C E ED EXACTAS PARTE 2

ECUACIONES

DIFERENCIALES EXACTAS

𝑀_(!,!)  𝑑𝑥+  𝑁_(!,!)  𝑑𝑦=0

Expresada como derivadas

𝑀_(!,!)  +  𝑁_(!,!)  𝑑𝑦 𝑑𝑥= 0

Método Formal (conceptual, por pasos) Considere la función con la condición

𝑧=𝑓_!,! =𝐶

𝑑𝑓 =0

La diferencial total de la función f igualada a cero se llama ED exacta

𝐼    𝑑𝑓_!,! = 𝜕  𝑓 𝜕𝑥 𝑑𝑥+

𝜕  𝑓 𝜕𝑦𝑑𝑦

=𝑀!,!  𝑑𝑥+  𝑁!,!  𝑑𝑦= 0   Por analogía igualando los términos en dx, dy de la ED (I)

(1)    _!"! [𝑓]= 𝑀_(!,!) ;  

(2)    𝜕  

𝜕𝑦[𝑓]= 𝑁(!,!)

Criterio para que la ED sea exacta (I), 𝜕

𝜕𝑥 𝜕  

𝜕𝑦[𝑓] =

𝜕 𝜕𝑦

𝜕   𝜕𝑥[𝑓] 𝜕  

𝜕𝑦𝑀(!,!) =

𝜕  

𝜕𝑥𝑁(!,!)

𝑀_! = 𝑁_!

De (1) si, y=constante, x=variable, la derivada parcial se vuelve derivada total (unidireccional, respecto a x)

1.1  𝑑  𝑓_𝑑𝑥 =𝑀(!,!)

Separando variables, Integrando y simplificando (operadores)

(1.2) 𝑑𝑓 = 𝑀_(!,!)𝑑𝑥+𝑔_(!)

Como y=constante, la constante de integración g(y) es una función de y

1.3    𝑓(!,!) = 𝑀(!,!)𝑑𝑥+𝑔(!)

Ahora consideremos (2) la igualdad de los términos en dy

2  𝜕  

𝜕𝑦[𝑓]= 𝑁(!,!)

Sustituyendo f de (1.3) en (2)

2.1  𝜕  

𝜕𝑦[ 𝑀(!,!)𝑑𝑥+𝑔(!)] =𝑁(!,!)

Por la propiedad de linealidad (se separan las derivadas parciales)

(2.2)  𝜕  

𝜕𝑦 𝑀(!,!)𝑑𝑥 + 𝜕  

𝜕𝑦𝑔(𝑦) =𝑁(!,!)

Despejando el término de parcial de g(y)

(2.3)  𝜕  

𝜕𝑦𝑔(𝑦) = 𝑁(!,!)−

𝜕  

𝜕𝑦 𝑀(!,!)𝑑𝑥   Para x= constante, y=variables, la derivada parcial se vuelve derivada total

(unidireccional, respecto a y)

(2.4)  _𝑑𝑦𝑑  𝑔 𝑦 =   𝑁(!,!)− 𝜕  

𝜕𝑦 𝑀(!,!)𝑑𝑥   Integrando y simplificando (operadores)

(2.5) 𝑑   𝑔 𝑦

=   𝑁_(!,!)

−_𝜕𝑦𝜕   𝑀(!,!)𝑑𝑥   𝑑𝑦

(2.5)  𝑔 𝑦 = 𝑁(!,!)− 𝜕  

𝜕𝑦 𝑀(!,!)𝑑𝑥   𝑑𝑦   Substituyendo (2.5) g(y) en (1.3)

Algoritmo completo

3).    𝑧=𝑓_(!,!) =𝐶

= 𝑀_(!,!)𝑑𝑥

+ 𝑁(!,!)

− 𝜕  

𝜕𝑦 𝑀(!,!)𝑑𝑥   𝑑𝑦

Ejemplo 1. Construcción de una ED exacta a partir de una función y su posterior solución (comprobación). A partir de la función f(x,y) determine la ecuación diferencial exacta y la posterior solución a modo de comprobación.

1)    𝑧= 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑐 =𝑥!_{−5𝑥𝑦+𝑦}!

𝜕

𝜕𝑥 𝑥!−5𝑥𝑦+𝑦! = 2𝑥−5𝑦 𝑑𝑥

𝜕

𝜕𝑦 𝑥!−5𝑥𝑦+𝑦! = −5𝑥+3𝑦! 𝑑𝑦

La ED exacta de la función

2𝑥−5𝑦 𝑑𝑥+ −5𝑥+3𝑦! _{𝑑𝑦= 0}

2)    𝑧= 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑐 =𝑥𝑒!!_{−𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)+𝑦}!

