la estudiante 2. Tarea 2........................................................................ 50 Figura 21: Respuestas de la estudiante 2. Tarea 3........................................................................ 50 Figura 22: Respuestas de la estudiante 2. Tarea........................................................................... 51 Figura 23: Respuestas de la estudiante 2. Tarea 5........................................................................ 52 Figura 24: Respuestas de la estudiante 2. Tarea 6.a ..................................................................... 52 Figura 25: Respuestas de la estudiante 2. Tarea 6.b..................................................................... 52 Figura 26: Respuestas de la estudiante 2. Tarea 6.c.d. ................................................................. 53 Figura 27: Respuestas de la estudiante 2. Tarea 6.a. .................................................................... 53 Figura 28: Respuestas del estudiante 3. Instrumento de indagación. ........................................... 54 Figura 29: Respuestas del estudiante 3. Tarea 2. ......................................................................... 54 Figura 30: Respuestas del estudiante 3. Tarea 3. ......................................................................... 55 Figura 31: Respuestas del estudiante 3. Tarea 4. ......................................................................... 55 Figura 32: Respuestas del estudiante 3. Tarea 5. ......................................................................... 56 Figura 33: Respuestas del estudiante 3. Tarea 6. ......................................................................... 56. 4.

(8) Resumen En este documento se reporta una experiencia de aula basada en el diseño, implementación y evaluación de un conjunto de tareas, en contextos reales, orientadas al reconocimiento del signo igual como representación de la igualdad, en tanto relación de equivalencia entre igualdades numéricas, posibilitando una mirada relacional entre expresiones aritméticas. Se aplicó un instrumento de indagación a un grupo de estudiantes de grado sexto de un colegio en Bogotá, evidenciándose que casi la totalidad de los participantes consideraron el signo igual, únicamente como una indicación para realizar alguna operación matemática en las igualdades. Posteriormente, se hizo una intervención en el aula teniendo en cuenta las ideas de la Educación Matemática Realista (EMR); los estudiantes trabajaron con situaciones de la vida cotidiana que incluyeron procesos de composición y descomposición de números, igualdades condicionadas, equivalencia de fracciones y de áreas. Esas situaciones fueron transformadas en modelos matemáticos, teniendo un cambio en la interpretación únicamente operacional del signo igual en las igualdades, para ser consideradas por los estudiantes como relaciones de equivalencia. Palabras clave: igualdades, sentencias numéricas, equivalencia, signo igual. 5.

(9) Abstract. This paper reports a classroom experience based on the design, implementation and evaluation of a set of tasks, in real contexts, oriented to the recognition of the equal sign as a representation of equality, as a relation of equivalence between numerical equalities, enabling a relational look at arithmetic expressions. An instrument pilot test with numerical equalities was applied to a group of students in sixth grade from a school in Bogota, evidencing that almost all the participants considered the equal sign only as an indication to solve some mathematical operation in numerical equalities. After that, an intervention was made in the classroom, taking into account the ideas of the Realistic Mathematical Education (RME), students worked with situations of daily life that included processes of composition and decomposition of numbers, conditioned equalities, equivalence of fractions and areas. These situations were transformed into mathematical models, which allowed them to change the only operational interpretation of equalities to be considered as equivalence relations. Keywords: equalities, numerical sentences, equivalence, equal sign. 6.

(10) Sunto In questo documento viene riportata un'esperienza in classe basata sulla progettazione, l'implementazione e la valutazione di un set di compiti, in contesti reali, orientati al riconoscimento del segno di uguale come rappresentazione dell'eguaglianza, come relazione di equivalenza tra uguaglianze numeriche, rendendo possibile uno sguardo relazionale tra espressioni aritmetiche. uno strumento di indagine è stato applicato a un gruppo di studenti del sesto grado di una scuola a Bogotá, evidenziando che quasi tutti i partecipanti hanno considerato il segno di uguale, solo come indicazione per eseguire alcune operazioni matematiche nelle uguaglianze. Successivamente, un intervento è stato fatto in classe tenendo conto delle idee dell'Educazione Matematica Realistica (EMR); gli studenti hanno lavorato con situazioni di vita quotidiana che includevano processi di composizione e decomposizione di numeri, uguaglianze condizionate, equivalenza di frazioni e aree. Queste situazioni sono state trasformate in modelli matematici, con un cambiamento nella sola interpretazione operativa del segno di uguale nelle uguaglianze, da considerare dagli studenti come relazioni di equivalenza. Parole chiave: uguaglianze, frasi numeriche, equivalenza, segno di uguale. 7.

(11) Introducción. En este trabajo se aborda uno de los problemas que encuentran los estudiantes en contextos aritméticos, asociado a una interpretación básicamente operacional del signo igual, la cual genera dificultades para el trabajo algebraico. Se plantea como hipótesis que mediante tareas específicas en diferentes contextos numéricos y geométricos, es posible lograr una interpretación menos limitada de dicho signo, específicamente la representación de la igualdad, vista como relación de equivalencia. Con el propósito de tener evidencias sobre esta problemática en el aula de clase, se aplicó a 22 estudiantes de 11 a 13 años, un instrumento de indagación (Ver anexo 1) con once igualdades en las que buscaron un número desconocido o determinaron si eran verdaderas o falsas (sentencias numéricas). Los resultados mostraron que los estudiantes abordaban las igualdades únicamente de manera operacional, interpretando el igual como una “señal de hacer algo” (Kieran y Filloy, 1989, p.230), además de otras dificultades para explicar las respuestas. Una vez se reconoció la problemática, se decidió intervenir con el propósito de posibilitar una interpretación más amplia del signo igual, para lo cual se diseñó un conjunto de tareas orientadas al reconocimiento de las propiedades aritméticas requeridas para el desarrollo del pensamiento relacional, propuestas por Molina (2006): Compensación (no hay cambio de tamaño), Composición y descomposición, Magnitud (cualidad de ser más o menos grande), Reflexiva, Conmutativa y Simétrica. Se tomaron como referencia los principios de la Educación Matemática Realista (EMR), relacionados con la búsqueda de situaciones que generaron en los estudiantes la necesidad de organizarlas matemáticamente, de manera espontánea, motivándolos a buscar diferentes estrategias de solución, incluyendo métodos informales, discutirlas con sus compañeros y alcanzar un nivel general de comprensión de la igualdad como relación de equivalencia.. 8.

