Análisis de la impedancia de una línea de transmisión rectangular con conductor central plano

(1)

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Unidad Profesional “ADOLFO LÓPEZ MATEOS”

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

ANÁLISIS DE LA IMPEDANCIA DE UNA LÍNEA DE

TRANSMISIÓN RECTANGULAR CON CONDUCTOR

CENTRAL PLANO

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

M

AESTROEN

C

IENCIASEN

I

NGENIERÍA

E

LECTRÓNICA

OPCIÓN INSTRUMENTACIÓN

P R E S E N T A

Ing. ZABDIEL BRITO BRITO

DIRECTOR

M. en C. JOSE HECTOR CALTENCO FRANCA.

(2)

CONTENIDO

Lista de figuras. . .

iv

Lista de tablas . . . .

vii

Nomenclatura . . . .

viii

RESUMEN . . . 1

ABSTRACT . . . 2

CAPITULO I INTRODUCCIÓN . . . 3

1.1 Objetivo . . . 4

1.2 Justificación y Alcance . . . 4

1.3 Contenido de la Tesis . . . 5

CAPITULO II ESTADO DEL ARTE EN EL ANÁLISIS DE LA IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN RECTANGULARES . . . 6

2.1 Coeficiente de Propagación. . . 10

2.2 Impedancia Característica . . . 10

2.3 Impedancia de Entrada . . . 11

2.4 Función de Green . . . 12

2.5 Método Variacional . . . 17

2.6 Transformación Conformal . . . 20

2.7 Transformación de Schwarz-Christoffel . . . 23

(3)

CAPITULO III ANÁLISIS DE LA IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA DE

UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN RECTANGULAR . . 28

3.1 Selección de la Densidad de Corriente . . . 29

3.2 Cálculo de la Inductancia distribuida . . . 32

3.3 Cálculo de la Capacitancia distribuida . . . 42

3.4 Cálculo de la Conductancia distribuida . . . 44

3.5 Cálculo de la Resistencia distribuida . . . 46

CAPITULO IV DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN RECTANGULAR . . . . 49

4.1 Desarrollo de las ecuaciones en el cálculo de los PUL . . . 50

4.2 Constantes de materiales utilizados . . . 52

4.3 Vistas de la línea de transmisión de 75 ohms . . . 55

CAPITULO V INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS . . . 61

5.1 Simulación de la impedancia característica. . . 65

5.2 Medición de la impedancia Característica . . . 70

5.3 Corrección de errores en las mediciones . . . 73

5.3.1 Fuentes de error en las mediciones . . . 74

5.3.2 Calibración . . . 75

5.3.3 Estándares de Calibración . . . 76

CONCLUSIONES . . . 80

PROPUESTAS PARA TRABAJOS FUTUROS . . . 82

(4)

APÉNDICES . . . 83

A1. Teoría Básica de las Líneas de Transmisión . . . 83

A2. Programa en MathCad para el calculo de la impedancia característica de la línea de

transmisión Reportada en la referencia [14] . . . 94

A3. Programa en MathCad para el calculo de la impedancia característica de la línea de

transmisión de 75 ohms . . . 101

B1. Datos técnicos del analizador de redes HP4195A . . . 108

B2. Test de Reflexión/Transmisión HP 41952A . . . 108

B3. Tarjeta GPIB/IEEE 488 (General Purpose Interface Bus) . . . . 109

B4. Datos técnicos del analizador de redes HP8510A . . . 109

BIBLIOGRAFÍA . . . 110

(5)

LISTA DE FIGURAS

[image:5.612.94.560.138.735.2]

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 2.1 Línea de transmisión de dos conductores colocada en el eje z . . 7

FIGURA 2.2 Circuito eléctrico equivalente a) para una sección diferencial de una línea de

transmisión b) modelado de una línea completa como una sucesión de

secciones ∆z . . . 8

FIGURA 2.3 Sección transversal de la línea de transmisión mostrando las regiones a

evaluar . . . . . . . . . 13

FIGURA 2.4 Sección transversal de una línea de transmisión a) dimensionado

b) geometría utilizada para las transformaciones . . . . 18

FIGURA 2.5 Sección transversal de una línea de transmisión mostrando las capacitancias

en las esquinas . . . . . . . 20

FIGURA 2.6 Distorsión del campo debido a las esquinas . . . . . 20

FIGURA 2.7 Polígono colocado en el plano z para la transformación . . . 21

FIGURA 2.8 Mapeo del polígono en el plano t . . . . . . 21

FIGURA 2.9 Mapeo en el plano w . . . 21

FIGURA 2.10 Sección transversal de una línea de transmisión con el espesor del conductor

