Estudi de l'3He bidimensional amb mètodes de Monte Carlo quàntics

$SqQGL[+

&RUUHFFLyGHOHVWDXOHVGHODIXQFLy

K

GHEDFNIORZ

La funció η de backflow ha estat tabulada i la constant de backflow és la òptima per

a aquesta forma de la funció, que només conté índexs de dues partícules. Si es modifiqués aquesta descripció a dos índexs caldria evidentment, no només refer les taules, també tornar a optimitzar la constant de backflow.

A l’apèndix C s’ha inclòs correccions a la part antisimètrica de la funció d’ona que aporten efectes a 3 partícules. Es pretén afegir aquests nous termes sense alterar els resultats obtinguts per al backflow. Ara bé, si es mira la forma dels nous termes inclosos a la fase :

η r_jk η r r k j

jl jl

l j

3 8

3 8

≠ ≠

∑

⋅

∑

&

β r r r_{jk jk}a η r r jk

b k j

jl jl

b l j

3 8

3 8

≠ ≠

∑

⋅

∑

pot succeir que els índexs k i l coincideixin, i això suposaria incloure nous termes a dues

partícules. Com que acceptem que la descripció a dos cossos ja és correcte, s’hauran d’eliminar aquestes contribucions.

Per exemple quan es fan càlculs afegint la segona correcció, si k=l apareixerà el

terme:

β r_jk η r r r_{jk jk jk}a k

N

3 8 3 8

2

1

=

∑

que conté només les partícules j i k. Per eliminar-lo es pot incloure amb signe negatiu en la

construcció de les taules de η, construint així les noves taules de la funció i les seves

derivades:

η

3 8 3 8

r_ij =η r_ij −λ β_N

3 8 3 8

r_ij η r r_{ij ij}2 =η

3 8

r_ij

₄

1−λ β_N

3 8

r r_{ij ij}2

₉

Apèndix H

−λ η_N

3 8 3 8

r_ij

4

β’’r r_{ij ij}2+₄β’

3 8

r r_{ij ij} +₂β

3 8

r_ij

9

La constant s’ha indicat com a λN per a diferenciar-la de la constant de backflow, ja

que segons hagi estat la construcció del programa pot haver-hi algun factor de diferència. En el cas que es vulgui introduir la primera correcció també cal tenir present que

s’ha d’eliminar el cas k=l, que dóna contribucions de la forma:

η r_jk r_jka k

N

3 8

2 1

=

∑

En aquest cas per eliminar els termes no desitjats cal redefinir la funció com:

η

3 8 3 8

r_ij =η r_ij −λ η_N

3 8

r_ij 2 =η

3 8

r_ij

₄

1−λ η_N

3 8

r_ij

₉

$SqQGL[*

/D IXQFLy JU GHO VLVWHPD ELGLPHQVLRQDO VHQVH

LQWHUDFFLy

La funció g(r) del sistema sense interacció es defineix de la següent manera:

g r_{( )} l k rF = −1

2

₁

₆

ν

on ν és la degeneració del sistema: 1 per al polaritzat i 2 per al no polaritzat. La

funció l(kFr) és la integral:

l k r_F kFdkeikr

( )= ν

I

π σ

2 2 0

1 6

& &&

Pot demostrar-se fàcilment que

d eikr J kr

ϕ ϕ π

ϕ

ϕ π _cos

= =

I

=

0 2

0

2

1 6

Amb aquest resultat es pot reescriure l com:

l k r_F kFkJ kr dk

( )= ν

I

π σ π

2 2 2 0 0

1 6

1 6

i substituint a g(r) queda:

g r kFkJ kr dk

( )= −1 1 4

I

2

2 2

4 _{2 0} 0

2

ν ν π π σ

1 6

1 6

Per fer aquesta integral és bo emprar el canvi de variable: t k

k_F

= ja que a les

taules es troba el següent resultat (Gradsthein 6.561, 5 pàgina 683):

x J ax dx

a J a

ν

ν ν ν

+

+

I

1 = > −

0 1

1

1

1

1 6

1 6

, Re

1 6

transformant-la així la integral fàcilment queda resolta:

k tJ tk r k dt k tJ tk r dt k

r J k r

F 0 F F F F F F

0

1 ₂

0 0

1

1

1

6

1

6

1

6

I

=

I

=

Apèndix G

Per al cas no polaritzat, ν=2 i kF2=2πσ: Per al cas totalment polaritzat, ν=1 i

kF2=4πσ . Això ens dóna per a tots dos sistemes un mateix resultat, en el qual i per

diferenciar-lo dels resultats obtinguts per càlcul, indicarem explicitament que es tracta del sistema lliure:

g r J k r

r

lliure_{( ) 1} 1 1 F

2

2 πσ

1 6

S’observa que la funció per a totes les densitats convergeix cap a un mateix

valor, 1

2, quan la distància tendeix a zero. Això pot demostrar-se senzillament amb un

desenvolupament en sèrie de J1:

J rk rk

r k

t t

rk r k

F F F t t F F 1 2 2 0 2 2 2 1 4

1 1 2

1

1 2

4

1 3

1 6

₀

₅

_{0 5}

_{0 5}

¦ ˜ ˜

!

"

$

#

#

#

#

f !Γ Γ Γ ...

en el qual es troba el límit per a r petites:

lim r F J rk r → −

= 0 1 2 2 1 1 πσ

1

6

= −

− +

!