(12) 1. Contextualización de la problemática y antecedentes investigativos En diversos estudios nacionales e internacionales se reporta una problemática por parte de los estudiantes, de diferentes grados de escolaridad, relacionada con las interpretaciones del signo igual y de la igualdad presentadas casi exclusivamente de manera operacional, donde el signo igual es considerado como una “señal” o una “orden de operar”, lo cual genera dificultades para reconocer las igualdades como relaciones de equivalencia. En el contexto nacional Rojas, P., Rodríguez, J., Romero, J., Castillo, E. y Mora, L. (1999) plantean que algunos problemas en el trabajo algebraico presentados por los estudiantes están asociados con la transición aritmética – álgebra, debiendo ser superados a través de un trabajo aritmético, en donde la igualdad se pueda abordar desde diferentes situaciones y contextos, para superar la dificultad de aceptarla como una relación de equivalencia. Por ejemplo, sugieren: “Un tema propicio para un trabajo en este sentido, lo constituye las fracciones, pues, además de tematizar la igualdad como relación de equivalencia, permite “romper” con la idea de unidad fija de medida…” (p.90). En los Lineamientos Curriculares (1998) y los Estándares Básicos de Competencias en matemáticas (2006) los autores proponen que un aspecto importante en el aprendizaje del álgebra, corresponde a la utilización con sentido y al estudio formal de los objetos algebraicos como las ecuaciones, para lo cual es necesario ampliar la notación del lenguaje aritmético y utilizar las propiedades características de los sistemas numéricos, como la conmutativa y la asociativa de la adición y la multiplicación y la distributiva de la multiplicación respecto de la adición, o el carácter simétrico y transitivo de la igualdad. En el contexto internacional Kieran y Filloy (1989) plantean que la forma de interpretar el signo igual de los estudiantes que comienzan con el álgebra es indicación para hacer algo, antes que un símbolo de equivalencia entre los lados izquierdo y derecho de una ecuación, con la dificultad de aceptar igualdades como 4 + 3 = 6 + 1 y posteriormente ecuaciones como 2 + 3 = + 4 , ya que desconocen las propiedades simétrica y transitiva de la igualdad. (p.230). Molina, Castro y Ambrose (2006) afirman que los estudiantes tienen dificultades para resolver igualdades numéricas, ya que muestran una interpretación operacional del signo igual y la tendencia a desarrollar las operaciones al lado izquierdo de la igualdad y responder al lado 9.

(13) derecho. Además, sugieren que los estudiantes necesitan trabajar con igualdades abiertas (presentan algún término desconocido o incógnita, a averiguar), igualdades cerradas, verdaderas y falsas (aparecen completas, sin ningún término desconocido), igualdades de no acción (con o sin signo operacional a ambos lados del signo igual) e igualdades de acción (incluyen signos operacionales únicamente a un lado de la igualdad); para ir construyendo la comprensión del significado del signo igual y contribuyendo al desarrollo del pensamiento relacional. Camici et al., (2002) presentaron el análisis de las respuestas de 336 estudiantes de primaria y secundaria, al completar la ecuación: 11 - 6 =? - 11. En el estudio encontraron tres formas de respuestas posibles: procedimental (81,5 %), relacional (6%) y simétrica (6%). Los autores consideraron la ecuación para determinar los obstáculos didácticos y si las respuestas indicaban interpretaciones especiales del signo igual, por parte de los estudiantes. 1.1 Instrumento de Indagación Los temas abordados en el instrumento de indagación se relacionaron con la interpretación del signo igual en igualdades cerradas y abiertas, propuestas de forma individual a los estudiantes, para identificar las estrategias de solución y las posibles explicaciones a cada una de las preguntas. La tarea consistió en resolver once igualdades, las diez primeras igualdades fueron adaptadas de las planteadas por Molina (2006) por contener propiedades aritméticas fundamentales para el desarrollo del pensamiento relacional, las interpretaciones se clasificaron en dos categorías de análisis: El reconocimiento del signo igual de forma operacional y de forma relacional. La igualdad utilizada en el numeral 10 fue tomada de la investigación de Camici et al. (2002), tomando como referencia para el análisis de las interpretaciones de los estudiantes las formas procedimental, simétrica y relacional propuestas por los autores. A continuación se presentan las preguntas del Instrumento de indagación con las interpretaciones del signo igual, clasificadas de manera operacional y relacional presentadas por los 22 estudiantes y la síntesis de las respuestas:. 10.

(14) Acerca de la interpretación que hacen los estudiantes de grado sexto al signo “=” Pregunta. 1.. Explicaa. Interpretaciones del signo igual. qué. significa el signo. 1. El total de los números.. 15. 2. El resultado.. 10 5. Relacional. expresión:. 0. El lado izquierdo y el derecho. 4+2=. OP.1. OP.2. Relacional. son equivalentes.. 2. ¿La siguiente expresión. 20. Operacional (OP). igual, "=" en la siguiente. Síntesis. Operacional (OP). es. 1. La suma efectuada al lado. 10. verdadera (V) o. izquierdo es el resultado o no del. 9. falsa (F)?. primer número del lado derecho.. 8. 2. 15 + 5 = 13 +7. Enlazar. las. operaciones. colocando otro signo igual para otra. 7 6 5 4. respuesta.. 3. 3.. Se. utilizan. cálculos. 2. numéricos pero se tiene en cuenta la. 1. magnitud a los dos lados de la. 0 OP.1. OP.2. OP.3. Relacional. igualdad. Relacional elacional Se. expresa. la. relación. de. compensación en suma o en resta. Operacional (OP) 3. ¿La siguiente. 1. La suma efectuada al lado. expresión ón es. izquierdo es el resultado o no del. verdadera (V) o. primer número del lado derecho.. falsa (F)? 2+3=5+4. 2.. las. 9. operaciones. 8. colocando otro signo igual para otra. 7. respuesta.. 6. 3.. Enlazar. 10. Se considera la magnitud. (5 ≠ 9). expresa. 4 3 2. Relacional Se. 5. la. relación. de. compensación en la suma o en la. 1 0 OP.1. OP.2. OP.3. Relacional. resta.. 11.

(15) Interpretación del signo igual en. 4. Completa la. igualdades abiertas.. siguiente. Operacional (OP). expresión y explica tu. 1. La suma efectuada al lado. respuesta:. izquierdo es el resultado del primer número del lado derecho. 2.. 23+5 =____+21. Enlazar. las. 9 8 7. operaciones. colocando otro signo igual para otra respuesta.. 6 5 4. 3. Se considera la magnitud (28 = 28). 3 2 1. Relacional Se. 10. expresa. la. relación. de. 0 OP.1. OP.2. OP.3. Relacional. compensación en la suma. compensación Observando. que. 21. es. 2. unidades menos que 23 por lo tanto la cantidad desconocida debe ser dos unidades más que 5.. 5. ¿La siguiente expresión. es. verdadera (V) o falsa (F)?. Interpretación del signo igual en igualdades de no acción, sin símbolo. 14. operacional.. 12 10. Operacional (OP) 1. Se expresa la relación sin. 8=8. 8 6. significado, por no tener operación. 4. implicada.. 2. 2. La relación no tiene sentido.. 0 OP.1. OP.2. Relacional. Relacional Se define la relación reflexiva. Manifiestan que es el mismo número.. 12.

(16) 6. Si sabes que 2+3 = 4+1 ¿puedes afirmar que 4+1 = 2+3 2+3?. Operacional (OP). 14. 1. Se resuelve sólo una parte de la igualdad.. 12 10 8. 2. Se resuelven los dos lados de la igualdad.. 6 4 2 0 OP.1. OP.2. Relacional. Relacional Se define la relación simétrica.. 7. Si sabes que representa un número natural y =. , ¿Puedes. concluir que =. Operacional (OP) 1. No se expresa equivalencia. 14 12. simbólica.. 10. 2. Se expresa la relación sin. 8. significado, por no tener operación. 6 4. implicada.. 2. ?. 0 OP.1. Relacional. OP.2. Relacional. Se define la relación simétrica.. 8. Completa la siguiente relación: =. 3+4. Operacional (OP) 1. Se indica que la igualdad está. 10. al revés, aunque se coloca el número. 9 8. 7 en el cuadro.. 7. 2. Se ubica el número 3 en el cuadro. 3.. 6 5. Diferentes. respuestas. colocando otro signo igual al final de las operaciones.. 4 3 2 1 0 OP.1. OP.2. OP.3. Relacional. Relacional Se. resuelve. comparándola,. la. igualdad. een n función de la. magnitud.. 13.