central despreciado. . . . . . . . . 23

FIGURA 2.11 Mapeo de la región ABCDEF en el plano complejo t . . . 24

FIGURA 2.12 Mapeo al plano u . . . 24

FIGURA 2.13 Mapeo al plano χ . . . 25

FIGURA 3.1 Sección transversal de una línea de transmisión rectangular colocada en los

ejes para la solución de las integrales . . . . . 29

FIGURA 3.2 Línea rectangular con valores en sus dimensiones para comprobar la

distribución de corriente propuesta. . . . . . . 30

FIGURA 3.3 a) Distribución de corriente para las paredes paralelas al eje x en donde se puede

ver que la corriente tiende a infinito en la esquina del conductor central

b) Distribución de corriente para las paredes paralelas al eje y. . 31

FIGURA 3.4 Circuito donde se muestran las densidades de corriente magnéticas . 34

FIGURA 3.5 Circuito donde se muestran las densidades de corriente eléctricas . 35

FIGURA 3.6 Línea de transmisión de dos conductores colocada en los ejes coordenados 39

FIGURA 3.7 Distribución de los campos transversales para una línea de dos conductores 40

(6)

FIGURA 3.8 Contorno para evaluar We . . . 41

FIGURA 4.2 Regiones para evaluar el numerador de la inductancia . . . 50

FIGURA 4.3 Conductor Central colocado en los ejes coordenados para la evaluación

del denominador de la inductancia y parte de la evaluación del numerador

de la resistencia . . . 51

FIGURA 4.4 Conductor externo colocado en los ejes coordenados para la evaluación

de la resistencia . . . 52

FIGURA 4.5 Dimensiones de la línea de transmisión rectangular . . . 54

FIGURA 4.6 Vista completa de la línea de transmisión . . . . . 55

FIGURA 4.7 Vista de todas las piezas que conforman a la línea de transmisión. . 56

FIGURA 4.8 Vista con las dos tapas de la línea de transmisión . . . . 56

FIGURA 4.9 Vista interior de la línea de transmisión de perfil . . . . 57

FIGURA 4.10 Vista lateral de la línea de transmisión con las tapas separadas . . 57

FIGURA 4.11 Vista de perfil del conductor central . . . . . . 58

FIGURA 4.12 Vista del conector utilizado en la línea de transmisión. . . . 58

FIGURA 4.13 Vista interior de la línea de transmisión donde se puede apreciar el ancho del

conductor central . . . . . . . . 59

FIGURA 4.14 Vista superior de la línea de transmisión donde se aprecia el espacio interior

y el ancho del conductor central. . . . . . . 59

FIGURA 5.2 Impedancia característica de una línea de transmisión utilizando la función de

Green a) parte imaginaria y magnitud de la impedancia

b) parte imaginaria . . . . . . . . 62

FIGURA 5.3 Resultados obtenidos con las mismas dimensiones pero utilizando el

método propuesto . . . . . . . . 65

FIGURA 5.4 Comparación de resultados para la línea de dimensiones mostradas en la

ecuación (5.1) . . . 67

FIGURA 5.5 Impedancia característica simulada para la línea de transmisión diseñada en

el capitulo 4 . . . . . . . . . 69

FIGURA 5.6 Resultado de la medición de la impedancia característica de la línea diseñada 71

(7)

FIGURA 5.7 Comparación entre el valor medido y el valor simulado para la línea de

transmisión diseñada en el capitulo cuatro. . . . . . 73

FIGURA 5.8 Tipos de carga fija en función de su frecuencia de operación . . 77

FIGURA 5.9 Kit de calibración con conectores SMA . . . . . 79

FIGURA A1.1 Corte transversal de algunos tipos de líneas de transmisión a) línea de dos

conductores paralelos b) línea coaxial c) línea blindada d) strip line

e) línea rectangular . . . 83

FIGURA A1.2 Línea de transmisión de dos conductores paralelos colocada en el eje z. . 84

FIGURA A1.3 Circuito eléctrico equivalente a) para una sección diferencial de una línea

de transmisión b) modelado de la línea completa como una sucesión de

secciones ∆z . . . 87

FIGURA A1.4 Representación fasorial para el voltaje V(z,t) . . . . 90

(8)

LISTA DE TABLAS

LISTA DE TABLAS

TABLA 2.1 Comparación de los cuatro métodos de calculo de la impedancia para diferentes

valores de w . . . 27

TABLA 5.1 Comparación de cinco puntos de frecuencia para la línea de dimensiones

mostradas en la ecuación (5.1) . . . 68

TABLA 5.2 Comparación de resultados obtenidos entre la simulación y el valor medido

para la línea diseñada en el capitulo cuatro . . . . . 72

TABLA 5.3 Procedimiento necesario para eliminar los errores de la medición de los

parámetros S . . . . . . . . . 76

TABLA 5.4 Torque que se debe de aplicar a las conexiones de acuerdo con el tipo de

conexión . . . . . . . . . 78

(9)

NOMENCLATURA

NOMENCLATURA

CEM Compatibilidad ElectroMagnética

TEM Modo Electromagnético Transversal (de sus siglas en ingles Transverse ElectroMagnetic)

PUL Parámetros por Unidad de Longitud

Thru Palabra utilizada para describir la conexión directa entre el puerto 1 y el puerto 2 del analizador de redes durante la calibración.

