Teorema de Stokes y Teorema de Gauss

Texto completo

(1)Sergio Yansen Núñez Teorema de Stokes y Gauss Actividad Nº1. (. ). Considere el campo vectorial F ( x, y, z ) = − y 3 , x 3 , z 3 . Calcule. ∫ F ⋅ dR. donde C es. C. la intersección entre el plano x + y + z = 1 y el cilindro x 2 + y 2 = 1 . Actividad Nº2. (. ). Considere el campo vectorial F ( x, y, z ) = x 2 , y 2 , z 2 . Calcule. →. ∫∫ F ⋅ d S donde S es S. la superficie que encierra a la región limitada por z = x + y 2. 2. y z = 2.. Actividad Nº3. Exprese una integral de una variable que permita calcular. ∫∫ ∇ × F ⋅ dS. donde. S. (. ).  1 4 y2  F (x, y, z ) =  ze , − xz , 4 x 2 + y 2  2  2 2 x z + y2 + = 1 , con x ≥ 1 . 4 16. ,. S. es. la. porción. del. elipsoide. Actividad Nº4. Sea F un campo vectorial tal que ∇ ⋅ F = x + y + z . Exprese una integral triple en coordenadas cilíndricas que permita calcular el flujo de F a través de la superficie 4 2 cerrada limitada por el cono (z − 2 ) = 3 x 2 + y 2 y el cilindro x 2 + y 2 = . 3. (. ). Actividad Nº5. Sean. S1 la parte de la superficie x 2 + y 2 = 1 dada por 1 ≤ z ≤ 4 S2 la parte de la superficie x 2 + y 2 = 9 dada por 1 ≤ z ≤ 4 S3 la parte de la superficie z = 1 dada por 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9. Considere S = S1 ∪ S 2 ∪ S3 . Calcule. ∫∫ F ⋅ dS S. donde F ( x, y, z ) = ( x 3 , y 3 , z ).

(2) Sergio Yansen Núñez Actividad Nº6. Sea el campo de vectores F ( x, y, z ) = −. ∧ y ∧ x i + j x2 + y2 x2 + y2. x2 y2 + = 1 , con 0 < µ ≠ 4 y el cilindro 16 µ 2 circular x 2 + y 2 = 16 , donde − 2 ≤ z ≤ 2 . Si 0 < µ ≠ 4 . V el sólido encerrado por el cilindro elíptico. a). Calcule el flujo que cruza el cilindro elíptico.. b). Analice el resultado en función del parámetro µ .. Actividad Nº7. Sea F ( x, y, z ) = (x − y , x + y , z 2 ) un campo de vectores, definido en un dominio en IR 3 que contiene al sólido cilíndrico: Ω=. { (x, y, z )∈ IR / x 3. 2. + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2 − 1 − x 2 − y 2. }. Calcule la suma de todos los flujos de F a través de la tapa inferior y superior de Ω , con la orientación dada por la normal exterior a ∂Ω . Actividad Nº8. Determine el valor de la integral de superficie. ∫∫ ∇ × F ⋅ ndσ . S. Donde S es la superficie del cono elíptico z = 2 −. x2 y2 + ubicado sobre el plano 9 4 ∧. XY , n es un vector unitario normal a S tal que el producto punto n ⋅ k > 0 y F es el. campo de vectores F ( x, y, z ) = ( x − z ) i + (x 3 + yz ) j − 3 xy 2 k . ∧. ∧. ∧. Actividad Nº9. Sea F =. mr r. 3. , un campo vectorial con r = (x, y, z ). Pruebe que el flujo a través de una superficie cerrada S que contiene un punto de masa m en el origen es independiente de la forma de la superficie elegida..

(3) Sergio Yansen Núñez Solución Actividad Nº1. C es una curva cerrada. = ∇ × F ⋅ dS ∫ F ⋅ dR ∫∫S. Por Teorema de Stokes:. C. i ∂ ∇× F = ∂x − y3. j ∂ ∂y x3. k ∂ = 0 , 0 , 3x 2 + 3 y 2 ∂z z3. (. La superficie corresponde a z = 1 − x − y. ).