𝑑 𝑧 =𝑑 𝑓 = _𝜕𝑥𝜕  𝑥𝑒!!_{−𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)+𝑦}! _𝑑𝑥

+ 𝜕

𝜕𝑦 𝑥𝑒!!−𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 +𝑦! 𝑑𝑦 =0

La ED exacta de la función 𝑒!!_{−𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 𝑑𝑥}

+ 2𝑥𝑒!! _{−𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 +2𝑦 𝑑𝑦}

= 0

3)    𝑧= 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑐 =𝑥!_𝑒!_{+𝑦  𝑠𝑒𝑛(𝑥)+2𝑦}

𝑑 𝑧 =𝑑 𝑓 = 𝜕

𝜕𝑥  𝑥!𝑒!+𝑦  𝑠𝑒𝑛(𝑥)+2𝑦 𝑑𝑥 +_𝜕𝑦𝜕 𝑥!_𝑒!_{+𝑦  𝑠𝑒𝑛(𝑥)+2𝑦 𝑑𝑦} =0

La ED exacta

2𝑥𝑒!_{+𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥}

+ 𝑥!_𝑒!_{+𝑠𝑒𝑛 𝑥 +2 𝑑𝑦=0}

Ejercicio suplementario

Solución de la ED exacta por

método formal.

Determine la solución general, previo aplique el criterio de ED exactas. Si tiene condiciones iniciales determine su solución particular y su gráfica.

Ejemplo1

2𝑥−5𝑦 𝑑𝑥+ −5𝑥+3𝑦! _𝑑𝑦=0

Criterio para ED exacta

𝑀! = 𝜕

𝜕𝑦  𝑀!,! =

𝜕

𝜕𝑦 2𝑥−5𝑦 = −5      

𝑁_! = 𝜕

𝜕𝑥  𝑁!,! =

𝜕

𝜕𝑥 −5𝑥+3𝑦! = −5

 𝑀_! = 𝑁_!

La ecuación diferencial es exacta 2𝑥−5𝑦 𝑑𝑥+ −5𝑥+3𝑦! _𝑑𝑦

= 𝜕  𝑓_𝜕𝑦𝑑𝑥+𝜕  𝑓_𝜕𝑦𝑑𝑦= 0  

Por analogía igualando los términos en (dx) y en (dy)

 (1)    𝜕  𝑓

𝜕𝑦 = 2𝑥−5𝑦

(2)  𝜕  𝑓

𝜕𝑦 = −5𝑥+3𝑦!

En (1) con x=constante, y=variable

(1.1)   𝑑

𝑑𝑦𝑓 = 2𝑥−5𝑦

Separando variables (1) e integrando 𝑑 𝑓 = 2𝑥−5𝑦 𝑑𝑥

(1.1) 𝑑(𝑓) = 2𝑥−5𝑦 𝑑𝑥+𝑔_(!)

Sustituyendo f de (1.2) en (2)

(2)  𝜕  

𝜕𝑦[𝑓]= −5𝑥+3𝑦! Sustituyendo f de (1b) en (B)

2  𝜕  

𝜕𝑦[  𝑥!−5𝑥𝑦+𝑔(𝑦)  ] = −5𝑥+3𝑦! Separando la derivada (2) (linealidad)

(2.1)   𝜕

𝜕𝑦 𝑥!−5𝑥𝑦 + 𝜕 𝜕𝑥𝑔(𝑦) = −5𝑥+3𝑦! Despejando g(y)

2.2 𝜕

𝜕𝑦 𝑔(𝑦)

= −5𝑥+3𝑦!

− 𝜕

𝜕𝑦 𝑥!−5𝑥𝑦

Aplicando la parcial y simplificando 𝜕

𝜕𝑦 𝑔(𝑦) = −5𝑥+3𝑦! −(−5𝑥)

2.3  _𝑑𝑦𝑑 𝑔 𝑦 =−5𝑥+3𝑦!_+5𝑥=3𝑦! Por variables separables la constante g(y)

3  𝑔 𝑦 = 3𝑦!  _{𝑑𝑦=  𝑦}!

Sustituyendo g(y) de (3) en (1.2), resulta la solución general.