2a Ancho de la línea de transmisión rectangular [metros] 2b Alto de la línea de transmisión rectangular [metros]

2w Ancho del conductor central de la línea de transmisión rectangular [metros]

2t Espesor del conductor central de la línea de transmisión rectangular [metros]

d Distancia que existe entre la pared lateral del conductor externo y el punto medio del ancho del conductor central [metros]

h Distancia que existe entre la pared lateral del conductor externo y el punto medio del espesor del conductor central [metros]

C1 Contorno que describe al conductor externo

C2 Contorno que describe al conductor central

ZC Impedancia característica de la línea de transmisión rectangular

[ohms]

R Resistencia de de la línea de transmisión rectangular [ohms/metro] L Inductancia de la línea de transmisión rectangular [Henry/metro] G Conductancia de la línea de transmisión rectangular [Siemen/metro] C Capacitancia de la línea de transmisión rectangular [Farad/metro]

(10)

NOMENCLATURA

ω Frecuencia angular [radianes]

γ Coeficiente de propagación [radianes/metro] α Coeficiente de atenuación [Nepers/metro] β Coeficiente de fase [radianes]

(11)

CAPITULO I

INTRODUCCIÓN

RESUMEN

En el estudio de las líneas de transmisión, uno de los parámetros más importantes es la impedancia característica, que se determina a través de los parámetros por unidad de longitud, los cuales son función de la geometría y de las propiedades eléctricas de los materiales con los que se construye.

Para el caso de las líneas de transmisión con estructura rectangular, las metodologías que se utilizan para encontrar dichos parámetros lo hacen normalmente considerando que el conductor central tiene un espesor despreciable o lo aproximan a una estructura cilíndrica.

Esta tesis presenta como aportación el desarrollo de un método para el cálculo de la impedancia característica definida por los Parámetros por Unidad de Longitud (PUL), de una línea de transmisión rectangular, donde no se desprecia el espesor del conductor central.

En el laboratorio de Compatibilidad Electromagnética del Programa de Electrónica en la SEPI ESIME, se tiene la necesidad de una línea de transmisión rectangular pequeña y con conductor central angosto, con el objeto de aprovechar al máximo el espacio interior de la línea. Lo cual permitirá utilizarla para caracterizar materiales, en pequeñas cantidades.

Los resultados analíticos y experimentales son similares, por lo que el método que se presenta es una buena herramienta de cálculo para determinar la impedancia característica de una línea de transmisión rectangular.

(12)

CAPITULO I

INTRODUCCIÓN

ABSTRACT

One of the most important parameters in the study of transmission lines is the characteristic impedance, which is calculated through of parameters by unit length, in terms of the geometry and the electrical properties of the material that is constructed.

In the case of rectangular transmission lines the methodologies that are used to find those parameters normally neglect the thickness of the septum or they approximate it to a cylindrical structure.

A different method for calculating the characteristic impedance defined by the PUL of a rectangular transmission line without neglecting the thickness of the septum is presented as a contribution in this thesis.

In the Electromagnetic Compatibility Laboratory at the Electronic Program of the SEPI ESIME, there is the necessity of having a small rectangular transmission line with a narrow septum, that allow us of taking advantage of the line’s inner space, for being used to material’s characterization in small quantities.

The analytical and experimental results agreed, so the method that is presented is a good tool for calculating the rectangular transmission line’s characteristic impedance.

(13)

CAPITULO I

INTRODUCCIÓN

CAPITULO I

INTRODUCCIÓN

Este trabajo describe el análisis de la impedancia característica de una línea de transmisión rectangular, la cual no es una estructura de conexión típica en los sistemas electrónicos. En general este tipo de línea se construye para aplicaciones específicas, constituida de un conductor central rectangular rodeado de una estructura también rectangular. Como en toda línea de transmisión, la impedancia característica es una de las propiedades más importantes, la cual se determina a partir de sus Parámetros por Unidad de Longitud (PUL), enfocándose los esfuerzos de análisis en la determinación de dichos parámetros. El estudio de los parámetros de las líneas de transmisión nos permite entender que estos parámetros están dados a través de las propiedades eléctricas y magnéticas del medio colocado entre los conductores (permitividad ε y permeabilidad µ), las propiedades de los propios conductores, así como también de la geometría, de tal manera que cambiando el medio cambiará, específicamente la impedancia.