(17) 9. Completa las siguientes relaciones:. 12. diferentes en las soluciones,. 10. 2. Se presenta la respuesta encadenando las operaciones.. +15 –99 =31–99. 14. 1. Se presentan valores buscando obtener una respuesta.. 2× × +15=31 2×. Operacional (OP). Relacional Se concluye que el número de la. 8 6 4 2 0 OP.1. OP.2. Relacional. caja en las dos igualdades es el mismo, porque se presenta una relación cuantitativa entre las dos.. 10. Completa la siguiente relación y explica tu respuesta: −. =. 20. La suma efectuada al lado izquierdo. 18. es el resultado del primer número del. 16. lado derecho.. 14 12. −. Igualdad tomada de: Camici et al. (2002). Procedimental. Simétrica Se manifiesta que el resultado es 6.. 10 8 6 4. Relacional. 2. Se expresa la relación de. 0. compensación en la resta.. Procedimental. Simétrica. Relacional. Otras. Otras respuestas Cero y cuatro. Tabla 1. Rejilla análisis del instrumento de indagación.. A continuación se hace la ddescripción escripción de las estrategias utilizadas por todos los estudiantes y algunas muestras de sus producciones, al desarrollar las igualdades y explicar las respuestas en el instrumento de indagación indagación:. 14.

(18) Figura 1. Igualdades cerradas, pregunta preguntas 2 y 3, 3, instrumento de indagación indagación.. Estrategias utilizadas por los estudiantes en las igualdades cerradas: cerradas . Considerar el signo igual como orden para realizar una operación. (Todos los estudiantes). . Enlazar las operaciones colocando otro signo igual para escribir diferentes resultados. (El 30% de los estudiantes). . Desarrollar las operaciones al lado izquierdo de la igualdad, respondiendo al lado derecho. (El 90% de los estudiantes). Figura 2.. Igualdades abiertas, pregunta preguntas 8 y 10, instrumento de indagación indagación.. 15.

(19) Estrategias utilizadas por los estudiantes en las igualdades abiertas: . Resolver la igualdad utilizando alguna operación como la suma o resta y manifestar que el lado derecho estaba “raro” o al revés. (Todos los estudiantes). . Buscar un valor numérico en ambos lados de la igualdad y colocar otro signo igual para escribir diferentes números. (El 30 % de los estudiantes). 1.2 Síntesis de los resultados. Los estudiantes manifestaron inicialmente que las preguntas eran muy fáciles y todos resolvieron la parte numérica, hasta que desarrollaron las preguntas 5, 8 y 10 en donde encontraron dificultades y pedían orientación constantemente, aunque se le dijo al grupo previamente que respondieran de acuerdo a la comprensión que tuvieran de las preguntas y escribieran la justificación de cada respuesta. Al analizar las respuestas de los estudiantes en el instrumento de indagación, se pudo evidenciar que consideraron el signo igual únicamente como una propuesta para realizar alguna operación como suma, resta o. multiplicación (Interpretación operacional). Se presentó la. tendencia a desarrollar las operaciones al lado izquierdo de la igualdad, respondiendo al lado derecho, agregando otro signo igual para dar un resultado. Teniendo en cuenta que la mayoría de los estudiantes tuvo una interpretación únicamente operacional del signo igual en las igualdades propuestas, se realizó el trabajo con la siguiente pregunta orientadora: ¿Es adecuado el trabajo con situaciones o fenómenos asociados a las propiedades aritméticas composición, descomposición, magnitud, reflexiva, simétrica, transitiva, compensación y conmutativa para propiciar en los estudiantes la comprensión de la igualdad como relación de equivalencia?. 16.

(20) 2. Referentes teóricos. El desarrollo del trabajo reportado en este documento, se basó en la corriente didáctica conocida como Educación Matemática Realista –EMR, fundamentada en los trabajos de Hans Freudenthal (1991), quien reconoció la matemática como una actividad humana para organizar la realidad, teniendo en cuenta la fenomenología didáctica en la búsqueda de contextos y situaciones que generen la necesidad de ser organizados matemáticamente. Por otra parte, se asumen referentes sobre el pensamiento relacional, las definiciones de equivalencia, igualdad, identidad, ecuación y la clasificación de igualdades numéricas planteada por Molina y Castro (2006), relacionada con las interpretaciones del signo igual por parte de los estudiantes. Se comparte el reconocimiento de que las matemáticas son ante todo una actividad humana, a la que todos pueden acceder y que ésta se aprende mejor haciéndola (Freudenthal, 1983); los contextos en la EMR al ser significativos constituyen un punto de partida en la actividad matemática, promoviendo el uso del sentido común y de estrategias informales hacia niveles de mayor formalización y comprensión de las matemáticas. Freudenthal propuso que la enseñanza no debía ser orientada como un saber preconstruido, ya que es una inversión antididáctica, porque se enseñan los resultados de la actividad matemática sin permitirle a los estudiantes que organicen situaciones problemáticas “reales” (Cotidianas y en contexto matemático), para lograr los procesos de matematización. Por otra parte, Freudenthal consideró el aprendizaje como un proceso discontinuo de matematización progresiva que involucra distintos niveles en el que los contextos y modelos favorecen para subir de nivel de comprensión matemática. A continuación se presenta una descripción general de los niveles de comprensión propuestos por Freudenthal (1983, 1991) y Bressan, Zolkower y Gallego (2016): . El conocimiento de la situación por parte de los estudiantes y las estrategias utilizadas en el contexto de la situación misma; apoyándose en los conocimientos informales, el sentido común y la experiencia, son considerados como el primer nivel de comprensión matemática. (Nivel situacional). 17.

(21) . Los estudiantes esquematizan la situación por medio de modelos gráficos, descripciones, conceptos y procedimientos referidos a la situación particular. (Nivel referencial). . Los estudiantes desarrollan las tareas a través de la exploración, reflexión y generalización de lo descrito en el nivel anterior, utilizando diferentes estrategias de solución, que superan la referencia al contexto. (Nivel general). . Al trabajar con los procedimientos y notaciones convencionales los estudiantes el último nivel de comprensión matemática. (Nivel formal). Siguiendo con las ideas de Freudenthal (1983) en cuanto a la fenomenología didáctica, se propuso a los estudiantes situaciones relacionadas con igualdades numéricas que fueron organizando y desarrollando con diferentes estrategias, posibilitándoles analizar y comparar objetos matemáticos relacionados entre sí, mediante el signo igual y simultáneamente desarrollar el pensamiento relacional, así como comprender los conceptos de equivalencia, igualdad, identidad, ecuación. Teniendo en cuenta que para la comprensión de la igualdad como relación de equivalencia se debe considerar el desarrollo del pensamiento relacional por parte de los estudiantes, se decidió tomar la definición de Molina (2006): “El pensamiento relacional es la actividad intelectual consistente en examinar objetos o situaciones matemáticas, considerándolos como totalidades, detectar de manera espontánea o buscar relaciones entre ellos y utilizar dichas relaciones con una intencionalidad, para alcanzar un objetivo” (p.76). En situaciones de la vida cotidiana se reconoce la importancia de las relaciones de equivalencia en diferentes contextos, que fueron presentadas a los estudiantes en las tareas propuestas en el presente trabajo, para lo cual se tuvo en cuenta la definición de Muñoz (1983) quien consideró una relación de equivalencia en un conjunto A, cuando es reflexiva, simétrica y transitiva en A. Por ejemplo, “tener la misma estatura”, en un contexto cotidiano, “tener la misma superficie”, en un contexto geométrico, o la “igualdad” en un contexto numérico, la cual suele representarse con el signo igual, esto es, “=”. Con respecto a la igualdad se busca que los estudiantes reconozcan la propiedad que permite sumar o restar el mismo número a los dos lados de una igualdad permaneciendo iguales, definida de la siguiente manera: Para todos los números a, b y c, si a = b, entonces a ∓ c = b ∓ c. 18.