"

$

#

#

= − = →

lim ... .

r

F F F

r

rk r k k

0 2

2 2 2 2

2

1 1 1

2 1

2 4 3 1

1

4 2 0 5

πσ Γ

1 6

Γ

1 6

πσ Γ

1 6

En el treball es fan servir també les funcions de correlació parcials corresponents a les parelles de partícules up-up i up-down. Aquestes estan relacionades amb la funció total per l’eqüació:

glliure_{( )}r g _{( )}r g _{( )}r

1

2

3

8

i les funcions parcials són:

g r J k r

r

lliure F

( ) 1

2 1

2

2 πσ

1 6

$SqQGL[)

0RGLILFDFLRQV D OD IRUoD L O¶HQHUJLD LQWURGXLGHV SHU OD

IXQFLyGH-DVWURZPRGLILFDGD

Expressió general per a la modificació de la força.

Escrivim F i_Ja

1 6

_{per a indicar la component a de la força provinent de la part}

Jastrow que actua sobre la partícula i:

F i r

r r

r r

r

r F r

r r J

a ia J

J J J j b jb i

a J _j

b jb

i a

1 6

= ∇

_{1 6}

1 6

=

_{1 6}

∂Ψ

1 6

1 6

∂ ∂

∂ =

∂ ∂

2 Ψ 2 1

Ψ Ψ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

El terme F r_J

j b

~

1 6

té l’expressió de FJ sense cap canvi funcional, però havent-hi

substituit les coordenades modificades en el lloc de les posicions reals. En termes de la funció de Jastrow (veure el capítol 3):

F r u r r

r J _j b jl jlb jl l j ~ _{’ ~} ~ ~

1 6

=

3 8

<

∑

2 amb u una McMillan: u r b

r ij

ij

~ ~

3 8

=

5

Per altra banda l’escriptura F r_A

j b

1 6

representa la força antisimètrica en

coordenades reals.

Es calcula a continuació la forma general d’aquesta nova expressió de la força.

Es tracta en definitiva, de trobar una expressió pràctica per a ∂

∂ ~ r r j b i a . ∂ ∂ = + ∂ ∂ ~ r r F j r j b ia ij ab A b ia

δ τ

1 6

∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂

=

∑

∑

F j r r k

r D k r

k

r D k

k r D k r Ab i a i a j b k i a j b j b i a k

1 6

₂ ϕ_α

_{1 6 1 6}

₂ ϕ

_{1 6 1 6}

ϕ

1 6

1 6

α

α α

α α

= ⋅2

∑

∇ ∇_ia + ∇ ∇

j b j b i a k

k D k k D k

ϕ_α

1 6 1 6

_α ϕ_α

1 6

_α

1 6

3

8

Apèndix F ∇ = ∂ ∂ ∂ ∂ = − i a i a a

D k D k

i

i

r D i D k k i

α α β β α β β β ϕ ϕ ϕ

1 6

1 6

_{1 6}

1 6

1 6 1 6

1 6

Amb la qual cosa s’obté:

∂

∂ = ⋅

∑

−

F j

r k k k D k k k D i D k k i

Ab

ia

a b ki kj b kj a

k

1 6

₂ α α

_{1 6}

_{1 6}

_{1 6}

_{1 6 1 6}

_{1 6}

α α α α α β β β ϕ δ δ ϕ δ ϕ

Tant a efectes de claredat analítica com de simplificació en l’implementació en el programa de càlcul, ha estat pràctic definir les quantitats a tres i quatre indexs:

H j

r D j k j D j

b jj jb b ≡ ∂ ∂ = ϕ ϕ α α α α α

1 6 1 6

1 6 1 6

H_bij k i D j b

≡ αϕα

1 6 1 6

α

HD_cbjj j D j k k j D j

j c j b c b ≡ ∇ ∇ ϕ_{α α} = α αϕ α α

1 6 1 6

1 6 1 6

Amb elles l’escriptura es simplifica:

∂

∂ = ⋅ −

F j

r HD H H

Ab ia ab ii ij b ji a ij

1 6

₂

₃

_δ

₈

quedant finalment per a la força sobre la partícula i:

F i_Ja F r HD H H

J _j

b ij ab

abii ij bji aij

1 6

=

1 6

~ ⋅

4

δ +2τ

3

δ −

8

9

Expressió general per a la modificació de l’energia.

La dificultat resideix, bàsicament a trobar la derivada de la força. L’expressió general d’aquesta derivada és:

∇

∇

= ∇

= ∇ + − = i a i a J J

ia Ja ia J _j

b

ijab abii ij bji aij

F i F r HD H H

Ψ Ψ 1 2 1 2 2

1 6

4

1 6 4

~ δ τ δ

9

9

= 1∇ ⋅ + − +

2 i 2

a J _j b ij ab ab ii ij b ji a ij F r

1 6 4

~ δ τ HD δ H H

9

+1 ⋅ ∇ + −

2 F rJ _j 2 HD H H

b i a ij ab ab ii ij b ji a ij ~

1 6

4

δ τ δ

9

La derivada que apareix en el primer sumant d’aquesta expressió és senzilla:

∂ ∂ ∂

b b c J

b

r F r

∇_iaH_aij = HD_aaij −H H_aii _aij Es fa convenient definir encara una nova quantitat:

HDD_abii k k k i D i

a b a

≡ α α αϕ_α

1 6 1 6

_α

i així escriure una fórmula més compacta:

∇_ia

4

δ_ikac+2τ

2

HD_aciiδ_ik−H H_cki _aik

7

9

=

=2τ δ

4

_ij

2

HDD_abii −2HD H_abii _aii

7

+2H H H_aii _aij _bji−HD H_aaij _bji

9

Les relacions anteriors poden obtenir-se fàcilment derivant. La notació fa esment

a la seva construcció, ja que un cop definida H, HD i HDD corresponen bàsicament, a la

primera i segona derivada d’aquella.