La determinación de los PUL en una línea de transmisión de estructura rectangular es la base para analizar el comportamiento de cavidades con micro cintas [1-5] y de celdas electromagnéticas transversales, conocidas como celdas TEM [6-13]. Para el análisis de dichas líneas de transmisión existen varios métodos y técnicas analíticas [14-19] que determinan los PUL, las cuales se describen en el capitulo 2, donde se considera que el conductor central es plano y normalmente se desprecia el espesor. En el capitulo 3 se desarrolla un método donde no se desprecia el espesor, se analiza la estructura con las dimensiones reales, por lo que es un método más general, y es la aportación fundamental de este trabajo.

(14)

CAPITULO I

INTRODUCCIÓN

Para entender la importancia del cálculo de los PUL, se describirán primero las líneas de transmisión de dos conductores paralelos para determinar la impedancia característica y el coeficiente de propagación, los cuales están dados en función de dichos parámetros.

1.1 Objetivo

Análisis de la impedancia de una sección de línea de transmisión rectangular con conductor central plano para determinar una expresión que no desprecie el espesor del conductor central.

1.2 Justificación y Alcance

Como se ha mencionado en el análisis de la impedancia característica de líneas de transmisión rectangular, uno de los puntos que más atención se presta es a las dimensiones del conductor central, siendo la relación entre el espesor y el ancho de dicho conductor la determinante para considerar si el espesor puede ser despreciable o no, así al examinar la impedancia se toman en cuenta los siguientes puntos.

¾ La impedancia característica de una línea de transmisión es uno de los parámetros más importantes.

¾ En las estructuras rectangulares la impedancia se determina en función de las dimensiones y a partir de esta se especifica su respuesta en frecuencia.

¾ Los métodos que se han utilizado para el cálculo de dicha impedancia normalmente desprecian el espesor del conductor central.

¾ En este trabajo se presenta el desarrollo de un método para calcular la impedancia característica sin hacer aproximaciones respecto al espesor del conductor central, considerando sus dimensiones y propiedades eléctricas de dicho conductor.

(15)

CAPITULO I

INTRODUCCIÓN

1.3 Contenido de la Tesis

La presente tesis se organiza en 5 capítulos, el primero corresponde a la introducción, en el segundo se presenta el estado del arte con respecto al análisis de la impedancia de la línea de transmisión rectangular, en el tercero se describe el método propuesto para determinar la impedancia característica de la línea de transmisión rectangular, que es la parte esencial de este trabajo, en el cuarto se muestra el diseño y construcción de una línea de transmisión rectangular para comprobar el método propuesto, y en el quinto se presentan los resultados y se compara el método propuesto con métodos reportados, así como también se reportan los resultados experimentales, y por ultimo se dan las conclusiones y propuestas para trabajos futuros.

(16)

CAPÍTULO II

ESTADO DEL ARTE EN EL ANÁLISIS DE LA IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN RECTANGULARES

Una línea de transmisión rectangular consiste de un conductor central localizado simétricamente o asimétricamente dentro de un recinto rectangular externo, siendo una estructura muy similar a la de una línea de transmisión coaxial. Una de las características más importantes de toda línea de transmisión es su impedancia característica, la cual normalmente se calcula utilizando los parámetros por unidad de longitud (PUL) R, L, G y C, sin embargo la determinación de los parámetros se puede obtener por diferentes métodos dependiendo de las dimensiones y del grado de aproximación que se desee obtener.

En este capítulo primero se analizará la expresión general para la impedancia característica de una línea de transmisión y después se analizarán las diferentes técnicas utilizadas para obtener los PUL, en donde se mostrará las ventajas y desventajas de cada una de ellas para así al final explicar el porqué de la necesidad de realizar otro método diferente.

El tipo de línea de transmisión que se estudia en el presente trabajo es una línea de transmisión rectangular. Para hacer el análisis de la impedancia característica se utiliza la teoría de línea de transmisión de dos conductores paralelos, constituidos de materiales no magnéticos y perfectamente conductores ((=(, (=(0, (=(0); además se considera el modo de propagación fundamental de una onda electromagnética transversal (TEM por sus siglas en inglés Transverse ElectroMagnetic), es decir que tanto el campo eléctrico como el campo magnético se presentan perpendiculares entre sí, con respecto a la dirección de

propagación.

La línea de transmisión de dos conductores paralelos se muestra en la figura 2.1, en donde la línea es paralela al eje z, siendo alimentada por una fuente de voltaje VG y terminada con una impedancia de carga ZL [20,21]. En la misma figura se muestran las distribuciones de voltaje y de corriente V(z,t) y I(z,t), cuya impedancia característica, es función de las propiedades eléctricas de la línea, la geometría y del medio que los rodea.