(4)  ∂z ∂z  n =  − ,− ,1 = (1,1,1)  ∂x ∂y . ∫∫ ∇ × F ⋅ dS = ∫∫ (0 , 0 , 3x. 2. R. S. ). (. R. Donde R = {( x, y ) ∈ IR 2 / x 2 + y 2 ≤ 1} Mediante coordenadas polares: 2π 1. ∫∫ ∇ × F ⋅ dS = 3∫0 ∫0 r S. 1. 2. r drdθ = 3∫. 3 ∫∫ ∇ × F ⋅ dS = 6π ∫ r dr =. 0. S. Por tanto,. ∫ F ⋅ dR =. C. 3π 2. ). + 3 y 2 ⋅ (1,1,1)dxdy =3∫∫ x 2 + y 2 dxdy. 2π 1. 0. 3π 2. ∫0 r. 3. drdθ.

(5) Sergio Yansen Núñez Actividad Nº2. S es una superficie cerrada. Por Teorema de Gauss: →. ∫∫ F ⋅ d S = ∫∫∫ ∇ ⋅ F dV , donde R S. es la región encerrada por S. R. ∇ ⋅ F = 2x + 2 y + 2z. ∫∫∫ ∇ ⋅ F dV = 2∫∫∫ (x + y + z ) dV R. R. Mediante coordenadas cilíndricas:. ∫∫∫∇ ⋅ F dV = 2∫ R. 2π 2 2. 0. ∫0 ∫r (r cos(θ ) + rsen(θ ) + z )r dzdrdθ. 2π 2 2. 2. 2π 2. 2. ∫∫∫∇ ⋅ F dV = 2∫0 ∫0 ∫r (r. ). cos(θ ) + r 2 sen(θ ) + zr dzdrdθ. R. z2  ( ) ( ) ∇ ⋅ = + + 2 cos F dV zr θ zr sen θ ∫∫∫ ∫0 ∫0  2 R 2. 2.  r  drdθ r.

(6)  3 r 3  2 2 3     drdθ + + − + + r ( θ ) r sen ( θ ) r r ( θ ) r sen ( θ ) 2 cos 2 2 cos   0 ∫0  2   . ∫∫∫∇ ⋅ F dV = 2∫ R. 2π 2. 2π 2. r3  2 2 3 3   drdθ ( ) ( ) ( ) ( ) r θ + r sen θ + r − r θ − r sen θ − 2 cos 2 2 cos 0 ∫0  2  . ∫∫∫∇ ⋅ F dV = 2∫ R. 2π . r3 r3 r4 r4 r4 2  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 cos 2 cos ∇ ⋅ F dV = θ + sen θ + r − θ − sen θ − ∫∫∫ ∫0  3 3 4 4 8 R 2π  16. 16   cos(θ ) + sen(θ ) + 4 − 4 cos(θ ) − 4 sen(θ ) − 2  dθ 3 3 . ∫∫∫ ∇ ⋅ F dV = 2∫0 R. 2π  4. 4   cos(θ ) + sen(θ ) + 2  dθ 3 3 . ∫∫∫ ∇ ⋅ F dV = 2∫0 R. 2π. 4 4  ∫∫∫∇ ⋅ F dV = 2 3 sen(θ ) − 3 cos(θ ) + 2θ  0 R. ∫∫∫∇ ⋅ F dV = 8π R. →. Por tanto,. ∫∫ F ⋅ d S = 8π S. 2.   dθ 0.

(7) Sergio Yansen Núñez Actividad Nº3. Intersecciones: x = 1 z2 3  2 2 2 y + = ⇒ ⇒ x z 2 16 4 y + + = 1  16 4. y2 z2 + =1 3 12 4. Se cumplen los supuestos del Teorema de Stokes, por tanto:. ∫∫ ∇ × F ⋅ dS = S. ∫ F ⋅dR donde ∂S :. ∂S. Parametrizando ∂S se tiene:. y2 z2 + =1 , x =1 3 12 4.   3 ∂S : R(t ) = 1, cos(t ), 12 sen(t ) con 0 ≤ t ≤ 2π  2    3 R' (t ) =  0 , − sen(t ) , 12 cos(t ) 2   2π  12.  3  3   3 cos2 (t )  ,− 12 sen(t ),41 + cos 2 (t )  ⋅ 0 , − sen(t ), 12 cos(t )dt  2 sen(t )e 2  4    . ∫ F ⋅dR = ∫0. ∂S. ∫ F ⋅dR = ∫. ∂S. 2π . 0.  . 2π . ∫ F ⋅dR = ∫0. ∂S. 12. 3 2 2 3   12 cos(t ) ⋅dt 1 sen (t ) + 4 cos t + ( )   2  4 . 2 3   3sen (t ) + 8 3 cos(t ) + 6 3 cos (t ) ⋅dt  .