En totes aquestes expressions cal vigilar molt, ja que com es pot veure a partir de

les seves definicions, les quantitats H, HD i HDD canvien si es permuta l’ordre dels

indexs.

L’expressió general és doncs:

∇

∇

= ∂ ∂ + − +

∑

i a i a J J J _j b k c ik ac ac ii ik c ki a ik k F r

r HD H H

Ψ Ψ ~ ~

1 6

2

7

4

δ 2τ δ

9

+1 ⋅ − + −

2 F rJ _j 2 HDD 2HD H 2H H H HD H

b ij ab ii ab ii a ii a ii a ij b ji aa ij b ji ~

1 6

τ δ

4

2

7

9

En haver emprat una funció tipus Jastrow, es fa convenient escriure la derivada

de FJ en termes d’aquesta funció u . Aquest resultat és el mateix que s’obtenia abans

d’incloure la funció de guia, ja que totes les coordenades són ~r :

∂ ∂ = ∂ ∂

= ∂ ∂ + ∂ ∂

!

"

$

#

#

= < <

∑

∑

~ ~ ~ ’ ~ ~ ~ ’’ ~ ~ ~ ~ ~ ’ ~ ~ ~ ~

r F r r u r

r

r u r

r r

r

r u r r

r r kc J _j b kc jl jl b jl l j jl jl kc jl b jl jl kc jl b jl l j

1 6

2

3 8

2

3 8

3 8

= +

−

!

"

$

#

#

− <

∑

2 u r r r_{2 3}

r u r r

r r r jl jl c jl b jl jl bc jl jl c jl b jl l j jk lk

’’ ~

3 8

~ ~_~ ’ ~

3 8

δ_~ ~ ~_~

3

δ δ

8

Quan s’inclou la funció de guia el procés de càlcul es complica, ja que no només

Apèndix F

a) a partir de les posicions reals r es calcula la força FA

b) es calcula Fg i les posicions modificades ~r de totes les partícules

c) se segueix el procés habitual de càlcul però amb les correccions energètiques que introdueixi la funció de guia

$SqQGL[(

'HVHQYROXSDPHQWDQDOtWLFGHODFRQWULEXFLyDO¶HQHUJLDGH

OHVFRUUHODFLRQVGHEDFNIORZLFRUUHFFLRQV

De la nova fase obtinguda a l’apèndix B, els dos primers sumands són els ja coneguts:

Ω_{op a i}a

i N

q r =

=

∑

1

ones planes

Ω_{back a i}a

i N

Aq Z =

=

∑

1

backflow

Ω =

=

∑

Cq W Z_{a i b}a _ib i

N

1 6

1

correccions al backflow

Es troben a continuació les contribucions a l’energia de cadascun d’aquests termes.

Contribució a l’energia del terme de backflow.

Es tracta de trobar la contribució a l’energia cinètica provinent de la part antisimètrica de la funció d’ona, és a dir, calcular l’expressió:

∇

i

⋅

∇

+ ∇

∇

a

A A

i a

A A

i

a i

a A A Ψ

Ψ

Ψ Ψ

Ψ Ψ

Per fer-ho usarem un resultat molt útil a l’hora de trobar les derivades d’aquesta part antisimètrica de la funció d’ona, resultat que es demostra a l’apartat C.1 d’aquest apèndix:

∇

= ∂

∂

∑

∑

ia A j

a

n _r

r D j

Ψ Ψ

ϕα

Apèndix E

α: orbitals, i,j: partícules, a: component

i Ψ_A és la part antisimètrica de la funció d’ona: el determinant D format pels elements

ϕα

& r_i

1 6

. Per al sistema sense backflow els orbitals ϕα són ones planes:

ϕ_α

1 6

r&_i =exp

3

ik r& &_{α i}

8

però en introduir el backflow passen a ser la combinació més complexa:

ϕα α λ η

& & & &

r_i ik r_i r r_{ij ij} j i

1 6

=

+

3 8

≠

∑

exp

formalment igual a la d’ones planes si introduïm la nova coordenada r’:

& & &

r_j r_j r r_{jk jk} k k j n ’ = + = ≠

∑

λ η

3 8

1

E.1. Demostració d’una identitat útil en el càlcul de

∇i

a A A Ψ Ψ

Anomenarem D al determinant format pels orbitals ϕ_α.

D

r r r

r r r

r r r

N N

N N N N

=

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

& & &

& & &

& & &

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

... ...

... ... ... ...

...

i D al determinant de la inversa transposada de la matriu corresponent a D.