Figura 2.1 Línea de transmisión de dos conductores paralelos colocada en el eje z

El problema principal a resolver es determinar las distribuciones de corriente en los conductores y el voltaje entre los conductores en cualquier punto a lo largo de la línea de transmisión. Aunque usualmente solo se requieren las expresiones que determinen estos valores, en la entrada conectada al generador y la conectada en la carga.

Es necesario hacer notar que las distribuciones de voltaje y corriente son funciones de la posición a lo largo del eje z, así como funciones del tiempo t. Una vez definidos el voltaje y la corriente se puede modelar una sección de línea de transmisión eléctricamente pequeña de longitud (z, utilizando un modelo de circuito eléctrico equivalente [20-24], como el mostrado en la figura 2.2a.

(17)

una sección de línea de longitud (z es el producto de la capacitancia por unidad de longitud, por la longitud de la línea, C(z.

b)

Figura 2.2 Circuito eléctrico equivalente: a) para una sección diferencial de una línea de transmisión b) modelado de la línea completa como una sucesión de secciones (z.

La conductancia por unidad de longitud G(z, representa la corriente de conducción que circula entre los conductores, tomando en cuenta que el medio entre ellos tiene una conductividad diferente de cero, lo que significa que es un medio con pérdidas.

Además, la corriente que circula a través de los conductores crea un campo magnético que ocupa el espacio entre los conductores, los dos conductores presentan una inductancia la cual aparece en serie con la línea de los conductores, la inductancia total de los dos conductores está dada por L(z.

Si los conductores no son conductores perfectos, pero tienen una conductancia finita

diferente de cero, es necesario incluir una resistencia por unidad de longitud, que represente las pérdidas asociadas con los conductores, así la resistencia total de ambos conductores se representa por R(z.

Las ecuaciones que describen el circuito de la figura 2.2a son:

EMBED Equation.3

, (2.1)

EMBED Equation.3 (2.2)

donde

R es la resistencia por unidad de longitud [(/m] L es la inductancia por unidad de longitud [Henry/m] G es la conductancia por unidad de longitud [Siemens/m] C es la capacitancia por unidad de longitud [Farads/m]

V(z) es el voltaje instantáneo en el punto z de la línea de transmisión [V] I(z) es la corriente instantánea en el punto z de la línea de transmisión [A].

2.1 Constante de Propagación

Las ecuaciones (2.1) y (2.2) son conocidas como las ecuaciones del telegrafista o las ecuaciones de la línea de transmisión con pérdidas [21,24-26]. En donde el termino de la ecuación (2.2) se puede expresar como

EMBED Equation.3

(18)

EMBED Equation.3 (2.3b)

donde

( es la constante de atenuación [Nepers/m] ( es la constante de fase [Radianes/m]

R es la resistencia por unidad de longitud [(/m] L es la inductancia por unidad de longitud [Henry/m] G es la conductancia por unidad de longitud [Siemens/m] C es la capacitancia por unidad de longitud [Farads/m].

La ecuación anterior se conoce como el constante de propagación, la parte real se le denomina constante de atenuación y la parte imaginaria constante de fase de la línea de transmisión.

2.2 Impedancia Característica

La razón del voltaje con respecto a la corriente para cualquier z en una línea infinitamente larga es independiente del eje de propagación y se denomina impedancia característica de una línea de transmisión [20,26] definida por

donde

V0 es la amplitud del voltaje [V] I0 es la amplitud de la corriente [A]

R es la resistencia por unidad de longitud [(/m] L es la inductancia por unidad de longitud [Henry/m] G es la conductancia por unidad de longitud [Siemens/m] C es la capacitancia por unidad de longitud [Farads/m].

Una versión de las líneas de transmisión son las líneas coaxiales, que son normalmente cilíndricas, y tienen una gran aplicación como medios de transmisión. Las líneas coaxiales rectangulares son de propósito específico y el análisis depende de su aplicación donde la geometría del conductor central juega un papel muy importante.

El análisis que se tratará en el presente trabajo corresponde a la determinación de la impedancia característica a partir de sus parámetros por unidad de longitud, pero sin despreciar el espesor del conductor central.

2.3 Impedancia de Entrada

Es importante el tener una expresión para la impedancia de entrada de una línea de

transmisión, en virtud de que los analizadores de redes utilizados para medir la impedancia de la línea de transmisión, el valor que proporcionan, es la impedancia de entrada de dicha línea bajo medición.

(19)

siguiente expresión [20,27]

donde

ZL es la impedancia de carga [(] ZC es la impedancia característica [(] ( es el coeficiente de propagación [1/m] s es la longitud de la línea de transmisión [m].