(22) Se llama ecuación a una igualdad condicionada, es decir, una igualdad que puede cumplirse para ciertos valores de un conjunto. Si la igualdad se cumple para todos los valores del conjunto se denomina identidad, en este sentido, se pueden reconocer identidades numéricas, algebraicas y trigonométricas. Por otra parte, en los contextos de aula de acuerdo con la clasificación realizada por Molina y Castro (2006) es posible reconocer diversas interpretaciones del signo igual por parte de los estudiantes, no necesariamente asociadas a una relación de equivalencia; por ejemplo, interpretar el signo igual en las igualdades como un operador, como expresión de una acción o como expresión de una equivalencia condicional (ecuación). Estos autores estudiaron el desarrollo del pensamiento relacional y la comprensión de igualdades numéricas en un grupo de 26 estudiantes de tercero de primaria, involucrando en las actividades las propiedades aritméticas básicas como la propiedad conmutativa de la suma, la complementariedad de la suma o resta o compensación.. 19.

(23) 3. Aspectos metodológicos. En el presente trabajo se asumió un enfoque cualitativo de tipo descriptivo-interpretativo y se desarrolló con la metodología de Investigación- Acción, siguiendo el modelo de Elliott (1990) quien propone al investigador asumir una fase de descripción e interpretación del problema a investigar, una fase de exploración o planteamiento de las acciones que hay que realizar, para cambiar la práctica, la construcción del plan de acción, la evaluación y la revisión del plan general. Por lo anterior el docente- investigador realiza una autoreflexión constante para lograr avances teóricos, un proceso de concientización y de cambio de su práctica. Se realizó una revisión teórica relacionada con la interpretación que hacen los estudiantes al signo igual en el trabajo aritmético y las dificultades que tendrán en el trabajo algebraico, si manifiestan únicamente la interpretación operacional, lo anterior para realizar un proceso de exploración de la problemática en grupo particular de estudiantes, por medio de un instrumento de indagación que permitió analizar y contrastar sus producciones con las referidas en la teoría. Inicialmente se diseñaron 6 tareas para facilitar la comprensión de la igualdad como relación de equivalencia, para desarrollarlas en las clases regulares de 100 minutos cada una. Debido a que los objetivos en las primeras 2 tareas (Relacionadas con la Composición y descomposición de números) no se alcanzaron totalmente, se tomó la decisión de diseñar una tarea complementaria en cada situación, de igual manera en la tercera tarea (Relacionada con igualdades condicionadas) se propuso una de las preguntas para resolver con los familiares en la casa. Todas las tareas fueron socializadas por los estudiantes al grupo, durante las clases o en la siguiente clase. El trabajo se desarrolló con 22 estudiantes de grado sexto de un colegio público de Bogotá, entre los meses de julio a septiembre de 2016, con los estudiantes de grado sexto porque los temas abordados (composición y descomposición de números, igualdades condicionadas, equivalencia de fracciones y de áreas), están de acuerdo con el plan de estudios del Colegio y con los Estándares de Matemáticas propuestos por el Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN, 2006, p.84).. 20.

(24) 3.1 Recolección, organización y sistematización de la información El proceso de recolección de la información se desarrolló al implementar las tareas y se encuentra registrado en la producción escrita de los estudiantes, de forma individual y grupal. Con respecto a la implementación de las tareas, se inició con una reflexión acerca del problema que se iba a tratar y la importancia de las explicaciones que dieran los estudiantes a cada solución, para hacer una socialización general de algunas respuestas y poder considerar la variedad de estrategias propuestas por los estudiantes que permitieron dentro de las ideas de la EMR, hacer un análisis de los niveles de comprensión que alcanzaron los estudiantes con respecto al reconocimiento de la igualdad como relación de equivalencia. El proceso de organización y sistematización de la información en este trabajo, se desarrolló desde la teoría de la EMR y del análisis. fenomenológico que permitió comprender las. habilidades, las experiencias cotidianas y las prácticas de los estudiantes; fortalecido por la variedad de estrategias que utilizaron al resolver cada una de las situaciones presentadas en las tareas. 3.2 Descripción y Categorías de análisis de las tareas propuestas En las tareas 1 y 2, se plantearon situaciones problemáticas reales, relacionadas con la composición y la descomposición. de los números, los estudiantes pudieron trabajar con. igualdades numéricas que presentaban operaciones como sumas y restas al lado derecho y al lado izquierdo de la igualdad. Categorías de análisis  C1. Reconoce las propiedades de la compensación y la magnitud en igualdades. numéricas, mediante la composición y la descomposición de los números, realizando operaciones al lado derecho de la igualdad o a los dos lados.  C2 Realiza únicamente cálculos numéricos, sin considerar las propiedades aritméticas involucradas. La tarea 3 se diseñó con la idea de trabajar igualdades condicionadas, que se relacionaran con una problemática en Colombia, como es la desnutrición y la obesidad. Se esperaba que los estudiantes desarrollaran las ecuaciones, hicieran comparaciones, relaciones de orden y de equivalencia. 21.

(25) Categorías de análisis  C1 Reconoce la igualdad condicionada como una relación de equivalencia (el signo igual expresa equivalencia cierta para algunos valores), compara los dos lados de la igualdad condicionada y establece relaciones de orden.  C2 Realiza únicamente cálculos numéricos, sin considerar las propiedades aritméticas involucradas. Al diseñar la tarea 4, se buscó una situación problemática para reflexionar acerca de las emisiones de dióxido de carbono en el mundo y sus consecuencias. Para que los estudiantes trabajaran en un contexto real con equivalencias entre fracciones y porcentajes, fracciones y decimales, además, que observaran igualdades sin operaciones como sumas o restas, ya que en el instrumento de indagación manifestaron dificultades al resolver esa clase de igualdades. Categorías de análisis  C1 Reconoce las igualdades que contienen fracciones, porcentajes y decimales (Sin operaciones a los dos lados), como relaciones de equivalencia dando una interpretación bidireccional a la igualdad.  C2 Realiza únicamente cálculos numéricos, sin considerar las propiedades aritméticas involucradas. La tarea 5 se diseñó teniendo en cuenta la investigación de Rojas et al. (1999). Se utilizó el tangram como unidad de medida para comparar áreas equivalentes y resolver igualdades con fracciones. Categorías de análisis  C1 Reconoce áreas equivalentes, cambiando unidades de medida.  C2 Realiza únicamente cálculos numéricos, sin considerar todas las propiedades aritméticas involucradas. Para el diseño de la tarea 6, se buscaron igualdades numéricas relacionadas con las propiedades consideradas en las anteriores tareas, que posibilitaran a los estudiantes la solución no operacional y la justificación de las estrategias de solución utilizadas, con el fin de determinar 22.