Es tracta de veure com canvia el determinant en moure les partícules des de la posició r a la r’. Imaginem que canviem la posició de la partícula j en la quantitat δr&_j. Comencem canviant la columna 1 del determinant:

q₁ =

∑

ϕ_α r D_{1 α} 1

α

’

1 6 1 6

amb: ϕ_{α r} ϕ_{α r} ϕα r δ r_jb rjb

1 1

1

’

1 6

=

1 6

+∂

1 6

∂

q r D r

r r D

r

r r D

b jb b jb

1 1

1 1

1 1 1 1

=

+∂

= + ∂

∑

ϕ_{α α} ϕα δ

∑

ϕ δ α α α

D k D k c D q k

α α

α

’

1 6

1 6

1 6

= − 1

1

essent: c_k =

∑

ϕ_β r D k_β

β

1’

1 6 1 6

que pot arribar a expressar-se així:

D k D k

r

r r D D k

q j

b jb

α α β α β β ϕ δ

’

1 6

1 6

1 6

_{1 6 1 6}

= − ∂ ∂

∑

1 1 1

Havent canviat ja la primera columna, i fent servir el resultat anterior, canviem ara

la segona columna per a obtenir q₂:

q r D r

r_jb r Djb

2 = 2 2 = +1 2 2

∂ ∂ =

∑

ϕα α

∑

ϕ δ α α α α ’ ’ ’

2 7 1 6

1 6

1 6

= + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂

∑

∑

1 2 2 1 2 1

1 2 1 ϕ δ ϕ ϕ δ δ α α α α β α β αβ r

r r D q

r r

r

r r r D D

j b j b j b j c j c j b

1 6

_{1 6}

1 6

1 6

_{1 6 1 6}

Si ara repetíssim el càlcul per a la tercera columna obtindríem un resultat similar a aquest darrer però amb nous termes. I aquí està el punt important: fixem-nos que el segon

sumant ja és d’ordre

3 8

δr&_j 2. Si seguíssim obtindríem termes d’ordres encara superiors. Amb això ben present retornem a la definició de derivada i apliquem-la a la part antisimètrica de la funció d’ona:

∇ = − = − → → i a A r

A i A i

i

a _r

A i A i

i a

ia ia

r r

r

q r r

r

Ψ lim Ψ Ψ lim Ψ Ψ

’

δ 0 δ δ 0 δ

& & & &

2 7

1 6

1 6

1 6

i per tant podrem escriure:.

∇ = − = ∂ ∂ → =

∑

∑

i a A

A r ia

j ia j n ia q r r

r D j

Ψ

Ψ δlim

α α α δ ϕ 0 ₁

1

3 8 1 6

ja que els termes successius tenen com a mínim un factor

3 8

δr&_j , que n’anul·len tota

Apèndix E

E.2. Càlcul de

∇i a A A Ψ Ψ ∇ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂

∑

∑

∑

∑

= = i a A A j i a j n j j b j n j b i a r

r D j

r

r D j

r r Ψ Ψ ϕ_α ϕ α α α α α ’ ’ ’ ’

3 8 1 6

3 8 1 6

1 1

Calculem per separat les derivades segons que sigui j=i o j≠i.

Cas j≠i.

∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂

= − +

≠

∑

r r r r

r r r

r r r r r r r j b ia ij jk ia

jkb ij

jk b ia k j ij ij a ij b ij ij ab ’ ’ ’

λ η

3 8

η

3 8

λ η

3 8

η

3 8

δ

ja que: ∂ ∂ = r r r r ij ia ij a ij ; ∂ ∂ = r r ij b ia ab δ

Cas j=i.

∂ ∂ = + ∂ ∂

= + ∂∂ + ∂ ∂

= ≠ ≠

∑

∑

r

r r r r r

r

r r r

r r i b i a ab i

a ik ik

b k i

ab ik ik

i a ik b ik ik b i a k i ’ ’

δ λ η

1 6

δ λ η

1 6

η

1 6

= +

+

≠

∑

δ_ab λ η _ik ik η δ

a ik b ik ik ab k i

r r r

r r

’

1 6

1 6

Definim les quantitats:

T r r r

r r

ij ab

ij

ija ijb

ij ij ab = −

+

λ η’

3 8

η

3 8

δ

T r r r

r r

ii ab

ab ik ik

a ikb ik ik ab k i = +

+

≠

∑

δ λ η’

1 6

η

1 6

δ

H r

r D j

b jj j j b = ∂ ∂ ϕ_α α ’ ’

3 8 1 6

E.3. Càlcul de

∇

∇

i a i a A A Ψ Ψ

Amb els resultats anteriors desenrotllem aquest terme. L’expressió es dividirà en

tres sumants, als que s’anomenarà (a), (b) i (c), i que per la seva dificultat es tractaran per

separat. Definint les quantitats adients es pot arribar a una expressió molt compacta i pràctica per a la seva implementació en un programa.

En el que segueix s’usarà la següent notació:

*∇’_ja _{indica derivada respecte a la variable} r_j’a

*∇a_j indica derivada respecte a la variable r_ja

* el conveni d’Einstein, sobreentenent les sumes quan hi ha índexs repetits

∇

∇

= ∇

= ∇ ∇

= = =

∑

∑

i

a ia a

a i a b jj ij ab j n i a j b j j n ij ab

H T r D j T

Ψ

Ψ _{1 1}

’_ϕ ’

α

3 8 1 6

α

que podem separar en els tres termes:

(a) = ∇ ∇ +

=

∑

i a j b j ij ab j n

r D j T

’_ϕ ’

α

3 8 1 6

α

4

9

1

(b) + ∇ ∇ +

=

∑

j b j i a ij ab j n

r D j T

’_ϕ ’

α

3 8

α

1 6

1

(c) + ∇ ∇

=

∑

jb j ia ijab j

n

r D j T

’_ϕ ’

α

3 8 1 6

α

1

Càlcul d’(a).