La determinación de la impedancia característica de líneas de transmisión rectangular ha sido tratada por diferentes métodos, los cuales normalmente desprecian el espesor del conductor central al evaluar la capacitancia por unidad de longitud, esto debido a que las líneas rectangulares reportadas en la literatura suelen ser considerablemente anchos en sus conductores centrales, de tal manera que la relación entre ancho y espesor del conductor central es mucho menor que la unidad. En la siguiente sección se resumen algunos de los métodos utilizados para determinar la impedancia característica, mencionándose las limitaciones que presentan cada uno de ellos.

2.4 Función de Green

La impedancia característica de una línea de transmisión rectangular puede ser calculada a través de la energía almacenada y la potencia de pérdidas dentro de la estructura rectangular usando la función de Green, con la cual se calcula el potencial magnético vectorial [14] y así se determina la distribución de los campos dentro de la línea, pero despreciando el espesor del conductor central. En la figura 2.3 se muestra la sección transversal de la línea rectangular.

Figura 2.3 Sección transversal de la línea de transmisión mostrando las regiones a evaluar en las integrales

El potencial magnético vectorial dentro de la línea está relacionado con la densidad de corriente I(x’,y’) en el conductor central como sigue [26]

donde

I(x’,y’) es la densidad de corriente [A/m2] G(x,y|x’,y’) es la función de Green.

La función de Green queda expresada con la siguiente ecuación [27] EMBED Equation.3

(2.7)

(20)

Sustituyendo la función de Green en la ecuación 2.8 para y ( y’ , se tiene EMBED Equation.3

(2.9) donde

EMBED Equation.3 , (2.10a)

EMBED Equation.3 . (2.10b)

Así para y ( y’ el potencial magnético queda expresado EMBED Equation.3

(2.11)

donde

EMBED Equation.3 , (2.12a)

EMBED Equation.3 . (2.12b)

A través del cálculo del potencial magnético se puede expresar la densidad de flujo magnético con la siguiente expresión

donde

A es el potencial magnético vectorial [Wb/m] B es la densidad de flujo magnético [Wb/m2].

Mientras que la intensidad de campo magnético se puede calcular como se muestra a continuación

donde

H es la intensidad de campo magnético [A/m]

( es la permeabilidad del medio colocado entre los conductores [H/m].

De las ecuaciones anteriores se definen EMBED Equation.3

, (2.15a) EMBED Equation.3

. (2.15b)

(21)

EMBED Equation.3

, (2.16) EMBED Equation.3

(2.17)

donde f1(n) y f2(n) están dados por las ecuaciones (2.10a) y (2.10b). Para y ( y’ sustituimos la ecuación (2.11) en (2.15), se tiene

EMBED Equation.3

, (2.18) EMBED Equation.3

(2.19)

donde f3(n) y f4(n) están dados por las ecuaciones (2.12a) y (2.12b).

Al conocerse los componentes del campo se calcula la inductancia con la siguiente ecuación [14]

donde

(0=4(x10-7 es la permeabilidad del espacio libre [H/m] H es la intensidad de campo magnético [A/m]

Iz(x’,y’) es la densidad de corriente superficial [A/m2].

Y la resistencia se calcula con la siguiente expresión [14]

Donde

( es la frecuencia angular [radianes]

(0=4(x10-7 es la permeabilidad del espacio libre [H/m]

( es la conductividad del medio colocado entre los conductores [Siemens/m] H es la intensidad de campo magnético [A/m]

Iz(x’,y’) es la densidad de corriente superficial [A/m2].

I0 es la amplitud de la corriente [A].

El método analizado se garantiza para cuando el espesor máximo del conductor central es menor a t/w=0.02 [14], que es la relación entre el espesor y el ancho del conductor central; para cuando se tiene un conductor central con espesor mayor, se debe considerar la

corriente que circula sobre la pared correspondiente al espesor del conductor central, esto debido a que esta corriente fue despreciada en este método [14]; esta investigación es útil para cuando se tienen estructuras rectangulares con conductor central pequeño pero espesor finito[14].

(22)

Este método [16,27], calcula la impedancia característica de la línea de transmisión rectangular a través de la capacitancia dada en función de la energía electroestática almacenada en el campo circundante a los 2 conductores. Expresada por la siguiente ecuación

donde

EMBED Equation.3

V0 es la amplitud del voltaje [V]

( es la permitividad del medio colocado entre los conductores [F/m]

(b)

Figura 2.4 Sección transversal de una línea de transmisión a) dimensionado b) geometría utilizada para las transformaciones

La integral es estacionaria con respecto a las variaciones de primer orden en (, donde ( es la solución de la ecuación de Laplace para las condiciones de frontera en el eje y, en función de la geometría de la figura 2.4b. Así la energía total almacenada en la región esta dada por EMBED Equation.3

(2.24)

donde B=1-A-T.