𝑧=𝑓 𝑥,𝑦 =𝑥!_{−5𝑥𝑦+𝑦}! _=𝑐

La solución general es la función del ejemplo (1) en que se solicita la ED exacta

Si por ejemplo y(1)=1

𝑧=𝑓 1,1 = 1!_{−5 1 1 +1}! _{=𝑐 =−3} 𝑧=𝑓 𝑥,𝑦 =𝑥!_{−5𝑥𝑦+𝑦}! ₌₋₃

Ejemplo2

𝑒!!_{−𝑦  𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 𝑑𝑥}

+ 2𝑥𝑒!! _{−𝑥  𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 +2𝑦 𝑑𝑦}

= 0

Criterio para ED exacta

𝑀_! = 𝜕

𝜕𝑦  𝑀!,! =

𝜕

𝜕𝑦 𝑒!!−𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 = 2𝑒!!_{+𝑥𝑦  𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦} −cos  (𝑥𝑦)      

𝑁! =

𝜕

𝜕𝑥  𝑁!,! = 𝜕

𝜕𝑥 2𝑥𝑒!!−𝑥  𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 +2𝑦

= 2𝑒!!_{+𝑥𝑦  𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦} −cos  (𝑥𝑦)

 𝑀_! = 𝑁_!

La ecuación diferencial es exacta

𝑒!!_{−𝑦  𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 𝑑𝑥}

+ 2𝑥𝑒!!_{−𝑥  𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 +2𝑦 𝑑𝑦}

= 𝜕  𝑓

𝜕𝑦𝑑𝑥+ 𝜕  𝑓

𝜕𝑦𝑑𝑦= 0  

Por analogía igualando los términos en (dx) y en (dy)

 (1)    𝜕  

𝜕𝑦𝑓 = 𝑒!!−𝑦  𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 (2)  𝜕  

En (1) con x=constante, y=variable

(1.1)   𝑑

𝑑𝑦𝑓 = 𝑒!!−𝑦  𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦

Por variables separables (1) e integrando 𝑑 𝑓 = 𝑒!!_{−𝑦  𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 𝑑𝑥}

(1.1) 𝑑(𝑓)= 𝑒!!_{−𝑦  𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 𝑑𝑥+𝑔}

(!)

(1.2)  𝑓 =𝑥𝑒!!_{−𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)+𝑔(𝑦)}

Sustituyendo f de (1.2) en (2)

(2)  𝜕  

𝜕𝑦𝑓 = 2𝑥𝑒!!−𝑥  𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 +2𝑦 Sustituyendo f de (1b) en (B)

(2)  _𝜕𝑦𝜕   𝑥𝑒!!_{−𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)+𝑔(𝑦)}

= 2𝑥𝑒!!_{−𝑥  𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 +2𝑦} Separando la derivada (2) (linealidad)

(2.1)   𝜕

𝜕𝑦 𝑥𝑒!!−𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) + 𝜕 𝜕𝑥𝑔(𝑦) = 2𝑥𝑒!!_{−𝑥  𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 +2𝑦} Despejando g(y)

2.2 𝜕

𝜕𝑦 𝑔(𝑦)

= 2𝑥𝑒!!_{−𝑥  𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 +2𝑦} − 𝜕

𝜕𝑦 𝑥𝑒!!−𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) Aplicando la parcial y simplificando

𝜕

𝜕𝑦 𝑔(𝑦) = 2𝑥𝑒!!−𝑥  𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 +2𝑦 − 2𝑥𝑒!! _{−𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦)} 2.3   𝑑

𝑑𝑦𝑔 𝑦 =2𝑦

Por variables separables la constante g(y) 3  𝑔 𝑦 = 2 𝑦  𝑑𝑦=  𝑦!

Sustituyendo g(y) de (3) en (1.2), resulta la solución general.

𝑐 =𝑧= 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥𝑒!! _{−𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 +𝑦}!

La solución general es la función del ejemplo (2) en que se solicita la ED exacta

PIV, si y(1)=0

𝑐 =𝑧= 𝑓 1,0

= (1)𝑒!(!)_{−𝑠𝑒𝑛 1 0 +1}!

= 2

𝑧= 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥𝑒!! _{−𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 +𝑦}! _{= 2}

Ejercicio suplementario

Método 2 directo por Algoritmo de

solución por partes. (PAAyBC)

Modelo estándar de una ED exacta Como diferenciales

𝑀_(!,!)  𝑑𝑥+  𝑁_(!,!)  𝑑𝑦=0

Expresada como derivadas

𝑀_(!,!)  +  𝑁_(!,!)  𝑑𝑦 𝑑𝑥 =0

(P) Criterio (Prueba) 1)       𝜕

𝜕𝑦  𝑀(!,!) =

𝜕

𝜕𝑥  𝑁(!,!);  𝑀! =𝑁!   (A) Integral de M respecto de x

2)    𝐴 =   𝑀(!,!)  𝑑𝑥

(Ay) Derivada parcial respecto de y

3)    𝐴_! = 𝜕

𝜕𝑦𝐴

(B) Integral respecto de y

4)    𝐵 =   𝑁(!,!)−𝐴𝑦 𝑑𝑦   (C) Solución general

5)    𝑧= 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝐶= 𝐴+𝐵

Algoritmo completo 𝐶 =𝑓_(!,!) = 𝑀_(!,!)  𝑑𝑥

+ 𝑁_(!,!)