∇ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ ia

ia kc

k c

ia

ikac kc

r r r r T ’ ’ ’ ∇ ∇ = ∇ ∇ =

∑

i

∑

a j b j ij ab j k c j b j ik ac ij ab j

r D j T r D j T T

’_ϕ ’ ’ ’_ϕ ’

α

3 8

α α α

4

9 1 6

3 8 1 6

=

∑

δ α αϕ =

∑

α α

jk c b j ikac ijab

j

cbjj ikac ijab

j

k k

3 8 1 6

r D j T T’ HD T T

Apèndix E

Càlcul de (b)

Trobem primer la derivada de D j_α

1 6

∇_ia = −

∑

_ilac∇_lc _l = −

∑

l

ilac clj

l

D j_α

1 6

T ’ϕ_β

1 6 1 6 1 6

r D j D l_{β α} T H D l_α

1 6

_.

que substituint-la ens donarà:

∇ ∇ = − ∇ ∇ =

∑

j

∑

b j i a ij ab j j b j il ac l c l jl ij ab

r D j T r T r D j D l T

’_ϕ ’ ’_ϕ ’ ’_ϕ ’

α

3 8

α

1 6

α

3 8

β

2 7 1 6 1 6

β α

= −

∑

∇_jb _{j ij}ab∇_lc _l = −

∑

jl il ac b jj ij ab c lj il ac jl

r D l T r D j T H T H T

’_ϕ ’ ’_ϕ ’

α

3 8 1 6

α β

2 7 1 6

β

Càlcul de (c)

Ens cal trobar l’expressió de ∇_iaT_ijab, que està dins d’un sumatori sobre j.

Distingirem entre els casos i=j , i≠j . Farem us de les expressions per a T_ijab _derivades

anteriorment. Cas j≠i.

∇ −

+

%

&K

'K

(

)K

*K

= i a ij ij a ij b ij ij ab

r r r

r r

λ η’

3 8

η

3 8

δ

aplicant que: ∂

∂ = r r r r ij i a ija ij

i ∂

∂ = r r ijb ia ab

δ , i simplificant s’obtenen les següents expressions:

per a b≠a:

∇ = − +

−

!

"

$

#

#

≡ i a

ijab ij

ij a ij b ij ij ijb ij ij a ij b ij ijab

T r r r

r r

r r

r r

r EB

λ η’’

3 8

3 8

η’

3 8

3 8

3 8

3 8

2 2 2 3

per a b=a:

∇ = − + −

!

"

$

#

#

≡ i a ij aa ij ij a ij ij ija ij ij a ij ij aa

T r r

r r

r r

r

r EB

λ η’’

3 8

3 8

η’

3 8

3 8

= ∂ ∂ + + −

!

"

$

#

#

+ ∂∂

= ≠

∑

λ η’’r r η’ δ η’ δ

r r r

r r r r r r

r r r r r r ik ik ia

ika ikb

ik ik ik ik b ik a ab ik

ika ikb

ik

ik ik

ia

ab

k i

1 6

1 6

2 7

_{1 6}

1

2

2

Separant com en el cas anterior tenim: per a b≠a:

∇ = +

−

!

"

$

#

#

≡ ≠

∑

i a ii ab ik ik a ik b ik ik ik b ik ik a ik b ik ik k i ii ab

T r r r

r r

r r

r r

r r EB

λ η’’

1 6 2 7

η’

1 6

1 6

2 7

2

2

2

3

per a b=a:

∇ = +

−

!

"

$

#

#

≡ ≠

∑

i a

iiaa ik

ika ik ik ik a ik ika ik k i iiaa

T r r

r r

r r

r

r EB

λ η’’

1 6 2 7

η’

1 6

1 6

2 7

3 2 3 3 3

Amb aquests termes ja calculats finalment podrem escriure:

∇ ∇ = ∇ =

= = =

∑

j

∑

∑

b j i a ij ab j n b jj i a ij ab j n b jj ij ab j n

r D j T H T H EB

’_ϕ ’

α

3 8 1 6

α

1 1 1

Podem ara unir els resultats per als termes (a), (b) i (c) i obtenir l’expressió

buscada: ∇

∇

=

∑

−

∑

+

∑

i a i a A A

cbjj ijac ijab

j

bjl ijab clj ilac

jl

bjj ijab

j

HD T T H T H T H EB

Ψ Ψ

Aquesta expressió coincideix amb la donada per Kwon, Ceperley i Martin en l’apèndix B de l’article publicat en PRB 48, 12037(1993).

E.4. Resultat complet per a la contribució del backflow a l’energia cinètica.

E

m HD T T H T H T H EB H T

cin cbjj ijac ijab bjl ijab clj ilac

l

bjj ijab bjj ijab

ij

= −

− + +

!

∑

"

$#

∑

!2

2

Apèndix E

Contribució a l’energia dels nous termes.