Así el valor de la capacitancia una vez conocidos los valores de los coeficientes y con esto el valor de la energía nos queda

donde

EMBED Equation.3

. (2.26)

El valor de la capacitancia calculado con esta aproximación siempre será mayor que el valor exacto. Ahora el cálculo de la impedancia característica puede ser expresada como EMBED Equation.3

(2.27) Donde

(R es la permitividad relativa del material colocado entre los conductores (R es la permeabilidad relativa del material colocado entre los conductores (0=4(x10-7 es la permeabilidad del espacio libre [H/m]

(0=8.842x10-12 es la permitividad del espacio libre [F/m] C es la capacitancia por unidad de longitud [F/m].

(23)

donde

EMBED Equation.3

. (2.29)

2.6 Transformación Conformal

El método que utiliza la Transformación conformal [17,19], determina la impedancia de la línea de transmisión rectangular al calcular la capacitancia a través de dos transformaciones sucesivas, el primer proceso transforma el polígono en el plano z al eje real del plano t y la otra transformación del plano w al plano t en donde se relacionan los potenciales de los dos conductores en función de t.

Figura 2.5 Sección transversal de una línea de transmisión mostrando las capacitancias en las esquinas

Figura 2.6 Distorsión del campo debido a las esquinas

Cuando los lados de los conductores son largos en comparación con la separación entre ellos, se considera solo una cuarta parte de la sección transversal debido a que la distorsión del campo se considera como se muestra en la figura 2.6. En la figura 2.7 se muestra el polígono en el plano z delimitado por las líneas ABC y DEF, Chen Tsung Shan en [17] supone que t=-( en A, que t=a en B, t=0 en C y t=1 en E, también supone que los ángulos son (/2 en B, cero en C y 3(/2 en E, la cantidad “a” es dependiente de la geometría. Figura 2.7 Polígono colocado en el plano z para la transformación

Figura 2.8 Mapeo del polígono en el plano t Figura 2.9 Mapeo en el plano w

La transformación que cambia al polígono en el eje real de t de la figura 2.8, es

EMBED Equation.3

. (2.30)

Mientras que la segunda transformación en el plano w de la figura 2.9 es

EMBED Equation.3

. (2.31)

La transformación anterior al integrarse y relacionarse con las condiciones de frontera nos queda

EMBED Equation.3

. (2.32)

Si el flujo de las líneas no sufrieran distorsión, la carga en la línea EP sería EMBED Equation.3

, así la capacitancia en las esquinas nos queda

EMBED Equation.3

. (2.33)

(24)

ecuación (2.61) intercambiando g y h, entonces

EMBED Equation.3

. (2.34)

La capacitancia total de acuerdo con la figura 2.6, queda expresada como sigue

EMBED Equation.3 . (2.35)

Esta capacitancia es válida solo si los lados de los conductores son largos, obteniéndose que las capacitancias de las esquinas sean dependientes de los espaciamientos entre los

conductores y no de las dimensiones de los mismos.

Mientras que la inductancia quedaría expresada como sigue

donde Lv y LH corresponden a las inductancias con respecto al plano paralelo vertical y horizontal respectivamente, dadas por

EMBED Equation.3

, (2.37)

EMBED Equation.3

. (2.38)

El método anterior solo es válido cuando los lados de los conductores son largos en comparación con la separación con respecto a las paredes laterales del conductor externo, es decir, si los lados de los conductores son largos, obteniéndose que las capacitancias de las esquinas sean dependientes de los espaciamientos entre los conductores y no de las dimensiones de los mismos.

2.7 Transformación de Schwarz-Christoffel

La Transformación de Schwarz-Christoffel [15,27] utiliza un mapeo de solo la mitad de la estructura al despreciar el espesor y se calcula la capacitancia, considerando que existen dos capacitores en paralelo. Este tipo de transformación es utilizado para geometrías que

presentan simetría de ahí el que se considere como dos capacitores en paralelo, uno con respecto a la parte superior del conductor central y otro con respecto a la parte inferior del mismo.

Figura 2.10 Sección transversal de una línea de transmisión con el espesor del conductor central despreciado

De la figura 2.10, la región ABCDEF será mapeada en la parte positiva del plano complejo t a través de la transformación de Schwarz-Christoffel, el cual debido a la simetría puede ser expresada en términos de funciones elípticas Jacobianas.

Figura 2.11 Mapeo de la región ABCDEF en el plano complejo t

(25)

plano t como lo muestra la figura 2.11, por conveniencia se hace una transformación intermedia del plano complejo t al plano complejo u.