(8) Sergio Yansen Núñez Actividad Nº4. Intersecciones: z = 0  2 2 2 (z − 2 ) = 3 x + y. (. ). x2 + y2 =. ⇒. 4 3. S es una superficie cerrada. Por Teorema de Gauss se tiene:. ∫∫ F ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ FdV = ∫∫∫ (x + y + z )dV S. R. R. (. ). Llevando la ecuación ( z − 2 ) = 3 x 2 + y 2 a coordenadas cilíndricas, se obtiene: 2. ( z − 2 )2. = 3r 2 ⇒ 2π. ∫∫ F ⋅ dS = ∫0 ∫0 S. z = 2 + 3r ∨ z = 2 − 3r 2 3. 2+ 3r. ∫2−. 3r. (r cos(θ ) + rsen(θ ) + z )r dzdrdθ.

(9) Sergio Yansen Núñez Actividad Nº5. Sean S1 la parte de la superficie x 2 + y 2 = 1 dada por 1 ≤ z ≤ 4 S2 la parte de la superficie x 2 + y 2 = 9 dada por 1 ≤ z ≤ 4 S3 la parte de la superficie z = 1 dada por 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 Considere S = S1 ∪ S 2 ∪ S3 Calcule. ∫∫ F ⋅ dS. donde F ( x, y, z ) = ( x3 , y 3 , z ). S. Sea S 4 : z = 9 con 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9. S ∗ = S ∪ S 4 es cerrada. Por Teorema de Gauss:. ∫∫ F ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ FdV. S∗. R.

(10) ∫∫ F ⋅ dS = ∫∫∫∇ ⋅ FdV − ∫∫ F ⋅ dS R. S. ∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ (x. S. S. 3. , y 3 ,9. 4. )⋅ (0,0,1)dxdy. donde D : z = 0 , 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9. D. 4. ∫∫ F ⋅ dS = 9∫∫ dxdy = 9(π ⋅ 3. 2. − π ⋅ 12 ) = 72π. D. S. 4. ∇ ⋅ F = 3x 2 + 3 y 2 + 1 2π 4 ∫∫∫∇ ⋅ FdV = ∫0 ∫1 ∫ (3r 3. 1. R. Luego,. 2. ). + 1 r dzdrdθ = 384π. ∫∫ F ⋅ dS = 384π − 72π = 312π S.

(11) Sergio Yansen Núñez Actividad Nº6. Sin perder generalidad se puede asumir µ < 4 , pues para otro caso µ > 4 se procede en forma análoga. Sean S 1 , S 2 , T1 , T2 las superficies del cilindro elíptico, circular y las tapas T1 , T2 respectivamente orientadas por las normales que indica la gráfica.. Por el Teorema de Gauss: ∧ ∧ ∧  ∧ ∇ ⋅ Fdv = F ⋅ n F ⋅ n F ⋅ − k ds + F ⋅ k 1 ds + 2 ds +   ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ds   V S S T T. 1. Pero,. ∧. . 2. 1. 2. ∧. ∧. . F ⋅  − k ds = ∫∫ F ⋅ kds = 0 , pues F ∫∫   T T 1. no tiene componente en la dirección de k .. 2. ∫∫∫∇ ⋅ Fdv = 0. ∇ ⋅ F = 0 en V ⇒. V. ∧. Luego,. ∧. ∫∫ F ⋅ n1ds = − ∫∫ F ⋅ n 2 ds S1. S2. ∧. Pero,. F ⋅ n ds = 0 , pues F ∫∫ S 2. 2. ∧. Por lo tanto,. F ⋅ n ds = 0 ∫∫ S 1. 1. es tangente al cilindro circular..