(26) los avances de los estudiantes al resolver e inventar igualdades numéricas similares a las del instrumento de indagación. Categorías de análisis  C1 Reconoce la igualdad como relación de equivalencia.  C2 Realiza cálculos a los dos lados de la igualdad, considerando la magnitud.  C3 Realiza únicamente cálculos numéricos, sin considerar las propiedades aritméticas involucradas.. 23.

(27) 4. Implementación de la propuesta. A continuación se reporta el desarrollo de las tareas propuestas a los estudiantes, iniciando con la descripción de la tarea y su objetivo, siguiendo con la descripción general de las producciones de los estudiantes y algunas muestras, la toma de decisiones de la docente durante la tarea y finalmente se presenta los resultados al analizar las respuestas. 4.1 Tarea 1. La experiencia de Camila en el cajero automático: La mamá de Camila le pide que la acompañe a hacer un retiro en el cajero automático de $300.000. Teniendo en cuenta que el cajero utiliza billetes cuya denominación es $10.000, $20.000 y $50.000. Se les preguntó a los estudiantes de qué denominación deben ser los billetes para recibir la menor, la mayor cantidad de éstos y si hay otras posibilidades de recibir el dinero con esas denominaciones.. Objetivo: Reconocer e interpretar la propiedad aritmética de composición y descomposición de números naturales, en las igualdades que resultan de la situación propuesta. Descripción general: Todos los estudiantes abordaron la tarea y dieron respuesta a la situación planteada, basándose en el sentido común o aproximando resultados, después buscaron estrategias para organizar y simbolizar la situación, realizando multiplicaciones (de forma horizontal o vertical), mientras los otros acudieron a procedimientos aditivos, aunque no siempre explicitaban las operaciones realizadas, como se muestra a continuación: Procedimiento aditiva (operaciones no explícitas). Pregunta. Procedimiento multiplicativo (operaciones no explícitas). ¿De qué denominación deben ser los billetes para recibir la menor cantidad de éstos? Explica la respuesta ¿De qué denominación deben ser los billetes para recibir la mayor cantidad de éstos?. 12 estudiantes Tiene que recibir 6 billetes de $50.000 (7 est.). De $50.000 porque entre más alto sea el valor menor va a ser la cantidad. (5 est.). Explica respuesta. De $10.000 serian 30 billetes.(4 est.). la. 10 estudiantes Debe recibir $10.000 porque veces da 300.000 (6 est.). 8 estudiantes Usando billetes de $50.000 50.000 ×6 _________ 300.000 2 estudiantes. de 30. Procedimiento multiplicativo (operaciones explícitas). 30 billetes daría la suma $300.000. Procedimiento aditivo (operaciones explícitas). 2 estudiantes 50+50+50+50+ 50+50= 300. 10 estudiantes 10.000 × 30 _________ 300.000. 24.

(28) Pregunta. Procedimiento multiplicativo (operaciones no explícitas). Procedimiento aditiva (operaciones no explícitas). ¿Hay otras posibilidades para la entrega de los $300.000, con diferentes denominaciones?. Procedimiento multiplicativo (operaciones explícitas). Procedimiento aditivo (operaciones explícitas). 6 estudiantes realizaron operaciones combinando sumas y multiplicaciones. 6 estudiantes realizaron diferentes sumas de forma vertical. vertical 10 estudiantes realizaron sumas de forma horizontal. Tabla 2:: Rejilla análisis respuestas de estudiantes, tarea 1.. En síntesis llos os estudiantes no realizaron procesos de composición y descom descomposición posición de los números (Definidos en la siguiente propiedad aritmética: Si +. y. +. =. +. +. =. entonces. +. =. +. + ), ), ya que abordaron la situación de manera operacional, escribiendo. multiplicaciones horizontal horizontales es o verticales, vertical con diferentes estrategias para organizar las soluciones posibles posibles:. Figura 3. Respuestas de estudiante después de la exploración inicial inicial a la situación, utilizando sentido común y la experiencia, experiencia, preguntas 1 y 2, tarea 1.. Toma de decisiones decisiones: Se les propuso una tarea para hacer en la casa, la cual fue resuelta por todos y socializada en la siguiente clase clase,, para que los estudiantes por medio de diferentes formas de composición y descomposición de los números números, observaran ran otras formas de interpretar el signo igual diferentes al operacional operacional.. A continuación se muestra la segunda situación y las maneras de abordarla:. 25.

(29) La mamá de Camila le pide que la acompañe a hacer un retiro en el cajero automático de $300.000, luego Camila la acompaña a pagar la administración del apartamento que cuesta $60.000. El cajero le entregó billetes de $20.000.Representar numéricamente la situación. 2 estudiantes escribieron soluciones similares para descomponer los números, como se muestra a continuación. Los estudiantes manifestaron que después de pagar la administración les quedó $240.000 y se pudieron dar cuenta que la solución puede darse mediante la descompos descomposición ión del número por ejemplo con los billetes de $20.000, alejándose de la respuesta exclusivamente operacional para obtener $240.000 después del signo igual.. 1 estudiante 10 estudiantes propusieron ieron descomposiciones similares. similares Explicando que hay una equivalencia en los dos lados de la igualdad; reconociendo la igualdad como una totalidad a cada lado del signo igual usando las propiedades de magnitud y descomposición de los números involucrados.. 7 estudiantes hicieron compos composición ición y descomposición de los números en la situación propuesta. Los estudiantes restaron la misma cantidad a los dos lados de la igualdad de diferentes formas, considerando la magnitud de los números involucrados, propiedad que desconocían cuando se desar desarrolló rolló el instrumento de indagación.. 3 estudiantes hicieron la representación numérica de la situación propuesta, manifestando que a los $300.000 le restaban el costo de la administración. Los estudiantes resolvieron la situación haciendo la resta, pero cuando fueron socializadas las respuestas anteriores en el curso pudieron observar las otras posibilidades de solución.. Tabla 3:: Rejilla análisis respuestas de estudiantes, tarea complementaria 1.. 26.

(30) 4.2 Tarea area 2: ¿Cuál es la perfección de los números? Los divisores propios de un número lo dividen exactamente pero son diferentes a éste. Un número perfecto es aquel que es igual a la suma de todos sus divisores propios. Por ejemplo 6 es perfecto ya que 6 = 1 + 2 + 3.. Busca otros números perfectos diferentes al 6.. Objetivo: Objetivo Reconocer e interpretar la propiedad aritmética de descomposición de números naturales, en las igualdades propuesta propuestas. Descripción general: La tarea se desarrolló en dos sesiones, durante la prime primera ra ttodos los os estudiantes la abordaron y dieron respuesta a la situación planteada planteada, buscando algunos divisores de los números. números. Varios de ellos trabajaron con los números siguientes a 6 (7, 8, 9,…) 9,…), mientras que otros escogieron números al azar. Ejemplos jemplos del trabajo realizado por dos de los grupos (4 estudiantes en cada uno) se muestra a continuación:. Figura 4. Algunas descomposiciones de números realizadas por estudiantes, tarea 2.. Si bien en los ejemplos presentados, realizados por uno de los grupos, 28 es perfecto, los otros números no lo son. En uno de los casos, incluyeron un número que no es divisor (9 no divide a 42) y no incluyeron el divisor 13; en el otro, todos los sumandos usados son divisores propios, pero falta el 8. Es importante resaltar que, en el primer ejemplo, realizan una descomposición de cada número, aunque ven la necesidad de escribir nuevamente dicho número como resultado de la operación (descomposición) planteada. ada. En el segundo caso, si bien. 27.