−  _𝜕𝑦𝜕 𝑀(!,!)𝑑𝑥 𝑑𝑦

Ejemplo 2. Método directo por algoritmo

2𝑥𝑒!_{+𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥}

+ 𝑥!_𝑒!_{+𝑠𝑒𝑛 𝑥 +2 𝑑𝑦=0} 𝑀 = 2𝑥𝑒!_{+𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥}

𝑁 = 𝑥!_𝑒!_{+𝑠𝑒𝑛 𝑥 +2}

(P) Criterio (Prueba) 𝑀_! = 𝜕

𝜕𝑦 2𝑥𝑒!+𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥  = 2𝑥𝑒!+cos  (𝑥)

𝑁! =

𝜕

𝜕𝑥 𝑥!𝑒!+𝑠𝑒𝑛 𝑥 +2  

= 2𝑥𝑒!_{+cos  (𝑥)} 1)    𝑀_! =𝑁_!  ;  

2)    𝐴 =   2𝑥𝑒!_{+𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥  𝑑𝑥}

=𝑥!_𝑒!_{+𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥)} (Ay) derivada parcial respecto de y 3)    𝐴_! = 𝜕

𝜕𝑦 𝑥!𝑒! +𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑥!_𝑒!_{+𝑠𝑒𝑛(𝑥)}

(B) integral respecto de y 4)    𝐵=   𝑥!_𝑒!_{+𝑠𝑒𝑛 𝑥 +2}

− 𝑥!_𝑒!_{+𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑦}

=2 𝑑𝑦=2𝑦   (C) Solución general

5)    𝑧= 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝐶= 𝑥!_𝑒!_{+𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥)+2𝑦}

Es la función ejemplo (3) de la construcción de una ED exacta

Solución particular: Si, y(0)=1

𝐶 =(0)!_𝑒(!)_{+ 1 𝑠𝑒𝑛 0 +2 1 = 2}

Solución particular

𝑥!_𝑒!_{+𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑥 +2𝑦= 2}

Ejemplo2. Determine la solución general y particular vía corta por algoritmos por pasos.

𝑦!_{𝑐𝑜𝑠 2𝑥 +3𝑥}!_𝑦+!

! 𝑑𝑥+ 𝑦𝑠𝑒𝑛 2𝑥 ∓

𝑥!₊ !

!! 𝑑𝑦=0

𝑦 𝜋 = 1

𝜋! Prueba

1)    _𝜕𝑦𝜕   𝑦!_{𝑐𝑜𝑠 2𝑥 +3𝑥}!_𝑦+1

𝑥

= 2𝑦𝑐𝑜𝑠 2𝑥 +3𝑥!

𝜕

𝜕𝑥   𝑦𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +𝑥!+

1 2𝑦

= 2𝑦𝑐𝑜𝑠 2𝑥 +3𝑥!

   𝑀_! = 𝑁_!

Integral de M respecto de x 2)    𝐴 =   𝑀_(!,!)  𝑑𝑥

= 𝑦!_{𝑐𝑜𝑠 2𝑥 +3𝑥}!_𝑦

+1

𝑥 𝑑𝑥

𝐴 =1₂𝑦!_{𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +𝑥}!_{𝑦+𝑙𝑛(𝑥)} La derivada parcial respecto de y

3)    𝐴_! = 𝜕

𝜕𝑦 1

2𝑦!𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +𝑥!𝑦+𝑙𝑛(𝑥)

𝐴_! =𝑦𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +𝑥!

La integral respecto de y

4)    𝐵 =   𝑁_(!,!)−𝐴𝑦 𝑑𝑦  

𝐵=   𝑦𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +𝑥!₊ 1

2𝑦

− 𝑦𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +𝑥! _𝑑𝑦

𝐵= 1 2

1 𝑦𝑑𝑦=

1

5)    𝑧= 𝑓(!,!) =𝐶

=1

2𝑦!𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +𝑥!𝑦+𝑙𝑛(𝑥) +1

2𝑙𝑛  (𝑦)

Solución particular y constante C

𝐶= 𝑦!_{𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +2𝑥}!_{𝑦+𝑙𝑛(𝑥}!_𝑦)

𝐶= 1 𝜋!

!