Es calcula a continuació l’expressió per a les contribucions a l’energia cinètica del tercer terme de la fase:

Ω =

%

&

+

'

(

)

*

= ≠ ≠ ≠ ≠

∑

Cq W Z_{a i b}a _ib

∑

q C

∑

r r r

∑

r r C

∑

r

∑

r r i

N

a ik ik

a ik b il il b l i ik k i k i il il a l i

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1

=

i=1 N

β η η η

La utilitat d’usar les noves coordenades ~r_ia r AZ BT C W Z Y

ia ia ia i b

a

ib ia

= + + +

4

1 6

−

9

més amunt definides, és que, tal com s’ha fet a l’apèndix B, es poden construir unes

quantitats a quatre índexs T_ijab_{, que no són més que les derivades} ∂

∂ r r j b i a ’

. Recordem que

l’energia cinètica és un terme de la forma: 1

4F R F Ri a

i a

i

a ia

& &

3 8 3 8

+ ∇

∇

ΨΨ

, i que es pot

escriure: ∇ = ∂ ∂ ∂ ∂ ≡

∑

∑

∑

= =

ia A

A j j b j n j b i a b jj ij ab j n r

r D j

r

r H T

Ψ Ψ ϕ_α α α ’ ’ ’

3 8 1 6

1 1

D’aquesta forma en canviar la fase únicament s’han de tornar a calcular les

quantitats T_ijab_{i les seves derivades, i afegir els nous termes als anteriorment calculats. Això}

fa dels nous càlculs analítics un procés més sistematitzat i a l’hora en simplifica enormement la programació, ja que només cal anar a canviar les definicions d’aquests tensors.

E.5. Contribucions del sumant C r_jk r r

k j

jk jl

l j

η

3 8

η

3 8

≠ ≠

= ∂ ∂ ⋅ + ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂

≠ ≠ ≠ ≠

∑

η’r r

∑

η

∑

η

∑

η’ η

r r r r r

r

r r r

r r jk jk i a k j jl jl c l j jk k j jl jl i a jl c jl jlc i a l j

3 8

3 8

3 8

3 8

3 8

on les derivades parcials són:

∂ ∂ = − ∂ ∂ = − r r r r r r r r jk ia jk a jk ji jk a jk ki jl c ia

ac ji ac li

δ δ δ δ δ δ

i s’obté l’expressió general:

T r r

r r r

ij ac

jk ij ki

k j jka jk jl jl c l j = − ⋅ + ≠ ≠

∑

η’

3 83

δ δ

8

∑

η

3 8

+ ⋅

− + −

≠ ≠

∑

η r

∑

η r r r δ δ η δ δ δ

r r jk k j jl jl a jl c jl

ji li jl ac ji li

l j

3 8

’

3 8

3

8 3 8 3

8

En el càlcul numèric resulta pràctic distingir entre els quatre possibles casos segons que els índexs siguin iguals o diferents:

Cas _ia c_≠≠_j

T r r

r r r r r

r r r

ijac ji

jia ji

jl jlc

l j

jk ji

jia jic

ji k j = − ⋅ +

−

≠ ≠

∑

∑

η’

3 8

η

3 8

η

3 8

η’

3 8

T r r

r r r r

r r r r ij ac ji ija ji jl jl c l j ji

jia jic

ji jk k j = ⋅ − ≠ ≠

∑

∑

η’

3 8

η

3 8

η’

3 8

η

3 8

Cas _ia c_≠=_j

T r r

r r r r r

r r r r ij aa ji jia ji jl jl a l j jk ji

jia jia

ji ji k j = − ⋅ +

− −

≠ ≠

∑

∑

η’

3 8

η

3 8

η

3 8

η’

3 8

η

3 8

T r r

r r r r

r r

r r r

ijaa ji

ij a

ji

jl jla

l j ji ji a ji a ji ji jk k j = ⋅ −

+

≠ ≠

∑

∑

η’

3 8

η

3 8

η’

3 8

η

3 8

η

3 8

Cas _ia c₌≠_j

T r r

r r r r r

r r r ii ac ik ik a ik k i il il c l i ik k i il il a il c il l i = ⋅ + ⋅ ≠ ≠ ≠ ≠

Apèndix E

T r r

r r r r r

r r r r ii aa ik ik a ik k i il il a l i ik k i il il a ila il il l i = ⋅ + ⋅

+

≠ ≠ ≠ ≠

∑

η’

1 6

∑

η

1 6

∑

η

1 6

∑

η’

1 6

η

1 6

Un cop calculats aquests tensors se’n calculen les seves derivades. Com abans se n’obté primer una derivada absolutament general i després es concreta en cadascun dels quatre casos possibles:

∇ = ∂ ∂ = i a ij ac ia ij ac T r T = ∂ ∂ − + ∂ ∂

−

!

"

$

#

#

⋅ + ≠ ≠

∑

η’’r r δ δ η’ δ δ

∑

η

r r

r r r

r

r r r

jk jk ia jk a jk

ij ki jk

ia jk a jk ij ki k j

jl jlc

l j

3 8

3

8

3 8

3

8

3 8

+ − ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂

!

"

$

#

#

+ ≠ ≠

∑

η’r r δ δ

∑

η’ η

r r

r

r r r

r r jk jk a jk ij ki k j jl jl ia

jlc jl

jl c

ia

l j

3 8 3

8

3 8

3 8

+ ∂ ∂ ⋅ +

!

"

$

#

#

− + ≠ ≠

∑

η’r r

∑

η’ η δ δ δ

r r r r r r jk jk i a k j jl jl a jl c jl

jl ac ji li

l j

3 8

3 8

3 8

3

8

+ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂

+ ∂ ∂

!