(31) realizaron un procedimiento que permitiría encontrar todos los divisores del número 324, sólo tomaron algunas de las combinaciones para hallar divisores mediante el producto de estos. Los procedimientos utilizados por los estudiantes para abordar la situación fueron básicamente tres, los cuales se pueden sintetizar así:  Buscar todos los divisores propios de los números escogidos y se organizan en igualdades entre cada número y la suma de sus divisores al lado derecho, verificando si cumple o no la igualdad, es decir, si era posible o no descomponer el número mediante sus divisores propios. Por ejemplo, un grupo de 2 estudiantes verificó que los números naturales entre 7 y 27 no podían ser descompuestos de esta manera, realizando adecuadamente el procedimiento en cada caso, y encontró que el 28 sí cumplía la condición planteada para ser perfecto.  Buscar divisores propios del número escogido, pero sin tener en cuenta la totalidad de estos, es decir, expresar igualdades entre el número y algunos divisores propios sin verificar el cumplimiento de la condición respecto a tomar todos los divisores propios (18 estudiantes).  Buscar todos los divisores propios del número escogido, organizarlos para hacer las sumas al lado izquierdo de la igualdad y escribir el “resultado” al lado derecho, es decir, no reconociéndolas como descomposiciones del número (2 estudiantes). Toma de decisiones. Teniendo en cuenta que la mayoría de los estudiantes encontraban divisores del número escogido y que realizaban un procedimiento que posibilita realizar la descomposición del número en sus factores primos, pero no reconocían todos los divisores posibles del número, se decidió para la siguiente sesión compartir con ellos un procedimiento que les permitiría reconocer cuántos divisores tiene dicho número, utilizando algunos de los números escogidos por ellos en la sesión anterior. El procedimiento de cómo saber la cantidad total de divisores de un número, a partir del proceso de descomposición en sus factores primos,1 se explica a los estudiantes a partir de algunos ejemplos como los siguientes:. 1. Se parte del número de veces que se repite cada divisor primo (exponente), se le suma 1, y los números así obtenidos se multiplican entre sí. Por ejemplo, 12=22x31, entonces 12 tendrá (2+1) (1+1)=6 divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Cuando sólo hay un divisor primo, el número total de divisores se obtiene sumando 1 a las veces que se repite dicho divisor. Por ejemplo, como 8=23, el número de divisores es 3+1=4, en efecto, los divisores son: 1, 2, 4 y 8, y de ellos tres son propios.. 28.

(32) Figura 5.. Procedimiento para hallar los divisores de un número.. En el trabajo en pequeños grupos, los estudiantes usaron el procedimiento explicado por la profesora, no sólo para encontrar el número total de divisores de los números escogidos por ellos, así como cuáles eran los divisores de dichos números, sino también para verificar si tales números eran o no perfect perfectos, os, realizando la suma de sus divisores propios. En síntesis, se evidenció que los estudiantes lograron lograron:  Encontrar la cantidad total de divisores de un número cualquiera y reconocer sus divisores propios.  Expresar igualdad igualdades es mediante la descomposición de números, números, situación que posibilita promover over el pensamiento relacional (Molina, 2006, p.361) p.361).  Reconocer equivalencias entre expresiones numéricas tomando como contexto la situación propuesta. Como actividad complementaria a la realizada en la sesión de clas clase, see les propuso una tarea para realizar en la casa, orientada a generar diferentes formas de descomposición de los números y reconocer equivalencias entre expresiones aritméticas donde las operaciones no necesariamente estén al lado izquierdo de una igualdad, igualdad es decir, para posibilitar una interpretación del signo igual diferente al operacional. La tarea complementaria fue la siguiente: Tarea complementaria: “Buscando Buscando números amigos”. amigos” Dos números son amigos cuando la suma de los divisores propios de cada número, da como resultado el otro número. Por ejemplo, los números 220 y 284 cumplen esa propiedad ya que: = {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110} y 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 = {1, 2, 4, 71, 142} y 1+2+4+71+142=220 Luego, los números 220 y 284 son amigos. Encuentra otros números amigos.. Esta actividad fue trabajada realizada por todos los estudiantes, a partir de una búsqueda en internet; si bien encontraron parejas de números amigos, debieron realizar procedimientos para 29.

(33) hallarr sus divisores propios y la descomposición requerida. En la siguiente sesión, cada estudiante entregó su trabajo y uno de ellos socializó su trabajo ante el grupo, el cual se presenta a continuación:. Figura 6. Respuesta de estudiante a la tarea complementaria 22.. Con las tareas propuestas, para buscar números perfectos y números amigos amigos,, los estudiantes trabajaron con igualdades que que,, por ejemplo, presentaban las operaciones al lado derecho del signo igual, además además, pudieron reconocer las las propiedades de la descomposición y magnitud en esa clase de igualdades numéricas, situación que les había generado cierta dificultad en el instrumento de indagación. En síntesis, y teniendo en cuenta los propósitos de las Tareas 1 y 22,, la mayoría de los estudiantes (94%) rreconoció las propiedades de la compensación y la magnitud en igualdades numéricas, mediante la composición y la descomposición de los números, realizando operaciones al lado derecho de la igualdad o a los dos lado ladoss (Categoría C1); aunque algunos (6%) realiza ealizaron únicamente cálculos numéricos, sin considerar las propiedades aritméticas involucradas (Categoría C2). Toma de decisiones. Con base en los logros obtenidos, se decid decidió continuar con la siguiente tarea prevista, orientada a abordar igualdades co condicionadas dicionadas (otra forma de interpretar el signo igual),, en un contexto asociado a la cotidianidad, relacionado con tres ecuaciones que permiten determinar el peso, la estatura ide ideal al de los estudiantes con edades entre los 11 y 17 años, así como el índice de masa corporal. Reflexionando a cerca de la problemática de obesidad y desnutrición en Colombia. 4.3 Tarea 33. ¿Cómo estás de peso y talla? Los extremos de la malnutrición en Colombia: Obesidad y desnutrición. desnutrición Se estudió un artículo de la Asociación Colombiana de Nutrición Clínica (2016) sobre problemas de obesidad y desnutrición. SSee hizo una reflexión con los estudiantes acerca del problema, compartieron las dietas saludables que conocían y algunos de sus hábitos alimenticios.. 30.