Figura 2.12 Mapeo al plano u

En la figura 2.12 se observa el plano u, donde ( se encuentra cuando t=1, quedando EMBED Equation.3

. (2.39)

En la transformación final, se mapea la mitad superior del plano u en una región rectangular en el plano complejo (, la transformación está dada por

EMBED Equation.3

. (2.40)

En la figura 2.13 se muestra el plano complejo (, de esta figura se observa que la

capacitancia es simplemente dada por la fórmula del capacitor de placas paralelas, dado como

EMBED Equation.3

. (2.41)

Figura 2.13 Mapeo al plano (

Así, la capacitancia total C de la línea de transmisión rectangular por unidad de longitud l, es simplemente el doble de la calculada por la ecuación anterior.

EMBED Equation.3

. (2.42)

Con este valor de capacitancia se calcula la impedancia con la siguiente ecuación

EMBED Equation.3

. (2.43)

El método anterior se limita a estructuras en las cuales se desprecia el espesor del conductor central de manera que se puedan evaluar los valores de las capacitancias por encima y por debajo del conductor central sin considerar los efectos de las paredes del espesor del mismo.

Se han revisado algunos de los métodos más comunes para analizar la impedancia

(26)

Además como ya se mencionó la distancia entre las paredes laterales de los conductores externo y central es grande, así es que el método de transformación conformal no seria el apropiado para el análisis, pues este es solo válido cuando los lados de los conductores son largos en comparación con la separación con respecto a las paredes laterales del conductor externo. Puesto que la distorsión del campo en las esquinas de la línea pequeña con la que se desea trabajar, no se presentaría como lo muestra la figura 2.6, pues el espacio entre las esquinas es mucho mayor.

Así es que la consideración de despreciar el espesor del conductor central, como lo hacen en el método de la transformación de Schwarz-Christoffel y el método variacional, no es correcta para la línea que se requiere diseñar, pues esto es solo válido para conductores anchos y no para angostos como es el caso del que se pretende diseñar.

La necesidad de contar con una línea de dimensiones pequeñas con un conductor central angosto y en virtud de que los métodos anteriormente descritos no se ajustan a esta característica provocaron la necesidad de desarrollar un método, que se describe en el capítulo tres, tal que tome en cuenta el espesor del conductor central, de tal manera que se considerará la corriente que circula por la pared lateral correspondiente al espesor del conductor central, que es una de las diferencias fundamentales que caracterizan al método que aquí se presenta.

Para comparar los valores de los cuatro métodos antes descritos con respecto al método desarrollado en el capítulo tres, se eligen valores de líneas de transmisión rectangulares con dimensiones medias dadas por

a=7.5 cm b=2.5 cm

donde

a es el ancho de la sección transversal de la línea b es la altura de la sección transversal de la línea

En la tabla 2.1 se puede observar que la relación w/a (en donde w es el ancho del conductor central) en los diferentes métodos estudiados presenta un comportamiento en el que a valores pequeños los errores en la impedancia característica de la línea de transmisión analizada son grandes, mientras que en los casos en los que w tiende a ser casi igual que a presentan errores en la impedancia casi despreciables.

(27)

0.333 %

Impedancia [(]

Green 108.3 12.36% 90.64 4.31% 75.93 3.31% 65.62 3.34%

Schwarz 106.3 13.92% 90.39 4.58% 75.81 3.46% 65.27 3.85%

Variacional 84.9

31.2% 73.61 22.29% 65.20 16.97% 48.56 28.47%

(28)

Tabla 2.1 Comparación de los cuatro métodos de calculo de la impedancia para diferentes valores de w.

CAPÍTULO II

ESTADO DEL ARTE EN EL ANÁLISIS DE LA IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN RECTANGULARES

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Zabdiel Brito Brito

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C2

y’

Conductor interno

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Potencial

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Equation.3 ObjInfo ObjInfo

Equation Native Equation Native _1104839901 _1104839901

(35)

DS Equation Equation.3

Microsoft Editor de ecuaciones 3

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CompObj ObjInfo ObjInfo

Equation Native Equation Native _1104839905 _1104839905 CompObj CompObj ObjInfo ObjInfo

Equation Native Equation Native DS Equation Equation.3

Equation.3 _1104839916 _1104839916 CompObj CompObj ObjInfo ObjInfo

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(36)

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Equation.3 CompObj CompObj ObjInfo ObjInfo

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Equation.3

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ObjInfo

(38)

_1095660248 _1095660248 CompObj CompObj ObjInfo ObjInfo

Equation.3

@Arial Unicode MS _1095660303 _1095660303 CompObj CompObj ObjInfo ObjInfo

Equation.3

Times New Roman @Arial Unicode MS Equation Native Equation Native _1104839973 _1104839973 CompObj CompObj

Equation.3

(39)

_1096882002 _1096882002

(40)

DS Equation Equation.3 CompObj CompObj ObjInfo ObjInfo

Equation.3 _1096882853 CompObj CompObj ObjInfo ObjInfo

Microsoft Editor de ecuaciones 3

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