"

$

#

#

− ≠ ≠

∑

η r

∑

η r r η η δ δ δ

r r r

r r r

r r r r r r jk k j jl jl i a jl a jl c jl jl i a jl a jl c jl jl jl i

a ac ji li

l j

3 8

’’

3 8

’

3 8

’

3 8

3

8

Apliquem les següents identitats:

∂ ∂ = − ∂ ∂ = − r r r r r r jk i a jka jk ji ki jlc i

a ac ji ki

δ δ δ δ δ

3

8

3

8

∂ ∂

= −

− r r r r r r ia jka jk jk jk a jk ji ki 1 2 3

3 8

₃

_{δ δ}

₈

∂ ∂

= + −

− r r r r r r r r r r i a

jla jlc

jl

jlc jla ac

jl jl a jl c jk ji ki δ δ δ

3 8

2

₃

₈

3

i així l’expressió general resulta:

+ ⋅ − ⋅

+

!

"

$

#

#

− + ≠ ≠

∑

∑

2 η’r r δ δ η’ η δ δ δ

r r r r r r jk jka jk ij ki k j jl

jla jlc

jl

c jl ac ij ki

l j

3 8 3

8

3 8

3 8

3

8

+ ⋅ +

+ −

+

!

"

$

#

#

+ ≠ ≠

∑

η r

∑

η r r r η δ η δ δ δ

r r r r r r r r r r r jk k j jl

jla jlc

jl jl jl c ac jl a jl

jla jlc

jl

jl jl a

jl

ac ij li

l j

3 8

’’

3 8

3 8

’

3 8

3 8

’

3 8

3

8

2

2

2

3

Cas _ia c_≠≠_j

∇ =

+ −

!

"

$

#

#

⋅

∑

≠ − −

ia ijac ji

ji a ji ji ji ji a ji

jl jlc

l j

ji

jia jic

ij

T r r

r r r

r

r r r r

r r r

η’’

3 8

η’

3 8

η

3 8

η’

3 8

3 8

2 3 2 2 2 1 2 − ⋅ +

−

!

"

$

#

#

≡ ≠

∑

η r η r r r η

r r r r r r r EB jk k j ij

ija ijc

ij

jl ij

c

ij

ija ijc

ij

ij ac

3 8

’’

3 8

3 8

’

3 8

3 8

2

2

2

3

Cas _ia c_≠=_j

∇ =

+ −

!

"

$

#

#

⋅

∑

≠ − i a ij aa ji jia ji ji ji ji a ji jl jl a l j

T r r

r r r

r

r r r

η’’

3 8

η’

3 8

3 8

η

3 8

2 2 3 1 − +

!

"

$

#

#

− 2 2

η’r r η η’

r r r

r r ji ji a ij ji ji jia ij

3 8

3 8

3 8 3 8

− ⋅ +

−

!

"

$

#

#

≡ ≠

∑

η r η r r η

r r r r r r EB jk k j ij ija ij ij ij a ij ija ij ijaa

3 8

’’

3 8

3 8

’

3 8

3 8

3

2

3

3

3

Cas _ia c₌≠_j

∇ =

+ −

!

"

$

#

#

⋅ − ≠ ≠

∑

∑

i a

iiac ik ik

a ik ik ik ika ik k i

il ilc

l i

T r r

r r r

r

r r r

η’’

1 6

η’

1 6

2 7

η

1 6

2 2

3

1

+ ⋅2

∑

η’r r ⋅

∑

η’ +

r r r r r ik ik a il il a il c c

Apèndix E − ⋅ +

−

!

"

$

#

#

≡ ≠ ≠

∑

η r

∑

η r r r η

r r r r r r r EB ki

k i il

ila ilc

il

ll il

c il

ila ilc

il

l i ii

ac

1 6

’’

1 6 2 7

’

1 6

2 7

2

2

2

3

Cas a c_i==_j

∇ =

+ −

!

"

$

#

#

⋅ + ≠ ≠

∑

∑

i a ii aa ik ik a ik ik ik ik a ik k i il il a l i

T r r

r r r

r

r r r

η’’

1 6

η’

1 6

2 7

η

1 6

2 2 3 1 + ⋅

+

!

"

$

#

#

+ ≠ ≠

∑

∑

2 2

η’r r η’ η

r r r r r ik ik a ik k i il il a il il l i

1 6

1 6

2 7

1 6

+ ⋅ +

−

!

"

$

#

#

≡ ≠ ≠

∑

η r

∑

η r r η

r r r r r r EB ki k i il ila il il il a il ila il l i ii aa

1 6

’’

1 6 2 7

’

1 6

2 7

3

2

3

3

3

E.6. Contribucions del sumant C r r r_{jk jk}a _jkb r r_{jl jl}b

l j k j

β

3 8

η

3 8

≠

≠

∑

∑

Les noves coordenades són ara:

rc_j r r r r r

jk jk a jk b jl jl b l j k j ’ = ≠ ≠

∑

∑

β

3 8

η

3 8

I per tant:

T r

r r r r r r r

ijac

j c

ia ia

jk jka jkb jl jlb

l j k j = ∂ ∂ = ∂ ∂

= ≠ ≠

∑

∑

’

β

3 8

η

3 8

= ∂ ∂ ∂ ∂

!

"

$#

⋅ + ≠ ≠

∑

β’r r β

∑

η

r r r r r r r r r

jk jk

ia

jkc jkb jk

ia

jkc jkb

k j

jl jlb

l j

3 8

3 8

3

8

3 8

+ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂

!