(34) Objetivo: Objetivo: Reconocer e interpretar el significado del signo igual como relación de equivalencia, particular particularmente mente haciendo uso de igualdades condicionadas. Descripción general: Todos llos os estudiantes abordaron la tarea y dieron respuesta a la situación planteada planteada, presentándose los siguientes procedimientos que permitieron obtener la clasificación: Procedimiento 1(5 (5 estudiantes) (En los numerales 1y2) Los estudiantes resolvieron las ecuaciones sin considerar la posición de los números en la fórmula. (No es explícito el signo igual) Los estudiantes presentaron una estrategia no formal para resolver la situación, en donde la igualdad condicionada les sirvió para dirigir las operaciones, sin tener en cuenta la organización de la escritura, pero compararon las cantidades resultantes.. Procedimiento 2 (15 estudiantes) (En los numerales 1y2) Los estudiantes resolvieron las ecuaciones utilizando el signo igual para unir los resultados relacionándolos. Además, para comparar cantidades a los dos lados de la igualdad.. Procedimiento 3 (4 estudiantes) (En los numerales 1y2) Los estudiantes resolvieron la ecuación, usando el signo igual como una expresión de una equivalencia condicionada; manifestaron que si cambiaban la edad, el peso o la estatura la respuesta también cambiaba. La solución fue socializada por la estudiante en el tablero para todos los pparticipantes, articipantes, por considerarse la representación más parecida a la fórmula presentada.. Tabla 4:: Rejilla análisis respuestas de estudiantes, tarea 3.. 31.

(35) Conclusiones manifestadas por los estudiantes al comparar su peso y talla, después de realizar una lectura en clase acerca de una dieta diaria balanceada para las edades correspondientes.. Figura 7. Respuestas de estudiantes comparando peso y talla real.. All comparar su peso y talla con los compañeros, y con el peso ideal estimado, los estudiantes pudieron establecer relaciones de orden: ““es es un poco más alto que yo”, “Cristian mide 160 y yo 150… él es más alto que yo” y relaciones de equivalencia: “tener el mismo peso que” o ““tener tener tanto peso como”, “ser tan alto como” y “tener la misma edad que” que”.. El trabajo desde un procedimiento convencional podría ser un indicador del paso a un nivel de comprensión superior al situacional. Toma de decisiones decisiones:: Se propuso a los estudiantes una tarea tarea complementaria “El El índice de masa corporal de mis familiares” para socializar con sus familiares los temas relacionados con obesidad y desnutrición en Colombia y obtener el IMC de cada uno de ellos. Además, los estudiantes utilizar utilizaron la fórmula dán dándole dole la interpretación adecuada, por ejemplo, un estudiante manifestó “mi papá tiene un IMC entre 19 y 25 entonces está bien”. Otros estudiantes encontraron índices superiores a 25 y reflexionaron con sus familiares, acerca de la obesidad y posibles dietas.. Figura 8. Respuesta de estudiante a la tarea complementaria 3.. 32.

(36) En síntesis, y teniendo en cuenta los propósitos de la tarea 3 y la tarea complementaria, se identificaron las estrategias utilizadas por los estudiantes para interpretar el significado del signo igual en una igualdad condicionada. Los estudiantes pasa pasaron ron de un nivel de comprensión situacional a utilizar un procedimiento convencional en sus soluciones (Con el uso de las ecuaciones) La mayoría de los estudiantes (89%) rreconoc ecuaciones). econoció la igualdad condicionada como una relación de equivalencia (el signo igual expr expresa esa equivalencia cierta para algunos valores), compara compararon los dos lados de la igualdad condicionada y establec establecieron ieron relaciones de orden. (Categoría Categoría C1 C1);; otros estudiantes (11%) realiza ealizaron únicamente cálculos numéricos, sin considerar las propiedades aritmé aritméticas ticas involucradas. ((Categoría Categoría C2). Toma de decisiones. Con base en los logros obtenidos, se decidió proponer la siguiente actividad prevista, para abordar fracciones equivalentes (Otra forma de interpretar el signo igual), considerando algunos datos esta estadísticos dísticos de los países mayores productores de dióxido de carbono en el mundo. 4.4 Tarea 44. Emisiones de dióxido de carbono alcanzan cifra récord a nivel mundial. Los estudiantes observaron los datos estadísticos de los países mayores productores de dióxido de carbono en el mundo y de la producción de dióxido de carbono en Latinoamérica, respondiendo seis preguntas (A Artículo rtículo presentado en el periódico El Espectador, 2016).. Objetivo: Reconocer e interpretar el significado del signo igual como relación de equivalencia, particularmente haciendo uso del concepto de equivalencia en fracciones. Descripción general: Todos llos os estudiantes abordaron la tarea comparando los datos estadísticos presentando los siguientes procedimientos estadísticos, procedimientos: P Pregunta. Procedimiento estudiantes). 1. (14. ¿Qué fracciones representan la producción de CO2 en China, en Estados Unidos y en Canadá?. Los estudiantes pasaron de la representación de porcentaje igualándola con la representación de fracción.. Procedimiento 2 (2 estudiantes). Procedimiento 3 (6 estudiantes). Los estudiantes escribieron la forma de representación de fracción.. Expresaron la solución indicando con palabras la fracción.. 33.

(37) Pregunta. ¿Qué fracciones representan la emisión de CO2 en Nicaragua, Colombia y México?. (15 estudiantes). Compararon ompararon tres maneras de representar el mismo valor numérico, utilizando el signo igual como expresión de una equivalencia numérica. (Molina y Castro, 2006). (5 estudiantes). Compararon las dos fracciones equivalentes utilizando el signo igual, para dar una interpretación bidireccional idireccional a la igualdad.. (2 estudiantes). Compararon ompararon la representación el valor numérico con decimales y fraccionarios utilizando el signo igual.. Tabla 5: 5: Rejilla análisis de respuestas de estudiantes, tarea 4.. En la tarea 4 se identificaron las estrategias utilizadas por los estudiantes para comparar diferentes formas de repres representar entar un valor numérico utilizando el signo igual, teniendo la posibilidad de tener una interpretación diferente al uso operacional que manifestaron en el instrumento de indagación. Se presentó un problema contextual que mediante el análisis de unos datos estadísticos permitió a los estudiantes la interpretación del signo igual como una relación de equivalencia numérica, pasando a un nivel general de interpretación. Con la tarea propuesta, los estudiantes trabajaron con igualdades que no presentaban operaciones eraciones al lado derecho o izquierdo del signo igual, comparando los números en cada lado relacionados como equivalencia numérica, situación que les causó mucha dificultad en el instrumento de indagación.. Figura 9. Igualdades cerradas sin operaciones en el lado izquierdo y derecho del signo igual, tarea 4.. En síntesis, teniendo en cuenta los propósitos de la tarea 4, la mayoría de los estudiantes (90%) rreconoció las igualdades que contienen fracciones, porcentajes y decimales (Sin operaciones a los dos lados de la igualdad), igualdad), como relaciones de equivalencia dando una. 34.