𝑠𝑒𝑛 2𝜋 +2 𝜋 ! 1

𝜋! +𝑙𝑛(𝜋! 1

𝜋!)

𝐶= 2𝜋

𝑦!_{𝑠𝑒𝑛 2𝑥 +2𝑥}!_{𝑦+𝑙𝑛 𝑥}!_{𝑦 = 2𝜋}

EJERCICIOS SUPLEMENTARIOS

1)   𝑠𝑒𝑛 2𝑦 −2𝑦𝑠𝑒𝑛 2𝑥 −𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 +2𝑥𝑐𝑜𝑠 2𝑦

−𝑦 𝑑𝑦= 0 𝑦 0 =𝜋

2

2)   𝑡𝑎𝑛 2𝑥 −𝑠𝑒𝑛(2𝑥)∙𝑠𝑒𝑛(2𝑦) 𝑑𝑥

+ 𝑐𝑜𝑠  (2𝑥)∙𝑐𝑜𝑠  (2𝑦) 𝑑𝑦=0 𝑦 0 =𝜋

2 3)     𝑥!_𝑦!₋ 1

1+9𝑥! 𝑑𝑦+ 𝑥!𝑦!+ 1

𝑦 𝑑𝑦=0 𝑦 1

3 = 1

2𝑦!_{−3𝑥 𝑑𝑥+2𝑥𝑦𝑑𝑦 =0}

𝑦 1 = 0

Factor Integrante.

ED no exacta que al multiplicarse por factor integrante 𝜇 𝑥  𝑜  𝜇 𝑦 , se vuelve una ED exacta.

La diferencia de parciales (DPR)    𝑅 = 𝑀!−  𝑁!  

Si 𝑅 = 0 la ED es exacta; si 𝑅 ≠ 0 no es exacta pero en algunos caso se puede reducir a una ED exacta por “factor integrante µ(x), µ(y)”

𝑅 = 𝜕

𝜕𝑦𝑀(!,!)− 𝜕

𝜕𝑥  𝑁!,!  ≠0

Factor integrante se usa el que tenga un cociente (R/M) o (R/N) que dependa de una sola variable

Solución por 𝝁 𝒙 =  𝒆 𝑹𝑵  𝒅𝒙

𝝁 𝒚 =  𝒆! 𝑴𝑹  𝒅𝒚

𝑥𝑦 𝑑𝑥+ 2𝑥!_+3𝑦!_{−20 𝑑𝑦=0}

𝑀_! = 𝜕

𝜕𝑦 𝑥𝑦 =𝑥 𝑁_! = 𝜕

𝜕𝑥 2𝑥!+3𝑦!−20 =4𝑥

𝑅 =𝑀_!−𝑁_! = 𝑥−4𝑥 =−3𝑥 Como 𝑅 ≠0 no es exacta

𝑅 𝑀 =

−3𝑥 𝑥𝑦 =−

3

𝑦 =  𝜇(𝑦)

𝑅 𝑁=

−3𝑥

2𝑥! _+3𝑦!₋₂₀≠ 𝜇 𝑥  𝑜  𝜇(𝑦)

Factor integrante

𝜇 𝑦 =  𝑒! !!  !" = 𝑒! !!

! !" _=𝑒!  !"  (!)

=𝑒!" !! _=𝑦!

Multiplicando la ED no exacta por el factor integrante 𝜇 𝑦

𝑦! _{𝑥𝑦 𝑑𝑥+𝑦}! _2𝑥!_+3𝑦!_{−20 𝑑𝑦=0}  

𝑥𝑦!_{𝑑𝑥+ 2𝑥}!_𝑦!_+3𝑦!_−20𝑦! _𝑑𝑦=0

Prueba

𝜕𝑦 𝑥𝑦! =4𝑥𝑦! 𝑁! =

𝜕

𝜕𝑥 2𝑥!𝑦!+3𝑦!−20𝑦! =4𝑥𝑦!

La ED es exacta

𝑀

=

𝑁

Solución por exactas

Integral de M respecto de x

𝐴

=

𝑥𝑦

_𝑑𝑥

₌

1

2

𝑥

𝑦

Derivada parcial respecto de y

𝐴

=

𝜕

𝜕𝑦

1

2

𝑥

𝑦

=

2𝑥

𝑦

Integral respecto de y

𝐵

=

₋

_2𝑥

_𝑦

Solución general

𝐶

=

1

2

𝑥

𝑦

+

1

2

𝑦

−

5𝑦

𝐶

=

𝑥

_𝑦

₊

_𝑦

₋

_10𝑦

Ejercicio suplementario

2𝑦!_{+3𝑥 𝑑𝑥+2𝑥𝑦𝑑𝑦= 0}