"

$

#

#

≠ ≠

∑

β r r r

∑

η r r η

r r r

r r

jk jkc jkb

k j

jl jl i

a jlb jl

jlb i

a l j

3 8

’

3 8

3 8

T r r r r

r r r r r

ijac ji

jka jkb jkc

jk

ij ab jic jl jlb

l j =

+

!

"

$

#

#

⋅

∑

≠ −

β’

3 8

β

3 8

δ η

3 8

+

+

!

"

$

#

#

⋅

∑

≠

η’r r r η δ β

r r r r r

ji ij a ij b ij

ij ab jk jkc jkb

k j

3 8

3 8

3 8

Cas _ia c_≠=_j

T r r r r

r r r r r r

ij aa

ji

ija ija ijb

ij

ij ij

b ij

a

ab jl jl

b l j =

+ +

!

"

$

#

#

⋅

∑

≠ −

β’

3 8

β

3 83

δ

8

η

3 8

−

+

!

"

$

#

#

⋅

∑

≠

η’r r r η δ β

r r r r r

ji ij a ij b ij

ij ab jk jka jkb

k j

3 8

3 8

3 8

Cas _ia c₌≠_j

T r r r r

r r r r r

iiac ik ik

a ik b ik c jk

ik ikc ab

k i

il ilb

l i =

+

!

"

$

#

#

⋅ + ≠ ≠

∑

β’

1 6

β

1 6

δ

∑

η

1 6

+ ⋅

+

!

"

$#

≠ ≠

∑

β r r r

∑

η r r r η δ

r r ik ik c ik b k i il il a ilb il il ab l i

1 6

’

1 6

1 6

Cas _ia c₌=_j

T r r r r

r r r r r r

iiaa ik ik

a ik a ik b jk

ik ikb ika ab

k i

il ilb

l i =

+ +

!

"

$

#

#

⋅ + ≠ ≠

∑

β’

1 6

β

1 62

δ

7

∑

η

1 6

+ ⋅

+

!

"

$#

≠ ≠

∑

β r r r

∑

η r r r η δ

r r

ik ika ikb

k i il il a il b il il ab l i

1 6

’

1 6

1 6

Calcular el laplacià comporta un càlcul més llarg. Per a obtenir l’expressió general és necessari aplicar les identitats següents ( que fàcilment es poden obtenir):

∂ ∂ = − ∂ ∂ = − r r r r r r jk i a jka jk ji ki jlc i

a ac ji ki

δ δ δ δ δ

3

8

3

8

∂

= + −

r rc b rb rc

Apèndix E ∂ ∂

= + + −

− r

r r r r

r r r r r

r

r r r r ia jk a jk b jk c jk

jkb ab jka jkc ac jka jkb

jk

jka jkb jkc

jk

ji ki

δ δ

δ δ

3

8

3 8

2

₃

₈

3

∂

∂r_ia ac jkr + r = −

b

ab jk c

ab ac ji ki

δ δ δ δ δ δ

3

8

2

3

8

∂ ∂

= + −

− r r r r r r r r r r ia jl a jl b jk jl b ab jl a jl

jla jlb

jl

ji ki

δ

δ δ

3 8

2

₃

₈

3

Que un cop aplicades i simplificat el resultat dóna:

∂ ∂ = + + + −

%

&K

'K

+ ≠

∑

r T r

r r r

r r

r r r r r

r

r r r r

ia

ijac jk

jka jkb jkc

jk

jk

ikb ab jka jkc jka jkb

jk

jka jkb jkc

jk k j

β’’

3 8

3 8

β’

3 8

3

δ

8

3 8

2 2

3

+ + +

(

)K

*K

+ ⋅

∑

≠ +

β’r r δ δ β δ δ δ δ η

r r r r r r

jk jka jk

ac jkb ab jkc jk ab ac ji ki jl jlb

l j

3 8 3

8

2

3 8

3

8

3 8

+

+ +

!

"

$

#

#

− ⋅ +

!

"

$

#

#

− + ≠ ≠

∑

β’r r r r β δ δ δ δ

∑

η’ η δ δ δ

r r r r r

r r r r jk jk a jk b jk c jk

jk ac jk b

jk c

ab ji ki k j jl jl a jl b jl

jl ab ji li l i

3 8

3 83

8 3

8

2

3 8

3 8

3

8

+ ⋅ +

+ − +

!

"

$

#

#

+ ≠ ≠

∑

β r r r

∑

η r r r η δ δ δ δ

r r r r r r r r r r jk jk b jk c k j jl jl a jl b jl jl

jlb ab jla

jl jl a jl b jl jla jl ab l j ji li

3 8

’’

3 8

3 8

’

3 8

3 8

3

8

2

2

2

3

I les expressions particulars per cadascun dels quatre casos són:

Cas a c_i≠≠_j

EB r r r r

r r

r r r r

r

r r r

r r r

ij ac ij ij a ij b ij c ij ij

ijb ijc ab ija ijc

ij ij a ij b ij c ij jl jl b l j ≡ + + −

!

"

$

#

#

∑

≠ −

β’’

3 8

3 8

β’

3 8

δ

3 8

η

3 8

2 2 3 2 −

+

!

"

$

#

#

⋅ +

!

"

$

#

#

−

2 β’r r r r β δ η’ η δ

r r r r

r r r r ij ij a ij b ij c ij ij c ab ij ij a ij b ij ab