(38) interpretación bidireccional a la igualdad. ((Categoría Categoría C1); C1 ; aunque algunos (10%) rrealizaron ron únicamente ente cálculos numéricos, sin considerar las propiedades aritméticas involucradas involucradas. Toma de decisiones. Con base en los logros obtenidos, se propone la siguiente tarea prevista, orientada a abordar áreas equivalentes, utilizando un artefacto cultural (tangr (tangram), “para para facilitar el proceso de aprendizaje y el camino a un cambio de pensamiento” en este aspecto (Radford, 2012,, p. 285 285). Además del reconocimiento de áreas equivalentes ccon on el tangram tangram, los estudiantes trabajaron con fracciones que permiten tematizar la igualdad como relación de equivalencia equivalencia. 4.5 Tarea 5. “Igual Igual pero distinto distinto”  Dado un Tangram constru construir cuatro figuras, comparando su superficie con la unidad (Tangram). Triángulo grande = , mediano = , pequeño =. , Cuadrado =. , Paralelogramo =.  Con las piezas del Tangram, construye y dibuja figuras equivalentes a. Objetivo: Reconocer e interpretar igualdades que representan áreas equivalentes, equivalentes, cambiando las unidades de medida medida. Descripción general: Todos los los estudiantes abordaron la tarea y dieron respuesta a la situación planteada planteada, buscando distintas estrategias y presentando los siguientes resultados en sus producciones: En la primera parte de la tarea tarea, los os estudiantes recono reconocieron cieron áreas equivalentes, cambiando unidades de medida, realizando composición y descomposición de figuras geométricas, efectuando adición de las fracciones que representan las piezas del tangram. (Se busca la unidad). La estudiante manifestó que el gato completó la unidad, al sumar todas las piezas.. El estudiante comparó y agrupó las fichas fichas, buscando la unidad.. Tabla 6:: Rejilla análisis de respuestas de estudiantes, tarea 5, primera parte.. 35.

(39) En la segunda parte de la tarea los os estudiantes compararon las piezas y observaron que puede haber cambios en la unidad fija de medida medida,, representándolos con igualdades numéricas. numéricas.. Tabla 7:: Rejilla análisis de respuestas de estudiantes, tarea 5, segunda parte.. En síntesis y teniendo en cuenta el propósito de la tarea 5, la mayoría de los estudiantes (77%) rreconoció áreas equivalentes cambiando unidades de medida, medida, realiza realizaron composición y descomposición de figuras geométricas y efectuaron ron adiciones con las fracciones que representan las piezas del tangram tangram,, se pudo observar un cambio en la interpretación únicamente operacional a una interpretación relacional de la igualdad de los estudiantes, en este caso con el uso del tangram (Categoría tangram. ategoría C1) C1);; otros estudiantes estudiantes (23%) rrealiza ealizaron únicamente cálculos numéricos, sin considerar todas las propiedades aritméticas involucradas involucradas. Toma de decisiones decisiones.. Con base en los logros obtenidos durante las cinco tareas anteriores, se decide continuar con la siguiente tarea pprevista, revista, orientada a abordar igualdades abiertas y cerradas similares a las propuestas en el instrumento de indagación, para determinar los avances de los estudiantes relacionados con la interpretación de la igualdad como relación de equivalencia. Las igu igualdades propuestas fueron seleccionadas para los estudiantes, por contener las propiedades aritméticas trabajadas en las tareas anteriores como son conmutativas y composición de números (7+7+9 = 9+14), magnitud (72 × 2 = (56 - 14) ×2) 2) y (10 – 7 = 10 – 4), compensación ((51 51 + 51 = 50 + 52), descomposición (78 – 16 = 78 – 10 – 6), complementaria de la suma y la resta ((14 + 326 – 14 = 312). (Molina, 2006, p. 331). 36.

(40) 4.6. Tarea 6. Equivalencias aritméticas: componiendo y descomponiendo números.  . Completar cuatro igualdades abiertas abiertas y explicar las respuestas. Decir cuales expresiones eran verdaderas o falsas (S (Seis eis igualdades cerradas cerradas)) y explicar las respuestas Escribir tres igualdades verdaderas y tres igualdades falsas, en las que aparezcan sumas y restas.. . Objetivo: Comparar y relacionar los términos a ambos lados del signo igual, teniendo en cuenta las propiedades aritméticas del conjunto de los números naturales en igualdades numericas numericas. Producciones de los estudiantes estudiantes: En esta parte del trabajo se reportan las interpretaciones del signo igual en igualdades cerradas y abiertas manifestadas por los estudiantes estudiantes,, al desarrollar la tarea final. final Se evidenci evidenció la comprensión de las propiedades aritméticas presentes. en las. igualdades y algunas manifestacion manifestaciones es del uso del pensamiento relacional, como se muestra a continuación. Pregunta. Interpretaciones del signo igual. Completa la siguiente igualdad y explica tu respuesta:. Operacional (OP) 1. Se obtiene el resultado de la suma al lado izquierdo para colocarlo en la casilla. 2. Se utilizan cálculos numéricos pero ttiene en cuenta la magnitud a los dos lados de la igualdad. igualdad. a) 8 + 4 =. +5. Síntesis 20 15 10 5. Relacional Compara los dos lados de la igualdad observando los números y la totalidad totalidad. Completa la siguiente igualdad y explica tu respuesta: b). = 25 − 12. Operacional (OP) 1. Se indica que la igualdad está al revés, aunque se coloca el número 13 en el cuadro. 2. Se ubica el número 25 en el cuadro. Relacional Se expresa la relación teniendo en cuenta la magnitud a los dos lados de la igualdad igualdad.. 0 OP 1. OP 2. Relacional. 20 15 10 5 0 OP 1. OP 2. Relacional. 37.

(41) Completa la siguiente igualdad y explica tu respuesta: c) 14 +. = 13 13+4. Operacional (OP) 1. La suma efectuada al lado izquierdo es el resultado o no del primer número del lado derecho. 2. Se utilizan cálculos numéricos, considera onsiderando la magnitud. magnitud acional Relacional 1. Se expresa la relación de compensación en la suma suma.. (13 es menor una unidad) 2. Se compara la igualdad relacionando 17 con el número desconocido del lado izquierdo.. Completa la siguiente igualdad y explica tu respuesta: d) 13 – 7=. −6. ¿La siguiente expresión es verdadera (V) o falsa (F)? a) 7+7+9 = 9+14. Operacional (OP) 1. La suma efectuada al lado izquierdo es el resultado del primer número del lado derecho. 2. Se utilizan cálculos, considerando considera la magnitud magnitud. Relacional 1. Se expresa la relación de compensación en la resta. (7 es mayor una unidad) 2. Se compara la igualda igualdad d manifestando que el valor desconocido debe ser una unidad menor que 13.. Operacional (OP) Se utilizan cálculos a los dos lados de la igualdad, considerando la magnitud.. 16 14 12 10 8 6 4 2 0 OP 1. b) 72×2=(56 14)×2 72×2=(56-14)×2. Relacional Relacional 1 2. 16 14 12 10 8 6 4 2 0 OP 1. OP 2. Relacional Relacional 1 2. 16 14 12. Relacional 1. Se reconoce la composición (7+7 = 14), buscando compensación. 2. Se reconoce la composición (7+7 = 14) y la propiedad conmutativa de manera explícita.. 10 8 6 4 2 0 OP. ¿La siguiente expresión es verdadera (V) o falsa (F)?. OP 2. Operacional (OP) Se utilizan cálculos a los dos lados de la igualdad, considerando la magnitud. Relacional 1. Se reconoce la magnitud comparando 72 con 56 56-14 14 sin realizar la multiplicación. 2. Se reconoce la magnitud y se compara la totalidad a los dos lados de la igualdad.. Relacional 1. Relacional 2. 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 OP. Relacional 1. Relacional 2. 38.