(12) Sergio Yansen Núñez Actividad Nº7. Sean S 1 , S 2 , S 3 la tapa inferior, la superficie lateral y la tapa superior del sólido. Entonces S = S1 ∪ S 2 ∪ S 3 = ∂V Por Teorema de la Divergencia, se tiene: ∧. ∧. ∧. ∧. ∫∫ F ⋅ n ds = ∫∫ F ⋅ n1ds + ∫∫ F ⋅ n 2 ds + ∫∫ F ⋅ n 3ds = S. S1. Donde. S2. S3. ∫∫∫∇ ⋅ Fdv V. ∫∫∫∇ ⋅ Fdv en coordenadas cilíndricas es: V. ∫∫∫∇ ⋅ Fdv = V. 2π. 1. 2− 1−r 2. 0. 0. ∫ ∫ ∫ 0. 9 2(1 + z )rdzdrdθ = π 2. ∧. ∧. n 2 = ( x, y,0 ) es un vector unitario a la superficie lateral ( n 2 = x 2 + y 2 = 1 ) Además, ∧. ∫∫ F ⋅ n 2 ds =. S2. ∫∫ (x − y , x + y , z )⋅ (x, y,0)ds = S∫∫ (x S 2. 2. 2. tiene que x + y = 1 . 2. 2. 2. ). + y 2 ds =. ∫∫1ds. S2. , pues en S 2 se.

(13) ∧. ∫∫ F ⋅ n 2 ds = ∫∫ ds ; pero. S2. S2. ∫∫ S. ds es el área de la superficie de S 2 (área del cilindro). 2. Por lo tanto, ∧. F ⋅ n ds = ∫∫ ∫∫ S S 2. 2. ds = 2π ⋅ 2 = 4π. 2. Luego, ∧. ∧. 9. π. F ⋅ n ds + ∫∫ F ⋅ n ds = π − 4π = ∫∫ 2 2 S S 1. 1. 3. 3.

(14) Sergio Yansen Núñez Actividad Nº8. Utilizando Stokes para evaluar. ∫∫ ∇ × F ⋅ ndσ = ∫ F ⋅ dR S. C. Donde 2. C:. R(t ) = (6 cos(t ),4 sen(t ),0 ) ,. 0 ≤ t ≤ 2π. 2. x y + =1 ; z = 0 36 16. R' (t ) = (− 6sen(t ),4 cos(t ),0 ). F (R(t )) = (6 cos(t ),216 cos 3 (t ),288 cos(t )sen 2 (t )) F (R(t )) ⋅ R' (t ) = −36 cos(t )sen(t ) + 864 cos 4 (t ) Luego, π ∫ F ⋅ dR = ∫ (− 36 cos(t )sen(t ) + 864 cos (t ))dt = 648π 2. 0. C. 4. ,. parametriza. la. curva.

(15) Sergio Yansen Núñez Actividad Nº9. F=. mr r. 3. DomF = IR 3 − {(0,0,0 )} Como F es discontinuo en (0,0,0 ) consideremos una pequeña esfera sólida S a centrada en el origen y de radio a contenida en S . Sea W el sólido con frontera exterior S y frontera interior ∂S a . ∧. ∧. ∫∫S F ⋅ n ds + ∂∫∫S F ⋅ n ds = ∫∫∫ divF dV W. a. divF = 0. ∧. ∧. ∫∫S F ⋅ n ds = −∂∫∫S F ⋅ n ds. ⇒. a. ∧. En la superficie ∂S a se tiene n = −. r r. y r =a 2. ∧. ∫∫ F ⋅ n ds = ∂∫∫S. ∂S a. a. ∧. r 1 mr  r  r⋅r ⋅ − ds = − m ∫∫ 4 ds = − m ∫∫ 4 ds = − m ∫∫ 2 ds 3  r  r  ∂Sa r ∂Sa r ∂Sa r 1 ds , pues en ∂S a se tiene que r = a 2 ∂Sa a. ∫∫ F ⋅ n ds = −m ∫∫. ∂S a. ∧. ∫∫ F ⋅ n ds = −. ∂Sa. ∧. ∫∫ F ⋅ n ds = −. ∂Sa. ∧. Luego,. m a2. ∫∫ ds. ;. ∂Sa. ∫∫ ds. ∂S a. es el área de la superficie de ∂S a. m ⋅ 4πa 2 = −4mπ a2. ∫∫ F ⋅ n ds = 4mπ , no depende de la forma de la superficie elegida. S.

(16)